Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
A cikk anyaga az egyenletrendszerek első megismerését szolgálja. Itt bemutatjuk az egyenletrendszer definícióját és megoldásait, valamint megvizsgáljuk az egyenletrendszerek leggyakoribb típusait. Szokás szerint magyarázó példákat adunk.
Oldalnavigáció.
Az egyenletrendszer meghatározásához fokozatosan közelítünk. Először is, mondjuk azt, hogy kényelmes megadni, két pontot jelezve: egyrészt a felvétel típusát, másrészt a felvételbe ágyazott jelentést. Nézzük meg őket sorra, majd általánosítsuk az érvelést az egyenletrendszerek meghatározásába.
Többen is legyenek előttünk. Vegyünk például két egyenletet: 2 x+y=−3 és x=5. Írjuk őket egymás alá, és a bal oldalon kombináljuk őket egy göndör kapcsos zárójellel:
Az ilyen típusú rekordok, amelyek több, egy oszlopba rendezett egyenlet, amelyeket bal oldalon kapcsos kapcsos zárójel egyesít, egyenletrendszerek rekordjai.
Mit jelentenek az ilyen bejegyzések? Meghatározzák a rendszer egyenleteinek összes ilyen megoldásának halmazát, amelyek mindegyik egyenlet megoldása.
Nem ártana más szavakkal leírni. Tegyük fel, hogy az első egyenlet néhány megoldása a rendszer összes többi egyenletének megoldása. Tehát a rendszerrekord csak őket jelenti.
Most készen állunk arra, hogy megfelelően elfogadjuk egy egyenletrendszer definícióját.
Meghatározás.
Egyenletrendszerek olyan rekordokat hívnak meg, amelyek egymás alatt elhelyezkedő egyenletek, amelyeket a bal oldalon kapcsos kapcsos zárójel egyesít, és az egyenletek összes megoldásának halmazát jelöli, amelyek egyben a rendszer egyes egyenleteinek megoldásai is.
Hasonló meghatározást ad a tankönyv is, de ott nem általános esetés két racionális egyenletre két változóval.
Nyilvánvaló, hogy végtelen számú különböző egyenlet létezik. Természetesen ezek felhasználásával is végtelen számú egyenletrendszert állítanak össze. Ezért az egyenletrendszerek tanulmányozásának és munkavégzésének kényelme érdekében érdemes azokat hasonló jellemzők szerint csoportokra osztani, majd áttérni az egyes típusú egyenletrendszerek figyelembevételére.
Az első felosztás a rendszerben szereplő egyenletek számából sejteti magát. Ha két egyenlet van, akkor azt mondhatjuk, hogy két egyenletrendszerünk van, ha három, akkor három egyenletrendszerünk stb. Nyilvánvaló, hogy nincs értelme egyetlen egyenletrendszerről beszélni, hiszen ebben az esetben lényegében magával az egyenlettel van dolgunk, és nem a rendszerrel.
A következő felosztás a rendszer egyenleteinek felírásában részt vevő változók számán alapul. Ha egy változó van, akkor egy változós egyenletrendszerrel van dolgunk (egy ismeretlennel is mondják), ha kettő van, akkor két változós (két ismeretlennel) egyenletrendszerrel stb. Például, 
egyenletrendszer két változóval, x és y.
Ez a rögzítésben részt vevő összes különböző változó számára vonatkozik. Nem kell mindegyiket egyszerre felvenni minden egyenletre, elegendő, ha jelen vannak legalább egy egyenletben. Például, 
három változóból álló egyenletrendszer: x, y és z. Az első egyenletben az x változó explicit módon van jelen, y és z pedig implicit (feltételezhetjük, hogy ezeknek a változóknak nulla), a második egyenletben pedig van x és z, de az y változó nincs explicit módon bemutatva. Más szavakkal, az első egyenletet úgy tekinthetjük 
, a második pedig – mint x+0·y−3·z=0.
A harmadik pont, amelyben az egyenletrendszerek különböznek, maguk az egyenletek típusa.
