Začněme studovat nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel. V části uvedeme definici pojmu, uvážíme větu, která zakládá vztah mezi nejmenším společným násobkem a největším společným dělitelem, a uvedeme příklady řešení problémů.
V tomto tématu nás budou zajímat pouze společné násobky celých čísel jiných než nula.
Definice 1
Společný násobek celých čísel je celé číslo, které je násobkem všech daných čísel. Ve skutečnosti je to jakékoli celé číslo, které lze dělit kterýmkoli z daných čísel.
Definice společných násobků se týká dvou, tří nebo více celých čísel.
Příklad 1
Podle výše uvedené definice pro číslo 12 jsou společné násobky 3 a 2. Také číslo 12 bude společným násobkem čísel 2 , 3 a 4 . Čísla 12 a -12 jsou společné násobky čísel ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Společným násobkem čísel 2 a 3 přitom budou čísla 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 a řada libovolných dalších.
Pokud vezmeme čísla, která jsou dělitelná prvním číslem páru a nedělitelná druhým, pak taková čísla nebudou společnými násobky. Takže pro čísla 2 a 3 nebudou čísla 16 , − 27 , 5009 , 27001 společnými násobky.
0 je společný násobek libovolné sady nenulových celých čísel.
Připomeneme-li si vlastnost dělitelnosti vzhledem k opačným číslům, pak se ukáže, že nějaké celé číslo k bude společným násobkem těchto čísel stejně jako číslo - k. To znamená, že společné dělitele mohou být kladné nebo záporné.
Společný násobek lze nalézt pro jakákoli celá čísla.
Příklad 2
Předpokládejme, že je nám dáno k celá čísla a 1, a 2, …, a k. Číslo, které dostaneme při násobení čísel a 1 a 2 … a k podle vlastnosti dělitelnosti se bude dělit každým z faktorů, které byly zahrnuty v původním produktu. To znamená, že součin čísel a 1, a 2, …, a k je nejmenší společný násobek těchto čísel.
Skupina celých čísel může mít velký počet společných násobků. Ve skutečnosti je jejich počet nekonečný.
Příklad 3
Předpokládejme, že máme nějaké číslo k . Pak součin čísel k · z , kde z je celé číslo, bude společným násobkem čísel k a z . Vzhledem k tomu, že počet čísel je nekonečný, pak je počet společných násobků nekonečný.
Připomeňme si pojem nejmenšího čísla z dané množiny čísel, který jsme zvažovali v části Porovnání celých čísel. S ohledem na tento koncept formulujeme definici nejmenšího společného násobku, který má ze všech společných násobků největší praktický význam.
Definice 2
Nejmenší společný násobek daných celých čísel je nejmenší kladný společný násobek těchto čísel.
Nejmenší společný násobek existuje pro libovolný počet daných čísel. K označení pojmu v referenční literatuře se nejčastěji používá zkratka NOK. Zkratka pro nejmenší společný násobek pro čísla a 1, a 2, …, a k bude vypadat jako LCM (a 1, a 2, …, a k).
Příklad 4
Nejmenší společný násobek 6 a 7 je 42. Tito. LCM(6,7) = 42. Nejmenší společný násobek čtyř čísel - 2, 12, 15 a 3 bude roven 60. Těsnopis bude LCM (-2, 12, 15, 3) = 60.
Ne pro všechny skupiny daných čísel je zřejmý nejmenší společný násobek. Často se to musí počítat.
Nejmenší společný násobek a největší společný dělitel spolu souvisí. Vztah mezi pojmy je stanoven teorémem.
Věta 1
Nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel aab se rovná součinu čísel aab děleno největším společným dělitelem čísel aab , tedy LCM (a , b) = a b: GCD (a , b).
Důkaz 1
Předpokládejme, že máme nějaké číslo M, které je násobkem čísel a a b . Je-li číslo M dělitelné a , existuje také nějaké celé číslo z , pod kterým je rovnost M = k. Podle definice dělitelnosti, jestliže M je také dělitelné b, tak tedy a k děleno b.
