Kezdjük el két vagy több szám legkisebb közös többszörösének tanulmányozását. Ebben a részben a fogalom definícióját adjuk meg, megvizsgálunk egy tételt, amely kapcsolatot teremt a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó között, és példákat adunk a problémák megoldására.
Ebben a témakörben csak a nem nulla egész számok közös többszöröseire leszünk kíváncsiak.
1. definíció
Egész számok közös többszöröse Egy egész szám, amely az összes megadott szám többszöröse. Valójában bármely egész szám osztható a megadott számok bármelyikével.
A közös többszörös meghatározása két, három vagy több egész számra vonatkozik.
1. példa
A fenti definíció szerint 12 esetén a közös szorzók 3 és 2. Ezenkívül a 12 -es szám a 2, 3 és 4 számok közös többszöröse lesz. A 12 és - 12 számok a ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 számok közös többszörösei.
Ugyanakkor a 2 -es és 3 -as számok közös többszöröse a 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 számok és bármely más sorozat egésze lesz.
Ha olyan számokat veszünk, amelyek oszthatók a pár első számával, és nem oszthatók a második számmal, akkor az ilyen számok nem lesznek közös többszörösei. Tehát a 2. és 3. számok esetében a 16, - 27, 5 009, 27 001 számok nem lesznek közös többszörösök.
A 0 a nem nulla egész számok halmazának közös többszöröse.
Ha felidézzük az oszthatóság tulajdonságát az ellentétes számok vonatkozásában, akkor kiderül, hogy néhány k egész szám ezen számok közös többszöröse lesz, akárcsak a - k szám. Ez azt jelenti, hogy a közös tényezők lehetnek pozitívak vagy negatívak.
A közös többszörös megtalálható minden egész számra.
2. példa
Tegyük fel, hogy megadatott k egész számok a 1, a 2,…, a k... A szám, amelyet a számok szorzása során kapunk a 1 · a 2 ·… · a k az oszthatósági tulajdonság szerint, az eredeti termékben szereplő tényezők mindegyikével el kell osztani. Ez azt jelenti, hogy a számok szorzata a 1, a 2,…, a k a számok legkevésbé gyakori többszöröse.
Egy egész számok csoportjának sok közös többszöröse lehet. Valójában számuk végtelen.
3. példa
Tegyük fel, hogy van néhány k számunk. Ekkor a k · z számok szorzata, ahol z egész szám, k és z közös többszöröse lesz. Tekintettel arra, hogy a számok száma végtelen, akkor a közös többszörösök száma végtelen.
Emlékezzünk vissza a legkisebb szám fogalmára egy adott számhalmazból, amelyet az "Egész számok összehasonlítása" részben vizsgáltunk. Ezt a fogalmat figyelembe véve fogalmazzuk meg a legkisebb közös többszörös definícióját, amely a legnagyobb gyakorlati értékkel rendelkezik az összes közös többszörös között.
2. definíció
Egész számok legkevésbé gyakori többszöröse A számok legkevésbé pozitív közös többszöröse.
A legkevesebb közös többszörös létezik adott számú számra. A NOC rövidítés a leggyakrabban használt fogalom megjelölésére a referencia irodalomban. A számok legkevésbé gyakori többszörös jelölése a 1, a 2,…, a k NOC -nak fog kinézni (1, 2,…, k).
4. példa
A 6 és 7 legkevésbé gyakori többszöröse a 42. Azok. LCM (6, 7) = 42. A 2, 12, 15 és 3 számok közül a legkevésbé gyakori többszöröse 60 lesz. A rövid bejegyzés LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60 lesz.
A legkevésbé közös többszörös nem nyilvánvaló a megadott számok minden csoportja esetén. Gyakran ki kell számolni.
A legkevésbé közös többszörös és a legnagyobb közös osztó összefügg. A fogalmak közötti kapcsolatot a tétel állapítja meg.
1. Tétel
Két pozitív egész a és b legkisebb közös többszöröse egyenlő a és b szorzatával osztva az a és b legnagyobb közös osztójával, azaz LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Bizonyítás 1
Tegyük fel, hogy van néhány M számunk, amely az a és b többszöröse. Ha az M szám osztható a -val, létezik néhány z egész szám is , amely alapján az egyenlőség M = a k... Az oszthatóság definíciója szerint, ha M osztható -val b, így aztán a k osztva b.
