Egyenletes lineáris mozgás- Ezt speciális eset Nem egyenletes mozgás.
Egyenetlen mozgás- ez egy olyan mozgás, amelyben egy test (anyagi pont) egyenlőtlen időn keresztül egyenlőtlen mozgásokat végez. Például egy városi busz egyenetlenül mozog, mivel mozgása főként gyorsításból és lassításból áll.
Egyformán váltakozó mozgás- ez egy olyan mozgás, amelyben egy test (anyagi pont) sebessége bármely egyenlő időtartam alatt egyenlő mértékben változik.
Egy test gyorsulása egyenletes mozgás közben nagysága és iránya állandó marad (a = const).
Az egyenletes mozgás egyenletesen gyorsítható vagy egyenletesen lassítható.
Egyenletesen gyorsított mozgás- ez egy test (anyagi pont) mozgása pozitív gyorsulással, vagyis ilyen mozgással a test állandó gyorsulással gyorsul. Egyenletesen gyorsított mozgás esetén a test sebességének modulusa idővel növekszik, és a gyorsulás iránya egybeesik a mozgási sebesség irányával.
Egyenlő lassítás- ez egy test (anyagi pont) mozgása negatív gyorsulással, vagyis ilyen mozgással a test egyenletesen lelassul. Egyenletesen lassított mozgásnál a sebesség- és gyorsulásvektorok ellentétesek, és a sebességmodulus idővel csökken.
A mechanikában minden egyenes vonalú mozgás felgyorsult, ezért a lassított mozgás csak a gyorsulásvektornak a koordinátarendszer kiválasztott tengelyére való vetületének előjelében tér el a gyorsított mozgástól.
Változó átlagos sebességúgy határozzuk meg, hogy a test mozgását elosztjuk azzal az idővel, amely alatt ez a mozgás megtörtént. Az átlagsebesség mértékegysége m/s.
V cp = s/t
– ez a test (anyagi pont) sebessége egy adott időpillanatban vagy a pálya adott pontjában, vagyis az a határ, amelyre hajlik átlagsebesség a Δt időtartam végtelen csökkenésével:
Pillanatnyi sebességvektor Az egyenletesen váltakozó mozgás az eltolásvektor időbeli első deriváltjaként található:
Sebességvektor vetítés az OX tengelyen:
V x = x’
ez a koordináta deriváltja az idő függvényében (hasonlóan megkapjuk a sebességvektor vetületeit más koordinátatengelyekre).
egy olyan mennyiség, amely meghatározza egy test sebességének változási sebességét, vagyis azt a határt, amelyre a sebességváltozás a Δt időtartamban végtelen csökkenéssel hajlik:
Egyenletesen váltakozó mozgás gyorsulási vektora megtalálható a sebességvektor időbeli első deriváltjaként vagy az eltolási vektor időbeli második deriváltjaként:
Ha egy test egyenes vonalúan mozog egy egyenes derékszögű koordinátarendszer OX tengelye mentén, amely egybeesik a test pályájával, akkor a sebességvektor erre a tengelyre való vetületét a következő képlet határozza meg:
V x = v 0x ± a x t
A gyorsulásvektor vetülete előtti „-” (mínusz) jel az egyenletesen lassított mozgásra utal. Hasonlóképpen írjuk fel a sebességvektor más koordinátatengelyekre vetítésének egyenleteit.
Mivel egyenletes mozgásnál a gyorsulás állandó (a = const), a gyorsulási grafikon a 0t tengellyel párhuzamos egyenes (időtengely, 1.15. ábra).
Rizs. 1.15. A test gyorsulásának időfüggősége.
A sebesség időfüggősége egy lineáris függvény, melynek grafikonja egy egyenes (1.16. ábra).
Rizs. 1.16. A testsebesség időfüggősége.
Sebesség-idő grafikon(1.16. ábra) azt mutatja
Ebben az esetben az elmozdulás számszerűen megegyezik a 0abc ábra területével (1.16. ábra).
A trapéz területe egyenlő az alapjai hossza és a magassága összegének felével. A 0abc trapéz alapjai számszerűen egyenlőek:
0a = v 0 bc = v
A trapéz magassága t. Így a trapéz területe, és így az elmozdulás vetülete az OX tengelyre egyenlő:
Egyenletesen lassított mozgás esetén a gyorsulási vetület negatív és az eltolási vetület képletében a gyorsulás elé „–” (mínusz) jel kerül.
Az ábrán látható egy test sebességének grafikonja az idő függvényében különböző gyorsulásoknál. 1.17. Az elmozdulás és az idő grafikonja v0 = 0 esetén az ábrán látható. 1.18.
Rizs. 1.17. A testsebesség függése az időtől különböző jelentések gyorsulás.
Rizs. 1.18. A testmozgás időfüggősége.
A test sebessége egy adott t 1 időpontban egyenlő a grafikon érintője és az időtengely v = tg α dőlésszögének érintőjével, és az elmozdulást a következő képlet határozza meg:
Ha a test mozgási ideje ismeretlen, akkor egy másik elmozdulási képletet is használhat két egyenletrendszer megoldásával:
Ez segít levezetni az elmozdulás vetületének képletét:
Mivel a test koordinátáját bármely időpontban a kezdeti koordináta és az elmozdulási vetület összege határozza meg, így fog kinézni:
Az x(t) koordináta gráfja is parabola (mint az eltolási gráf), de a parabola csúcsa általános eset nem esik egybe az eredettel. Amikor egy x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
GRAFIKA
A mozgás típusának meghatározása ütemterv szerint
1. Az egyenletesen gyorsított mozgás a gyorsulási modulus idő függvényében grafikonjának felel meg, amelyet az ábrán betű jelzi.
