A természetes számok az egyik legrégebbi matematikai fogalmak.
A távoli múltban az emberek nem ismerték a számokat, és amikor tárgyakat (állatokat, halakat stb.) kellett megszámolniuk, másképp csinálták, mint mi.
A tárgyak számát a testrészekkel, például a kézen lévő ujjakkal hasonlították össze, és azt mondták: „Annyi dió van, ahány ujj a kezemen.”
Idővel az emberek rájöttek, hogy öt diónak, öt kecskének és öt nyúlnak van köztulajdon- számuk öt.
Emlékezik!
Egész számok- ezek 1-től kezdődő számok, amelyeket tárgyak megszámlálásával kapunk.
1, 2, 3, 4, 5…
A legkisebb természetes szám — 1 .
A legnagyobb természetes szám nem létezik.
Számláláskor a nullát nem használjuk. Ezért a nulla nem számít természetes szám.
Az emberek sokkal később tanultak meg számokat írni, mint számolni. Először is egyet kezdtek ábrázolni egy pálcával, majd két pálcával - a 2-es számmal, hárommal - a 3-as számmal.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Ezután speciális jelek jelentek meg a számok jelölésére - a modern számok elődjei. A számok írásához használt számok Indiából származnak körülbelül 1500 évvel ezelőtt. Az arabok hozták őket Európába, ezért is hívják őket Arab számok.
Összesen tíz szám van: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ezekkel a számokkal bármilyen természetes számot írhat.
Emlékezik!
Természetes sorozat az összes természetes szám sorozata:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
A természetes sorozatban minden szám 1-gyel nagyobb, mint az előző.
A természetes sorozat végtelen, nincs benne legnagyobb természetes szám.
Az általunk használt számlálórendszert ún decimális pozíciós.
Tizedes, mert minden számjegyből 10 egység alkotja a legjelentősebb számjegy 1 egységét. Pozíciós, mert egy számjegy jelentése a számrekordban elfoglalt helyétől, vagyis attól a számjegytől függ, amelyben írják.
Fontos!
A milliárdot követő osztályokat a számok latin nevei szerint nevezik el. Minden következő egység ezer korábbit tartalmaz.
A fizikusok azonban olyan számot találtak, amely meghaladja az összes atom (az anyag legkisebb részecskéi) számát az egész Univerzumban.
Ez a szám különleges nevet kapott - googol. A Googol egy szám 100 nullával.
Hol kezdődik a matematika tanulása? Igen, ez így van, a természetes számok és a velük végzett műveletek tanulmányozásából.Egész számok (tól tőllat. naturalis- természetes; természetes számok) -számok , felmerülő természetesen számoláskor (például 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Az összes természetes szám növekvő sorrendbe rendezett sorozatát természetes sorozatnak nevezzük.
Kétféle megközelítés létezik a természetes számok meghatározására:
Az első esetben a természetes számok sorozata eggyel kezdődik, a másodikban - nullával. A legtöbb matematikus között nincs konszenzus abban, hogy az első vagy a második megközelítés előnyösebb (vagyis a nullát természetes számnak kell-e tekinteni vagy sem). Az orosz források túlnyomó többsége hagyományosan az első megközelítést alkalmazza. A munkákban például a második megközelítést alkalmazzákNicolas Bourbaki , ahol a természetes számok a következőképpen vannak definiálvaerő véges halmazok .
Negatív és egész szám (racionális , igazi ,...) a számok nem tekinthetők természetes számoknak.
Az összes természetes szám halmazaáltalában az N szimbólummal jelölik (tóllat. naturalis- természetes). A természetes számok halmaza végtelen, mivel bármely n természetes számhoz létezik n-nél nagyobb természetes szám.
A nulla jelenléte megkönnyíti számos tétel megfogalmazását és bizonyítását a természetesszám-aritmetikában, így az első megközelítés bevezeti a hasznos fogalmat kiterjesztett természetes tartomány , beleértve a nullát. A kiterjesztett sorozat neve N 0 vagy Z 0.
NAK NEKzárt műveletek (olyan műveletek, amelyek nem a természetes számok halmazából származnak) a természetes számokon a következő számtani műveleteket tartalmazzák:
Ezenkívül két további műveletet is figyelembe veszünk (formális szempontból ezek nem természetes számokra vonatkozó műveletek, mivel nem mindenre vannak definiálvaszámpárok (néha létezik, néha nem):
Meg kell jegyezni, hogy az összeadás és a szorzás műveletei alapvetőek. Különösen,
A természetes számok meghatározása pozitív egész számok. A természetes számokat tárgyak számlálására és sok más célra használják. Ezek a számok:
Ez egy természetes számsor.
A nulla természetes szám? Nem, a nulla nem természetes szám.
Hány természetes szám van? Végtelen sok természetes szám létezik.
Mi a legkisebb természetes szám? Az egyik a legkisebb természetes szám.
Mi a legnagyobb természetes szám? Lehetetlen megadni, mert végtelen sok természetes szám létezik.
A természetes számok összege természetes szám. Tehát az a és b természetes számok összeadásával:
A természetes számok szorzata természetes szám. Tehát az a és b természetes számok szorzata:
c mindig természetes szám.
