A számok oszthatóságának jelei A 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 és más számokat hasznos tudni gyors megoldás feladatok digitális számírással kapcsolatban. Ahelyett, hogy egy számot osztanánk a másikkal, elég egy sor előjelet ellenőrizni, amelyek alapján egyértelműen megállapítható, hogy egy szám osztható-e egy másikkal (többszörös-e) vagy sem.
Adjunk a számok oszthatóságának alapvető jelei:
Annak megállapításához, hogy egy adott szám osztható-e egy összetett számmal, be kell számítania az összetett számot koprime tényezők, melynek oszthatósági jelei ismertek. A másodprím számok olyan számok, amelyeknek nincs más közös tényezője, mint 1. Például egy szám osztható 15-tel, ha osztható 3-mal és 5-tel.
Tekintsünk egy másik példát az összetett osztóra: egy szám osztható 18-cal, ha osztható 2-vel és 9-cel. ebben az esetben lehetetlen a 18-at 3-ra és 6-ra bővíteni, mivel ezek nem relatíve prímszámúak, hiszen igen közös osztó 3. Lássuk ezt egy példán keresztül.
A 456-os szám osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek összege 15, és osztható 6-tal, mivel osztható 3-mal és 2-vel is. De ha 456-ot kézzel elosztja 18-mal, akkor maradékot kap. Ha megnézed a 456-os szám 2-vel és 9-cel való oszthatósági előjelét, azonnal láthatod, hogy osztható 2-vel, de nem osztható 9-cel, mivel a szám számjegyeinek összege 15, és nem osztható 9.
Tesztelje a 2-vel való oszthatóságotTesztelje az oszthatóságot 3-mal
Egy szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.
Tesztelje a 4-gyel való oszthatóságot
Egy szám akkor és csak akkor osztható 4-gyel, ha a szám utolsó két számjegye nulla vagy osztható 4-gyel.
5-tel oszthatósági teszt
Egy szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegy osztható 5-tel (azaz egyenlő 0-val vagy 5-tel).
Tesztelje az oszthatóságot 6-tal
Egy szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal.
Tesztelje az oszthatóságot 7-tel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az utolsó számjegy nélküli számból az utolsó számjegy kétszeresének kivonása osztható 7-tel (például a 259 osztható 7-tel, mivel a 25 - (2 9) = 7 osztható által 7).
Oszthatósági teszt 8-cal
Egy szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegye nulla, vagy 8-cal osztható számot alkot.
9-cel oszthatósági teszt
Egy szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel.
Oszthatósági teszt 10-zel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 10-zel, ha nullára végződik.
Oszthatósági teszt 11-gyel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha a váltakozó előjelű számjegyek összege osztható 11-gyel (azaz 182919 osztható 11-gyel, mivel 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 osztható 11) - annak a ténynek a következménye, hogy minden 10 n alakú szám, ha elosztjuk 11-gyel, (-1) n maradéka marad.
Oszthatósági teszt 12-vel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 12-vel, ha osztható 3-mal és 4-gyel.
Oszthatósági teszt 13-mal
Egy szám akkor és csak akkor osztható 13-mal, ha az egyesek számának négyszereséhez hozzáadott tízeseinek száma 13 többszöröse (például 845 osztható 13-mal, mivel 84 + (4 5) = 104 osztható 13).
Oszthatósági teszt 14-gyel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 14-gyel, ha osztható 2-vel és 7-tel.
Oszthatósági teszt 15-tel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 15-tel, ha osztható 3-mal és 5-tel.
Oszthatósági teszt 17-tel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 17-tel, ha a tízeseinek száma az egységek 12-szeresével összeadva 17 többszöröse (például 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. Mivel a 34 osztható 17-tel, így a 29053 osztható 17-tel). A jel nem mindig kényelmes, de van egy bizonyos jelentése a matematikában. Van egy kicsit egyszerűbb módszer: Egy szám akkor és csak akkor osztható 17-tel, ha a tízeseinek száma és az egységek számának ötszöröse közötti különbség 17 többszöröse (például 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15, mivel a 15 nem osztható 17-tel, akkor a 32952 nem osztható 17-tel.
Oszthatósági teszt 19-el
Egy szám akkor és csak akkor osztható 19-cel, ha az egyesek kétszereséhez hozzáadott tízeseinek száma 19 többszöröse (például a 646 osztható 19-cel, mivel a 64 + (6 2) = 76 osztható 19-cel. ).