Az iskolában az egyenletrendszerek tanulmányozása azzal kezdődik két rendszer lineáris egyenletek két változóval. Vagyis az ilyen rendszerek két lineáris egyenletet alkotnak. Íme néhány példa: 
És 
. Megtanulják az egyenletrendszerekkel való munka alapjait.
Bonyolultabb feladatok megoldása során is találkozhat három lineáris egyenletrendszerrel, három ismeretlennel.
A továbbiakban a 9. osztályban a két változós egyenletrendszerhez nemlineáris egyenleteket adnak, többnyire teljes másodfokú egyenleteket, ritkábban - többet magas fokok. Ezeket a rendszereket nemlineáris egyenletrendszereknek nevezzük, ha szükséges, megadjuk az egyenletek és az ismeretlenek számát. Mutassunk példákat ilyen nemlineáris egyenletrendszerekre: 
És .
És akkor a rendszerekben is vannak pl. Ezeket általában egyszerűen egyenletrendszereknek nevezik, anélkül, hogy meghatároznák, melyik egyenlet. Itt érdemes megjegyezni, hogy az egyenletrendszert leggyakrabban egyszerűen „egyenletrendszernek” nevezik, és csak szükség esetén adunk hozzá pontosításokat.
A középiskolában, amikor az anyagot tanulmányozzák, az irracionális, trigonometrikus, logaritmikus és exponenciális egyenletek behatolnak a rendszerekbe: 
, 
, 
.
Ha még messzebbre tekintünk az első éves egyetemi tananyagban, akkor a fő hangsúly a lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) tanulmányozásán és megoldásán van, vagyis olyan egyenleteken, amelyek bal oldala I. fokú polinomokat tartalmaz. a jobb oldalon pedig bizonyos számok vannak. De ott az iskolától eltérően már nem két két változós lineáris egyenletet vesznek fel, hanem tetszőleges számú egyenletet tetszőleges számú változóval, ami sokszor nem esik egybe az egyenletek számával.
Az „egyenletrendszer megoldása” kifejezés közvetlenül az egyenletrendszerekre utal. Az iskolában egy kétváltozós egyenletrendszer megoldásának definíciója adott :
Meghatározás.
Kétváltozós egyenletrendszer megoldása e változók értékpárjának nevezzük, amely a rendszer minden egyenletét a megfelelővé alakítja, más szóval a rendszer minden egyenletének megoldása.
Például egy x=5, y=2 változó értékpár ((5, 2)-ként írható fel) definíció szerint megoldása egy egyenletrendszerre, mivel a rendszer egyenletei, amikor x= 5, y=2 behelyettesítve 5+2=7, illetve 5−2=3 numerikus egyenlőséggé alakul át. De az x=3, y=0 értékpár nem megoldás erre a rendszerre, mivel ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az egyenletekbe, az elsőből nem lesz igazi egyenlőség 3+0=7 .
Hasonló definíciók fogalmazhatók meg az egyváltozós rendszerekre, valamint a három, négy stb. változók.
Meghatározás.
Egy változós egyenletrendszer megoldása lesz egy olyan értéke a változónak, amely a rendszer összes egyenletének gyökere, vagyis minden egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakít.
Mondjunk egy példát. Tekintsünk egy egyenletrendszert egy t alakú változóval 
. A −2 szám a megoldása, mivel mind a (−2) 2 =4, mind az 5·(−2+2)=0 valódi numerikus egyenlőség. A t=1 pedig nem megoldás a rendszerre, mivel ezt az értéket behelyettesítve két hibás egyenlőséget kapunk: 1 2 =4 és 5·(1+2)=0.
Meghatározás.
Rendszer megoldása három, négy stb. változók háromnak, négynek stb. a változók értékeit, a rendszer összes egyenletét valódi egyenlőséggé alakítva.
Tehát definíció szerint az x=1, y=2, z=0 változók értékhármasa megoldást jelent a rendszerre 
, mivel 2·1=2, 5·2=10 és 1+2+0=3 valódi numerikus egyenlőség. Az (1, 0, 5) pedig nem megoldás erre a rendszerre, hiszen ha ezeket a változók értékeit behelyettesítjük a rendszer egyenleteibe, a második hibás 5·0=10 egyenlőséggé változik, a harmadik pedig is 1+0+5=3.