A természetes számok különbsége Nem mindig létezik természetes szám. Ha a minuend nagyobb, mint a részrész, akkor a természetes számok különbsége természetes szám, egyébként nem.
A természetes számok hányadosa nem mindig természetes szám. Ha a és b természetes számokra
ahol c természetes szám, ez azt jelenti, hogy a osztható b-vel. Ebben a példában a az osztó, b az osztó, c a hányados.
A természetes szám osztója olyan természetes szám, amellyel az első szám osztható egésszel.
Minden természetes szám osztható eggyel és önmagával.
A természetes prímszámok csak eggyel és önmagukkal oszthatók. Itt teljesen megosztottra gondolunk. Példa, számok 2; 3; 5; A 7 csak eggyel és önmagával osztható. Ezek egyszerű természetes számok.
Az egyet nem tekintjük prímszámnak.
Azokat a számokat, amelyek nagyobbak egynél, és amelyek nem prímszámok, összetett számoknak nevezzük. Példák összetett számokra:
Az egyet nem tekintjük összetett számnak.
A természetes számok halmaza egyesből, prímszámokból és összetett számokból áll.
A természetes számok halmazát a latin N betű jelöli.
A természetes számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai:
összeadás kommutatív tulajdonsága
összeadás asszociatív tulajdonsága
(a + b) + c = a + (b + c);
a szorzás kommutatív tulajdonsága
szorzás asszociatív tulajdonsága
(ab) c = a (bc);
szorzás elosztó tulajdonsága
A (b + c) = ab + ac;
Az egész számok a természetes számok, a nulla és a természetes számok ellentétei.
A természetes számok ellentéte a negatív egész számok, például:
1; -2; -3; -4;...
Az egész számok halmazát a latin Z betű jelöli.
A racionális számok egész számok és törtek.
Bármely racionális szám ábrázolható periodikus törtként. Példák:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
A példákból világos, hogy bármely egész szám egy periodikus tört, amelynek periódusa nulla.
Bármely racionális szám ábrázolható m/n törtként, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Képzeljük el az előző példában szereplő 3,(6) számot ilyen törtként.
A természetes számok ismerősek az emberek számára és intuitívak, mert gyermekkorunk óta körülvesznek bennünket. Az alábbi cikkben alapvetően megértjük a természetes számok jelentését, és leírjuk az írás és olvasás alapvető készségeit. A teljes elméleti részt példák kísérik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Az emberiség fejlődésének egy bizonyos szakaszában felmerült bizonyos tárgyak megszámlálása és mennyiségük megjelölése, amihez viszont kellett eszközt találni a probléma megoldására. Ilyen eszközzé váltak a természetes számok. Az is világos, hogy a természetes számok fő célja az, hogy képet adjon az objektumok számáról vagy egy adott objektum sorozatszámáról, ha halmazról beszélünk.
Logikus, hogy ahhoz, hogy valaki természetes számokat használhasson, meg kell találnia a módját, hogy érzékelje és reprodukálja azokat. Így egy természetes szám hangozható vagy ábrázolható, ami az információtovábbítás természetes módjai.
Nézzük meg a természetes számok hangoztatásának (olvasásának) és ábrázolásának (írásának) alapkészségeit.
Emlékezzünk a következő karakterek ábrázolására (vesszővel elválasztva jelezzük őket): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ezeket a jeleket számoknak hívjuk.
Most vegyük azt a szabályt, hogy bármilyen természetes szám ábrázolásakor (rögzítésénél) csak a feltüntetett számokat használjuk, más szimbólumok részvétele nélkül. A természetes számok írásakor a számjegyek legyenek azonos magasságúak, egymás után íródnak be egy sorba, és mindig legyen egy nullától eltérő számjegy a bal oldalon.
Mutassunk példákat a természetes számok helyes rögzítésére: 703, 881, 13, 333, 1,023, 7, 500,001. A számok közötti távolság nem mindig azonos; A megadott példák azt mutatják, hogy természetes szám felírásakor a fenti sorozatból nem kell minden számjegynek jelen lennie. Ezek egy része vagy mindegyike megismétlődhet.
1. definíció
A 065, 0, 003, 0791 formátumú rekordok nem természetes számok rekordjai, mert A bal oldalon a 0 szám.
Egy természetes szám helyes rögzítését, minden leírt követelmény figyelembevételével hívjuk természetes szám decimális jelölése.
Mint már említettük, a természetes számok kezdetben többek között mennyiségi jelentést is hordoznak. A természetes számokat, mint számozási eszközt a természetes számok összehasonlítása című témakör tárgyalja.
Folytassuk a természetes számokkal, amelyek bejegyzései egybeesnek a számjegyek bejegyzéseivel, azaz: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .
Képzeljünk el egy bizonyos objektumot, például így: Ψ. Leírhatjuk, amit látunk 1 tétel. Az 1-es természetes szám "egy"-ként vagy "egyként" olvasható. Az "egység" kifejezésnek van egy másik jelentése is: valami, ami egyetlen egésznek tekinthető. Ha van halmaz, akkor annak bármely eleme kijelölhető. Például egy sor egér közül bármelyik egér egy; minden virág egy virághalmazból egy.
Most képzeljük el: Ψ Ψ . Egy tárgyat látunk és egy másik tárgyat, i.e. a felvételen 2 tétel lesz. A 2-es természetes számot „kettőnek” kell olvasni.
Továbbá, analógia szerint: Ψ Ψ Ψ – 3 elem („három”), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 („négy”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 („öt”), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 ("hat"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 ("hét"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 ("nyolc"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ("Ψ – 9" kilenc").
A jelzett pozícióból egy természetes szám funkciója a jelzés mennyiségeket tételeket.
1. definíció
Ha egy szám rekordja egybeesik a 0 szám rekordjával, akkor ezt a számot hívják "nulla". A nulla nem természetes szám, de más természetes számokkal együtt tekintendő. A nulla hiányzást jelöl, azaz. a nulla elem azt jelenti, hogy nincs.
Nyilvánvaló tény, hogy a fent tárgyalt természetes számok (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) felírásakor egy jelet használunk - egy számjegyet.
2. definíció
Egyjegyű természetes szám– természetes szám, amelyet egy előjel – egy számjeggyel – írnak le.
Kilenc egyjegyű természetes szám van: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Kétjegyű természetes számok- természetes számok, írásakor melyik két előjelet használjuk - két számjegy. Ebben az esetben a használt számok lehetnek azonosak vagy eltérőek.
Például a 71, 64, 11 természetes számok kétjegyűek.
Nézzük meg, milyen jelentést tartalmaznak a kétjegyű számok. Az egyjegyű természetes számok általunk már ismert mennyiségi jelentésére fogunk támaszkodni.
Vezessünk be egy olyan fogalmat, mint a „tíz”.
Képzeljünk el egy objektumkészletet, amely kilencből és további egyből áll. Ebben az esetben 1 tíz („egy tucat”) objektumról beszélhetünk. Ha elképzel egy tízest és még egyet, akkor 2 tízesről („két tízesről”) beszélünk. Egyet hozzáadva két tízeshez három tízest kapunk. És így tovább: folytatva az egy tízes hozzáadását, négy tízest, öt tízest, hat tízest, hét tízest, nyolc tízest és végül kilenc tízest kapunk.
Tekintsünk egy kétjegyű számot egyjegyű számok halmazának, amelyek közül az egyik a jobb, a másik a bal oldalra van írva. A bal oldali szám a természetes szám tízeseinek számát, a jobb oldali pedig az egységek számát jelöli. Abban az esetben, ha a 0 szám a jobb oldalon található, akkor az egységek hiányáról beszélünk. A fenti a kétjegyű természetes számok mennyiségi jelentése. Összesen 90 db van belőlük.
4. definíció
Háromjegyű természetes számok– természetes számok, írásakor melyik három előjelet használjuk – három számjegy. A számok eltérőek lehetnek, vagy bármilyen kombinációban ismétlődnek.
Például a 413, 222, 818, 750 háromjegyű természetes számok.
A háromjegyű természetes számok mennyiségi jelentésének megértéséhez bemutatjuk a fogalmat "Száz".
5. definíció
száz (1 száz) egy tíz tízből álló halmaz. Száz és másik száz 2 százat tesz ki. Adjon hozzá még egy százat, és kapjon 3 százat. Egyszerre százat fokozatosan hozzáadva a következőt kapjuk: négyszáz, ötszáz, hatszáz, hétszáz, nyolcszáz, kilencszáz.
Tekintsük magát a háromjegyű szám jelölését: a benne szereplő egyjegyű természetes számokat egymás után balról jobbra írjuk. A jobb szélső egyjegyű szám az egységek számát jelzi; a következő egyjegyű szám balra a tízes szám; a bal szélső egyjegyű szám százas számban van. Ha a bejegyzés 0-t tartalmaz, az egységek és/vagy tízesek hiányát jelzi.
Így a 402-es háromjegyű természetes szám jelentése: 2 egység, 0 tízes (nincs olyan tízes, amely ne lett volna százas) és 4 száz.
Analógia útján megadjuk a négyjegyű, ötjegyű és így tovább természetes számok definícióját.
A fentiek közül most már át lehet térni a többértékű természetes számok meghatározására.
6. definíció
Többjegyű természetes számok– természetes számok, amikor beírjuk, hogy melyik két vagy több karaktert használjuk. A többjegyű természetes számok kétjegyűek, háromjegyűek és így tovább.
Ezer egy készlet, amely tízszázat tartalmaz; az egymillió ezerezerből áll; egymilliárd – ezermillió; ezermilliárd – ezermilliárd. Még nagyobb készleteknek is van neve, de ritka a használatuk.
A fenti elvhez hasonlóan tetszőleges többjegyű természetes számot tekinthetünk egyjegyű természetes számok halmazának, amelyek mindegyike egy adott helyen jelzi a tízes, százas, ezres, tízes egységek jelenlétét és számát. ezrek, százezrek, milliók, tízmilliók, százmilliók, milliárdok és így tovább (jobbról balra).
