A másodfokú függvényt a képlet adja meg. Másodfokú függvény ábrázolása

Számos probléma megköveteli a maximális vagy minimális érték kiszámítását másodfokú függvény. A maximum vagy minimum akkor található, ha az eredeti függvény be van írva alapforma: vagy a parabola csúcsának koordinátáin keresztül: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Ezenkívül bármely másodfokú függvény maximuma vagy minimuma kiszámítható matematikai műveletekkel.

Lépések

A másodfokú függvény szabványos formában van írva

Írja le a függvényt szabványos formában! A másodfokú függvény olyan függvény, amelynek egyenlete változót tartalmaz x 2 (\displaystyle x^(2)). Az egyenlet tartalmazhat változót, de nem is x (\displaystyle x). Ha egy egyenlet 2-nél nagyobb kitevőjű változót tartalmaz, az nem ír le másodfokú függvényt. Ha szükséges, adjon meg hasonló kifejezéseket, és rendezze át őket úgy, hogy a függvényt szabványos formában írja meg.

• Például adott a függvény f(x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Adjon hozzá kifejezéseket változóval x 2 (\displaystyle x^(2))és változóval rendelkező tagok x (\displaystyle x) az egyenlet szabványos formában történő felírásához:
  • f(x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. A másodfokú függvény grafikonja egy parabola. A parabola ágai felfelé vagy lefelé irányulnak. Ha az együttható a (\displaystyle a) változóval x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f(x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Itt a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = −3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Itt tehát a parabola lefelé irányul.
   • f(x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Itt a = 1 (\displaystyle a=1), tehát a parabola felfelé irányul.
   • Ha a parabola felfelé irányul, meg kell keresni a minimumát. Ha a parabola lefelé mutat, keresse meg a maximumát.

2. Számítsa ki -b/2a. Jelentése − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) a koordináta x (\displaystyle x) a parabola csúcsai. Ha egy másodfokú függvényt szabványos formában írunk fel a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), használja az együtthatókat x (\displaystyle x)És x 2 (\displaystyle x^(2)) a következő módon:

   • A függvényegyütthatókban a = 1 (\displaystyle a=1)És b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Második példaként tekintsük a függvényt. Itt a = − 3 (\displaystyle a=-3)És b = 6 (\displaystyle b=6). Ezért számítsa ki a parabola csúcsának „x” koordinátáját a következőképpen:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Keresse meg f(x) megfelelő értékét! Csatlakoztassa az „x” talált értékét az eredeti függvényhez, hogy megtalálja f(x) megfelelő értékét. Így megtalálhatja a függvény minimumát vagy maximumát.

   • Az első példában f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) kiszámoltad, hogy a parabola csúcsának x koordinátája az x = − 5 (\displaystyle x=-5). Az eredeti függvényben ahelyett x (\displaystyle x) helyettes − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f(x) = −26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • A második példában f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) azt találta, hogy a parabola csúcsának x koordinátája az x = 1 (\displaystyle x=1). Az eredeti függvényben ahelyett x (\displaystyle x) helyettes 1 (\displaystyle 1) a maximális érték meghatározásához:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Írd le a válaszod. Olvasd el újra a problémafelvetést. Ha meg kell találnia egy parabola csúcsának koordinátáit, írja le mindkét értéket a válaszában x (\displaystyle x)És y (\displaystyle y)(vagy f (x) (\displaystyle f(x))). Ha ki kell számítania egy függvény maximumát vagy minimumát, csak az értéket írja le a válaszában y (\displaystyle y)(vagy f (x) (\displaystyle f(x))). Nézze meg újra az együttható jelét a (\displaystyle a) ellenőrizni, hogy a maximumot vagy a minimumot számította-e ki.

   • Az első példában f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) jelentése a (\displaystyle a) pozitív, tehát kiszámolta a minimumot. A parabola csúcsa a koordinátákkal rendelkező pontban található (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5, -26)), és a függvény minimális értéke − 26 (\displaystyle -26).
   • A második példában f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) jelentése a (\displaystyle a) negatív, tehát megtalálta a maximumot. A parabola csúcsa a koordinátákkal rendelkező pontban található (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), és a függvény maximális értéke − 1 (\displaystyle -1).