1) A
2) B
3) IN
4) G
2. Az ábrák a gyorsulási modulus idő függvényében grafikonjait mutatják különböző típusok mozgások. Melyik gráf felel meg az egyenletes mozgásnak?
1 4
3.
A test egy tengely mentén mozog Ó egyenesen és egyenletesen gyorsult, egy idő alatt 2-szeresére csökkentette a sebességét. A gyorsulás idő függvényében vetítés grafikonjai közül melyik felel meg egy ilyen mozgásnak?
1 4
4. Az ejtőernyős függőlegesen lefelé mozog állandó sebességgel. Melyik gráf - 1, 2, 3 vagy 4 - tükrözi helyesen a koordinátáinak függőségét Y a mozgás idejétől t a föld felszínéhez képest? A légellenállás figyelmen kívül hagyása.
1) 3 4) 4
5. A sebesség-idő vetület (ábra) grafikonjai közül melyik felel meg a függőlegesen felfelé dobott test mozgásának, meghatározott sebességgel (tengely) Y függőlegesen felfelé irányítva)?
13 4) 4
6.
Egy testet függőlegesen felfelé dobnak bizonyos kezdeti sebességgel a föld felszínéről. A test földfelszín feletti magasságának idő függvényében (ábra) melyik grafikonja felel meg ennek a mozgásnak?
12
Mozgási jellemzők meghatározása, összehasonlítása ütemterv szerint
7. A grafikon a test sebessége vetületének időfüggőségét mutatja egyenes vonalú mozgás során. Határozza meg a test gyorsulási vetületét!
1) – 10 m/s2
2) – 8 m/s2
3) 8 m/s2
4) 10 m/s2
8.
Az ábra a testek mozgási sebességének grafikonját mutatja az idő függvényében. Mekkora a test gyorsulása?
1) 1 m/s2
2) 2 m/s2
3) 3 m/s2
4) 18 m/s2
9. A sebesség vetülete az idő függvényében grafikonja szerintsem bemutatottAz ábrán lineárisan határozza meg a gyorsulási modulustmozgatja a testet időpontban t= 2 s.
1) 2 m/s2
2) 3 m/s2
3) 10 m/s2
4)
27 m/s2
10. x = 0, és a B pont a pontban x = 30 km. Mekkora a busz sebessége A-ból B-be?
1) 40 km/h
2) 50 km/h
3) 60 km/h
4) 75 km/h
11.
Az ábra egy busz menetrendet mutat A pontból B pontba és vissza. Az A pont pontban van x = 0, és a B pont a pontban x = 30 km. Mekkora a busz sebessége B-ből A-ba?
1) 40 km/h
2) 50 km/h
3) 60 km/h
4) 75 km/h
12. Egy autó halad egy egyenes utcán. A grafikon az autó sebességének időfüggőségét mutatja. A gyorsító modul maximális az időintervallumban
1) 0 másodperctől 10 másodpercig
2) 10 másodperctől 20 másodpercig
3) 20 másodperctől 30 másodpercig
font-family: " alkalommal új regény>4) 30 mp-től 40 s-ig
13. Négy test mozog egy tengely mentén Ó.Az ábrán a sebességvetületek függésének grafikonjai láthatókυx időről időre t ezeknek a testeknek. Melyik test mozog a legkisebb abszolút gyorsulással?
1) 3 4) 4
14.
Az ábra az útfüggőségi grafikont mutatjaSidőnként kerékpárost.
Határozza meg azt az időtartamot, amikor a kerékpáros 2,5 m/s sebességgel haladt!
1) 5 másodperctől 7 másodpercig
2) 3 másodperctől 5 másodpercig
3) 1 másodperctől 3 másodpercig
4) 0 és 1 másodperc között
15.
Az ábrán egy tengely mentén mozgó test koordinátáinak függésének grafikonja láthatóOX, időről időre. Hasonlítsa össze a sebességeketv1
,
v2
Ésv3
testek az idő pillanataiban t1, t2, t3
1) v1 > v2 = v3
2) v1 > v2 > v3
3) v1 < v2 < v3
4) v 1 = v 2 > v 3
16. Az ábrán a négyzet vetületének grafikonja láthatóa test időbeli növekedése.
A test gyorsulásának vetületét 5-10 s időintervallumban a grafikon mutatja
13 4) 4
17.
Egy anyagi pont egyenes vonalúan mozog gyorsulással, melynek időfüggését az ábra mutatja. A pont kezdeti sebessége 0. A grafikon melyik pontja felel meg az anyagi pont maximális sebességének:
1) 2
2) 3
3) 4
4) 5
Kinematikai függőségek (kinematikai mennyiségek időfüggőségének függvényei) ütemterv szerinti felvázolása
18. ábrán. a test koordinátáinak grafikonját mutatja az idő függvényében. Határozza meg ennek a testnek a mozgásának kinematikai törvényét!
1) x( t) = 2 + 2 t
2) x( t) = – 2 – 2 t
3) x( t) = 2 – 2 t
4) x ( t ) = – 2 + 2 t
19. A test sebességének az idő függvényében ábrázolt grafikonjával határozzuk meg ennek a testnek a sebességének az idő függvényében a függvényét
1) vx= – 30 + 10 t
2) vx = 30 + 10 t
3) v x = 30 – 10 t
4) vx = – 30 + 10 t
Mozgás és útvonal meghatározása menetrend szerint
20. A test sebességének az idő függvényében ábrázolt grafikonjával határozzuk meg, hogy egy egyenesen mozgó test mekkora távolságot tesz meg 3 s alatt.