Például a 4 912 305 többjegyű szám a következőket tartalmazza: 5 egység, 0 tíz, háromszáz, 2 ezer, 1 tízezer, 9 százezer és 4 millió.
Összefoglalva, megvizsgáltuk az egységek különféle halmazokba (tízes, százas stb.) csoportosításának képességét, és azt láttuk, hogy a többjegyű természetes számok jelölésében szereplő számok az egyes ilyen halmazokban lévő egységek számát jelölik. .
A fenti elméletben feltüntettük a természetes számok nevét. Az 1. táblázatban bemutatjuk, hogyan kell helyesen használni az egyjegyű természetes számok nevét beszédben és levélírásban:
| Szám | Férfias | Nőies | Semleges nem |
|
1 |
Egy |
Egy |
Egy |
| Szám | Névelős eset | Birtokos | Részeshatározó | Tárgyeset | Eszközhatározói eset | Előszó |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Egy Kettő Három Négy Öt Hat Hét Nyolc Kilenc |
Egy Kettő Három Négy Öt Hat Félig Nyolc Kilenc |
Egyedül Kettő Három Négy Öt Hat Félig Nyolc Kilenc |
Egy Kettő Három Négy Öt Hat Hét Nyolc Kilenc |
Egy Kettő Három Négy Öt Hat család Nyolc Kilenc |
Egy dologról Körülbelül kettő Körülbelül három Körülbelül négy Újra Körülbelül hat Körülbelül hét Körülbelül nyolc Körülbelül kilenc |
A kétjegyű számok helyes olvasásához és írásához meg kell jegyeznie a 2. táblázat adatait:
| Szám |
Férfias, nőies és semleges nem |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Tíz Tizenegy Tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Negyven Ötven Hatvan Hetven Nyolcvan Kilencven |
| Szám | Névelős eset | Birtokos | Részeshatározó | Tárgyeset | Eszközhatározói eset | Előszó |
| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 |
Tíz Tizenegy Tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Negyven Ötven Hatvan Hetven Nyolcvan Kilencven |
Tíz |
Tíz Tizenegy Tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Szarka Ötven Hatvan Hetven Nyolcvan Kilencven |
Tíz Tizenegy Tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Negyven Ötven Hatvan Hetven Nyolcvan Kilencven |
Tíz Tizenegy tizenkét Tizenhárom Tizennégy Tizenöt Tizenhat Tizenhét Tizennyolc Tizenkilenc Húsz Harminc Szarka Ötven hatvan Hetven Nyolcvan tizenkilenc |
Körülbelül tíz Tizenegy körül Tizenkettő körül Körülbelül tizenhárom Úgy tizennégy Körülbelül tizenöt Tizenhat körül Tizenhét körül Tizennyolc körül Körülbelül tizenkilenc Körülbelül húsz Harminc körül Ó szarka Körülbelül ötven Körülbelül hatvan Körülbelül hetven Körülbelül nyolcvan Ó, kilencven |
Más kétjegyű természetes számok olvasásához mindkét tábla adatait fogjuk felhasználni egy példán keresztül. Tegyük fel, hogy be kell olvasnunk a 21-es kétjegyű természetes számot. Ez a szám 1 egységet és 2 tízest tartalmaz, azaz. 20 és 1. A táblázatokra lapozva a jelzett számot „huszonegy”-nek olvassuk, míg a szavak közötti „és” kötőszót nem kell kiejteni. Tegyük fel, hogy egy bizonyos mondatban a jelzett 21-es számot kell használnunk, jelezve az objektumok számát genitivusban: „nincs 21 alma”. Ebben az esetben a kiejtés így hangzik: „nincs huszonegy alma”.
Mondjunk egy másik példát az érthetőség kedvéért: a 76-os számot, amelyet „hetvenhat”-nak és például „hetvenhat tonnának” kell olvasni.
| Szám | Jelölő | Birtokos | Részeshatározó | Tárgyeset | Eszközhatározói eset | Előszó |
| 100 200 300 400 500 600 700 800 900 |
Száz Kétszáz Háromszáz Négyszáz Ötszáz Hatszáz Hétszáz Nyolcszáz Kilencszáz |
száz Kétszáz Háromszáz Négyszáz Ötszáz Hatszáz Hétszáz Nyolcszáz Kilencszáz |
száz Kétszáz Háromszáz Négyszáz Ötszáz Hatszáz Semistam Nyolcszáz Kilencszáz |
Száz Kétszáz Háromszáz Négyszáz Ötszáz Hatszáz Hétszáz Nyolcszáz Kilencszáz |
száz Kétszáz Háromszáz Négyszáz Ötszáz Hatszáz Hétszáz Nyolcszáz Kilencszáz |
Ó száz Körülbelül kétszáz Körülbelül háromszáz Körülbelül négyszáz Körülbelül ötszáz Körülbelül hatszáz A hétszáz körül Körülbelül nyolcszáz Körülbelül kilencszáz |
Egy háromjegyű szám teljes olvasásához az összes feltüntetett táblázat adatait is felhasználjuk. Például adott a 305 természetes szám. Ez a szám 5 egységnek, 0 tízesnek és 3 száznak felel meg: 300 és 5. A táblázatot alapul véve ezt olvassuk: „háromszázöt”, vagy esetenkénti elhajlásban például így: „háromszázöt méter”.