Vegyük észre, hogy az egyenletrendszereknek nem lehet megoldásuk, lehetnek véges számú megoldásuk, például egy, kettő, ..., vagy végtelen sok megoldásuk lehet. Ezt látni fogod, ha jobban beleásod magad a témába.
Figyelembe véve az egyenletrendszer definícióit és azok megoldásait, megállapíthatjuk, hogy egy egyenletrendszer megoldása az összes egyenlete megoldáshalmazának metszéspontja.
Befejezésül itt van néhány kapcsolódó definíció:
Meghatározás.
nem ízületi, ha nincs megoldása, ellenkező esetben a rendszer ún közös.
Meghatározás.
Az egyenletrendszert ún bizonytalan, ha végtelen sok megoldása van, és bizonyos, ha véges számú megoldása van, vagy egyáltalán nincs.
Ezeket a kifejezéseket bevezetik például egy tankönyv, de az iskolában meglehetősen ritkán használják őket a felsőoktatási intézményekben.
Bibliográfia.
1. A rendszer megoldása helyettesítési módszerrel.
2. A rendszer megoldása a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásával (kivonásával).
Az egyenletrendszer megoldása érdekében helyettesítési módszerrel egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1. Expressz. Bármely egyenletből egy változót fejezünk ki.
2. Helyettesítő. A kapott értéket behelyettesítjük egy másik egyenletbe a kifejezett változó helyett.
3. Oldja meg a kapott egyenletet egy változóval! Megoldást találunk a rendszerre.
Megoldani rendszer tagonkénti összeadás (kivonás) módszerrel kell:
1. Válasszunk ki egy változót, amelyre azonos együtthatókat készítünk.
2. Összeadunk vagy kivonunk egyenleteket, így egy változós egyenletet kapunk.
3. Oldja meg a kapott lineáris egyenletet! Megoldást találunk a rendszerre.
A rendszer megoldását a függvénygráfok metszéspontjai jelentik.
Tekintsük részletesen a rendszerek megoldását példákon keresztül.
1. példa:
2x+5y=1 (1 egyenlet)
x-10y=3 (2. egyenlet)
1. Expressz
Látható, hogy a második egyenletben van egy x változó, melynek együtthatója 1, ami azt jelenti, hogy a második egyenletből a legkönnyebb az x változót kifejezni.
x=3+10y
2. Miután kifejeztük, az első egyenletbe behelyettesítjük a 3+10y-t az x változó helyett.
2(3+10y)+5y=1
3. Oldja meg a kapott egyenletet egy változóval!
2(3+10y)+5y=1 (nyissa ki a zárójeleket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25 év = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Az egyenletrendszer megoldása a grafikonok metszéspontjai, ezért meg kell keresnünk x-et és y-t, mert a metszéspont x-ből és y-ből áll. Keressük meg x-et, az első pontban, ahol kifejeztük, helyettesítjük y-t.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Szokásos pontokat írni először az x, a második helyre az y változót.
Válasz: (1; -0,2)
2. példa:
3x-2y=1 (1 egyenlet)
2x-3y=-10 (2. egyenlet)
1. Válasszunk egy változót, tegyük fel, hogy x-et választunk. Az első egyenletben az x változó együtthatója 3, a másodikban - 2. Az együtthatókat azonosnak kell tennünk, ehhez jogunk van az egyenleteket szorozni vagy elosztani tetszőleges számmal. Az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat pedig 3-mal, és 6-ot kapunk.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Vonja ki a másodikat az első egyenletből, hogy megszabaduljon az x változótól. Oldja meg a lineáris egyenletet.
__6x-4y=2
5 év = 32 | :5
y=6,4
3. Keresse meg x-et. A talált y-t behelyettesítjük bármelyik egyenletbe, mondjuk az első egyenletbe.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
A metszéspont x=4,6 lesz; y=6,4
Válasz: (4,6; 6,4)
Szeretnél ingyenesen felkészülni a vizsgákra? Oktató online ingyen. Nem viccelek.