Ha új jelölést vezetünk be a gcd (a, b) as d, akkor használhatjuk az egyenlőségeket a = a 1 dés b = b 1 d. Ezenkívül mindkét egyenlőség kölcsönösen prímszám lesz.
Fent már megállapítottuk a k osztva b... Ez a feltétel most a következőképpen írható fel:
a 1 d k osztva b 1 d, ami egyenlő a feltétellel a 1 k osztva b 1 az oszthatóság tulajdonságai szerint.
A coprime számok tulajdonsága szerint, ha a 1és b 1- coprime számok, a 1-vel nem osztható b 1 annak ellenére, hogy a 1 k osztva b 1, azután b 1 meg kell osztani k.
Ebben az esetben helyénvaló lenne feltételezni, hogy van egy szám t, amelyekre k = b 1 tés azóta b 1 = b: d, azután k = b: d t.
Most helyett k helyettesíti az egyenlőségben M = a k kifejezés, mint b: d t... Ez lehetővé teszi számunkra az egyenlőség elérését M = a b: d t... Nál nél t = 1 a és b legkisebb pozitív közös többszörösét kaphatjuk meg , egyenlő a b: d, feltéve, hogy az a és b számok pozitív.
Így bizonyítottuk, hogy az LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).
Az LCM és a GCD közötti kapcsolat létrehozása lehetővé teszi a legkisebb közös többszörös megtalálását két vagy több megadott szám legnagyobb közös osztóján keresztül.
3. definíció
A tételnek két fontos következménye van:
Ezt a két tényt nem nehéz alátámasztani. Az a és b számok bármely közös M többszörösét az M = LCM (a, b) t egyenlőség határozza meg néhány t egész szám esetén. Mivel a és b coprime, akkor GCD (a, b) = 1, ezért LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) = a b: 1 = a b.
Annak érdekében, hogy megtaláljuk a számok legkevésbé gyakori többszörösét, meg kell találnunk két szám LCM -jét.
2. Tétel
Tegyünk úgy, mintha a 1, a 2,…, a k Vannak pozitív egész számok. Az LCM kiszámításához m k ezekből a számokból sorban kell számolnunk m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NEM C(m 2, a 3),…, m k = NEM C(m k - 1, a k).
Bizonyítás 2
Az ebben a témában tárgyalt első tétel első következtetése segít a második tétel érvényességének bizonyításában. Az érvelés a következő algoritmuson alapul:
Így bizonyítottuk a tételt.
Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűkombinációt
A "Többszörös" témát egy általános iskola 5. osztályában tanulmányozzák. Célja a matematikai számítások írásbeli és szóbeli készségeinek fejlesztése. Ebben a leckében új fogalmakat mutatunk be - "többszörösöket" és "osztókat", kidolgozzuk a természetes szám osztóinak és többszöröseinek megtalálásának technikáját, az LCM különböző módon történő megtalálásának képességét.
Ez a téma nagyon fontos. Az ezzel kapcsolatos ismeretek akkor alkalmazhatók, amikor a példákat törtekkel oldják meg. Ehhez meg kell találni a közös nevezőt a legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámításával.
Az A többszöröse egy egész szám, amely maradék nélkül osztható A -val.
Minden természetes számnak végtelen számú többszöröse van. Maga a legkisebbnek tekinthető. A többszörös nem lehet kevesebb, mint maga a szám.
Bizonyítanunk kell, hogy a 125 5 -ös többszöröse. Ehhez az első számot el kell osztani a másodikkal. Ha 125 125 osztható 5 -tel maradék nélkül, akkor a válasz igen.
Ez a módszer kis számokra alkalmazható.
Vannak speciális esetek az LCM kiszámításakor.
1. Ha két szám (például 80 és 20) közös többszörösét kell megtalálni, ahol az egyiket (80) maradék nélkül osztja a másik (20), akkor ez a szám (80) a legkisebb e két szám többszöröse.
LCM (80, 20) = 80.
2. Ha kettőnek nincs közös osztója, akkor azt mondhatjuk, hogy LCM -jük e két szám szorzata.
LCM (6, 7) = 42.
Nézzük az utolsó példát. A 6 és 7 a 42 -hez képest osztók. Egy többszöröst osztanak meg maradék nélkül.
Ebben a példában a 6 és 7 párosított osztók. Termékük megegyezik a szám többszörösével (42).
Egy számot prímnek nevezünk, ha csak önmagában vagy 1 -gyel osztható (3: 1 = 3; 3: 3 = 1). A többit összetettnek nevezik.