Pokud zavedeme nový zápis pro gcd (a , b) as d, pak můžeme použít rovnosti a = a 1 d a b = b 1 · d. V tomto případě budou obě rovnosti koprimými čísly.
To jsme již stanovili výše a k děleno b. Nyní lze tuto podmínku zapsat následovně:
a 1 d k děleno b 1 d, což je ekvivalent podmínky 1 k děleno b 1 podle vlastností dělitelnosti.
Podle vlastnosti relativně prvočísel, pokud 1 a b 1 jsou vzájemně prvočísla, 1 nedělitelný b 1 Navzdory tomu, že 1 k děleno b 1, pak b 1 by měl sdílet k.
V tomto případě by bylo vhodné předpokládat, že existuje číslo t, pro který k = b 1 t, a od té doby b1=b:d, pak k = b: d t.
Nyní místo toho k dát do rovnosti M = k vyjádření formy b: d t. To nám umožňuje dosáhnout rovnosti M = a b: d t. V t = 1 můžeme získat nejmenší kladný společný násobek a a b , rovnat se a b: d za předpokladu, že čísla a a b pozitivní.
Takže jsme dokázali, že LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).
Navázání spojení mezi LCM a GCD vám umožní najít nejmenší společný násobek prostřednictvím největšího společného dělitele dvou nebo více daných čísel.
Definice 3
Věta má dva důležité důsledky:
Tyto dvě skutečnosti není těžké doložit. Jakýkoli společný násobek M čísel aab je definován rovností M = LCM (a, b) t pro nějakou celočíselnou hodnotu t. Protože a a b jsou koprimá, pak gcd (a, b) = 1, tedy LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = ab.
Abyste našli nejmenší společný násobek několika čísel, musíte postupně najít LCM dvou čísel.
Věta 2
Předstírejme to a 1, a 2, …, a k jsou nějaká kladná celá čísla. Pro výpočet LCM m k tato čísla musíme postupně spočítat m2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2, a 3), …, m k = NOC(mk-1, ak).
Důkaz 2
První důsledek první věty uvažované v tomto tématu nám pomůže dokázat správnost druhé věty. Uvažování je sestaveno podle následujícího algoritmu:
Takže jsme dokázali větu.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Téma "Více čísel" se studuje v 5. ročníku SOU. Jeho cílem je zlepšit písemné a ústní dovednosti matematických výpočtů. V této lekci jsou představeny nové pojmy - "násobná čísla" a "dělitelé", propracovaná technika hledání dělitelů a násobků přirozeného čísla, schopnost najít LCM různými způsoby.
Toto téma je velmi důležité. Poznatky na něm lze uplatnit při řešení příkladů se zlomky. Chcete-li to provést, musíte najít společného jmenovatele výpočtem nejmenšího společného násobku (LCM).
Násobek A je celé číslo, které je dělitelné A beze zbytku.
Každé přirozené číslo má nekonečný počet jeho násobků. Je považován za nejmenší. Násobek nemůže být menší než samotné číslo.
Je nutné dokázat, že číslo 125 je násobkem čísla 5. K tomu je potřeba vydělit první číslo druhým. Pokud je 125 dělitelné 5 beze zbytku, pak je odpověď ano.
Tato metoda je použitelná pro malá čísla.
Při výpočtu LCM existují zvláštní případy.
1. Pokud potřebujete najít společný násobek pro 2 čísla (například 80 a 20), kde jedno z nich (80) je dělitelné beze zbytku druhým (20), pak je toto číslo (80) nejmenší násobek těchto dvou čísel.
LCM (80, 20) = 80.
2. Pokud dvě nemají společného dělitele, pak můžeme říci, že jejich LCM je součinem těchto dvou čísel.
LCM (6, 7) = 42.
Zvažte poslední příklad. 6 a 7 ve vztahu k 42 jsou dělitelé. Dělí násobek beze zbytku.
V tomto příkladu jsou 6 a 7 párové dělitele. Jejich součin se rovná největšímu násobku (42).