Tovább ezt a leckét Megnézzük a lineáris egyenletrendszer megoldási módszereit. A felsőbb matematika kurzusában lineáris egyenletrendszereket kell megoldani mind különálló feladatok formájában, mint például „Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel”, mind pedig más feladatok megoldása során. A lineáris egyenletrendszerekkel a magasabb matematika szinte minden ágában foglalkozni kell.
Először is egy kis elmélet. Miben ebben az esetben a "lineáris" matematikai szót jelenti? Ez azt jelenti, hogy a rendszer egyenletei Minden változókat tartalmaznak első fokon: minden olyan divatos cucc nélkül, mint pl 
stb., aminek csak a matematikai olimpiák résztvevői örülnek.
A felsőbb matematikában nemcsak a gyermekkorból ismert betűket használjuk a változók jelölésére.
Egy meglehetősen népszerű lehetőség az indexekkel rendelkező változók: .
Vagy a latin ábécé kezdőbetűi, kicsik és nagyok:
Nem is olyan ritka, hogy görög betűket találunk: – sokan „alfa, béta, gamma” néven ismerik. És egy készlet indexekkel, mondjuk „mu” betűvel:
Egyik vagy másik betűkészlet használata attól függ, hogy a felsőbb matematika mely szakaszában lineáris egyenletrendszerrel állunk szemben. Így például az integrálok megoldása során előforduló lineáris egyenletrendszerekben, differenciál egyenletek Hagyományos a jelölés használata
De bárhogyan is jelöljük a változókat, a lineáris egyenletrendszer megoldásának elvei, módszerei és módszerei nem változnak. Így ha valami ijesztő dologgal találkozol, mint például, ne rohanj félve becsukni a problémakönyvet, elvégre rajzolhatsz helyette a napot, helyette egy madarat és helyette egy arcot (a tanárt). És bármennyire is vicces, egy lineáris egyenletrendszer ezekkel a jelölésekkel is megoldható.
Van egy olyan érzésem, hogy a cikk elég hosszú lesz, szóval egy kis tartalomjegyzék. Tehát a szekvenciális „lekérdezés” a következő lesz:
– Lineáris egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel („iskola módszer”);
– A rendszer megoldása a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásával (kivonásával).;
– A rendszer megoldása Cramer-képletekkel;
– A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével;
– A rendszer megoldása Gauss-módszerrel.
Mindenki ismeri a lineáris egyenletrendszereket iskolai tanfolyam matematika. Lényegében az ismétléssel kezdjük.
Ez a módszer"iskolamódszernek" vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerének is nevezhető. Képletesen szólva „befejezetlen Gauss-módszernek” is nevezhető.
1. példa
Itt egy két egyenletrendszert adunk meg két ismeretlennel. Vegye figyelembe, hogy a szabad tagok (5-ös és 7-es számok) az egyenlet bal oldalán találhatók. Általánosságban elmondható, hogy nem mindegy, hogy hol vannak, a bal vagy a jobb oldalon, csak a felsőbb matematikai feladatokban gyakran így helyezkednek el. És egy ilyen rögzítés nem vezethet zavarhoz, a rendszer mindig „szokás szerint” írható: . Ne felejtse el, hogy amikor egy kifejezést részről részre mozgat, meg kell változtatnia az előjelét.
Mit jelent lineáris egyenletrendszer megoldása? Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy számos megoldását megtaláljuk. Egy rendszer megoldása a benne szereplő összes változó értékeinek halmaza, amely a rendszer MINDEN egyenletét helyes egyenlőséggé változtatja. Ezen kívül a rendszer lehet nem ízületi (nincs megoldás).Ne aggódj, az általános meghatározás=) Csak egy „x” és egy „y” értékünk lesz, amelyek minden s-we egyenletet kielégítenek.
A rendszer megoldására létezik egy grafikus módszer, amellyel az órán ismerkedhet meg. A legegyszerűbb problémák egy vonallal. Ott beszéltem geometriai érzék két lineáris egyenletrendszer két ismeretlennel. De most ez az algebra, és a számok-számok, cselekvések-cselekmények korszaka.