Egy másik példában meg kell határoznia, hogy a 9 osztója a 42 -nek.
42: 9 = 4 (maradék 6)
Válasz: A 9 nem osztója a 42 -nek, mert a válaszban van egy maradék.
Az osztó abban különbözik a többszöröstől, hogy az osztó az a szám, amellyel a természetes számokat osztják, és maga a többszörös is osztható ezzel a számmal.
A számok legnagyobb közös osztója aés b, a legkisebb többszörösével megszorozva, maguk a számok szorzatát adják meg aés b.
Mégpedig: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.
A bonyolultabb számok közös többszöröseit a következő módon találjuk meg.
Keresse meg például az LCM -et a 168, 180, 3024 számokhoz.
Ezeket a számokat prímtényezőkre bontjuk, és fokok szorzata formájában írjuk fel őket:
168 = 2³х3¹х7¹
2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120
LCM (168, 180, 3024) = 15120.
De sok természetes szám egyenletesen osztható más természetes számokkal.
Például:
A 12 -es számot osztjuk 1 -gyel, 2 -vel, 3 -mal, 4 -gyel, 6 -tal, 12 -gyel;
A 36 -os szám osztható 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 -mal.
Azokat a számokat nevezzük, amelyekkel a szám egyenletesen osztható (12 esetén 1, 2, 3, 4, 6 és 12). osztók... Természetes számosztó a egy természetes szám, amely egy adott számot oszt a maradék nélkül. Olyan természetes számot hívnak, amelynek kettőnél több osztója van összetett .
Vegye figyelembe, hogy a 12 és 36 számok közös tényezőkkel rendelkeznek. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. E számok legnagyobb osztója 12. Két adott szám közös osztója aés b- ez az a szám, amellyel mindkét megadott szám osztható maradék nélkül aés b.
Gyakori többszörös több szám olyan szám, amely osztható ezekkel a számokkal. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De a 90 és 360 is közös többszöröseik. Az összes j összes többszörös között mindig van a legkisebb, ebben az esetben 90. Ezt a számot hívják a legkisebbközös többszörös (LCM).
Az LCM mindig természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie, mint a legnagyobb azon számok közül, amelyekre vonatkozóan meghatározásra került.
Kommutálhatóság:
Asszociativitás:
Különösen, ha és a coprime számok, akkor:
Két egész szám legkevesebb közös többszöröse més n minden más közös többszörös osztója més n... Sőt, a közös többszörösök halmaza m, n egybeesik az LCM többszöröseivel ( m, n).
Az aszimptotikumok néhány számelméleti függvényben fejezhetők ki.
Így, Chebyshev függvény... És:
Ez a Landau függvény meghatározásából és tulajdonságaiból következik g (n).
Ami a prímszámok eloszlási törvényéből következik.
LCM ( a, b) többféleképpen is kiszámítható:
1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM -mel:
2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus bontása prímtényezőkre:
ahol p 1, ..., p k- különböző prímek, és d 1, ..., d kés e 1, ..., e k- nem negatív egész számok (nullák lehetnek, ha a megfelelő prím hiányzik a bontásban).
Ezután LCM ( a,b) kiszámítása a következő képlettel történik:
Más szavakkal, az LCM -bontás tartalmazza az összes prímtényezőt, amelyek szerepelnek legalább az egyik számbővítésben a, b, és e tényező két kitevője közül a legnagyobbat vesszük.
Példa:
A számok legkevésbé gyakori többszörösének kiszámítása két szám LCM több egymást követő számítására csökkenthető:
Szabály. A számsor LCM -jének megtalálásához a következőkre van szüksége:
- bontja a számokat prímtényezőkre;
- helyezze át a legnagyobb bővülést a kívánt termék tényezőibe (az adott számok legnagyobb számának tényezőinek szorzatát), majd adja hozzá a többi szám bővüléséből származó tényezőket, amelyek nem az első számban fordulnak elő, vagy kevesebbszer;
- a prímtényezők eredő szorzata a megadott számok LCM lesz.
Bármely két vagy több természetes számhoz tartozik LCM. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nincsenek azonos tényezők a bővítésben, akkor LCM -jük megegyezik e számok szorzatával.
A 28 -as szám prímtényezőit (2, 2, 7) 3 -as faktorral (21 -es szám) egészítettük ki, a kapott szorzat (84) lesz a legkisebb szám, amely 21 -gyel és 28 -mal osztható.