1) 2 m
2) 4 m
3) 18 m
4) 36 m
21. Egy követ függőlegesen felfelé dobnak. Sebességének függőleges irányra vetítése idővel az ábra grafikonja szerint változik. Mekkora távolságot tett meg a kő az első 3 másodpercben?
1) 30 m
2) 45 m
3) 60 m
4) 90 m
22. Egy követ függőlegesen felfelé dobnak. Sebességének függőleges irányra vetítése idővel a 21. szakaszhoz tartozó ábrán látható grafikon szerint változik. Mekkora utat tesz meg a kő a repülés során?
1) 30 m
2) 45 m
3) 60 m
4) 90 m
23. Egy követ függőlegesen felfelé dobnak. Sebességének függőleges irányra vetítése idővel a 21. szakaszhoz tartozó ábrán látható grafikon szerint változik. Mekkora a kő mozgása az első 3 másodpercben?
1) 0 m
2) 30 m
3) 45 m
4) 60 m
24. Egy követ függőlegesen felfelé dobnak. Sebességének függőleges irányra vetítése idővel a 21. szakaszhoz tartozó ábrán látható grafikon szerint változik. Mekkora a kő elmozdulása a teljes repülés során?
1) 0 m
2) 30 m
3) 60 m
4) 90 m
25. Az ábrán az Ox tengely mentén mozgó test sebességének vetületi grafikonja látható az idő függvényében. Mekkora távolságot tesz meg a test t = 10 s időpontban?
1) 1 m
2) 6 m
3) 7 m
4) 13 m
26. pozíció:relatív; z-index:24">A kocsi nyugalmi helyzetből mozogni kezd a papírcsík mentén. A kocsin egy cseppentő található, amely szabályos időközönként festékfoltokat hagy a szalagon.
Válasszon egy sebesség-idő grafikont, amely helyesen írja le a kocsi mozgását.
1 4
EGYENLETEK
27. A trolibusz mozgását vészfékezéskor a következő egyenlet adja meg: x = 30 + 15t – 2,5 t2, m Mi a trolibusz kezdeti koordinátája?
1) 2,5 m
2) 5 m
3) 15 m
4) 30 m
28. A repülőgép mozgását felszállás közben a következő egyenlet adja meg: x = 100 + 0,85t2, m Mekkora a sík gyorsulása?
1) 0 m/s2
2) 0,85 m/s2
3) 1,7 m/s2
4) 100 m/s2
29. Egy személygépkocsi mozgását a következő egyenlet adja meg: x = 150 + 30t + 0,7t2, m Mekkora az autó kezdeti sebessége?
1) 0,7 m/s
2) 1,4 m/s
3) 30 m/s
4) 150 m/s
30. A mozgó test sebességének időbeli vetületének egyenlete:vx= 2 +3t(m/s). Mi a megfelelő vetületi egyenlet a test elmozdulására?
1) Sx = 2 t + 3 t2 2) Sx = 4 t + 3 t2 3) Sx = t + 6 t2 4) Sx = 2 t + 1,5 t 2
31. A koordináta időtől való függését egy bizonyos test esetében az egyenlet írja le x = 8t – t2. Melyik időpontban egyenlő a test sebessége nullával?
1) 8 s
2) 4 s
3) 3 s
4) 0 s
TÁBLÁZATOK
32. X a test egyenletes mozgása az idő függvényében t:
t, Vel | |||||
X , m |
Milyen sebességgel haladt a test 0 s-tól mo-igidő ment 4 s?
1) 0,5 m/s
2) 1,5 m/s
3) 2 m/s
4) 3 m/s
33. A táblázat a koordináták függését mutatja X testmozgások idővel t:
t, With | ||||
X, m |
Határozza meg a test átlagos sebességét 1 másodperctől 3 másodpercig terjedő időintervallumban.
1) 0 m/s
2) ≈0,33 m/s
3) 0,5 m/s
4) 1 m/s
t, Vel | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x1 m | ||||||
x2, m | ||||||
x3, m | ||||||
x4, m |
Melyik test lehet állandó sebességű, és különbözhet a nullától?
1) 1
35. Négy test mozgott az ökör tengelye mentén. A táblázat megmutatja koordinátáik időfüggőségét.
t, Vel | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x1 m | ||||||
x2, m | ||||||
x3, m | ||||||
x4, m |
Melyik test lehet állandó gyorsulása, és különbözhet a nullától?
Egységes mozgás– ez állandó sebességű mozgás, vagyis amikor a sebesség nem változik (v = const) és nem történik gyorsulás vagy lassulás (a = 0).
Egyenes vonalú mozgás- ez az egyenes vonalú mozgás, vagyis az egyenes vonalú mozgás pályája egyenes.
Egyenletes lineáris mozgás- ez egy olyan mozgás, amelyben egy test egyenlő időközönként egyenlő mozgásokat végez. Például, ha egy bizonyos időintervallumot felosztunk egy másodperces intervallumokra, akkor egyenletes mozgással a test ugyanazt a távolságot fogja megtenni mindegyik időintervallumban.