Döntsünk: az első egyenletből ezt fejezzük ki:
A kapott kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe:
Megnyitjuk a zárójeleket, hozzáadunk hasonló kifejezéseket, és megtaláljuk az értéket: 
Ezután emlékezzünk arra, hogy minek táncoltunk:
Az értéket már ismerjük, csak meg kell találni:
Válasz:
Miután BÁRMELY egyenletrendszert BÁRMILYEN módon megoldottunk, erősen javaslom az ellenőrzést (szóban, piszkozaton vagy számológépen). Szerencsére ez egyszerűen és gyorsan megtörténik.
1) Helyettesítsd be a talált választ az első egyenletbe:
– a megfelelő egyenlőség létrejön.
2) Helyettesítsd be a talált választ a második egyenletbe: 
– a megfelelő egyenlőség létrejön.
Vagy egyszerűbben fogalmazva: „minden összejött”
A vizsgált megoldási módszer nem az egyetlen, amelyet az első egyenletből ki lehetett fejezni, és nem.
Megteheti az ellenkezőjét is – fejezzen ki valamit a második egyenletből, és helyettesítse be az első egyenletbe. Egyébként vegye figyelembe, hogy a négy módszer közül a leghátrányosabb az, ha a második egyenletből fejezzük ki:
Az eredmény tört, de miért? Van racionálisabb megoldás is.
Néhány esetben azonban továbbra sem nélkülözheti a törteket. Ezzel kapcsolatban szeretném felhívni a figyelmet arra, HOGYAN írtam le a kifejezést. Nem így: és semmi esetre sem így: 
.
Ha a felsőbb matematikában azzal van dolgod törtszámok, majd próbáljon meg minden számítást közönséges helytelen törtekben elvégezni.
Pontosan, és nem vagy!
A vessző csak néha használható, különösen akkor, ha ez egy probléma végső megoldása, és ezzel a számmal nem kell további műveleteket végrehajtani.
Sok olvasó valószínűleg azt gondolta: „miért csinálja ezt? részletes magyarázat, mint a korrekciós osztálynál, és így minden világos.” Semmi ilyesmi, olyan egyszerű iskolapéldának tűnik, de annyi NAGYON fontos következtetés van! Itt van még egy:
Törekednie kell arra, hogy minden feladatot a legracionálisabb módon hajtson végre. Már csak azért is, mert időt és idegeket takarít meg, és csökkenti a hibázás valószínűségét is.
Ha a felsőbb matematika feladatában két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenletrendszerrel találkozik, akkor mindig használhatja a helyettesítési módszert (hacsak nincs jelezve, hogy a rendszert más módszerrel kell megoldani). úgy gondolja, hogy balek vagy, és csökkenteni fogja az osztályzatát az „iskolai módszer” használata miatt.
Sőt, bizonyos esetekben célszerű a helyettesítési módszert alkalmazni nagyobb számú változóval.
2. példa
Oldjon meg három ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert!
Hasonló egyenletrendszer gyakran felmerül az úgynevezett határozatlan együtthatók módszerének alkalmazásakor, amikor egy tört racionális függvény integrálját találjuk. A kérdéses rendszert onnan vettem én.
Az integrál megtalálásakor a cél az gyors keresse meg az együtthatók értékeit, ahelyett, hogy Cramer-képleteket, inverz mátrix módszert stb. Ezért ebben az esetben a helyettesítési módszer megfelelő.
Bármilyen egyenletrendszer megadásakor mindenekelőtt azt kell kideríteni, hogy lehetséges-e valahogy AZONNAL egyszerűsíteni? A rendszer egyenleteit elemezve azt látjuk, hogy a rendszer második egyenlete osztható 2-vel, ezt tesszük:
Referencia: a matematikai jel azt jelenti, hogy „ebből az következik”, és gyakran használják a problémamegoldásban.
Most elemezzük az egyenleteket, néhány változót a többivel kell kifejeznünk. Melyik egyenletet válasszam? Valószínűleg már sejtette, hogy erre a célra a legegyszerűbb módja a rendszer első egyenletének felvétele:
Itt, függetlenül attól, hogy milyen változót kell kifejezni, ugyanolyan könnyen lehet kifejezni vagy .
