A logaritmikus egyenlőtlenségek sokfélesége közül a változó bázisú egyenlőtlenségeket külön vizsgáljuk. Ezeket egy speciális képlettel oldják meg, amelyet valamilyen oknál fogva ritkán tanítanak az iskolában:
log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0
A „∨” jelölőnégyzet helyett tetszőleges egyenlőtlenségjelet helyezhet el: többet vagy kevesebbet. A lényeg az, hogy mindkét egyenlőtlenségben az előjelek azonosak legyenek.
Így megszabadulunk a logaritmusoktól, és a problémát racionális egyenlőtlenségre redukáljuk. Ez utóbbi sokkal könnyebben megoldható, de a logaritmusok elvetésekor plusz gyökök jelenhetnek meg. Ezek levágásához elég megtalálni az elfogadható értékek tartományát. Ha elfelejtette egy logaritmus ODZ-jét, erősen ajánlom, hogy ismételje meg – lásd: „Mi a logaritmus”.
Mindent, ami az elfogadható értékek tartományával kapcsolatos, külön ki kell írni és meg kell oldani:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Ez a négy egyenlőtlenség egy rendszert alkot, és egyszerre kell teljesülniük. Ha megtalálta az elfogadható értékek tartományát, csak az marad, hogy metssze azt a megoldással racionális egyenlőtlenség- és kész a válasz.
Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
Először írjuk ki a logaritmus ODZ-jét:
Az első két egyenlőtlenség automatikusan teljesül, de az utolsót ki kell írni. Mivel egy szám négyzete akkor és csak akkor nulla, ha maga a szám nulla, így van:
x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Kiderült, hogy a logaritmus ODZ-je nulla kivételével minden szám: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Most megoldjuk a fő egyenlőtlenséget:
A logaritmikus egyenlőtlenségről áttérünk a racionális egyenlőtlenségre. Az eredeti egyenlőtlenségnek van egy „kisebb, mint” előjele, ami azt jelenti, hogy az eredményül kapott egyenlőtlenségnek is kell lennie egy „kisebb, mint” előjelnek. Nekünk van:
(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.
Ennek a kifejezésnek a nullái: x = 3; x = -3; x = 0. Sőt, x = 0 a második multiplicitás gyöke, ami azt jelenti, hogy ezen áthaladva a függvény előjele nem változik. Nekünk van:
Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ez a halmaz teljes mértékben benne van a logaritmus ODZ-jében, ami azt jelenti, hogy ez a válasz.
Az eredeti egyenlőtlenség gyakran eltér a fentitől. Ez könnyen kijavítható a logaritmusokkal végzett munka szabványos szabályaival – lásd: „A logaritmusok alapvető tulajdonságai”. Ugyanis:
Külön szeretném emlékeztetni az elfogadható értékek tartományára. Mivel az eredeti egyenlőtlenségben több logaritmus is lehet, meg kell találni mindegyik VA értékét. És így, általános séma A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásai a következők:
Feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
Keressük meg az első logaritmus definíciós tartományát (DO):
Intervallum módszerrel oldjuk meg. A számláló nulláinak megkeresése:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Ezután - a nevező nullái:
x − 1 = 0;
x = 1.
A koordináta nyílon nullákat és jeleket jelölünk:
Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). A második logaritmusnak ugyanaz a VA. Ha nem hiszi, megnézheti. Most átalakítjuk a második logaritmust úgy, hogy az alap kettő legyen:
Amint látja, a logaritmus alapjában és előtti hármasai csökkentek. Két azonos bázisú logaritmust kaptunk. Adjuk össze őket:
log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Megkaptuk a standard logaritmikus egyenlőtlenséget. A képlet segítségével megszabadulunk a logaritmusoktól. Mivel az eredeti egyenlőtlenség „kevesebb, mint” jelet tartalmaz, a kapott racionális kifejezés nullánál is kisebbnek kell lennie. Nekünk van:
(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
Két készletet kaptunk:
Már csak metszeni kell ezeket a halmazokat - megkapjuk az igazi választ:
Minket a halmazok metszéspontja érdekel, ezért olyan intervallumokat választunk, amelyek mindkét nyílon árnyékoltak. Azt kapjuk, hogy x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - minden pont ki van szúrva.
Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
Az óra céljai:
Didaktikus:
Nevelési: fejleszti a memóriát, a figyelmet, logikus gondolkodás, összehasonlítási készség, általánosítási és következtetési képesség
Nevelési: pontosságot, az elvégzett feladat iránti felelősséget és a kölcsönös segítségnyújtást fejlesztik.
Tanítási módok: szóbeli , vizuális , gyakorlati , részleges keresés , önkormányzat , ellenőrzés.
Szervezeti formák kognitív tevékenység tanulók: elülső , Egyedi , párokban dolgozni.
Felszerelés: készlet tesztfeladatokat, alátámasztó jegyzetek, üres lapok a megoldásokhoz.
Az óra típusa:új anyagok tanulása.
Az órák alatt
1. Szervezési mozzanat. Meghirdetik az óra témáját és céljait, az óratervet: minden tanuló kap egy értékelő lapot, amelyet a tanuló az óra során kitölt; tanulópáronként - feladatokkal ellátott nyomtatott anyagokat párban kell kitölteni; üres oldatlapok; segédlapok: logaritmus meghatározása; logaritmikus függvény grafikonja, tulajdonságai; a logaritmusok tulajdonságai; algoritmus logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására.