Olvassunk még egy számot: 543. A táblázatok szabályai szerint a feltüntetett szám így hangzik: „ötszáznegyvenhárom” vagy esetenkénti deklinációban, például így: „nincs ötszáznegyvenhárom rubel”.
Térjünk át a többjegyű természetes számok olvasásának általános elvére: egy többjegyű szám olvasásához jobbról balra kell osztani háromjegyű csoportokra, és a bal szélső csoport 1, 2 vagy 3 számjegyű lehet. . Az ilyen csoportokat osztályoknak nevezzük.
A jobb szélső osztály az egységek osztálya; majd a következő osztály, balra - az ezres osztály; tovább – a milliók osztálya; majd jön a milliárdok osztálya, majd a billiók osztálya. A következő osztályoknak is van neve, de a nagyszámú (16, 17 és több) karakterből álló természetes számok ritkán használatosak az olvasás során, és meglehetősen nehéz füllel felfogni őket.
A felvétel könnyebb olvashatósága érdekében az osztályokat egy kis behúzással választják el egymástól. Például 31 013 736, 134 678, 23 476 009 434, 2 533 467 001 222.
| Osztály billió |
Osztály milliárdokat |
Osztály milliókat |
Ezres osztály | Egységosztály |
| 134 | 678 | |||
| 31 | 013 | 736 | ||
| 23 | 476 | 009 | 434 | |
| 2 | 533 | 467 | 001 | 222 |
Többjegyű szám olvasásához egyenként hívjuk az azt alkotó számokat (osztályonként balról jobbra, az osztály nevének hozzáadásával). Az egységek osztályának nevét nem ejtik ki, és azokat az osztályokat sem ejtik ki, amelyek három számjegyet 0 alkotnak. Ha egy osztály egy vagy két számjegyet tartalmaz a bal oldalon, akkor ezeket semmilyen módon nem használjuk fel az olvasás során. Például a 054 „ötvennégy” vagy a 001 „egy” lesz.
1. példa
Nézzük meg részletesen a 2 533 467 001 222 szám leolvasását:
A 2-es számot a trilliók osztályának összetevőjeként olvassuk - „kettő”;
Az osztály nevének hozzáadásával a következőt kapjuk: „két billió”;
A következő számot olvassuk, hozzáadva a megfelelő osztály nevét: „ötszázharminchárom milliárd”;
Hasonlattal folytatjuk, a következő osztályt olvasva jobbra: „négyszázhatvanhét millió”;
A következő osztályban két 0 számjegyet látunk a bal oldalon. A fenti leolvasási szabályok szerint a 0 számjegyeket el kell dobni, és nem vesznek részt a rekord beolvasásában. Ekkor kapjuk: „ezer”;
Az utolsó egységosztályt a nevének hozzáadása nélkül olvastuk - „kétszázhuszonkettő”.
Így a 2 533 467 001 222 szám így fog hangzani: két billió ötszázharminchárom milliárd négyszázhatvanhét millió ezerkétszázhuszonkettő. Ezt az elvet alkalmazva leolvasjuk a többi megadott számot:
31 013 736 – harmincegymillió tizenháromezer-hétszázharminchat;
134 678 – százharmincnégyezer-hatszázhetvennyolc;
23 476 009 434 – huszonhárom milliárd négyszázhetvenhat millió kilencezer négyszázharmincnégy.
Így a többjegyű számok helyes olvasásának alapja a többjegyű szám osztályokra osztásának készsége, a megfelelő nevek ismerete és a két- és háromjegyű számok olvasásának elvének megértése.
Amint a fentiekből már kiderül, értéke attól függ, hogy a számjegy milyen pozícióban jelenik meg a szám jelölésében. Vagyis például a 3-as szám a 314-es természetes számban a százak számát jelöli, nevezetesen a 3 százat. A 2-es szám a tízesek száma (1 tíz), a 4-es pedig az egységek száma (4 egység). Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a 4-es az egyesek helyén van, és az egyesek értéke az adott számban. Az 1-es szám a tízes helyen áll, és a tízes hely értékeként szolgál. A 3-as szám a százas helyen található, és a százas hely értéke.
7. definíció
Kisülés- ez egy számjegy pozíciója egy természetes szám jelölésében, valamint ennek a számjegynek az értéke, amelyet az adott számban elfoglalt helye határoz meg.
A kategóriáknak saját elnevezésük van, fentebb már használtuk. Jobbról balra számjegyek: egységek, tízesek, százak, ezrek, tízezrek stb.
Az emlékezés megkönnyítése érdekében használhatja a következő táblázatot (15 számjegyet jelölünk):
Tisztázzuk ezt a részletet: egy adott többjegyű szám számjegyeinek száma megegyezik a szám jelölésében szereplő karakterek számával. Ez a táblázat például egy 15 számjegyből álló szám összes számjegyének nevét tartalmazza. A későbbi kisüléseknek is van neve, de rendkívül ritkán használják, és nagyon kellemetlen hallani őket.
