Конспект урока алгебры и начала анализав 10 классе
по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций»
Цель урока: систематизировать знания по теме «Свойства и графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x )».
Задачи урока:
Оборудование урока:икт
Тип урока: изучение нового
Ход урока
Перед уроком 2 ученика на доске строят графики из домашнего задания.
Организационный момент:
Здравствуйте, ребята!
Сегодня на уроке мы будем преобразовывать графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x ).
Устная работа:
Проверка домашнего задания.
разгадывание ребусов.
Изучение нового материала
Все преобразования графиков функций являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.
Преобразование графиков функций.
Дана функция у = f (x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия.
Функция
Что делать с графиком
y = f(x) + a
Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх.
y = f(x) – a
Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз.
y = f(x + a)
Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево.
y = f (x – a)
Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо.
y = a*f (x),a>1
Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз.
График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте.
y = a*f(x), a<1
Закрепляем нули, верхние точки опустятся вниз в а раз, нижние – поднимутся в а раз. График «сожмётся» к оси абсцисс.
y = -f (x )
Зеркально отобразить первый график относительно оси абсцисс.
y = f (ax ), a <1
Закрепить точку на оси ординат. Каждый отрезок на оси абсцисс увеличить в а раз. График растянется от оси ординат в разные стороны.
y = f (ax ), a >1
Закрепить точку на оси ординат, каждый отрезок на оси абсцисс уменьшить в а раз. График «сожмётся» к оси ординат с обеих сторон.
у = | f(x)|
Части графика, расположенные под осью абсцисс зеркально отобразить. Весь график будет расположен в верхней полуплоскости.
Схемы решения.
1)y = sin x + 2.
Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже).
2)y = cos x – 3.
Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы.
3)y = cos (x - /2)
Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо.
4)у = 2 sin x .
Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Построение графиков тригонометрических функций с помощью программы Advanced Grapher.
Построим график функции у = -cos 3x + 2.
y = 0,5 sin x.
y = 0,2cos x-2
у = 5cos 0,5 x
y= -3sin(x+π).
2) Найди ошибку и исправь её.
V. Исторический материал. Сообщение об Эйлере.
Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.
Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?
К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.
На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.
VI. Повторение
Самостоятельная работа “Допиши формулу”.
VII. Итоги урока:
1) Что нового вы узнали сегодня на уроке?
2) Что еще вы хотите узнать?
3) Выставление оценок.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Преобразование графиков функции является одним из основных математических понятий, непосредственно связанные с практической деятельностью. Преобразование графиков функций впервые встречается в алгебре 9 класса при изучении темы «Квадратичная функция». Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами. Так же многие математические понятия рассматриваются графическими методами, например в 10 - 11 классах исследование функции дает возможность найти область определения и область значения функции, области убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и др. Так же этот немаловажный вопрос выносится на ГИА. Отсюда следует, построение, и преобразование графиков функции является одной из главных задач обучения математике в школе.
Однако для построения графиков многих функций можно использовать ряд методов, облегчающих построение. Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.
Объектом исследования является изучение преобразование графиков в школьной математике.
Предмет исследования - процесс построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе.
Проблемный вопрос : можно ли построить график не знакомой функции, имея навык преобразования графиков элементарных функций?
Цель: построение графиков функции в незнакомой ситуации.
Задачи:
1. Проанализировать учебный материал по исследуемой проблеме. 2. Выявить схемы преобразования графиков функции в школьном курсе математики. 3. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции. 4.Уметь применять данную теории в решении задач.
Необходимые начальные знания, умения, навыки:
Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
Строить графики изученных функций;
Описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
Описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.
Основная часть
Теоретическая часть
В качестве исходного графика функции y = f(x) выберу квадратичную функциюy = x 2 . Рассмотрю случаи преобразования данного графика, связанные с изменениями формулы, задающей эту функцию и сделаю выводы для любой функции.
1. Функция y = f(x) + a
В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OY:
вверх, если a > 0; вниз, если a < 0.
ВЫВОД
Таким образом график функции y=f(x)+a, получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на a единиц вверх, если a > 0, и на a единиц вниз, если a < 0.
2. Функция y = f(x-a),
В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на число a, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к параллельному переносу графика функции вдоль оси OX: вправо, если a < 0, влево, если a >0.
ВЫВОД
Значит график функции y= f(x - a), получается из графика функции y=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на a единиц влево, если a > 0, и на a единиц вправо, если a < 0.
3. Функция y = k f(x), где k > 0 и k ≠ 1
В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением функции. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1, 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OY в раз, если 0 < k < 1.
ВЫВОД
Следовательно: чтобы построить график функции y = kf(x), где k > 0 и k ≠ 1 нужно ординаты точек заданного графика функции y = f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОY в k раз, если k > 1; сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OY в раз, если 0 < k < 1.
4. Функция y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1
В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются в k раз, по сравнению со «старым» значением аргумента. Это приводит к: 1) «растяжению» от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 < k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
ВЫВОД
И так: чтобы построить график функции y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1 нужно абсциссы точек заданного графика функции y=f(x) умножить на k. Такое преобразование называется растяжением от точки (0; 0) вдоль оси ОX в 1/k раз, если 0 < k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
5. Функция y = - f (x).
В данной формуле значения функции (ординаты точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси Ох.
ВЫВОД
Для построения графика функции y = - f (x) необходимо график функции y= f(x)
симметрично отразить относительно оси OX. Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси OX .
6. Функция y = f (-x).
В данной формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) изменяются на противоположные. Это изменение приводит к симметричному отображению исходного графика функции относительно оси ОY.
Пример для функции у = - х² это преобразование не заметно, т. к. данная функция чётная и график после преобразования не меняется. Это преобразование видно, когда функция нечётная и когда ни чётная и ни нечётная.
7. Функция y = |f(x)|.
В новой формуле значения функции (ординаты точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными ординатами (т.е. находящихся в нижней полуплоскости относительно оси Ох) и симметричному отображению этих частей относительно оси Ох.
8. Функция y= f (|x|).
В новой формуле значения аргумента (абсциссы точек графика) находятся под знаком модуля. Это приводит к исчезновению частей графика исходной функции с отрицательными абсциссами (т.е. находящихся в левой полуплоскости относительно оси ОY) и замещению их частями исходного графика, симметричными относительно оси ОY.
Практическая часть
Рассмотрим несколько примеров применения вышеизложенной теории.
ПРИМЕР 1.
Решение. Преобразуем данную формулу:
1) Построим график функции
ПРИМЕР 2.
Построить график функции, заданной формулой
Решение. Преобразуем данную формулу, выделив в данном квадратном трехчлене квадрат двучлена:
1) Построим график функции
2) Выполним параллельный перенос построенного графика на вектор
ПРИМЕР 3.
ЗАДАНИЕ ИЗ ЕГЭПостроение графика кусочной функции
График функции График функции y=|2(x-3)2-2|; 1