Az önértékelés után hozott minden döntést a tanár elé terjesztenek.
Tanulói pontozólap
2. Az ismeretek felfrissítése.
Tanári utasítások. Emlékezzünk vissza a logaritmus definíciójára, a logaritmikus függvény grafikonjára és tulajdonságaira. Ehhez olvassa el a Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin és mások által szerkesztett „Algebra és az elemzés kezdetei 10–11” című tankönyv 88–90., 98–101. oldalán található szöveget.
A tanulók lapokat kapnak, amelyekre fel van írva: a logaritmus meghatározása; egy logaritmikus függvény grafikonját és tulajdonságait mutatja; a logaritmusok tulajdonságai; algoritmus logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására, példa másodfokúra redukáló logaritmikus egyenlőtlenség megoldására.
3. Új anyag tanulmányozása.
A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása a logaritmikus függvény monotonitásán alapul.
Algoritmus logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására:
A) Határozzuk meg az egyenlőtlenség definíciós tartományát (a szublogaritmikus kifejezés nagyobb, mint nulla).
B) ábrázolja (ha lehetséges) az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát logaritmusként ugyanarra az alapra!
C) Határozza meg, hogy a logaritmikus függvény növekszik vagy csökken: ha t>1, akkor növekszik; ha 0
D) Menj tovább egyszerű egyenlőtlenség(szublogaritmikus kifejezések), figyelembe véve, hogy az egyenlőtlenség jele megmarad, ha a függvény nő, és megváltozik, ha csökken.
1. tanulási elem.
Cél: konszolidálja a megoldást a legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségekre
A tanulók kognitív tevékenységének szervezési formája: egyéni munka.
Feladatok önálló munkához 10 percig. Minden egyenlőtlenségre több lehetséges válasz is létezik, és ki kell választania a megfelelőt, és a kulcs segítségével ellenőriznie kell.
KULCS: 13321, maximális pontszám – 6 pont.
2. tanulási elem.
Cél: logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának megszilárdítása a logaritmus tulajdonságaival.
Tanári utasítások. Emlékezzen a logaritmus alapvető tulajdonságaira. Ehhez olvassa el a tankönyv szövegét a 92., 103–104. oldalon.
Feladatok önálló munkához 10 percig.
KULCS: 2113, maximális pontszám – 8 pont.
3. tanulási elem.
Cél: a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának tanulmányozása másodfokúvá redukció módszerével.
Tanári instrukciók: az egyenlőtlenség másodfokúra redukálásának módja az, hogy az egyenlőtlenséget olyan alakra alakítjuk, hogy egy bizonyos logaritmikus függvényt egy új változóval jelöljünk, és ezzel a változóhoz képest másodfokú egyenlőtlenséget kapunk.
Használjuk az intervallum módszert.
Túljutott az anyag elsajátításának első szintjén. Most ki kell választania a saját megoldási módszerét logaritmikus egyenletek minden tudását és képességét felhasználva.
#4. tanulási elem.
Cél: a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának megszilárdítása a racionális megoldási módszer önálló kiválasztásával.
Feladatok önálló munkához 10 percig
5. tanulási elem.
Tanári utasítások. Szép munka! Elsajátította a második szintű komplexitási egyenletek megoldását. További munkája célja, hogy tudását és készségeit összetettebb és nem szabványos helyzetekben is kamatoztassa.
Feladatok az önálló megoldáshoz:
Tanári utasítások. Nagyon jó, ha az egész feladatot elvégezted. Szép munka!
Az egész óra osztályzata az összes oktatási elemre elért pontok számától függ:
Az értékelő dolgozatokat be kell nyújtani a tanárnak.
5. Házi feladat: ha nem ért el több mint 15 pontot, dolgozzon a hibáin (a megoldások a tanártól vehetők át), ha több mint 15 pontot ért el, töltsön ki egy kreatív feladatot a következő témában Logaritmikus egyenlőtlenségek”.
Egy egyenlőtlenséget logaritmikusnak nevezünk, ha logaritmikus függvényt tartalmaz.
A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldási módszerei nem különböznek egymástól, két dolgot kivéve.
Először is, amikor a logaritmikus egyenlőtlenségről a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségére lépünk, kövessük a keletkező egyenlőtlenség jelét. Ez betartja a következő szabályt.
Ha a logaritmikus függvény alapja nagyobb, mint $1$, akkor a logaritmikus egyenlőtlenségről a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségére haladva az egyenlőtlenség előjele megmarad, ha viszont kisebb, mint $1$, akkor az ellenkezőjére változik. .
Másodszor, minden egyenlőtlenség megoldása egy intervallum, ezért a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségének megoldása végén két egyenlőtlenség rendszerét kell létrehozni: ennek a rendszernek az első egyenlőtlensége a szublogaritmikus függvények egyenlőtlensége lesz, a második pedig a logaritmikus egyenlőtlenségben szereplő logaritmikus függvények definíciós tartományának intervalluma lesz.
Oldjuk meg az egyenlőtlenségeket:
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y): \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
A logaritmus alapja $2>1$, tehát az előjel nem változik. A logaritmus definícióját felhasználva a következőket kapjuk:
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )
