Различается несколько типов параллелепипедов:
· Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники ;
· Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани - параллелограммы;
· Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Основные элементы
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
Свойства
· Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
· Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
· Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
· Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений
Основные формулы
Прямой параллелепипед
· Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о - периметр основания, h - высота
· Площадь полной поверхности S п =S б +2S о, где S о - площадь основания
· Объём V=S о *h
Прямоугольный параллелепипед
· Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
· Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)
· Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.
· Площадь боковой поверхности S=6*h 2 , где h – высота ребра куба
34. Тетраэдр - правильный многогранник, имеет 4 грани, которые являются правильными треугольниками. Вершин у тетраэдра 4 , к каждой вершине сходится 3 ребра, а всего ребер 6 . Также тетраэдр является пирамидой.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями (АОС, ОСВ, ACB, AOB) , их стороны --- ребрами (AO, OC, OB) , а вершины ---вершинами (A, B, C, O) тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными ... Иногда выделяют одну одну из граней тетраэдра и называют ее основанием , а три другие --- боковыми гранями .
Тетраэдр называется правильным , если все его грани - равносторонние треугольники. При этом правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это не одно и то же.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
35. Правильная призма
Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой. Грани, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Прямой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник. У такой призмы все грани – равные прямоугольники.
Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы есть расстояние H между плоскостями оснований.
Площадью боковой поверхности S б призмы называется сумма площадей ее боковых граней. Площадью полной поверхности S п призмы называется сумма площадей всех ее граней. S п = S б + 2S ,где S – площадь основания призмы, S б – площадь боковой поверхности.
36. Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием
, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой
.
Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды
называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.
Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.
Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.
Свойства правильных пирамид
Если все боковые ребра равны, то
·высота проектируется в центр описанной окружности;
·боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то
·высота проектируется в центр вписанной окружности;
·высоты боковых граней равны;
·площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани
37. Функцию y=f(x), где x принадлежит множеству натуральных чисел, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью. Обозначают ее y=f(n), или (y n)
Последовательности можно задавать различными способами, словесно, так задается последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11 и т.д
Считают, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена:
1, 4, 9, 16, …, n 2 , …
2) y n = C. Такую последовательность называют постоянной или стационарной. Например:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n =2 n . Например,
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2 n , …
Последовательность называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Иными словами, последовательность можно назвать ограниченной, если есть такое число М, что выполняется неравенство y n меньше или равно M. Число М называют верхней границей последовательности. Например последовательность: -1, -4, -9, -16, …, - n 2 ; ограничена сверху.
Аналогично, последовательность можно назвать ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа. Если последовательность ограничена и сверху и снизу она называется ограниченной.
Последовательность называют возрастающей, если каждый ее последующий член больше предыдущего.
Последовательность называют убывающей, если каждый ее последующий член меньше предыдущего. Возрастающие и убывающие последовательности определяют одним термином – монотонные последовательности.
Рассмотрим две последовательности:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …
Если мы изобразим члены этой последовательности на числовой прямой, то заметим что, во втором случае члены последовательности сгущаются вокруг одной точки, а в первом случае такого нет. В подобных случаях говорят, что последовательность y n расходится, а последовательность x n сходится.
Число b называют пределом последовательности y n , если в любой заранее выбранной окрестности точки b, содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
В данном случае мы можем написать:
Если частное прогрессии по модулю меньше единицы, то предел этой последовательности, при х, стремящимся к бесконечности равен нулю.
Если последовательность сходится, то только к одному пределу
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонно сходится, то она ограничена.
Предел стационарной последовательности равен любому члену последовательности.
Свойства:
1) Предел суммы равен сумме пределов
2) Предел произведения равен произведению пределов
3) Предел частного равен частному пределов
4) Постоянный множитель можно вынести за знак предела
Вопрос 38
сумма бесконечной геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел b 1 , b 2 , b 3 ,.. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b 1 ≠0 , q≠0.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.
Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.
Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.
Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.
В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:
Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.
Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.
Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:
Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.
Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.
Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.
Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.
Дано
: прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо
найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение
: Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.
Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:
После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.
Определение
Многогранником будем называть замкнутую поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторую часть пространства.
Отрезки, являющиеся сторонами этих многоугольников, называются ребрами многогранника, а сами многоугольники – гранями . Вершины многоугольников называются вершинами многогранника.
Будем рассматривать только выпуклые многогранники (это такой многогранник, который находится по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань).
Многоугольники, из которых составлен многогранник, образуют его поверхность. Часть пространства, которую ограничивает данный многогранник, называется его внутренностью.