Tesztelje a 23-mal való oszthatóságot
Egy szám akkor és csak akkor osztható 23-mal, ha a tízes szám háromszorosához hozzáadott százas száma 23 többszöröse (például a 28842 osztható 23-mal, mivel a 288 + (3 * 42) = 414 4 + (3 *) 14) = 46 nyilvánvalóan osztható 23-mal).
Tesztelje a 25-tel való oszthatóságot
Egy szám akkor és csak akkor osztható 25-tel, ha az utolsó két számjegye osztható 25-tel (azaz 00, 25, 50 vagy 75) vagy a szám 5 többszöröse.
Oszthatósági teszt 99-el
Osszuk fel a számot 2 jegyű csoportokra jobbról balra (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és keressük meg ezeknek a csoportoknak az összegét, tekintve őket kétjegyű számoknak. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 99-cel, ha maga a szám osztható 99-cel.
Tesztelje a 101-gyel való oszthatóságot
Osszuk fel a számot jobbról balra 2 jegyű csoportokra (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és keressük meg ezeknek a váltakozó előjelű csoportoknak az összegét, tekintve őket kétjegyű számoknak. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 101-gyel, ha maga a szám osztható 101-gyel. Például 590547 osztható 101-gyel, mivel az 59-05+47=101 osztható 101-gyel.
Az 1-től 10-ig, valamint a 11-ig és a 25-ig terjedő számok osztásának szabályait azért dolgozták ki, hogy egyszerűsítsék a természetes számok osztásának folyamatát. A 2-re, 4-re, 6-ra, 8-ra vagy 0-ra végződők párosnak számítanak.
Mik az oszthatóság jelei?
Lényegében ez egy olyan algoritmus, amely lehetővé teszi annak gyors meghatározását, hogy egy szám osztható-e egy előre megadott számmal. Abban az esetben, ha az oszthatósági teszt lehetővé teszi az osztás maradékának meghatározását, ezt az equiremainder tesztjének nevezzük.
Egy szám akkor osztható kettővel, ha az utolsó számjegye páros vagy nulla. Más esetekben a felosztás nem lehetséges.
Az 52 734 osztható 2-vel, mert az utolsó számjegye 4, ami páros. 7693 nem osztható 2-vel, mivel a 3 páratlan. 1240 osztható, mert az utolsó számjegy nulla.
A 3 csak azoknak a számoknak a többszöröse, amelyek összege osztható 3-mal
A 17 814 osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege 21, és osztható 3-mal.
Egy szám osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegye nulla, vagy 4 többszörösét alkothatja. Minden más esetben nem lehet osztani.
31 800 osztható 4-gyel, mert két nulla van a végén. A 4 846 854 nem osztható 4-gyel, mert az utolsó két számjegy alkotja az 54-et, amely nem osztható 4-gyel. A 16 604 osztható 4-gyel, mert a 04 utolsó két számjegye alkotja a 4-gyel osztható 4-et.
Az 5 egy olyan szám többszöröse, amelyben az utolsó számjegy nulla vagy öt. A többiek nem osztoznak.
A 245 az 5 többszöröse, mert az utolsó számjegy 5. A 774 nem többszöröse az 5-nek, mert az utolsó számjegy négy.
Egy szám osztható 6-tal, ha egyszerre osztható 2-vel és 3-mal. Minden más esetben nem osztható.
A 216 osztható 6-tal, mert kettőnek és háromnak is többszöröse.
Tesztelje a 7-tel való oszthatóságot
Egy szám akkor 7 többszöröse, ha ebből a számból az utolsó dupla számjegyet kivonva, de nélküle (az utolsó számjegy nélkül) 7-tel osztható értéket kapunk.
Például a 637 a 7 többszöröse, mert 63-(2·7)=63-14=49. 49 osztható.
Oszthatósági teszt 8-ra
Hasonló a 4-gyel való oszthatóság jeléhez. A szám osztható 8-cal, ha három (és nem kettő, mint a négy esetében) utolsó számjegye nulla, vagy olyan számot alkothat, amely 8 többszöröse. Minden más esetben nem osztható.
456 000 osztható 8-cal, mert három nulla van a végén. A 160 003 nem osztható 8-cal, mert az utolsó három számjegyből áll a 4, ami nem a 8 többszöröse. A 111 640 a 8 többszöröse, mert az utolsó három számjegyből áll a 640, amely osztható 8-cal.
Tájékoztatásul: ugyanazokat a jeleket nevezheti meg a 16, 32, 64 stb. számokkal való osztáshoz. De a gyakorlatban ezek nem számítanak.
9-cel oszthatók azok a számok, amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel.
