Банк готовых задач. Преобразование лапласа

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

и , (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа , формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа , а полученное уравнение - операторным уравнением .

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы s n , знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Таблица 1.1 - Преобразования Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение X(s)
d-функция

t
t 2
t n
e - a t
a . x(t)	a . X(s)

x(t - a)	X(s) . e - a s
	s n. X(s)

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа . Общая формула обратного преобразования Лапласа:

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. таблицы 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3). Более полные таблицы преобразований Лапласа можно найти, например, в .

Существует несколько теорем преобразования Лапласа.

Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f 1 имеет изображение F 1 (s) (или более кратко f 1 « F 1 (s)), f 2 « F 2 (s) и т.д., то

a 1 . f 1 + a 2 . f 2 + … + a n . f n « a 1 . F 1 (s) + a 2 . F 2 (s) + … + a n . F n (s).

Теорема 2. Теорема дифференцирования. Если f(t) имеет изображение F(s), то при нулевых начальных условиях (т.е. при f(0) = 0, f’(0) = 0 и т.д.) производные f(t) будут иметь изображения:

f’(t) « s . F(s) – для первой производной,

f ”(t) « s 2. F(s) – для второй производной,

f (n) (t) « s n . F(s) – для n-й производной.

При ненулевых начальных условиях:

f’(t) « s . F(s) – f(0) – для первой производной,

f ”(t) « s 2. F(s) – s . f(0) – f’(0) – для второй производной,

f (n) (t) « s n. F(s) – s n-1. f(0) - s n-2. f’(0) - … - f (n-1) (0) – для n-й.

Теорема 3. Теорема смещения.

f(t) . e a × t « F(s - a).

Например, если 1(t) « (см. таблицу 1.1), то 1 . e a × t « .

Теорема 4. Теорема запаздывания.

f(t - t) « F(s) . e - t × s ,

где t - запаздывание по времени.

Например, если 1(t) « , то 1(t - t) « .

Теорема 5. Теорема интегрирования.

Теорема 6 . О начальных и конечных значениях.

где f(0) – начальное значение функции (при t = 0),

f уст – конечное (значение в установившемся режиме).

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример . Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 1.1, имеет вид X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s),

s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 ,

Y(s)×(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2×s + 12.

Определяется выражение для Y:

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

= = - + .

Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4 . e -2 t + 2 . e -3 t . ¨

При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи:

Путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

Путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 1 – определяются корни знаменателя s i (знаменатель дроби приравниватся к нулю и решается полученное уравнение относительно s);

шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где М i – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью k, то ему ставится в соответствие k дробей вида ;

шаг 3 – определяются коэффициенты M i по одному из вариантов расчета.

Первый вариант. Определение M i с помощью системы уравнений.

Все дроби приводятся к одному знаменателю, затем путем сравнения коэффициентов при равных степенях s числителя полученной дроби и числителя исходной определяется система из n уравнений, где n – степень знаменателя (количество корней s i и коэффициентов M i). Решение системы относительно M i дает искомые коэффициенты.

Пример. Декомпозиция дроби из предыдущего примера. В исходной дроби n = 3, поэтому решение уравнения s 3 + 5s 2 + 6s = 0 дает 3 корня: s 0 = 0, s 1 = -2 и s 2 = -3, которым соответствуют знаменатели простых дробей вида s, (s – s 1) = (s + 2) и (s – s 2) = (s + 3). Исходная дробь декомпозируется на три дроби:

= = + + .

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными (при 2-й степени s в исходной дроби стоит 0, при 1-й стоит 2, свободный член равен 12):

М 0 + М 1 + М 2 = 0 M 0 = 2

5 . М 0 + 3 . М 1 + 2 . М 2 = 2 à M 1 = -4

6 . М 0 = 12 M 2 = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

= - + .¨

Второй вариант . Определение коэффициентов M i по формулам.

Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида . Для определения M i существуют формулы для каждого вида корней:

Для нулевого корня s i = 0 знаменатель исходной дроби можно записать в виде A(s) = s . A 1 (s); тогда коэффициент M i можно определить как .

Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) s i.

Определение. Функцией - оригиналом называется любая комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1 0 f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2 0 для всех отрицательных t: f (t)=0;

3 0 f (t) возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные и, что для всех t имеет место равенство

Например, показать, что функция является функцией оригиналом.

В самом деле, функция f (t) локально интегрируема, то есть

Условие 2 0 также выполнимо.

Условие 3 0: .

Простейшей функцией - оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда

Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) -- кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единицы - для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Определение. Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного, определенная равенством

Если F(p) есть изображение функции f (t), то пишут так:

Найти F(p) для:

Аналогично

Основные свойства преобразования Лапласа

1 0 . Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных и

20. Теорема подобия.

Находим изображение функции f (at), где a >0

Например,

Аналогично,

3 0 . Дифференцирование оригинала.

Если функции является функциями - оригиналами и, то

Докажем, что.

В самом деле,

Аналогично доказывается для остальных производных.

4 0 . Дифференцирование изображения.

Дифференцирование изображения сводится к умножению на (- t) оригинала

Обратное преобразование Лапласа

Для восстановления оригинала f (t) по заданному изображению F (p) в простейших случаях используется таблица изображений (смотрите таблицу 1). Дополнительное применение свойств изображений позволяет существенно расширить возможности восстановления оригинала по заданному изображению.