A legnagyobb 30 szám prímtényezőit a 25 -ös szám 5 -ös tényezőjével egészítettük ki, a kapott 150 -es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30 -as szám, és maradék nélkül osztva van az összes megadott számmal. Ez a lehető legkisebb termék (150, 250, 300 ...), amely az összes megadott szám többszöröse.
A 2,3,11,37 számok egyszerűek, így LCM -jük megegyezik a megadott számok szorzatával.
A szabály... A prímszámok LCM kiszámításához ezeket a számokat meg kell szorozni egymással.
Egy másik lehetőség:
A több szám közül a legkevésbé gyakori többszörös (LCM) megtalálásához szüksége van:
1) ábrázolja az egyes számokat a prímtényezők szorzataként, például:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) írja le az összes fő tényező hatalmát:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) írja le mindegyik szám összes prímosztóját (tényezőjét);
4) válassza ki mindegyik legmagasabb fokát, amely megtalálható e számok összes bővítésében;
5) szorozza meg ezeket a fokokat.
Példa... Keresse meg a számok LCM -jét: 168, 180 és 3024.
Megoldás... 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Kiírjuk az összes fő tényező legnagyobb erejét, és megszorozzuk őket:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.
Két egész szám legkevésbé gyakori többszöröse a legkisebb egész szám, amely egyenletesen osztható mindkét megadott számmal.
1. módszer... Megtalálhatja viszont az LCM -et a megadott számok mindegyikéhez, növekvő sorrendben kiírva az összes számot, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk őket 1, 2, 3, 4 -el stb.
Példa a 6 -os és 9 -es számokhoz.
Megszorozzuk a 6 -os számot, 1, 2, 3, 4, 5 -tel.
Kapjuk: 6, 12, 18
, 24, 30
Szorozzuk meg a 9 -es számot sorrendben 1, 2, 3, 4, 5 -tel.
Kapjuk: 9, 18
, 27, 36, 45
Mint látható, a 6 -os és a 9 -es szám LCM -je 18 lesz.
Ez a módszer akkor kényelmes, ha mindkét szám kicsi, és könnyen megszorozható egész számokkal. Vannak azonban olyan esetek, amikor meg kell találnia a két- vagy háromjegyű számok LCM-jét, valamint amikor az eredeti számok három vagy még többek.
2. módszer... Az LCM -et az eredeti számok prímtényezőkké bővítésével találhatja meg.
A bővítés után ugyanazokat a számokat kell áthúzni a kapott prímtényezők sorozatából. Az első szám fennmaradó számai a második szorzói, míg a második számok az első tényező tényezői.
Példa a 75 -ös és a 60 -as számhoz.
A 75 -ös és a 60 -as számok legkevésbé gyakori többszöröse megtalálható anélkül, hogy sorban ki kellene írni e számok többszörösét. Ehhez a 75 -et és a 60 -at bontjuk fel fő tényezőkké:
75 = 3
* 5
* 5, a
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Mint látható, a 3. és 5. faktor mindkét sorban megtalálható. Mentálisan „áthúzzuk” őket.
Írjuk ki a számok felbontásában szereplő többi tényezőt. A 75 -ös szám kibővítésekor megmarad az 5 -ös szám, a 60 -as szám kibővítésekor pedig 2 * 2
Tehát a 75 és 60 számok LCM meghatározásához meg kell szorozni a 75 bomlásból fennmaradó számokat (ez 5) 60 -zal, és a 60 -as bomlásából fennmaradó számokat (ez 2 * 2 ) szorozzuk meg 75. Vagyis a könnyebb érthetőség kedvéért azt mondjuk, hogy "keresztben" szorzunk.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Így találtuk meg az LCM -et a 60 -as és a 75 -ös számokhoz. Ez a 300 -as szám.
Példa... Határozza meg az LCM -et a 12, 16, 24 számokhoz
Ebben az esetben cselekedeteink némileg bonyolultabbak lesznek. De először, mint mindig, minden számot prímtényezőkre bontunk
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Az LCM helyes meghatározásához az összes szám közül a legkisebbet választjuk (ez a 12 -es szám), és sorban végigmegyünk a tényezőin, és áthúzzuk azokat, ha a többi számsor legalább egyike ugyanazt a még át nem húzott tényezőt tartalmazza.