A 111 499-es szám nem osztható 9-cel, mert a számjegyek (25) összege nem osztható 9-cel. Az 51 633 szám osztható 9-cel, mert számjegyeinek összege (18) 9 többszöröse.
Azokat a számokat, amelyeknek utolsó számjegye 0, 10-zel, azokat, amelyek utolsó két számjegye nulla, 100-zal, azokat, amelyek utolsó három számjegye nulla, oszthatja 1000-zel.
4500 osztható 10-zel és 100-zal. 778 000 10, 100 és 1000 többszöröse.
Most már tudja, milyen jelei vannak a számok oszthatóságának. Sikeres számításokat, és ne feledkezzünk meg a legfontosabbról: mindezek a szabályok a matematikai számítások egyszerűsítésére szolgálnak.
Kezdjük el foglalkozni az „Oszthatósági teszt 3-mal” témával. Kezdjük az előjel megfogalmazásával, és bizonyítsuk be a tételt. Ezután megvizsgáljuk az olyan számok 3-mal való oszthatóságának főbb megközelítéseit, amelyek értékét valamilyen kifejezés adja meg. A rész a főbb problématípusok megoldásának elemzését tartalmazza a 3-mal oszthatóság tesztje alapján.
A 3-mal való oszthatóság tesztje egyszerűen megfogalmazható: egy egész szám akkor lesz osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Ha az egész számot alkotó összes számjegy összértéke nem osztható 3-mal, akkor maga az eredeti szám nem osztható 3-mal. Egy egész szám összes számjegyének összegét természetes számok összeadásával kaphatja meg.
Most nézzünk példákat a 3-mal oszthatóság tesztjének használatára.
1. példa
A 42-es szám osztható 3-mal?
Megoldás
A kérdés megválaszolásához összeadjuk a számot alkotó összes számot - 42: 4 + 2 = 6.
Válasz: Az oszthatósági teszt szerint, mivel az eredeti számban szereplő számjegyek összege osztható hárommal, így maga az eredeti szám osztható 3-mal.
Annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy a 0 osztható-e 3-mal, szükségünk van az oszthatósági tulajdonságra, amely szerint a nulla osztható tetszőleges egész számmal. Kiderült, hogy a nulla osztható hárommal.
Vannak olyan feladatok, amelyeknél többször kell használni a 3-mal oszthatóság próbáját.
2. példa
Mutasd meg a számot 907 444 812 osztható 3-mal.
Megoldás
Keressük meg az eredeti számot alkotó összes számjegy összegét: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Most meg kell határoznunk, hogy a 39 osztható-e 3-mal. Még egyszer összeadjuk az ezt a számot alkotó számokat: 3 + 9 = 12 . Csak össze kell adnunk a számokat, hogy megkapjuk a végső választ: 1 + 2 = 3 . A 3-as szám osztható 3-mal
Válasz: eredeti szám 907 444 812 osztható 3-mal is.
3. példa
A szám osztható 3-mal? − 543 205 ?
Megoldás
Számítsuk ki az eredeti számot alkotó számjegyek összegét: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 .
Most számoljuk ki a kapott szám számjegyeinek összegét: 1 + 9 = 10 .
A végső válasz megszerzéséhez még egy kiegészítés eredményét találjuk: 1 + 0 = 1
.
Válasz: Az 1 nem osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy az eredeti szám nem osztható 3-mal.
Annak megállapítására, hogy egy adott szám osztható-e 3-mal maradék nélkül, osztást hajthatunk végre adott szám 3-mal. Ha elosztod a számot − 543 205 a fent tárgyalt példából három oszloppal, akkor nem kapunk egész számot a válaszban. Ez azt is jelenti − 543 205 nem osztható 3-mal maradék nélkül.
Itt a következő készségekre lesz szükségünk: egy szám számjegyekre bontása és a 10-zel, 100-zal való szorzás szabálya stb. A bizonyítás végrehajtásához meg kell szereznünk az űrlap a számának reprezentációját , Ahol a n , a n − 1 , … , a 0- ezek azok a számok, amelyek egy szám jelölésében balról jobbra helyezkednek el.
Íme egy példa egy adott szám használatára: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.
Írjunk fel egyenlőségsorozatot: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1, és így tovább.
Most cseréljük be ezeket az egyenlőségeket 10, 100 és 1000 helyett a korábban megadott egyenlőségekbe a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.