Az egyenletes egyenes vonalú mozgás sebessége nem függ az időtől, és a pálya minden pontjában ugyanúgy irányul, mint a test mozgása. Azaz az elmozdulásvektor irányában egybeesik a sebességvektorral. Ebben az esetben az átlagos sebesség bármely időtartamra megegyezik a pillanatnyi sebességgel:
Egyenletes egyenes vonalú mozgás sebessége egy fizikai vektormennyiség, amely egyenlő a test bármely időtartam alatti mozgásának a t intervallum értékéhez viszonyított arányával:
Így az egyenletes egyenes vonalú mozgás sebessége megmutatja, hogy egy anyagi pont mekkora mozgást végez egységnyi idő alatt.
Mozgó Az egyenletes lineáris mozgást a következő képlet határozza meg:
Megtett távolság lineáris mozgásban egyenlő az eltolási modullal. Ha az OX tengely pozitív iránya egybeesik a mozgás irányával, akkor a sebesség vetülete az OX tengelyre egyenlő a sebesség nagyságával és pozitív:
v x = v, azaz v > 0
Az elmozdulás vetülete az OX tengelyre egyenlő:
s = vt = x – x 0
ahol x 0 a test kezdeti koordinátája, x a test végső koordinátája (vagy a test bármely időpontjának koordinátája)
A mozgás egyenlete, azaz a test koordinátáinak függése az x = x(t) időtől a következő alakot ölti:
Ha az OX tengely pozitív iránya ellentétes a test mozgási irányával, akkor a test sebességének az OX tengelyre való vetülete negatív, a sebesség kisebb, mint nulla (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
A sebesség, a koordináták és az út időfüggősége
ábra mutatja a testsebesség vetületének időfüggőségét. 1.11. Mivel a sebesség állandó (v = const), a sebességgrafikon az Ot időtengellyel párhuzamos egyenes.
Rizs. 1.11. A testsebesség vetületének időfüggősége az egyenletes egyenes vonalú mozgáshoz.
A mozgás vetülete a koordináta tengelyére számszerűen megegyezik az OABC téglalap területével (1.12. ábra), mivel a mozgásvektor nagysága egyenlő a sebességvektor és a mozgás időtartamának szorzatával. készült.
Rizs. 1.12. A test elmozdulásának vetületének időfüggősége az egyenletes egyenes vonalú mozgáshoz.
Az elmozdulást az idő függvényében ábrázoló grafikont az ábra mutatja. 1.13. A grafikon azt mutatja, hogy a sebesség vetülete egyenlő
v = s 1 / t 1 = tan α
ahol α a grafikonnak az időtengelyhez viszonyított dőlésszöge.
Minél nagyobb az α szög, annál gyorsabban mozog a test, vagyis annál nagyobb a sebessége (annál tovább halad a test rövidebb idő alatt). A koordináta és az idő grafikonjának érintője egyenlő a sebességgel:
Rizs. 1.13. A test elmozdulásának vetületének időfüggősége az egyenletes egyenes vonalú mozgáshoz.
A koordináta időtől való függését a ábra mutatja. 1.14. Az ábrából jól látszik, hogy
tan α 1 > tan α 2
ezért az 1. test sebessége nagyobb, mint a 2. test sebessége (v 1 > v 2).
tan α 3 = v 3< 0
Ha a test nyugalomban van, akkor a koordináta gráf az időtengellyel párhuzamos egyenes, azaz
Rizs. 1.14. A test koordinátáinak időfüggősége az egyenletes egyenes vonalú mozgáshoz.
Szög- és lineáris mennyiségek kapcsolata
A forgó test egyes pontjainak lineáris sebessége eltérő. Az egyes pontok sebessége a megfelelő körhöz érintőlegesen irányítva folyamatosan változtatja irányát. A sebesség nagyságát a test forgási sebessége és a kérdéses pontnak a forgástengelytől mért R távolsága határozza meg. Hagyja, hogy a test rövid időn belül egy szöget átfordítson (2.4. ábra). A tengelytől R távolságra lévő pont a következővel egyenlő utat tesz meg
Egy pont lineáris sebessége definíció szerint.
Tangenciális gyorsulás
Ugyanezt a (2.6) összefüggést felhasználva kapjuk
Így a normál és a tangenciális gyorsulások is lineárisan nőnek a pont forgástengelytől való távolságával.
Alapfogalmak.
Periodikus oszcilláció olyan folyamat, amelyben egy rendszer (például egy mechanikus) egy bizonyos idő elteltével visszatér ugyanabba az állapotba. Ezt az időtartamot oszcillációs periódusnak nevezzük.
az erő helyreállítása- az az erő, amelynek hatására az oszcillációs folyamat végbemegy. Ez az erő arra törekszik, hogy a nyugalmi helyzetétől eltért testet vagy anyagi pontot visszaállítsa eredeti helyzetébe.
Az oszcilláló testre gyakorolt hatás természetétől függően megkülönböztetünk szabad (vagy természetes) rezgéseket és kényszerrezgéseket.
Szabad rezgések akkor fordulnak elő, ha csak egy helyreállító erő hat a rezgő testre. Abban az esetben, ha nem történik energiadisszipáció, a szabad rezgések csillapítatlanok. A valódi oszcillációs folyamatok azonban csillapodnak, mert az oszcilláló test mozgásellenállási erőknek (főleg súrlódási erőknek) van kitéve.
Kényszer rezgések külső, periodikusan változó erő hatására hajtják végre, amit kényszerítésnek neveznek. Sok esetben a rendszerek harmonikusnak tekinthető rezgéseken mennek keresztül.