Číslo se nazývá prvočíslo, pokud je dělitelné pouze samo sebou nebo 1 (3:1=3; 3:3=1). Zbytek se nazývá kompozitní.
V dalším příkladu musíte určit, zda je 9 dělitel vzhledem k 42.
42:9=4 (zbytek 6)
Odpověď: 9 není dělitel 42, protože odpověď má zbytek.
Dělitel se liší od násobku tím, že dělitel je číslo, kterým se dělí přirozená čísla, a násobek je sám dělitelný tímto číslem.
Největší společný dělitel čísel A a b, vynásobený jejich nejmenším násobkem, dá součin samotných čísel A a b.
Konkrétně: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.
Společné násobky pro složitější čísla lze nalézt následujícím způsobem.
Najděte například LCM pro 168, 180, 3024.
Tato čísla rozložíme na prvočinitele, zapíšeme je jako součin mocnin:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM (168, 180, 3024) = 15120.
Ale mnoho přirozených čísel je rovnoměrně dělitelných jinými přirozenými čísly.
Například:
Číslo 12 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
Číslo 36 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Čísla, kterými je číslo dělitelné (pro 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), se nazývají číselné dělitele. Dělitel přirozeného čísla A je přirozené číslo, které dělí dané číslo A beze stopy. Přirozené číslo, které má více než dva činitele, se nazývá kompozitní .
Všimněte si, že čísla 12 a 36 mají společné dělitele. Jsou to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Největší dělitel těchto čísel je 12. Společný dělitel těchto dvou čísel A a b je číslo, kterým jsou obě daná čísla dělitelná beze zbytku A a b.
společný násobek několik čísel se nazývá číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Například, čísla 9, 18 a 45 mají společný násobek 180. Ale 90 a 360 jsou také jejich společné násobky. Mezi všemi jcommon násobky je vždy ten nejmenší, v tomto případě je to 90. Toto číslo se nazývá nejméněspolečný násobek (LCM).
LCM je vždy přirozené číslo, které musí být větší než největší z čísel, pro které je definováno.
Komutativnost:
Asociativita:
Konkrétně, pokud a jsou druhá čísla , pak:
Nejmenší společný násobek dvou celých čísel m a n je dělitelem všech ostatních společných násobků m a n. Navíc množina společných násobků m,n se shoduje se sadou násobků pro LCM( m,n).
Asymptotiku for lze vyjádřit pomocí některých číselně teoretických funkcí.
Tak, Čebyševova funkce. Stejně jako:
Vyplývá to z definice a vlastností Landauovy funkce g(n).
Co vyplývá ze zákona rozdělení prvočísel.
NOC( a, b) lze vypočítat několika způsoby:
1. Pokud je znám největší společný dělitel, můžete použít jeho vztah s LCM:
2. Nechť je znám kanonický rozklad obou čísel na prvočinitele:
kde p 1,...,p k jsou různá prvočísla a d 1,..., d k a e 1 ,...,ek jsou nezáporná celá čísla (mohou být nulové, pokud odpovídající prvočíslo není v rozkladu).
Poté LCM ( A,b) se vypočítá podle vzorce:
Jinými slovy, rozšíření LCM obsahuje všechny prvočísla, které jsou zahrnuty alespoň v jednom z rozšíření čísel a, b a vezme se největší ze dvou exponentů tohoto faktoru.
Příklad:
Výpočet nejmenšího společného násobku několika čísel lze zredukovat na několik po sobě jdoucích výpočtů LCM dvou čísel:
Pravidlo. Chcete-li najít LCM řady čísel, potřebujete:
- rozložit čísla na prvočinitele;
- přenést největší rozšíření na činitele požadovaného součinu (součin činitelů největšího počtu z daných), a poté přidat činitele z rozšíření dalších čísel, které se v prvním čísle nevyskytují nebo v něm jsou menší počet opakování;
- výsledným součinem prvočinitelů bude LCM daných čísel.
Jakákoli dvě nebo více přirozených čísel mají svůj vlastní LCM. Pokud čísla nejsou navzájem násobky nebo nemají stejné faktory v expanzi, pak se jejich LCM rovná součinu těchto čísel.
Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) byly doplněny činitelem 3 (číslo 21), výsledný součin (84) bude nejmenší číslo, které je dělitelné 21 a 28.
Prvočísla největšího čísla 30 byly doplněny o faktor 5 čísla 25, výsledný součin 150 je větší než největší číslo 30 a je dělitelný všemi danými čísly beze zbytku. Toto je nejmenší možný součin (150, 250, 300...), jehož jsou všechna uvedená čísla násobky.
Čísla 2,3,11,37 jsou prvočísla, takže jejich LCM se rovná součinu daných čísel.
pravidlo. Chcete-li vypočítat LCM prvočísel, musíte všechna tato čísla vynásobit dohromady.
Jinou možnost:
K nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel potřebujete:
1) reprezentovat každé číslo jako součin jeho prvočinitelů, například:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) zapište mocniny všech prvočinitelů:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,
3) zapište všechny prvočíselné dělitele (násobiče) každého z těchto čísel;
4) zvolte největší stupeň každého z nich, který se nachází ve všech rozšířeních těchto čísel;
5) vynásobte tyto síly.
Příklad. Najděte LCM čísel: 168, 180 a 3024.
Řešení. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
Vypíšeme největší mocniny všech prvočíselných dělitelů a vynásobíme je:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Nejmenší společný násobek dvou celých čísel je nejmenší ze všech celých čísel, který je dělitelný rovnoměrně a beze zbytku oběma danými čísly.
Metoda 1. LCM můžete najít pro každé z daných čísel tak, že vzestupně zapíšete všechna čísla, která získáte vynásobením 1, 2, 3, 4 atd.
Příklad pro čísla 6 a 9.
Číslo 6 vynásobíme postupně 1, 2, 3, 4, 5.
Dostáváme: 6, 12, 18
, 24, 30
Číslo 9 vynásobíme postupně 1, 2, 3, 4, 5.
Dostáváme: 9, 18
, 27, 36, 45
Jak můžete vidět, LCM pro čísla 6 a 9 bude 18.
Tato metoda je vhodná, když jsou obě čísla malá a je snadné je vynásobit posloupností celých čísel. Existují však případy, kdy potřebujete najít LCM pro dvouciferná nebo tříciferná čísla, a také když existují tři nebo dokonce více počátečních čísel.
Metoda 2. LCM můžete najít rozkladem původních čísel na prvočinitele.
Po rozkladu je nutné z výsledné řady prvočinitelů vyškrtnout stejná čísla. Zbývající čísla prvního čísla budou faktorem pro druhé a zbývající čísla druhého čísla budou faktorem pro první.
Příklad pro číslo 75 a 60.
Nejmenší společný násobek čísel 75 a 60 lze najít bez vypisování násobků těchto čísel za sebou. Za tímto účelem rozložíme 75 a 60 na prvočinitele:
75 = 3
* 5
* 5 a
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Jak vidíte, faktory 3 a 5 se vyskytují v obou řádcích. Mentálně je „odškrtáváme“.
Zapišme si zbývající faktory zahrnuté v expanzi každého z těchto čísel. Při rozkladu čísla 75 jsme nechali číslo 5 a při rozkladu čísla 60 jsme nechali 2 * 2
Abychom tedy určili LCM pro čísla 75 a 60, musíme vynásobit zbývající čísla z rozšíření 75 (toto je 5) 60 a čísla zbývající z rozšíření čísla 60 (toto je 2 * 2 ) násobíme 75. To znamená, že pro snazší pochopení říkáme, že násobíme „křížově“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Takto jsme našli LCM pro čísla 60 a 75. Toto je číslo 300.
Příklad. Určete LCM pro čísla 12, 16, 24
V tomto případě bude naše jednání poněkud složitější. Nejprve ale jako vždy rozložíme všechna čísla na prvočinitele
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Abychom správně určili LCM, vybereme nejmenší ze všech čísel (to je číslo 12) a postupně procházíme jeho faktory a škrtáme je, pokud alespoň jedna z dalších řad čísel má stejný násobitel, který ještě nebyl přeškrtnut ven.