Определение: призма
Рассмотрим два равных многоугольника \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , находящихся в параллельных плоскостях так, что отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, ..., A_nB_n\) параллельны. Многогранник, образованный многоугольниками \(A_1A_2A_3...A_n\) и \(B_1B_2B_3...B_n\) , а также параллелограммами \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\) , называется (\(n\) -угольной) призмой .
Многоугольники \(A_1A_2A_3...A_n\)
и \(B_1B_2B_3...B_n\)
называются основаниями призмы, параллелограммы \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3,
...\)
– боковыми гранями, отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)
– боковыми ребрами.
Таким образом, боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Рассмотрим пример - призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\) , в основании которой лежит выпуклый пятиугольник.
Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.
Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (рис. 1), в противном случае – прямой . У прямой призмы боковые ребра являются высотами, а боковые грани – равными прямоугольниками.
Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной .
Определение: понятие объема
Единица измерения объема – единичный куб (куб размерами \(1\times1\times1\) ед\(^3\) , где ед - некоторая единица измерения).
Можно сказать, что объем многогранника – это величина пространства, которую ограничивает этот многогранник. Иначе: это величина, числовое значение которой показывает, сколько раз единичный куб и его части вмещаются в данный многогранник.
Объем имеет те же свойства, что и площадь:
1. Объемы равных фигур равны.
2. Если многогранник составлен из нескольких непересекающихся многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.
3. Объем – величина неотрицательная.
4. Объем измеряется в см\(^3\) (кубические сантиметры), м\(^3\) (кубические метры) и т.д.
Теорема
1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Площадь боковой поверхности - сумма площадей боковых граней призмы.
2. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы: \
Определение: параллелепипед
Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Все грани параллелепипеда (их \(6\) : \(4\) боковые грани и \(2\) основания) представляют собой параллелограммы, причем противоположные грани (параллельные друг другу) представляют собой равные параллелограммы (рис. 2).
Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани (их \(8\) : \(AC_1, \ A_1C, \ BD_1, \ B_1D\) и т.д.).
Прямоугольный параллелепипед
- это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Т.к. это прямой параллелепипед, то боковые грани представляют собой прямоугольники. Значит, вообще все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны (это следует из равенства треугольников \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) и т.д.).
Замечание
Таким образом, параллелепипед обладает всеми свойствами призмы.
Теорема
Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна \
Теорема
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его ребер, выходящих из одной вершины (три измерения прямоугольного параллелепипеда): \
Доказательство
Т.к. у прямоугольного параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами, то есть \(h=AA_1=c\) Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(S_{\text{осн}}=AB\cdot AD=ab\) . Отсюда и следует данная формула.
Теорема
Диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (где \(a,b,c\) - измерения параллелепипеда) \
Доказательство
Рассмотрим рис. 3. Т.к. в основании лежит прямоугольник, то \(\triangle ABD\) – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Т.к. все боковые ребра перпендикулярны основаниям, то \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, т.е. \(BB_1\perp BD\) . Значит, \(\triangle BB_1D\) – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\) , чтд.
Определение: куб
Куб - это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.
Таким образом, три измерения равны между собой: \(a=b=c\) . Значит, верны следующие
Теоремы
1. Объем куба с ребром \(a\) равен \(V_{\text{куба}}=a^3\) .
2. Диагональ куба ищется по формуле \(d=a\sqrt3\) .
3. Площадь полной поверхности куба \(S_{\text{полн.пов-ти куба}}=6a^2\) .
Цели урока:
1. Образовательные:
Ввести понятие параллелепипеда и его видов;
- сформулировать (используя аналогию с параллелограммом и прямоугольником) и доказать свойства параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда;
- повторить вопросы, связанные с параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.
2. Развивающие:
Продолжить развитие у учащихся таких познавательных процессов, как восприятие, осмысление, мышление, внимание, память;
- способствовать развитию у учащихся элементов творческой деятельности как качеств мышления (интуиция, пространственное мышление);
- формировать у учащихся умение делать выводы, в том числе – по аналогии, что помогает осознать внутрипредметные связи в геометрии.
3. Воспитательные:
Способствовать воспитанию организованности, привычки к систематическому труду;
- способствовать формированию эстетических навыков при оформлении записей, выполнения чертежей.
Тип урока: урок-изучение нового материала (2 часа).
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
Оборудование: плакаты (слайды) с доказательствами, модели различных геометрических тел, в том числе – все виды параллелепипедов, графопроектор.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
Сообщение темы урока, формулировка вместе с учащимися цели и задач, показ практической значимости изучения темы, повторение ранее изученных вопросов, связанных с данной темой.
3. Изучение нового материала.
3.1. Параллелепипед и его виды.
Демонстрируются модели параллелепипедов с выявлением их особенностей, помогающих сформулировать определение параллелепипеда, используя понятие призмы.