Ezután behelyettesítjük a kifejezést a rendszer második és harmadik egyenletébe: 
Megnyitjuk a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket mutatunk be: 
Osszuk el a harmadik egyenletet 2-vel: 
A második egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a harmadik egyenletbe:
Szinte minden készen van, a harmadik egyenletből ezt találjuk:
A második egyenletből: 
Az első egyenletből:
Ellenőrzés: Helyettesítsük be a változók talált értékeit bal oldal a rendszer minden egyenlete:
1)
2)
3)
Az egyenletek megfelelő jobb oldalait megkapjuk, így a megoldás helyesen található.
3. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert 4 ismeretlennel!
Ez egy példa erre önálló döntés(válasz a lecke végén).
Lineáris egyenletrendszerek megoldása során nem az „iskolai módszert”, hanem a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadását (kivonását) kell alkalmazni. Miért? Ez időt takarít meg és leegyszerűsíti a számításokat, de most már minden világosabb lesz.
4. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert: 
Ugyanazt a rendszert vettem, mint az első példában.
Az egyenletrendszert elemezve azt látjuk, hogy a változó együtthatói nagyságrendjükben azonosak, előjelük pedig ellentétes (–1 és 1). Ilyen helyzetben az egyenleteket tagonként össze lehet adni: 
A pirossal bekarikázott cselekvéseket MENTÁLISAN hajtják végre.
Amint láthatja, a távonkénti összeadás eredményeként elvesztettük a változót. Valójában ez az, ami a módszer lényege az egyik változótól való megszabadulás.
Megbízhatóbb, mint az előző bekezdésben tárgyalt grafikus módszer.
Ezt a módszert 7. osztályban alkalmaztuk lineáris egyenletrendszerek megoldására. A 7. osztályban kidolgozott algoritmus nagyon alkalmas tetszőleges két egyenletrendszer (nem feltétlenül lineáris) két x és y változós rendszerének megoldására (természetesen a változókat más betűkkel is jelölhetjük, ami nem számít). Valójában ezt az algoritmust használtuk az előző bekezdésben, amikor a probléma kétjegyű szám oda vezetett matematikai modell, ami egy egyenletrendszer. Ezt a fenti egyenletrendszert helyettesítési módszerrel oldottuk meg (lásd a 4. § 1. példáját).
Algoritmus a helyettesítési módszer használatához két x, y változós egyenletrendszer megoldása során.
1. Fejezd ki y-t x-szel a rendszer egyik egyenletéből.
2. Helyettesítse be a kapott kifejezést y helyett a rendszer egy másik egyenletébe.
3. Oldja meg a kapott egyenletet x-re!
4. Helyettesítsük be egymás után a harmadik lépésben talált egyenlet gyökeinek mindegyikét x helyett az első lépésben kapott y–x kifejezésbe.
5. Írja le a választ értékpárok formájában (x; y), amelyeket a harmadik, illetve a negyedik lépésben talált meg!
4) Helyettesítse be egyenként az y talált értékét az x = 5 - 3 képletbe. Ha akkor 
5) Adott egyenletrendszer párjai (2; 1) és megoldásai.
Válasz: (2; 1);
Ezt a módszert a helyettesítési módszerhez hasonlóan a 7. osztályos algebra tantárgyból ismeri, ahol lineáris egyenletrendszerek megoldására használták. Emlékezzünk vissza a módszer lényegére a következő példa segítségével.