1. lépés . Látjuk, hogy 2 * 2 minden számsorban előfordul. Húzd át őket.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
2. lépés: A 12 szám prímtényezőiben csak a 3. szám marad meg, de a 24. szám prímtényezőiben jelen van. Húzza át a 3 -as számot mindkét sorból, míg a 16 -os szám esetében nem feltételezzük a műveletet.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Mint látható, a 12 -es szám kibővítésekor az összes számot "áthúztuk". Ez azt jelenti, hogy az NOC megállapítása befejeződött. Már csak az érték kiszámítása marad.
A 12 -es számhoz a 16 -os szám fennmaradó tényezőit vesszük (a legközelebbi növekvő sorrendben)
12 * 2 * 2 = 48
Ez az NOC
Mint látható, ebben az esetben az LCM megtalálása némileg nehezebb volt, de ha három vagy több számra kell megtalálni, ez a módszer lehetővé teszi gyorsabb elvégzését. Az LCM megkeresésének mindkét módszere azonban helyes.
Fontolja meg a legkevésbé közös többszörös megtalálásának három módját.
Az első módszer az, hogy megtaláljuk a legkevésbé közös többszörösét, ha ezeket a számokat prímtényezőkké alakítjuk.
Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a számok LCM -jét: 99, 30 és 28. Ehhez mindegyik számot prímtényezőkre bontjuk:
Ahhoz, hogy a kívánt szám 99 -gyel, 30 -mal és 28 -cal osztható legyen, szükséges és elegendő, ha ezen osztók összes prímtényezője bekerül ebbe. Ehhez fel kell vennünk e számok összes fő tényezőjét a lehető legnagyobb hatalomra, és meg kell szorozni őket együtt:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Tehát az LCM (99, 30, 28) = 13 860. A 13 860 -nál kisebb szám nem osztható 99 -gyel, 30 -mal vagy 28 -mal.
E számok legkevésbé gyakori többszörösének megtalálásához prímtényezőkké kell őket alakítani, majd minden prímtényezőt a legnagyobb kitevővel kell felvenni, és ezeket a tényezőket meg kell szorozni.
Mivel a coprime számoknak nincsenek közös prímtényezőik, a legkisebb közös többszörösük egyenlő e számok szorzatával. Például három szám: 20, 49 és 33 kölcsönösen prímszám. Ezért
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Ugyanezt kell tenni, amikor különböző prímszámok legkevésbé közös többszörösét keressük. Például LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
A második módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása illesztéssel.
1. példa Ha a megadott számok közül a legnagyobbat teljesen elosztjuk a többi megadott számmal, akkor ezeknek a számoknak az LCM -je megegyezik a nagyobbal. Például, ha négy számot adunk meg: 60, 30, 10 és 6. Mindegyik osztható 60 -zal, ezért:
LCM (60, 30, 10, 6) = 60
Ellenkező esetben a következő eljárást kell használni a legkevésbé gyakori többszörös megtalálásához:
2. példa Adja meg a 24, 3 és 18 számokat. Határozza meg a legnagyobbat - ez a 24. szám. Ezután keresse meg a 24 többszörösét, és ellenőrizze, hogy mindegyik osztható -e 18 -mal és 3 -mal:
24 1 = 24 - osztható 3 -mal, de nem osztható 18 -mal.
24 2 = 48 - osztható 3 -mal, de nem osztható 18 -mal.
24 3 = 72 - osztható 3 -mal és 18 -mal.
Tehát az LCM (24, 3, 18) = 72.
A harmadik módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása az LCM szekvenciális megkeresésével.
Két megadott szám LCM -je egyenlő e számok szorzatával, elosztva legnagyobb közös osztójukkal.
1. példa Keressük meg két megadott szám LCM -jét: 12 és 8. Határozzuk meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (12, 8) = 4. Szorozzuk meg ezeket a számokat:
A munkát GCD -jükre osztjuk:
Így az LCM (12, 8) = 24.
A három vagy több számból álló LCM megkereséséhez kövesse az alábbi eljárást:
2. példa Keressük meg a három megadott szám LCM -jét: 12, 8 és 9. A 12 és 8 számok LCM -jét már találtuk az előző példában (ez a 24 -es szám). Meg kell találni a 24 legkisebb közös többszörösét és a harmadik megadott számot - 9. Határozza meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (24, 9) = 3. Szorozza meg az LCM -et a 9 -es számmal:
A munkát GCD -jükre osztjuk:
Tehát az LCM (12, 8, 9) = 72.