5. Határozza meg a parabola irányát! Ehhez nézze meg az együttható jelét a (\displaystyle a). Ha az együttható a (\displaystyle a) pozitív, a parabola felfelé irányul. Ha az együttható a (\displaystyle a) negatív, a parabola lefelé irányul. Például:

   • . Itt a = 2 (\displaystyle a=2), vagyis az együttható pozitív, tehát a parabola felfelé irányul.
   • . Itt a = − 3 (\displaystyle a=-3), azaz az együttható negatív, tehát a parabola lefelé irányul.
   • Ha a parabola felfelé irányul, akkor ki kell számítania a függvény minimális értékét. Ha a parabola lefelé irányul, meg kell találnia a függvény maximális értékét.

6. Keresse meg a függvény minimális vagy maximális értékét. Ha a függvényt a parabola csúcsának koordinátáin keresztül írjuk, akkor a minimum vagy maximum egyenlő az együttható értékével k (\displaystyle k). A fenti példákban:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Itt k = − 4 (\megjelenítési stílus k=-4). Ez a függvény minimális értéke, mert a parabola felfelé irányul.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Itt k = 2 (\displaystyle k=2). Ez a függvény maximális értéke, mivel a parabola lefelé irányul.

7. Határozzuk meg a parabola csúcsának koordinátáit! Ha a feladat megköveteli egy parabola csúcsának megtalálását, akkor a koordinátái: (h , k) (\megjelenítési stílus (h,k)). Kérjük, vegye figyelembe, hogy ha egy másodfokú függvényt egy parabola csúcsának koordinátáin keresztül írunk le, akkor a kivonási műveletet zárójelek közé kell tenni (x − h) (\displaystyle (x-h)), tehát az érték h (\displaystyle h) ellenkező előjellel veszik.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Itt zárójelben van az (x+1) összeadási művelet, amely a következőképpen írható át: (x-(-1)). És így, h = – 1 (\megjelenítési stílus h=-1). Ezért ennek a függvénynek a parabola csúcsának koordinátái egyenlők (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1, -4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Itt van zárójelben az (x-2) kifejezés. Ennélfogva, h = 2 (\displaystyle h=2). A csúcs koordinátái (2,2).

Minimum vagy maximum kiszámítása matematikai műveletek segítségével

1. Először nézzük meg az egyenlet szabványos formáját.Írja fel a másodfokú függvényt szabványos formában: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Ha szükséges, adjon hozzá hasonló kifejezéseket, és rendezze át őket, hogy megkapja a standard egyenletet.

   • Például: .

2. Keresse meg az első származékot. A másodfokú függvény első deriváltja, amely szabványos formában van felírva, egyenlő f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f(x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Ennek a függvénynek az első deriváltját a következőképpen számítjuk ki:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Egyenlítse a derivált nullával. Emlékezzünk vissza, hogy egy függvény deriváltja egyenlő a függvény meredekségével egy bizonyos pontban. Minimum vagy maximum lejtő egyenlő nullával. Ezért egy függvény minimális vagy maximális értékének megtalálásához a deriváltot nullára kell állítani. Példánkban.

Valószínűleg mindenki tudja, mi az a parabola. De megvizsgáljuk, hogyan kell helyesen és hozzáértően használni a különféle gyakorlati problémák megoldása során.

Először vázoljuk fel azokat az alapfogalmakat, amelyeket az algebra és a geometria ad ehhez a kifejezéshez. Vegyünk mindent fontolóra lehetséges típusok ezt a diagramot.

Nézzük meg ennek a funkciónak az összes főbb jellemzőjét. Ismerjük meg a görbeépítés (geometria) alapjait. Tanuljuk meg, hogyan találjuk meg egy ilyen típusú grafikon felső és egyéb alapértékeit.