2. példa Egyenletrendszer megoldása
Szorozzuk meg a rendszer első egyenletének összes tagját 3-mal, a második egyenletet pedig hagyjuk változatlanul: 
Vonja ki a rendszer második egyenletét az első egyenletéből:
Az eredeti rendszer két egyenletének algebrai összeadása eredményeként egy olyan egyenletet kaptunk, amely egyszerűbb, mint az adott rendszer első és második egyenlete. Ezzel az egyszerűbb egyenlettel jogunk van egy adott rendszer bármely egyenletét helyettesíteni, például a másodikat. Ekkor az adott egyenletrendszert egy egyszerűbb rendszerrel helyettesítjük:
Ez a rendszer helyettesítési módszerrel oldható meg. A második egyenletből ezt a kifejezést y helyett a rendszer első egyenletébe behelyettesítve azt kapjuk
Marad az x talált értékei behelyettesítése a képletbe
Ha x = 2, akkor
Így két megoldást találtunk a rendszerre: 
A 8. osztályos algebra tanfolyamon megismerkedtél egy változós racionális egyenletek megoldásánál új változó bevezetésének módszerével. Ennek az egyenletrendszer-megoldási módszernek a lényege ugyanaz, de technikai szempontból van néhány jellemző, amelyeket a következő példákban tárgyalunk.
3. példa Egyenletrendszer megoldása
Vezessünk be egy új változót. Ekkor a rendszer első egyenlete egyszerűbb formában is átírható: Oldjuk meg ezt az egyenletet a t változóra vonatkozóan:
Mindkét érték megfelel a feltételnek, ezért gyökér racionális egyenlet t változóval. De ez azt jelenti, hogy hol találjuk meg, hogy x = 2y, vagy
Így egy új változó bevezetésének módszerével sikerült két egyszerűbb egyenletre „rétegezni” a rendszer első egyenletét, amely meglehetősen bonyolultnak tűnt:
x = 2 y; y - 2x.
Mi a következő lépés? Aztán mind a kettő megkapta egyszerű egyenletek egyenként kell figyelembe venni az x 2 - y 2 = 3 egyenletű rendszerben, amelyre még nem emlékeztünk. Más szavakkal, a probléma két egyenletrendszer megoldásán múlik:
Megoldásokat kell találnunk az első rendszerre, a második rendszerre, és a válaszba bele kell foglalnunk az eredményül kapott értékpárokat. Oldjuk meg az első egyenletrendszert:
Használjuk a helyettesítési módszert, főleg, hogy itt minden készen áll rá: a rendszer második egyenletébe cseréljük be az x helyett a 2y kifejezést. Kapunk
Mivel x = 2y, rendre x 1 = 2, x 2 = 2. Így az adott rendszer két megoldását kapjuk: (2; 1) és (-2; -1). Oldjuk meg a második egyenletrendszert:
Használjuk ismét a helyettesítési módszert: a rendszer második egyenletébe az y helyett 2x kifejezést cseréljük be. Kapunk
Ennek az egyenletnek nincs gyökere, ami azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek nincsenek megoldásai. Így csak az első rendszer megoldásait kell a válaszban szerepeltetni.
Válasz: (2; 1); (-2;-1).
Az új változók bevezetésének módszere két változós egyenletrendszer megoldása során két változatban használatos. Első lehetőség: egy új változó kerül bevezetésre, és csak a rendszer egy egyenletében kerül felhasználásra. Pontosan ez történt a 3. példában. Második lehetőség: két új változót vezetünk be és használunk egyszerre a rendszer mindkét egyenletében. Ez lesz a helyzet a 4. példában.
4. példa Egyenletrendszer megoldása
Vezessünk be két új változót:
Akkor ezt vegyük figyelembe
Ez lehetővé teszi az adott rendszer átírását sokkal egyszerűbb formában, de tekintettel az új a és b változókra:
Mivel a = 1, akkor az a + 6 = 2 egyenletből a következőt kapjuk: 1 + 6 = 2; 6=1. Így az a és b változókra egy megoldást kaptunk:
Visszatérve az x és y változókra, egy egyenletrendszert kapunk
Alkalmazzuk az algebrai összeadás módszerét ennek a rendszernek a megoldására:
Azóta a 2x + y = 3 egyenletből a következőket kapjuk:
Így az x és y változókra egy megoldást kaptunk:
Ezt a bekezdést egy rövid, de meglehetősen komoly elméleti beszélgetéssel zárjuk. Ön már szerzett némi tapasztalatot különféle egyenletek megoldásában: lineáris, másodfokú, racionális, irracionális. Tudod, hogy egy egyenlet megoldásának fő gondolata az, hogy fokozatosan lépjünk át az egyik egyenletről a másikra, egyszerűbbre, de egyenértékűre az adott egyenlettel. Az előző bekezdésben bemutattuk az ekvivalencia fogalmát a kétváltozós egyenletek esetében. Ezt a fogalmat egyenletrendszereknél is használják.