Теорема (Римана-Меллина). Пусть функция f (t) оригинал с показателем роста, а F (p) - ее изображение. Тогда в любой точке t непрерывность оригинала f (t) справедлива формула Римана-Меллина является обратной к формуле и называется обратным преобразованием Лапласа.

В точке являющиеся точкой разрыва 1-го рода функции f (t), правая часть формулы Римана-Меллина равна

Непосредственное применение формулы обращения для восстановления оригинала f (t) по изображению F (p) затруднительно. Для нахождения оригинала обычно пользуются теоремами разложения.

Теорема (первая теорема разложения). Если функция F (p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

то функция, является оригиналом, имеющим изображение F (p):

Вторую теорему разложения можно сформулировать следующим образом.

Теорема (вторая теорема разложения). Если рациональная правильная несократимая дробь, простые или кратные нули знаменателя Q (p), то оригинал f (t), соответствующий изображению F (p), определяется формулой

В частности, если знаменатель простые полюса, то функция

является оригиналом, имеющим изображение F (p).

Теорема. Пусть F (p) - функция комплексной переменной p, обладающая свойствами:

1) функция F (p), первоначально заданная в полуплоскости и удовлетворяющая в ней условиям:

а) F (p) - аналитическая функция в полуплоскости;

б) в области функция F (p) стремится к нулю при равномерно относительно;

в) для всех, сходится несобственный интеграл;

г) может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость.

2) аналитическое продолжение функции F (p) в полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Тогда имеет место следующее соотношение:

где t >0 и особые точки (полюсы, существенно особые точки) функции, являющейся аналитическим продолжением F (p) в полуплоскость, .

Пусть функция f (t) является оригиналом с показателем роста и имеет конечное число экстремумов. Тогда для нее можно записать интеграл Фурье. При этом имеет место формула:

Учитывая, что в интеграле Лапласа параметр, и для сходимости интеграла выбирается, то можно записать:

Сравнивая полученный интеграл Лапласа с преобразованием Фурье, видно, что изображение есть прямое преобразование Фурье для функции.

и
, (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторыs n , знаков интегралов
на множители, а самихx(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Таблица 1.1 - Преобразования Лапласа

Оригинал x (t )	Изображение X (s )
-функция







	X(s) . e -  s

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(j) - изображение при s = j, j - мнимая единица,  - частота.

Существует несколько теорем преобразования Лапласа.

Теорема 1. Теорема линейности. Изображение суммы функций равно сумме изображений, то есть, если f 1 имеет изображение F 1 (s) (или более кратко f 1  F 1 (s)), f 2  F 2 (s) и т.д., то

a 1 . f 1 + a 2 . f 2 + … + a n . f n  a 1 . F 1 (s) + a 2 . F 2 (s) + … + a n . F n (s).

f’(t)  s . F(s) – для первой производной,

f ”(t)  s 2. F(s) – для второй производной,

f (n) (t)  s n . F(s) – для n-й производной.

При ненулевых начальных условиях:

f’(t)  s . F(s) – f(0) – для первой производной,

f ”(t)  s 2. F(s) – s . f(0) – f’(0) – для второй производной,

f (n) (t)  s n. F(s) – s n-1. f(0) - s n-2. f’(0) - … - f (n-1) (0) – для n-й.

Теорема 3. Теорема смещения.

f(t) . e  t  F(s - ).

Например, если 1(t)  (см. таблицу 1.1), то 1 . e  t  .

Теорема 4. Теорема запаздывания.

f(t - )  F(s) . e -  s ,

где  - запаздывание по времени.

Например, если 1(t)  , то 1(t - ) 
.

Теорема 5. Теорема интегрирования.

Теорема 6 . О начальных и конечных значениях.

где f(0) – начальное значение функции (при t = 0),

f уст – конечное (значение в установившемся режиме).

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример . Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s 2 Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s) + 12X(s),

s 2 Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2s + 12,

Y(s)(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2s + 12.

Определяется выражение для Y:

=
=-+.

Теперь, используя табличные функции (см. таблицы 1.1 и 1.2), определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4 . e -2 t + 2 . e -3 t . 

Путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,

Путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.

Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:

шаг 3 – определяются коэффициенты M i по одному из вариантов расчета.

Первый вариант. Определение M i с помощью системы уравнений.

=
=++.

М 0 + М 1 + М 2 = 0 M 0 = 2

5 . М 0 + 3 . М 1 + 2 . М 2 = 2  M 1 = -4

6 . М 0 = 12 M 2 = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

=-+.

Второй вариант . Определение коэффициентов M i по формулам.

Также как и в 1-м варианте необходимо найти корни знаменателя исходной дроби вида
. Для определенияM i существуют формулы для каждого вида корней:

Для ненулевого некратного корня (действительного или комплексного) s i:

где A’(s) – производная знаменателя по s.

Примечание - Комплексные корни при решении уравнений появляются комплексно-сопряженными парами вида s i =  i  j i , где  i – действительныя часть корня,  i – мнимая часть, j – мнимая единица. Поэтому коэффициенты для этих корней также будут комплексно-сопряженными: M i = c i  d i . То есть достаточно определить коэффициент только для одного корня, для парного корня он будет комплексно-сопряженным.

Для корня s i кратности k исходная дробь может быть представлена в виде

;