Nézzük meg: hogyan kell helyesen megszerkeszteni a kívánt görbét az egyenlet segítségével, mire kell figyelni. Lássuk az alapokat gyakorlati használat ezt az egyedülálló értéket az emberi életben.

Mi az a parabola és hogyan néz ki?

Algebra: Ez a kifejezés egy másodfokú függvény grafikonjára utal.

Geometria: ez egy másodrendű görbe, amely számos sajátos tulajdonsággal rendelkezik:

Kanonikus parabola egyenlet

Az ábrán egy téglalap alakú koordináta-rendszer (XOY), egy szélsőség látható, a függvény ágainak iránya az abszcissza tengely mentén rajzolva.

A kanonikus egyenlet a következő:

y 2 = 2 * p * x,

ahol p együttható a parabola (AF) fókuszparamétere.

Az algebrában másképp lesz írva:

y = a x 2 + b x + c (felismerhető minta: y = x 2).

Másodfokú függvény tulajdonságai és grafikonja

A függvénynek van egy szimmetriatengelye és egy középpontja (extrémum). A meghatározás tartománya az abszcissza tengely összes értéke.

A – (-∞, M) vagy (M, +∞) függvény értéktartománya a görbe ágainak irányától függ. Az M paraméter itt a sor tetején lévő függvény értékét jelenti.

Hogyan határozzuk meg, hová irányulnak a parabola ágai

Egy ilyen típusú görbe irányának meghatározásához egy kifejezésből meg kell határozni az algebrai kifejezés első paramétere előtti előjelet. Ha a ˃ 0, akkor felfelé irányulnak. Ha fordítva, akkor le.

Hogyan találjuk meg a parabola csúcsát a képlet segítségével

A szélsőség megtalálása a fő lépés számos gyakorlati probléma megoldásában. Természetesen nyithat speciális online számológépek, de jobb, ha magad is meg tudod csinálni.

Hogyan határozható meg? Van egy speciális képlet. Ha b nem egyenlő 0-val, meg kell keresnünk ennek a pontnak a koordinátáit.

Képletek a csúcs megtalálásához:

• x0 = -b/(2*a);
• y 0 = y (x 0).

Példa.

Van egy y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 függvény. Keressük meg ennek a függvénynek a csúcsait.

Egy ilyen sorhoz:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Megkapjuk a csúcs koordinátáit (-2, -41).

Parabola elmozdulás

A klasszikus eset az, amikor egy y = a x 2 + b x + c másodfokú függvényben a második és a harmadik paraméter 0, és = 1 - a csúcs a (0; 0) pontban van.

Az abszcissza vagy ordináta tengelyek mentén történő mozgás a b és c paraméterek változásának köszönhető. A síkon lévő vonal pontosan annyi egységgel tolódik el, amennyivel megegyezik a paraméter értékével.

Példa.

Van: b = 2, c = 3.

Ez azt jelenti, hogy a görbe klasszikus formája az abszcissza tengely mentén 2 egységnyi szegmenssel, az ordináta tengelye mentén pedig 3 egységnyi szegmenssel tolódik el.

Hogyan készítsünk parabolát másodfokú egyenlet segítségével

Fontos, hogy az iskolások megtanulják, hogyan kell helyesen rajzolni egy parabolát adott paraméterek segítségével.

A kifejezések és egyenletek elemzésével a következőket láthatja:

1. A kívánt egyenes és az ordinátavektor metszéspontja c-vel egyenlő lesz.
2. A grafikon minden pontja (az x tengely mentén) szimmetrikus lesz a függvény fő szélsőértékéhez képest.

Ezen túlmenően, az OX metszéspontjait megtalálhatjuk egy ilyen függvény diszkriminánsának (D) ismeretében:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Ehhez a kifejezést nullával kell egyenlővé tenni.

A parabola gyökereinek jelenléte az eredménytől függ:

• D ˃ 0, akkor x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, akkor x 1, 2 = -b/(2*a);
• D ˂ 0, akkor nincs metszéspont az OX vektorral.