Harmonikus rezgések Olyan oszcillációs mozgásoknak nevezzük, amelyekben a test egyensúlyi helyzetéből való elmozdulása a szinusz vagy koszinusz törvénye szerint történik:
A fizikai jelentés szemléltetéséhez tekintsünk egy kört, és forgassuk el a sugarat OK ω szögsebességgel az óramutató járásával ellentétes (7.1) az óramutató járásával ellentétes irányba. Ha a kezdeti pillanatban az OK vízszintes síkban feküdt, akkor t idő után szöget fog eltolni. Ha a kezdőszög nem nulla és egyenlő φ 0 , akkor az elforgatás szöge egyenlő lesz A vetítés az XO 1 tengelyre egyenlő. Ahogy az OK sugár forog, a vetítés nagysága megváltozik, és a pont a ponthoz képest oszcillálni fog - fel, le stb. Ebben az esetben x maximális értéke egyenlő A-val, és az oszcillációk amplitúdójának nevezzük; ω - körkörös vagy ciklikus frekvencia - oszcillációs fázis; A K pont egy kör körüli fordulatára a vetülete egy teljes oszcillációt hajt végre, és visszatér a kiindulási ponthoz.
T időszak egy teljes rezgés idejét nevezzük. A T idő elteltével az oszcillációt jellemző összes fizikai mennyiség értéke megismétlődik. Az egyik periódusban az oszcilláló pont négy amplitúdóval számszerűen megegyező utat tesz meg.
Szögsebesség abból a feltételből kerül meghatározásra, hogy a T periódus alatt az OK sugár egy fordulatot tesz, azaz. 2π radián szöggel fog elfordulni:
Oszcillációs frekvencia- egy pont oszcillációinak száma másodpercenként, azaz. az oszcillációs frekvenciát az oszcillációs periódus reciprokaként határozzuk meg:
Rugós inga rugalmas erői.
A rugós inga egy rugóból és egy masszív golyóból áll, amely egy vízszintes rúdra van felszerelve, és amelyen keresztül tud csúszni. Rögzítsen egy lyukú labdát egy rugóra, és csúsztassa el egy vezetőtengely (rúd) mentén. ábrán. 7.2a mutatja a labda nyugalmi helyzetét; ábrán. 7.2, b - maximális tömörítés és a 7.2. 7.2,c - a labda tetszőleges helyzete.
A nyomóerővel megegyező helyreállító erő hatására a labda oszcillálni fog. Nyomóerő F = -kx, ahol k a rugó merevségi együtthatója. A mínusz jel azt jelzi, hogy az F erő iránya és az x elmozdulás ellentétes. Összenyomott rugó potenciális energiája
kinetikus
A labda mozgásegyenletének levezetéséhez össze kell kapcsolni x-et és t-t. A következtetés az energia megmaradás törvényén alapul. A teljes mechanikai energia egyenlő a rendszer kinetikai és potenciális energiájának összegével. IN ebben az esetben:
. b pozícióban): 
.
Mivel a vizsgált mozgásban teljesül a mechanikai energia megmaradásának törvénye, felírhatjuk:
. Határozzuk meg a sebességet innen:
De viszont és ezért 
. Válasszuk szét a változókat 
. Ezt a kifejezést integrálva a következőket kapjuk: 
,
hol van az integrációs állandó. Ez utóbbiból az következik
Így a rugalmas erő hatására a test harmonikus rezgéseket hajt végre. Azokat az erőket, amelyek a rugalmasságtól eltérő természetűek, de amelyekben az F = -kx feltétel teljesül, kvázi rugalmasnak nevezzük. Ezen erők hatására a testek is harmonikus rezgéseket hajtanak végre. Ebben az esetben:
|
elfogultság: | |
|
sebesség: |
|
|
gyorsulás: |
|
Matematikai inga.
A matematikai inga egy nyújthatatlan, súlytalan szálon felfüggesztett anyagi pont, amely a gravitáció hatására egy függőleges síkban oszcilláló mozgást végez.
Az ilyen ingát egy vékony fonalra felfüggesztett, m tömegű nehéz golyónak tekinthetjük, amelynek l hossza jóval nagyobb, mint a golyó mérete. Ha α szöggel (7.3. ábra) eltérítjük a függőleges vonaltól, akkor az F erő hatására, a P súly egyik összetevője, oszcillálni fog. A másik, a menet mentén irányított komponenst nem veszik figyelembe, mert kiegyensúlyozza a szál feszességét. Kis eltolási szögeknél ekkor az x koordináta vízszintes irányban mérhető. A 7.3. ábrából jól látható, hogy a menetre merőleges súlykomponens egyenlő
A jobb oldali mínusz jel azt jelenti, hogy az F erő a csökkenő α szög felé irányul. Figyelembe véve az α szög kicsinységét
A matematikai és fizikai ingák mozgástörvényének levezetéséhez a forgómozgás dinamikájának alapegyenletét használjuk.
Az O ponthoz viszonyított erőnyomaték: , és a tehetetlenségi nyomaték: M=FL. Tehetetlenségi nyomaték J ebben az esetben szöggyorsulás:
Ezeket az értékeket figyelembe véve a következőket kapjuk: 
Az ő döntése 
,
Amint látjuk, a matematikai inga lengési periódusa a hosszától és a gravitációs gyorsulástól függ, és nem függ a rezgések amplitúdójától.
Csillapított oszcillációk.