Egy ilyen táblázat segítségével fejleszthető a számjegy meghatározásának készsége úgy, hogy egy adott természetes számot írunk a táblázatba úgy, hogy a jobb szélső számjegyet írjuk be az egységszámjegybe, majd minden számjegybe egyenként. Például írjuk fel az 56 402 513 674 többjegyű természetes számot így:
Ügyeljen a 0 számra, amely a tízmilliós számjegyben található - ez azt jelenti, hogy ennek a számjegynek nincs egysége.
Vezessük be a többjegyű számok legalsó és legmagasabb számjegyének fogalmát is.
8. definíció
Legalacsonyabb (junior) fokozat bármely többjegyű természetes szám – a mértékegység számjegy.
Legmagasabb (senior) kategória bármely többjegyű természetes szám – az adott szám jelölésében a bal szélső számjegynek megfelelő számjegy.
Így például a 41 781 számban: a legalacsonyabb számjegy az egyes számjegy; A legmagasabb rang a tízezres rang.
Ebből logikusan következik, hogy lehet beszélni a számjegyek egymáshoz viszonyított szenioritásáról. Minden következő számjegy balról jobbra haladva alacsonyabb (fiatalabb), mint az előző. És fordítva: jobbról balra haladva minden következő számjegy magasabb (régebbi), mint az előző. Például az ezres hely régebbi, mint a százas hely, de fiatalabb, mint a milliós hely.
Tisztázzuk, hogy néhány gyakorlati példa megoldásánál nem magát a természetes számot használjuk, hanem egy adott szám számjegyeinek összegét.
Jelölés– a számok jelek segítségével történő írásának módszere.
Helyzetszámrendszerek– azok, amelyekben egy számjegy jelentése a számrekordban elfoglalt helyétől függ.
E definíció szerint azt mondhatjuk, hogy a természetes számok és a fenti írásmód tanulmányozása során a helyzetszámrendszert használtuk. A 10-es szám különleges helyet foglal el itt. Tízben számolunk: tíz egységből tíz, tíz tízből száz lesz, stb. A 10-es szám szolgál ennek a számrendszernek az alapjául, magát a rendszert decimálisnak is nevezik.
Rajta kívül más számrendszerek is léteznek. Például a számítástechnika a bináris rendszert használja. Amikor követjük az időt, a hatszázalékos számrendszert használjuk.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
A természetes számok olyan számok, amelyek objektumok számlálására szolgálnak. A természetes számok rögzítéséhez 10 arab számot (0–9) használnak, amelyek a matematikai számításoknál általánosan elfogadott decimális számrendszer alapját képezik.
A természetes számok 1-től kezdődő sorozatot alkotnak, amely lefedi az összes pozitív egész halmazát. Ez a sorozat az 1,2,3,.... számokból áll. Ez azt jelenti, hogy a természetes sorozatban:
Néha a 0-t bevezetik a természetes számok sorozatába Ez elfogadható, és akkor beszélnek róla kiterjesztett természetes sorozat.
A természetes szám minden számjegye egy bizonyos számjegyet fejez ki. Az utolsó mindig a szám egységeinek száma, az előtte lévő a tízesek száma, a végétől a harmadik a százasok száma, a negyedik az ezresek száma, és így tovább.
Nagy és nagyon nagy számok esetén stabil trendet láthat (ha jobbról balra, azaz az utolsó számjegytől az elsőig vizsgálja a számot):
Vagyis minden alkalommal, amikor három számjeggyel, azaz egységekkel, egy nagyobb név tízesével és százával van dolgunk. Az ilyen csoportok osztályokat alkotnak. Ha pedig az első három osztállyal kell foglalkozni a hétköznapokban gyakrabban-ritkábban, akkor a többit is érdemes sorolni, mert nem mindenki emlékszik fejből a nevére.
A természetes számok összeadása olyan aritmetikai művelet, amely lehetővé teszi, hogy olyan számot kapjunk, amely ugyanannyi egységet tartalmaz, mint amennyi az összeadandó számokban van.
Az összeadás jele a „+” jel. Az összeadott számokat összeadásnak, a kapott eredményt pedig összegnek nevezzük.
A kis számokat szóban adják össze (összeadják), az ilyen műveleteket egy sorra írják fel.
A fejben nehezen felvehető többjegyű számokat általában egy oszlopba adják. Ehhez a számokat egymás alá írják, az utolsó számjegyhez igazítva, vagyis az egyeseket a mértékegységek helye alá, a százasokat a százasok alá írják, és így tovább. Ezután páronként össze kell adnia a számjegyeket. Ha a számjegyek összeadása egy tízes átmenettel történik, akkor ez a tíz egységként rögzítésre kerül a bal oldali számjegy (vagyis a következő) felett, és összeadódik ennek a számjegynek a számjegyeivel.
Ha nem 2, hanem több szám kerül egy oszlopba, akkor a hely számjegyeinek összegzésekor nem 1 tíz, hanem több is feleslegesnek bizonyulhat. Ebben az esetben az ilyen tízesek száma átkerül a következő számjegyre.