Megkapjuk a parabola felépítésének algoritmusát:

• határozza meg az ágak irányát;
• keresse meg a csúcs koordinátáit;
• keresse meg a metszéspontot az ordináta tengellyel;
• keresse meg az x tengellyel való metszéspontot.

1. példa

Adott az y = x 2 - 5 * x + 4 függvény. Parabolát kell alkotni. Az algoritmust követjük:

1. a = 1, ezért az ágak felfelé irányulnak;
2. szélső koordináták: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. metszi az ordináta tengelyt az y = 4 értéknél;
4. keressük meg a diszkriminánst: D = 25 - 16 = 9;
5. gyökereket keresek:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X2 = (5-3)/2 = 1; (10).

2. példa

Az y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 függvényhez parabolát kell alkotnia. A megadott algoritmus szerint járunk el:

1. a = 3, ezért az ágak felfelé irányulnak;
2. szélső koordináták: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. metszi az y tengellyel y = -1 értékben;
4. keressük meg a diszkriminánst: D = 4 + 12 = 16. Tehát a gyökök:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X2 = (2-4)/6 = -1/3; (-1/3; 0).

A kapott pontok felhasználásával parabolát szerkeszthet.

Irány, excentricitás, parabola fókusza

A kanonikus egyenlet alapján F fókuszának koordinátái vannak (p/2, 0).

Az AB egyenes egy irányvonal (egy bizonyos hosszúságú parabola egyfajta húrja). Egyenlete: x = -p/2.

Excentricitás (állandó) = 1.

Következtetés

Megnéztünk egy témát, amelyben az iskolások tanulnak Gimnázium. Most már tudja, ha egy parabola másodfokú függvényét nézi, hogyan találja meg a csúcsát, milyen irányba fognak az ágak irányítani, van-e elmozdulás a tengelyek mentén, és szerkesztési algoritmussal megrajzolhatja a grafikonját.

A hol alak függvényét hívják másodfokú függvény.

Másodfokú függvény grafikonja – parabola.

Nézzük az eseteket:

I ESET, KLASSZIKUS PARABOLA

Azaz ,

Az összeállításhoz töltse ki a táblázatot az x értékek behelyettesítésével a képletbe:

Jelölje be a pontokat (0;0); (1;1); (-1;1) stb. a koordinátasíkon (minél kisebb lépésben vesszük az x értékeket (in ebben az esetben lépés), és minél több x értéket veszünk fel, annál simább lesz a görbe), egy parabolát kapunk:

Könnyen belátható, hogy ha vesszük az , , esetet, azaz, akkor a tengelyre (oh) szimmetrikus parabolát kapunk. Ezt könnyű ellenőrizni egy hasonló táblázat kitöltésével:

II. ESET, „A” KÜLÖNBÖZIK AZ EGYSÉGTŐL

Mi lesz, ha , , ? Hogyan fog megváltozni a parabola viselkedése? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Az első képen (lásd fent) jól látható, hogy a parabola (1;1), (-1;1) pontjai a táblázatból (1;4), (1;-4) pontokká alakultak, azaz azonos értékek mellett minden pont ordinátáját megszorozzuk 4-gyel. Ez megtörténik az eredeti táblázat összes kulcspontjával. Hasonlóan érvelünk a 2. és 3. kép esetében is.

És amikor a parabola „szélesebbé válik”, mint a parabola:

Összefoglaljuk:

1)Az együttható előjele határozza meg az ágak irányát. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Abszolút érték együttható (modulus) felelős a parabola „tágulásáért” és „összenyomódásáért”. Minél nagyobb , annál keskenyebb a parabola, minél kisebb |a|, annál szélesebb a parabola.

III. ESET, „C” MEGJELENÉS

Most pedig vezessük be a játékba (vagyis vegyük figyelembe azt az esetet, amikor), figyelembe vesszük a forma paraboláit. Nem nehéz kitalálni (mindig hivatkozhat a táblázatra), hogy a parabola az előjeltől függően felfelé vagy lefelé tolódik el a tengely mentén:

IV. ESET, „b” MEGJELENÉS

Mikor fog a parabola „elszakadni” a tengelytől, és végül „járni” a teljes koordinátasíkon? Mikor lesz többé egyenlő?

Itt egy parabola megalkotásához szükségünk van képlet a csúcs kiszámításához: , .

Tehát ezen a ponton (mint a (0;0) pontban) új rendszer koordináták) megépítünk egy parabolát, amit már meg is tudunk tenni. Ha az esettel foglalkozunk, akkor a csúcsból egy egységszegmenst teszünk jobbra, egyet felfelé, - a kapott pont a miénk (hasonlóan egy lépés balra, egy lépés a mi pontunk); ha például foglalkozunk, akkor a csúcsból egy egységszegmenst teszünk jobbra, kettőt - felfelé stb.

Például egy parabola csúcsa:

Most a legfontosabb, hogy megértsük, hogy ebben a csúcsban parabolát fogunk felépíteni a parabolaminta szerint, mert esetünkben.

Parabola felépítésénél miután megtalálta a csúcs koordinátáit nagyonÉrdemes a következő szempontokat figyelembe venni:

1) parabola biztosan átmegy a ponton . Valóban, ha x=0-t behelyettesítünk a képletbe, azt kapjuk, hogy . Azaz a parabola (oy) tengellyel való metszéspontjának ordinátája . A fenti példánkban a parabola pontban metszi az ordinátát, mivel .

2) szimmetriatengely parabolák egy egyenes, így a parabola minden pontja szimmetrikus lesz rá. Példánkban azonnal vesszük a (0; -2) pontot, és a parabola szimmetriatengelyéhez képest szimmetrikusan építjük fel, megkapjuk azt a pontot (4; -2), amelyen a parabola áthalad.

3) A -val egyenlítve megtudjuk a parabola metszéspontjait a tengellyel (oh). Ehhez megoldjuk az egyenletet. A diszkriminánstól függően egyet (, ), kettőt ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) kapunk" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Az előző példában a diszkrimináns gyökünk nem egész szám szerkesztéskor, nincs sok értelme a gyökök megkeresésére, de jól látjuk, hogy lesz két metszéspontunk a tengellyel (oh) (hiszen title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Szóval dolgozzuk ki

Algoritmus egy parabola felépítéséhez, ha az formában van megadva

1) határozzuk meg az ágak irányát (a>0 – felfelé, a<0 – вниз)

2) a parabola csúcsának koordinátáit a , képlet segítségével találjuk meg.

3) megkeressük a parabola metszéspontját a tengellyel (oy) a szabad tag segítségével, alkossunk erre a pontra szimmetrikus pontot a parabola szimmetriatengelyéhez képest (meg kell jegyezni, hogy előfordul, hogy nem kifizetődő a jelölés ezt a pontot például mert nagy az érték... ezt a pontot kihagyjuk...)

4) A megtalált pontban - a parabola csúcsában (mint az új koordinátarendszer (0;0) pontjában) parabolát szerkesztünk. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Az egyenlet megoldásával megtaláljuk a parabola metszéspontjait az (oy) tengellyel (ha még nem „felszínre kerültek”)

1. példa

2. példa

1. megjegyzés. Ha a parabolát kezdetben a formában adjuk meg nekünk, ahol néhány szám van (például ), akkor még könnyebb lesz megszerkeszteni, mert már megkaptuk a csúcs koordinátáit. Miért?

Vegyünk egy másodfokú trinomit, és izoláljuk benne a teljes négyzetet: Nézze, megkaptuk, hogy , . Te és én korábban egy parabola csúcsának neveztük, vagyis most,.

Például, . Megjelöljük a síkon a parabola csúcsát, megértjük, hogy az ágak lefelé irányulnak, a parabola kitágult (-hez képest). Vagyis végrehajtjuk az 1. pontokat; 3; 4; 5. ábra a parabola felépítésének algoritmusából (lásd fent).

Jegyzet 2. Ha a parabolát ehhez hasonló formában adjuk meg (vagyis két lineáris tényező szorzataként adjuk meg), akkor azonnal látjuk a parabola metszéspontjait a tengellyel (ökör). Ebben az esetben – (0;0) és (4;0). A többinél az algoritmus szerint járunk el, kinyitva a zárójeleket.

15. lecke.
Az esélyek hatásaa, b ÉsVal vel a helyszínre
másodfokú függvény grafikonja

Célok: a másodfokú függvények ábrázolásának és tulajdonságainak felsorolásának képességének továbbfejlesztése; azonosítani az együtthatók hatását A, bÉs Val vel egy másodfokú függvény grafikonjának helyéről.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

II. Szóbeli munka.

Határozza meg, melyik függvénygrafikon látható az ábrán:

nál nél = x 2 – 2x – 1;

nál nél = –2x 2 – 8x;

nál nél = x 2 – 4x – 1;

nál nél = 2x 2 + 8x + 7;

nál nél = 2x 2 – 1.

b)

nál nél = x 2 – 2x;

nál nél = –x 2 + 4x + 1;

nál nél = –x 2 – 4x + 1;

nál nél = –x 2 + 4x – 1;

nál nél = –x 2 + 2x – 1.

III. A készségek és képességek kialakulása.

Feladatok:

1. 127. sz. a) pont.

Megoldás

Egyenes nál nél = 6x + b parabolát érint nál nél = x 2 + 8, vagyis csak egy közös pontja van vele abban az esetben, ha a 6. egyenlet x + b = x A 2 + 8 egyedi megoldást kínál.

Ez az egyenlet másodfokú, keressük meg a diszkriminánsát:

x 2 – 6x + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0, ha 1 + b= 0, azaz b= –1.

Válasz: b= –1.

3. Határozza meg az együtthatók hatását! A, bÉs Val vel a függvénygráf helyén nál nél = Ó 2 + bx + Val vel.

A tanulók elegendő tudással rendelkeznek a feladat önálló elvégzéséhez. Fel kell kérni őket, hogy írják le minden megállapításukat egy jegyzetfüzetbe, kiemelve az egyes együtthatók „fő” szerepét.

1) Együttható A befolyásolja a parabola ágainak irányát: mikor A> 0 – az ágak felfelé irányulnak, azzal A < 0 – вниз.

2) Együttható b befolyásolja a parabola csúcsának elhelyezkedését. Nál nél b= 0 csúcs a tengelyen fekszik OU.

3) Együttható Val vel mutatja a parabola metszéspontját a tengellyel OU.

Ezek után egy példát lehet felhozni annak bemutatására, hogy mit lehet mondani az együtthatókról A, bÉs Val vel a függvény grafikonja szerint.

Jelentése Val vel pontosan nevezhető: mivel a gráf metszi a tengelyt OU pontban (0; 1), akkor Val vel = 1.

Együttható A nullához hasonlítható: mivel a parabola ágai lefelé irányulnak, akkor A < 0.

Együttható jel b a parabola csúcsának abszcisszáját meghatározó képletből megtudható: T= , mivel A < 0 и T= 1, akkor b> 0.

4. Határozza meg, hogy az ábrán melyik függvénygrafikon látható az együtthatók értéke alapján! A, bÉs Val vel.

nál nél = –x 2 + 2x;

nál nél = x 2 + 2x + 2;

nál nél = 2x 2 – 3x – 2;

nál nél = x 2 – 2.

Megoldás

A, bÉs Val vel:

A> 0, mivel a parabola ágai felfelé irányulnak;

b OU;

Val vel= –2, mivel a parabola a (0; –2) pontban metszi az ordinátát.

nál nél = 2x 2 – 3x – 2.

nál nél = x 2 – 2x;

nál nél = –2x 2 + x + 3;

nál nél = –3x 2 – x – 1;

nál nél = –2,7x 2 – 2x.