Meghatározás.
Két x és y változós egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik megegyeznek, vagy ha mindkét rendszernek nincs megoldása.
Mindhárom módszer (helyettesítés, algebrai összeadás és új változók bevezetése), amelyet ebben a részben tárgyaltunk, teljesen helyes az ekvivalencia szempontjából. Más szóval, ezekkel a módszerekkel egy egyenletrendszert helyettesítünk egy másik, egyszerűbb, de az eredeti rendszerrel egyenértékű egyenletrendszerrel.
Megtanultuk már, hogyan lehet egyenletrendszereket megoldani olyan általános és megbízható módszerekkel, mint a helyettesítés, az algebrai összeadás és az új változók bevezetése. Most emlékezzünk arra a módszerre, amelyet az előző leckében már tanultál. Vagyis ismételjük meg, amit tud grafikus módszer megoldásokat.
Módszer egyenletrendszerek megoldására grafikusanábrázolja egy gráf felépítését az adott rendszerben szereplő és ugyanabban a koordinátasíkban elhelyezkedő konkrét egyenletekhez, valamint azt, hogy hol kell megtalálni e gráfok pontjainak metszéspontjait. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásához adjuk meg ennek a pontnak a koordinátáit (x; y).
Emlékeztetni kell arra, hogy azért grafikus rendszer Az egyenletek általában vagy egyetlen helyes megoldást tartalmaznak, vagy végtelen számú megoldást tartalmaznak, vagy egyáltalán nincsenek megoldások.
Most nézzük meg részletesebben mindegyik megoldást. Tehát egy egyenletrendszernek lehet egyedi megoldása, ha a rendszer egyenleteinek grafikonjait képező egyenesek metszik egymást. Ha ezek az egyenesek párhuzamosak, akkor egy ilyen egyenletrendszernek egyáltalán nincs megoldása. Ha a rendszer egyenleteinek direkt gráfjai egybeesnek, akkor egy ilyen rendszer sok megoldást tesz lehetővé.
Nos, most nézzük meg az algoritmust egy két egyenletrendszer 2 ismeretlennel grafikus módszerrel történő megoldására:
Először is, először elkészítjük az 1. egyenlet grafikonját;
A második lépés a második egyenlethez kapcsolódó gráf megalkotása;
Harmadszor, meg kell találnunk a grafikonok metszéspontjait.
És ennek eredményeként megkapjuk az egyes metszéspontok koordinátáit, ami az egyenletrendszer megoldása lesz.
Nézzük meg ezt a módszert részletesebben egy példa segítségével. Kapunk egy egyenletrendszert, amelyet meg kell oldani:
Egyenletek megoldása
1. Először elkészítjük ennek az egyenletnek a grafikonját: x2+y2=9.
De meg kell jegyezni, hogy ez az egyenletgrafikon egy kör lesz, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig három.
2. Következő lépésünk egy egyenlet grafikonjának felrajzolása lesz, például: y = x – 3.
Ebben az esetben egy egyenest kell készítenünk, és meg kell keresnünk a (0;−3) és (3;0) pontokat.
3. Lássuk, mit kaptunk. Látjuk, hogy az egyenes két A és B pontjában metszi a kört.
Most ezeknek a pontoknak a koordinátáit keressük. Látjuk, hogy a koordináták (3;0) az A pontnak, a koordináták (0;−3) pedig a B pontnak felelnek meg.
És mit kapunk ennek eredményeként?
Azok a (3;0) és (0;−3) számok, amelyeket akkor kapunk, amikor az egyenes metszi a kört, pontosan a rendszer mindkét egyenletének megoldásai. Ebből pedig az következik, hogy ezek a számok ennek az egyenletrendszernek a megoldásai is.
Vagyis erre a megoldásra a (3;0) és (0;−3) számok adják a választ.