Minden valós oszcillációs rendszer disszipatív. Egy ilyen rendszer mechanikai rezgésének energiáját fokozatosan a súrlódási erők elleni munkára fordítják, ezért a szabad rezgések mindig elhalványulnak - amplitúdójuk fokozatosan csökken. Sok esetben, amikor nincs száraz súrlódás, első közelítésként feltételezhetjük, hogy kis mozgási sebességeknél a mechanikai rezgések csillapítását okozó erők arányosak a sebességgel. Ezeket az erőket eredetüktől függetlenül ellenállási erőknek nevezzük.
Írjuk át ezt az egyenletet a következőképpen: 
és jelölje: 
ahol azt a frekvenciát jelöli, amellyel a rendszer szabad oszcillációi lennének környezeti ellenállás nélkül, pl. r = 0-nál. Ezt a frekvenciát a rendszer saját rezgési frekvenciájának nevezzük; β a csillapítási együttható. Majd
|
|
A (7.19) egyenlet megoldását olyan formában keressük, ahol U t valamilyen függvénye.
Differenciáljuk ezt a kifejezést kétszer a t idő függvényében, és az első és a második derivált értékét behelyettesítve a (7.19) egyenletbe, megkapjuk 
Ennek az egyenletnek a megoldása nagymértékben függ az együttható U-beli előjelétől. Tekintsük azt az esetet, amikor ez az együttható pozitív. Vezessük be a jelölést akkor Valós ω-vel ennek az egyenletnek a megoldása, mint tudjuk, a függvény
Így a közeg alacsony ellenállása esetén a (7.19) egyenlet megoldása a függvény lesz
Ennek a függvénynek a grafikonja az ábrán látható. 7.8. A szaggatott vonalak azt a határt mutatják, amelyen belül az oszcilláló pont elmozdulása van. A mennyiséget a disszipatív rendszer rezgéseinek természetes ciklikus frekvenciájának nevezzük. A csillapított rezgések nem periodikus oszcillációk, mivel soha nem ismétlik meg például az elmozdulás, a sebesség és a gyorsulás maximális értékét. A mennyiséget általában a csillapított rezgések periódusának, pontosabban a csillapított rezgések feltételes periódusának nevezik,
A T periódussal megegyező időintervallumon keresztül egymást követő eltolási amplitúdók arányának természetes logaritmusát logaritmikus csillapítási csökkenésnek nevezzük.
Jelöljük τ-val azt az időtartamot, amely alatt a rezgések amplitúdója e-szeresére csökken. Majd
Következésképpen a csillapítási együttható egy fizikai mennyiség, amely inverz a τ időtartammal, amely alatt az amplitúdó e-szeresére csökken. A τ mennyiséget relaxációs időnek nevezzük.
Legyen N azoknak a rezgéseknek a száma, amelyek után az amplitúdó e-vel csökken, majd
Ezért a δ logaritmikus csillapítás csökkenése az fizikai mennyiség, reciproka az N rezgések számára, ami után az amplitúdó e-szeresére csökken
Kényszer rezgések.
Kényszerrezgések esetén a rendszer külső (kényszerítő) erő hatására oszcillál, és ennek az erőnek a munkája miatt a rendszer energiaveszteségei periodikusan kompenzálódnak. A kényszerrezgések gyakorisága (kényszerfrekvencia) a külső erő változási gyakoriságától függ. Határozzuk meg egy m tömegű test kényszerrezgésének amplitúdóját, figyelembe véve az állandóan ható erő hatására csillapítatlan rezgéseket.
Hagyja, hogy ez az erő időben változzon a törvény szerint, ahol a hajtóerő amplitúdója. Erő és ellenállás visszaállítása Ekkor Newton második törvénye a következő formában írható fel.
Mutassuk meg, hogyan találhatja meg a test által megtett utat a sebesség/idő grafikon segítségével.
Kezdjük a legegyszerűbb esettel - az egyenletes mozgással. A 6.1. ábra a v(t) – sebesség és idő grafikonját mutatja. Az időalappal párhuzamos egyenes szakaszt ábrázol, mivel egyenletes mozgás esetén a sebesség állandó.
A grafikon alá zárt ábra egy téglalap (az ábrán árnyékolva van). Területe számszerűen egyenlő a v sebesség és a t mozgási idő szorzatával. Másrészt a vt szorzat egyenlő a test által bejárt l úttal. Tehát egyenletes mozgással
az út numerikusan megegyezik a sebesség-idő grafikon alatt lévő ábra területével.
Mutassuk meg most ezt figyelemre méltó tulajdonság Egyenetlen mozgása is van.
Nézzük például a sebesség és idő grafikonját, mint a 6.2. ábrán látható görbe. 
Osszuk fel gondolatban a teljes mozgási időt olyan kis intervallumokra, hogy mindegyik alatt a test mozgása szinte egységesnek tekinthető (ezt a felosztást szaggatott vonalak mutatják a 6.2. ábrán).
Ekkor az egyes ilyen intervallumok alatt megtett út numerikusan egyenlő a grafikon megfelelő csomója alatti ábra területével. Ezért a teljes útvonal egyenlő a teljes grafikon alatt található ábrák területével. (Az általunk használt technika az integrálszámítás alapja, melynek alapjait a „Matematikai elemzés kezdetei” kurzusban tanulod meg.)
Alkalmazzuk most a fent leírt módszert az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás útjának megtalálására.
Irányítsuk az x tengelyt a testgyorsulás irányába. Ekkor a x = a, v x = v. Ezért,
A 6.3. ábra v(t) grafikonját mutatja. 