Megoldás

A feltüntetett menetrend szerint csináljuk a következő következtetéseket az együtthatókról A, bÉs Val vel:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, mivel a parabola csúcsa nem fekszik a tengelyen OU;

Val vel= 0, mivel a parabola metszi a tengelyt OU pontban (0; 0).

Mindezeket a feltételeket csak a függvény teljesíti nál nél = –2,7x 2 – 2x.

5. A függvény grafikonja szerint nál nél = Ó 2 + bx + Val vel A, bÉs Val vel:

A) b)

Megoldás

a) A parabola ágai felfelé irányulnak tehát A > 0.

A parabola az alsó félsíkban metszi az ordináta tengelyt, tehát Val vel < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b A képlet segítségével keressük meg egy parabola csúcsának abszcisszáját: T= . A grafikonon az látszik T < 0, и мы определим, что A> 0. Ezért b> 0.

b) Hasonlóképpen határozzuk meg az együtthatók előjeleit A, bÉs Val vel:

A < 0, Val vel > 0, b< 0.

A tanulmányilag erős hallgatók további lehetőséget kaphatnak a 247. sz.

Megoldás

nál nél = x 2 + px + q.

a) Vieta tétele szerint ismert, hogy ha x 1 és x 2 – az egyenlet gyökei x 2 +
+ px + q= 0 (vagyis ennek a függvénynek a nullái), akkor x 1 · x 2 = qÉs x 1 + x 2 = –R. Ezt értjük q= 3 4 = 12 és R = –(3 + 4) = –7.

b) A parabola metszéspontja a tengellyel OU megadja a paraméter értékét q, vagyis q= 6. Ha egy függvény grafikonja metszi a tengelyt Ó a (2; 0) pontban, akkor a 2 szám az egyenlet gyöke x 2 + px + q= 0. Az érték behelyettesítése x= 2 ebbe az egyenletbe, azt kapjuk R = –5.

c) Ez a másodfokú függvény a parabola csúcsánál éri el minimális értékét, ezért R= –12. Feltétel szerint a függvény értéke nál nél = x 2 – 12x + q azon a ponton x= 6 egyenlő 24-gyel. Behelyettesítés x= 6 és nál nél= 24 ebbe a függvénybe, azt találjuk q= 60.

IV. Ellenőrző munka.

1.opció

1. Ábrázolja a függvényt nál nél = 2x 2 + 4x– 6 és keresse meg a grafikon segítségével:

a) a függvény nullái;

b) intervallumok, amelyekben nál nél> 0 és y < 0;

G) legkisebb érték funkciók;

e) a függvény tartománya.

2. A függvény grafikus ábrázolása nélkül nál nél = –x 2 + 4x, megtalálja:

a) a függvény nullái;

c) a függvény tartománya.

3. A függvény grafikonja szerint nál nél = Ó 2 + bx + Val vel határozza meg az együtthatók előjeleit A, bÉs Val vel:

2. lehetőség

1. Ábrázolja a függvényt nál nél = –x 2 + 2x+3 és keresse meg a grafikon segítségével:

a) a függvény nullái;

b) intervallumok, amelyekben nál nél> 0 és y < 0;

c) növekvő és csökkenő függvények intervallumai;

G) legmagasabb érték funkciók;

e) a függvény tartománya.

2. A függvény grafikus ábrázolása nélkül nál nél = 2x 2 + 8x, megtalálja:

a) a függvény nullái;

b) növekvő és csökkenő függvény intervallumai;

c) a függvény tartománya.

3. A függvény grafikonja szerint nál nél = Ó 2 + bx + Val vel határozza meg az együtthatók előjeleit A, bÉs Val vel:

V. Óraösszefoglaló.

Gyakran Ismételt Kérdések:

– Ismertesse a másodfokú függvény összeállításának algoritmusát!

– Sorolja fel a függvény tulajdonságait nál nél = Ó 2 + bx + Val vel nál nél A> 0 és at A < 0.

– Hogyan hatnak az esélyek? A, bÉs Val vel másodfokú függvény gráfjának helyén?

Házi feladat: 127. (b), 128., 248. sz.

TOVÁBBI: 130. sz.