Определение:
Параллелепипедом называется призма, основанием которой является параллелограмм.
Выполняется чертёж параллелепипеда (рисунок 1), перечисляются элементы параллелепипеда как частного случая призмы. Демонстрируется слайд 1.
Схематическая запись определения:
Формулируются выводы из определения:
1) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм, то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед .
2) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм.
3) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не
призма или ABCD – не параллелограмм, то
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед
.
4) . Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма или ABCD – не параллелограмм.
Далее рассматриваются частные случаи параллелепипеда с построением схемы классификации (см. рис.3), демонстрируются модели и выделяются характеристические свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, формулируются их определения.
Определение:
Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию.
Определение:
Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основанием является прямоугольник (см. рисунок 2).
После записи определений в схематичном виде формулируются выводы из них.
3.2. Свойства параллелепипедов.
Поиск планиметрических фигур, пространственными аналогами которых являются параллелепипед и прямоугольный параллелепипед (параллелограмм и прямоугольник). В данном случае имеем дело с визуальным сходством фигур. Используя правило вывода по аналогии, заполняются таблицы.
Правило вывода по аналогии:
1. Выбрать среди ранее изученных фигур фигуру, аналогичную данной.
2. Сформулировать свойство выбранной фигуры.
3. Сформулировать аналогичное свойство исходной фигуры.
4. Доказать или опровергнуть сформулированное утверждение.
После формулировки свойств проводится доказательство каждого из них по следующей схеме:
3.3 Куб и его свойства.
Определение: Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.
По аналогии с параллелепипедом учащиеся самостоятельно делают схематическую запись определения, выводят следствия из него и формулируют свойства куба.
4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
Домашнее задание:
Контрольные вопросы.
1. Известно, что только две боковые грани параллелепипеда перпендикулярны основанию. Какого вида параллелепипед?
2. Сколько боковых граней прямоугольной формы может иметь параллелепипед?
3. Возможен ли параллелепипед, у которого только одна боковая грань:
1) перпендикулярна основанию;
2) имеет форму прямоугольника.
4. В прямом параллелепипеде все диагонали равны. Является ли он прямоугольным?
5. Верно ли, что в прямом параллелепипеде диагональные сечения перпендикулярны плоскостям основания?
6. Сформулируйте теорему, обратную теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.
7. Какие дополнительные признаки отличают куб от прямоугольного параллелепипеда?
8. Будет ли кубом параллелепипед, в котором равны все рёбра при одной из вершин?
9. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда для случая куба.
В геометрии ключевыми понятиями являются плоскость, точка, прямая и угол. Используя эти термины, можно описать любую геометрическую фигуру. Многогранники обычно описывают через более простые фигуры, которые лежат в одной плоскости, такие как круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. В данной статье мы рассмотрим, что такое параллелепипед, опишем типы параллелепипедов, его свойства, из каких элементов он состоит, а также дадим основные формулы для вычисления площади и объема для каждой разновидности параллелепипеда.
Параллелепипед в трехмерном пространстве - это призма, все стороны которой являются параллелограммами. Соответственно, она может иметь только три пары параллельных параллелограммов или шесть граней.
Чтобы визуализировать параллелепипед, представьте себе обычный стандартный кирпич. Кирпич - хороший пример прямоугольного параллелепипеда, который может представить себе даже ребенок. Другими примерами могут послужить многоэтажные панельные дома, шкафы, контейнеры для хранения пищевых продуктов соответствующей формы и т.д.
Существует всего две разновидности параллелепипедов:
Формулы для каждого частного случая параллелепипеда будут свои.
Для произвольного параллелепипеда верно утверждение, что его объем равен абсолютной величине тройного скалярного произведения векторов трех сторон, исходящих из одной вершины. Однако формулы для вычисления объема произвольного параллелепипеда не существует.
Для прямоугольного параллелепипеда действуют следующие формулы:
Еще одним частным случаем параллелепипеда, в котором все стороны - квадраты, является куб. Если любую из сторон квадрата обозначить буквой a, то для площади поверхности и объема данной фигуры можно будет использовать следующие формулы:
Последняя рассматриваемая нами разновидность параллелепипеда - прямой параллелепипед. В чем разница между прямым параллелепипедом и прямоугольным параллелепипедом, спросите вы. Дело в том, что основанием прямоугольного параллелепипеда может быть любой параллелограмм, а основанием прямого - только прямоугольник. Если обозначить периметр основания, равный сумме длин всех сторон, как Po, а высоту обозначить буквой h, мы имеем право воспользоваться следующими формулами для вычисления объема и площадей полной и боковой поверхностей.