A kivonás egy aritmetikai művelet, az összeadás inverze, amely arra a tényre vezethető vissza, hogy a rendelkezésre álló összeg és az egyik kifejezés felhasználásával egy másik - egy ismeretlen kifejezést kell találnia. Azt a számot, amelyből kivonják, minuendnek nevezzük; a kivonandó szám kivonható. A kivonás eredményét különbségnek nevezzük. A kivonás műveletének jelölésére használt jel a „–”.
Amikor az összeadásra lépünk, a rész- és a különbség összeadásokká, a minuend pedig összegekké alakul. Az összeadást általában a kivonás helyességének ellenőrzésére használják, és fordítva.
Itt 74 a minuend, 18 a részfej, 56 a különbség.
A természetes számok kivonásának előfeltétele a következő: a minuendnek nagyobbnak kell lennie, mint a kivonási számnak. Csak ebben az esetben a kapott különbség is természetes szám. Ha a kivonás műveletét kiterjesztett természetes sorozatra hajtjuk végre, akkor megengedett, hogy a minuend egyenlő legyen a kivonóval. És a kivonás eredménye ebben az esetben 0 lesz.
Megjegyzés: ha a részösszeg egyenlő nullával, akkor a kivonási művelet nem változtatja meg a minuend értékét.
A többjegyű számok kivonása általában egy oszlopban történik. A számokat ugyanúgy írjuk, mint az összeadásnál. A megfelelő számjegyekre kivonás történik. Ha kiderül, hogy a minuend kisebb, mint a részarend, akkor az előző (bal oldalon található) számjegyből vesznek egyet, ami az átvitel után természetesen 10-re változik. Ezt a tízet összeadják az adott számjegy számával. bányásznak, majd a kivonás végrehajtásra kerül. Ezután a következő számjegy kivonásánál ügyeljen arra, hogy a csökkentett számjegy 1-gyel kevesebb legyen.
A természetes számok szorzata (vagy szorzása) egy aritmetikai művelet, amely tetszőleges számú azonos tag összegének megtalálását jelenti. A szorzási művelet írásához használja a „·” jelet (néha „×” vagy „*”). Például: 3·5=15.
A szorzás művelete nélkülözhetetlen, ha nagyszámú tagot kell összeadni. Például, ha a 4-es számot 7-szer kell összeadni, akkor a 4-et 7-tel szorozni könnyebb, mint a következő összeadást: 4+4+4+4+4+4+4.
A szorzott számokat faktoroknak, a szorzás eredményét szorzatnak nevezzük. Ennek megfelelően a „termék” kifejezés a kontextustól függően egyaránt kifejezheti a szorzás folyamatát és annak eredményét.
A többjegyű számokat egy oszlopba szorozzák. Ehhez a számokat ugyanúgy írjuk, mint az összeadásnál és a kivonásnál. Javasoljuk, hogy először a 2 szám közül a leghosszabbat írja le (fent). Ebben az esetben a szorzási folyamat egyszerűbb és ezért racionálisabb lesz.
Oszlopban történő szorzáskor a második szám minden egyes számjegyét a végétől kezdve sorban megszorozzuk az 1. szám számjegyeivel. Miután megtalálta az első ilyen terméket, írja le az egységszámjegyeket, és tartsa szem előtt a tízes számjegyet. Ha a 2. szám számjegyét megszorozza az 1. szám következő számjegyével, a szem előtt tartott számjegy hozzáadódik a termékhez. És ismét írja le a kapott eredmény egységszámát, és emlékezzen a tízes számra. Az 1. szám utolsó számjegyével megszorozva az így kapott számot teljes egészében leírjuk.
A második szám 2. számjegye számjegyének szorzásának eredményét a második sorba írjuk, 1 cellával jobbra tolva. Stb. Ennek eredményeként egy „létra” keletkezik. Az összes eredményül kapott számsort össze kell adni (az oszlopösszeadás szabálya szerint). Az üres cellákat nullákkal kitöltöttnek kell tekinteni. Az így kapott összeg a végtermék.
Az osztás egy olyan aritmetikai művelet, amelynek segítségével egy ismert szorzat és az egyik tényező adott egy másik – ismeretlen – tényezőt. Az osztás a szorzás inverze, és annak ellenőrzésére szolgál, hogy a szorzás helyesen történt-e (és fordítva).
Az elosztott számot osztaléknak nevezzük; az osztandó szám az osztó; az osztás eredményét hányadosnak nevezzük. Az osztásjel a „:” (néha, ritkábban „÷”).
Itt 48 az osztalék, 6 az osztó, 8 a hányados.
Nem minden természetes szám osztható fel egymás között. Ebben az esetben ossza el a maradékkal. Abból áll, hogy az osztóhoz olyan tényezőt választanak ki, hogy az osztóval való szorzata olyan szám legyen, amely értékében a lehető legközelebb áll az osztalékhoz, de annál kisebb. Az osztót megszorozzuk ezzel a tényezővel, és kivonjuk az osztalékból. A különbség a felosztás hátralévő része lesz. Egy osztó és egy tényező szorzatát nem teljes hányadosnak nevezzük. Figyelem: az egyenlegnek kisebbnek kell lennie, mint a kiválasztott szorzó! Ha a maradék nagyobb, ez azt jelenti, hogy a szorzót rosszul választották meg, és növelni kell.