1. Bizonyítsa be a 6.3. ábra segítségével, hogy kezdősebesség nélküli egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás esetén az l utat az a gyorsulási modulban és a t mozgásidőben fejezzük ki a képlettel.
l = 2 /2-nél. (2)
Fő következtetés:
Kezdeti sebesség nélküli egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás esetén a test által megtett távolság arányos a mozgási idő négyzetével.
Ily módon az egyenletesen gyorsított mozgás jelentősen eltér az egyenletes mozgástól.
A 6.4. ábra két test út és idő grafikonját mutatja, amelyek közül az egyik egyenletesen mozog, a másik pedig egyenletesen gyorsul kezdeti sebesség nélkül. 
2. Tekintse meg a 6.4. ábrát, és válaszoljon a kérdésekre.
a) Milyen színű az egyenletes gyorsulással mozgó test grafikonja?
b) Mekkora ennek a testnek a gyorsulása?
c) Mekkora a testek sebessége abban a pillanatban, amikor ugyanazt az utat bejárták?
d) Melyik időpontban egyenlők a testek sebessége?
3. Az indulás után az autó az első 4 másodpercben 20 m távolságot tett meg, tekintse az autó mozgását lineárisnak és egyenletesen gyorsulónak. Az autó gyorsulásának kiszámítása nélkül határozza meg, mennyit fog az autó megtenni:
a) 8 s alatt? b) 16 s múlva? c) 2 s alatt?
Határozzuk meg most az s x elmozdulás vetületének időfüggését. Ebben az esetben a gyorsulás x tengelyre vetítése pozitív, tehát s x = l, a x = a. Így a (2) képletből az következik:
s x = a x t 2 /2. (3)
A (2) és (3) képlet nagyon hasonló, ami néha hibákhoz vezet a megoldás során egyszerű feladatokat. Az a tény, hogy az eltolási vetület értéke negatív is lehet. Ez akkor történik meg, ha az x tengely az elmozdulással ellentétes irányú: akkor s x< 0. А путь отрицательным быть не может!
4. A 6.5. ábra egy bizonyos test utazási idejét és elmozdulási vetületét mutatja be. Milyen színű az elmozdulás vetületi grafikonja?
Emlékezzünk vissza, hogy ebben az esetben a sebesség vetületének időfüggőségét a képlet fejezi ki
v x = v 0x + a x t, (4)
ahol v 0x a kezdeti sebesség vetülete az x tengelyre.
A továbbiakban megvizsgáljuk azt az esetet, amikor v 0x > 0, a x > 0. Ebben az esetben ismét kihasználhatjuk, hogy az út numerikusan egyenlő a sebesség-idő grafikon alatti ábra területével. (Tekintsd meg a kezdősebesség és a gyorsulás vetületének más előjelkombinációit is: az eredmény ugyanaz lesz általános képlet (5).
A 6.6. ábra v x (t) grafikonját mutatja v 0x > 0, a x > 0 esetén. 
5. Bizonyítsa be a 6.6. ábra segítségével, hogy kezdősebességű egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás esetén az elmozdulás vetülete
s x = v 0x + a x t 2 /2. (5)
Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a test x koordinátájának időbeli függőségét. Emlékezzünk vissza (lásd (6) képlet, 2. §), hogy egy test x koordinátája összefügg az s x elmozdulásának vetületével a relációval.
s x = x – x 0,
ahol x 0 a test kezdeti koordinátája. Ezért,
x = x 0 + s x , (6)
Az (5), (6) képletekből kapjuk:
x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)
6. Az x tengely mentén mozgó test koordinátájának időfüggőségét az x = 6 – 5t + t 2 képlettel fejezzük ki SI egységekben.
a) Mi a test kezdeti koordinátája?
b) Mennyi a kezdősebesség vetülete az x tengelyre?
c) Mekkora a gyorsulás vetülete az x tengelyre?
d) Rajzolja fel az x koordináta grafikonját az idő függvényében!
e) Rajzolja fel a kivetített sebesség idő függvényében grafikonját!
f) Melyik pillanatban egyenlő a test sebessége nullával?
g) Visszatér a test a kiindulási pontra? Ha igen, melyik időpont(ok)ban?
h) A test áthalad az origón? Ha igen, melyik időpont(ok)ban?
i) Rajzolja fel az eltolási vetület grafikonját az idő függvényében!
j) Rajzolja fel a távolság függvényében grafikont az idő függvényében!
A problémák megoldása során gyakran alkalmazzák az út, a gyorsulás és a sebesség közötti összefüggéseket (kezdeti v 0, végső v vagy mindkettő). Vezessük le ezeket az összefüggéseket. Kezdjük a kezdeti sebesség nélküli mozgással. Az (1) képletből a mozgás idejére kapjuk:
Helyettesítsük be ezt a kifejezést az elérési út (2) képletébe:
l = 2-nél /2 = a/2(v/a) 2 = v 2 /2a. (9)
Fő következtetés:
egyenes vonalú egyenletesen gyorsított mozgásnál kezdősebesség nélkül a test által megtett út arányos a végsebesség négyzetével.
7. Indulás után az autó 10 m/s sebességet vett fel 40 m távolságon. Tekintsük az autó mozgását lineárisnak és egyenletesen gyorsulónak. Az autó gyorsulásának kiszámítása nélkül határozza meg, hogy a kocsi milyen messze ment a mozgás kezdetétől, amikor a sebessége egyenlő volt: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?