Krok 1 . Vidíme, že 2 * 2 se vyskytuje ve všech řadách čísel. Přeškrtneme je.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Krok 2. V prvočinitelích čísla 12 zůstane pouze číslo 3. Ale je přítomno v prvočinitelích čísla 24. Z obou řádků škrtneme číslo 3, přičemž u čísla 16 se neočekává žádná akce .
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Jak vidíte, při rozkladu čísla 12 jsme všechna čísla „odškrtali“. Takže nález NOC je dokončen. Zbývá pouze vypočítat jeho hodnotu.
Pro číslo 12 vezmeme zbývající faktory z čísla 16 (nejbližší ve vzestupném pořadí)
12 * 2 * 2 = 48
Toto je NOC
Jak vidíte, v tomto případě bylo nalezení LCM poněkud obtížnější, ale když jej potřebujete najít pro tři nebo více čísel, tato metoda vám to umožní rychleji. Oba způsoby nalezení LCM jsou však správné.
Zvažte tři způsoby, jak najít nejmenší společný násobek.
Prvním způsobem je najít nejmenší společný násobek rozkladem daných čísel na prvočinitele.
Předpokládejme, že potřebujeme najít LCM čísel: 99, 30 a 28. Abychom to udělali, rozložíme každé z těchto čísel na prvočinitele:
Aby bylo požadované číslo dělitelné 99, 30 a 28, je nutné a postačující, aby zahrnovalo všechny prvočinitele těchto dělitelů. Abychom to udělali, musíme vzít všechny prvočísla těchto čísel na nejvyšší vyskytující se mocninu a vynásobit je dohromady:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Takže LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žádné jiné číslo menší než 13 860 není rovnoměrně dělitelné 99, 30 nebo 28.
Chcete-li najít nejmenší společný násobek daných čísel, musíte je rozdělit na prvočinitele, pak vzít každý prvočinitel s největším exponentem, který se vyskytuje, a tyto faktory vynásobit dohromady.
Protože prvočísla nemají žádné společné prvočísla, jejich nejmenší společný násobek se rovná součinu těchto čísel. Například tři čísla: 20, 49 a 33 jsou koprimá. Proto
LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.
Totéž by mělo být provedeno při hledání nejmenšího společného násobku různých prvočísel. Například LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Druhým způsobem je najít nejmenší společný násobek proložením.
Příklad 1. Když je největší z daných čísel dělitelné jinými danými čísly, pak se LCM těchto čísel rovná většímu z nich. Například zadaná čtyři čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je dělitelné 60, proto:
NOC(60; 30; 10; 6) = 60
V ostatních případech se k nalezení nejmenšího společného násobku používá následující postup:
Příklad 2. Jsou dána tři čísla 24, 3 a 18. Určete největší z nich – toto je číslo 24. Dále najděte čísla, která jsou násobky 24, a zkontrolujte, zda je každé z nich dělitelné 18 a 3:
24 1 = 24 je dělitelné 3, ale není dělitelné 18.
24 2 = 48 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.
24 3 \u003d 72 - dělitelné 3 a 18.
Takže LCM(24; 3; 18) = 72.
Třetím způsobem je nalezení nejmenšího společného násobku postupným hledáním LCM.
LCM dvou daných čísel se rovná součinu těchto čísel dělenému jejich největším společným dělitelem.
Příklad 1. Najděte LCM dvou daných čísel: 12 a 8. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tato čísla:
Produkt rozdělujeme do jejich GCD:
Takže LCM(12; 8) = 24.
Chcete-li najít LCM tří nebo více čísel, použijte následující postup:
Příklad 2. Najděte LCM tří daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 jsme již našli v předchozím příkladu (toto je číslo 24). Zbývá najít nejmenší společný násobek 24 a třetí dané číslo - 9. Určete jejich největšího společného dělitele: gcd (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslem 9:
Produkt rozdělujeme do jejich GCD:
Takže LCM(12; 8; 9) = 72.