A 7-hez kiválasztunk egy tényezőt. Ebben az esetben az 5-ös szám. Megtaláljuk a hiányos hányadost: 7·5=35. Kiszámoljuk a maradékot: 38-35=3. 3 óta<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).
A többjegyű számok egy oszlopba vannak osztva. Ehhez írjuk egymás mellé az osztót és az osztót, az osztót függőleges és vízszintes vonallal elválasztva. Az osztalékban az első számjegy vagy az első néhány számjegy (jobb oldalon) elkülönítve van, aminek olyan számot kell képviselnie, amely minimálisan elegendő az osztóval való osztáshoz (vagyis ennek a számnak nagyobbnak kell lennie az osztónál). Ehhez a számhoz egy hiányos hányadost kell kiválasztani, a maradékkal való osztás szabályában leírtak szerint. A parciális hányados megtalálásához használt szorzó számjegye az osztó alá van írva. A hiányos hányadost az osztandó szám alá írjuk, jobbra igazítva. Találd meg a különbségüket. Vegye le az osztalék következő számjegyét úgy, hogy a különbség mellé írja. A kapott számhoz a részhányadost ismét úgy találjuk meg, hogy az osztó alá írjuk a kiválasztott szorzó számjegyét az előző mellé. Stb. Az ilyen műveleteket addig hajtják végre, amíg az osztalék számjegyei el nem fogynak. Ezt követően a felosztás befejezettnek tekintendő. Ha az osztalékot és az osztót eggyel osztjuk (maradék nélkül), akkor az utolsó különbség nullát ad. Ellenkező esetben a fennmaradó számot kapjuk meg.
A hatványozás egy matematikai művelet, amely tetszőleges számú azonos szám szorzását foglalja magában. Például: 2·2·2·2.
Az ilyen kifejezések a következő formában vannak írva: egy x,
Ahol a- egy szám önmagával szorozva, x– az ilyen tényezők száma.
Az 1 kivételével minden természetes szám legalább 2 számra osztható – egyre és önmagára. E kritérium alapján a természetes számokat prímszámra és összetettre osztják.
A prímszámok olyan számok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Azokat a számokat, amelyek e két számnál többel oszthatók, összetett számoknak nevezzük. A kizárólag önmagával osztható egység nem egyszerű és nem összetett.
A prímszámok: 2,3,5,7,11,13,17,19 stb. Példák összetett számokra: 4 (osztható 1,2,4-gyel), 6 (osztható 1,2,3,6-tal), 20 (osztható 1,2,4,5,10,20-zal).
Minden összetett szám prímtényezőkké alakítható. Prímtényezők alatt annak osztóit értjük, amelyek prímszámok.
Példa prímtényezősre:
Az osztó olyan szám, amellyel egy adott szám maradék nélkül osztható.
E definíció szerint a természetes prímszámoknak 2, az összetett számoknak több mint 2 osztójuk van.
Sok számnak vannak közös tényezői. A közös osztó olyan szám, amely az adott számokat maradék nélkül osztja el.
Különösen fontos a legnagyobb közös osztó (GCD). Ez a szám különösen hasznos a törtek redukálásához. Ennek megtalálásához a megadott számokat prímtényezőkre kell bontani, és a legkisebb hatványukban vett közös prímtényezőik szorzataként kell ábrázolni.
Meg kell találnia a 36 és 48 számok gcd-jét.
Nem mindig lehet szemmel meghatározni, hogy egy szám osztható-e egy másikkal maradék nélkül. Ilyen esetekben hasznosnak bizonyul a megfelelő oszthatósági teszt, vagyis egy olyan szabály, amellyel pillanatok alatt megállapítható, hogy a számok oszthatók-e maradék nélkül. A „” jel az oszthatóság jelzésére szolgál.
Ez a mennyiség (jelölése LOC) az a legkisebb szám, amely osztható a megadottak mindegyikével. Az LCM a természetes számok tetszőleges halmazára található.
A NOC-nak, akárcsak a GCD-nek, jelentős gyakorlati jelentése van. Tehát az LCM-et úgy kell megtalálni, hogy a közönséges törteket közös nevezőre hozzuk.
Az LCM-et úgy határozzák meg, hogy adott számokat prímtényezőkké alakítanak. Kialakításához vegyünk egy szorzatot, amely az előforduló (legalább 1 számra) prímtényezők mindegyikéből áll, maximálisan ábrázolva.
Meg kell találnia a 14-es és 24-es számok LCM-jét.
A természetes számok tetszőleges (de véges) számának számtani átlaga ezeknek a számoknak az összege osztva a tagok számával:
A számtani átlag egy numerikus halmaz átlagos értéke.
A megadott számok: 2,84,53,176,17,28. Meg kell találni a számtani átlagukat.