A (9) összefüggést úgy is megkaphatjuk, ha emlékezünk arra, hogy az út numerikusan megegyezik a sebesség-idő grafikon alatt lévő ábra területével (6.7. ábra). 
Ez a megfontolás segít könnyedén megbirkózni a következő feladattal.
8. Bizonyítsa be a 6.8. ábra segítségével, hogy állandó gyorsulással fékezéskor a test l t = v 0 2 /2a távolságot tesz meg a teljes megállásig, ahol v 0 a test kezdeti sebessége, a a gyorsulási modulus.
Fékezés esetén jármű(autó, vonat) a teljes megállásig megtett távolságot fékútnak nevezzük. Figyelem: a féktávolság a v 0 kezdeti sebességnél és a gyorsulás közben megtett út álló helyzettől v 0 sebességig azonos a gyorsulással megegyezik.
9. Vészfékezéskor száraz aszfalton az autó gyorsulása abszolút értékben 5 m/s 2 . Mekkora az autó fékútja kezdősebességnél: a) 60 km/h (legnagyobb megengedett sebesség a városban); b) 120 km/h? Határozza meg a féktávolságot a jelzett sebességeknél jeges körülmények között, amikor a gyorsulási modulus 2 m/s 2. Hasonlítsa össze a talált féktávokat az osztályterem hosszával.
10. A 6.9. ábra és a trapéz területét a magasságán és az alapok összegének felén keresztül kifejező képlet segítségével bizonyítsuk be, hogy egyenes vonalú egyenletesen gyorsított mozgás esetén:
a) l = (v 2 – v 0 2)/2a, ha a test sebessége nő;
b) l = (v 0 2 – v 2)/2a, ha a test sebessége csökken.
11. Bizonyítsa be, hogy az elmozdulás, a kezdeti és végsebesség, valamint a gyorsulás vetülete összefügg az összefüggéssel
s x = (v x 2 – v 0x 2)/2ax (10)
12. 200 m-es úton haladó autó 10 m/s sebességről 30 m/s-ra gyorsult.
a) Milyen gyorsan haladt az autó?
b) Mennyi idő alatt tette meg az autó a jelzett távolságot?
c) Mekkora az autó átlagsebessége?
13. Az utolsó kocsit lekapcsolják egy mozgó vonatról, majd a vonat egyenletesen halad, és a kocsi állandó gyorsulással mozog egészen a teljes megállásig.
a) Rajzolj egy rajzra egy vonat és egy kocsi sebességfüggvényét.
b) Hányszor kisebb a kocsi által megtett út a megállóig, mint a vonat ugyanannyi idő alatt megtett útja?
14. Az állomás elhagyása után a vonat egy ideig egyenletes gyorsulással, majd 1 percig egyenletes 60 km/h sebességgel, majd ismét egyenletes gyorsulással haladt, amíg a következő állomáson meg nem állt. A gyorsítási és fékezési gyorsítómodulok eltérőek voltak. A vonat 2 perc alatt tette meg az állomások közötti távolságot.
a) Rajzolja fel a vonat sebességének az idő függvényében vetítésének sematikus grafikonját!
b) A grafikon segítségével keresse meg az állomások közötti távolságot!
c) Mekkora távolságot tenne meg a vonat, ha az első szakaszon gyorsulna, a másodikon pedig lassítana? Mekkora lenne a maximális sebessége?
15. Egy test egyenletesen gyorsulva mozog az x tengely mentén. A kezdeti pillanatban a koordináták origójában volt, sebességének vetülete 8 m/s volt. 2 s után a test koordinátája 12 m lett.
a) Mi a test gyorsulásának vetülete?
b) Ábrázoljuk v x (t) grafikonját!
c) Írjon egy képletet, amely kifejezi az x(t) függést SI-egységben!
d) A test sebessége nulla lesz? Ha igen, milyen időpontban?
e) A test másodszor is meglátogatja a 12 m koordinátájú pontot? Ha igen, milyen időpontban?
f) Visszatér a test a kiindulási pontra? Ha igen, milyen időpontban, és mekkora lesz a megtett távolság?
16. A lökés után a labda egy ferde síkban felgördül, majd visszatér a kiindulási pontra. A labda a lökés után kétszer volt b távolságban a kezdeti ponttól a t 1 és t 2 időközökben. A labda a ferde sík mentén azonos gyorsulással mozgott fel és le.
a) Irányítsd felfelé az x tengelyt a ferde sík mentén, válaszd ki az origót a labda kiindulási helyzetének pontjában, és írj egy képletet, amely kifejezi az x(t) függőséget, amely tartalmazza a labda kezdeti sebességének modulusát v0 és a labda gyorsulási modulusa a.
b) Ezzel a képlettel és azzal a ténnyel, hogy a labda b távolságra volt a kiindulási ponttól t 1 és t 2 időpontokban, alkoss két egyenletrendszert két ismeretlennel v 0 és a.
c) Ennek az egyenletrendszernek a megoldása után fejezzük ki v 0-t és a-t b, t 1 és t 2 értékekkel.
d) Fejezd ki a labda által megtett teljes l utat b, t 1 és t 2 értékekkel!
e) Határozza meg v 0, a és l számértékeit b = 30 cm, t 1 = 1 s, t 2 = 2 s esetén.
f) Ábrázoljuk v x (t), s x (t), l(t) grafikonjait.
g) Az sx(t) grafikon segítségével határozza meg azt a pillanatot, amikor a labda elmozdulási modulusa maximális volt.