Így jutottunk el az egyenlőséghez:
a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0
Most alkalmazzuk az összeadás és a természetes számok szorzás tulajdonságait, hogy a kapott egyenlőséget a következőképpen írjuk át:
a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + a n +. . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n +. . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n +. . . + a 2 + a 1 + a 0
Kifejezés a n +. . . + a 2 + a 1 + a 0 az eredeti a szám számjegyeinek összege. Vezessünk be egy új rövid jelölést A. A következőt kapjuk: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .
Ebben az esetben a szám ábrázolása a = 3 33. . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A olyan formát ölt, amelyet kényelmesen használhatunk a 3-mal való oszthatóság bizonyítására.
1. definíció
Most pedig emlékezzünk következő tulajdonságokat oszthatóság:
Lefektettük az alapot a 3-mal való oszthatósági teszt bizonyításához. Most fogalmazzuk meg ezt a tulajdonságot tétel formájában, és bizonyítsuk be.
1. tétel
Ahhoz, hogy kijelenthessük, hogy az a egész szám osztható 3-mal, szükséges és elegendő számunkra, hogy az a szám reprezentációját képező számjegyek összege osztható 3-mal.
Bizonyíték 1
Ha az értéket vesszük a = 0, akkor a tétel nyilvánvaló.
Ha egy nullától eltérő a számot veszünk, akkor az a szám modulusa természetes szám lesz. Ez lehetővé teszi a következő egyenlőség felírását:
a = 3 · 33 . . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , ahol A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - az a szám számjegyeinek összege.
Mivel az egész számok összege és szorzata egész szám, akkor
33. . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 egész szám, akkor az oszthatóság definíciója szerint a szorzat 3 · 33. . . 3 a n +. . . + 33 a 2 + 3 a 1 osztható 3
bármilyen a 0 , a 1 , … , a n.
Ha egy szám számjegyeinek összege a osztva 3 , vagyis A osztva 3 , akkor a tétel előtt jelzett oszthatósági tulajdonság miatt a osztva van 3 , ennélfogva, a osztva 3 . Tehát az elegendőség bebizonyosodott.
Ha a osztva 3
, akkor a is osztható -vel 3
, akkor az oszthatóság ugyanazon tulajdonsága miatt a szám
A osztva 3
, vagyis egy szám számjegyeinek összege a osztva 3
. A szükségesség bebizonyosodott.
Egész számok adhatók meg olyan kifejezések értékeként, amelyek egy változót tartalmaznak, ha a változónak egy bizonyos értéke van megadva. Így valamely n természetes szám esetén a 4 n + 3 n - 1 kifejezés értéke természetes szám. Ebben az esetben a közvetlen osztás 3 nem adhat választ arra a kérdésre, hogy egy szám osztható-e vele 3 . Az oszthatósági teszt alkalmazása a 3 nehéz is lehet. Nézzünk példákat az ilyen problémákra, és nézzük meg a megoldási módszereket.
Az ilyen problémák megoldására többféle megközelítés alkalmazható. Az egyik lényege a következő:
A megoldás során gyakran a Newton-féle binomiális képlethez kell folyamodni.
4. példa
Osztható-e a 4 n + 3 n - 1 kifejezés értéke 3 alatt bármilyen természetes n?
Megoldás
Írjuk fel a 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 egyenlőséget. Alkalmazzuk Newton binomiális képletét:
4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + ... + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3
Most pedig vegyük ki 3 a zárójelen kívül: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . A kapott szorzat tartalmazza a szorzót 3 , és a természetes n zárójelben lévő kifejezés értéke az természetes szám. Ez lehetővé teszi számunkra azt állíthatjuk, hogy a kapott szorzat és az eredeti 4 n + 3 n - 1 kifejezés el van osztva 3 .
Válasz: Igen.
Használhatjuk a matematikai indukció módszerét is.
5. példa
Bizonyítsa be a matematikai indukció módszerével, hogy bármely természetes számra
n az n n 2 + 5 kifejezés értékét elosztjuk 3
.
Megoldás
Határozzuk meg az n n 2 + 5 kifejezés értékét amikor n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 osztható vele 3 .
Most tegyük fel, hogy az n n 2 + 5 at kifejezés értéke n = k osztva 3 . Valójában a k k 2 + 5 kifejezéssel kell dolgoznunk, amely várhatóan osztható vele 3 .
Figyelembe véve, hogy k k 2 + 5 osztható vele 3 , megmutatjuk, hogy az n · n 2 + 5 at kifejezés értéke n = k + 1 osztva 3 , azaz megmutatjuk, hogy k + 1 k + 1 2 + 5 osztható -vel 3 .
Végezzük el az átalakításokat:
k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2
A k · (k 2 + 5) kifejezést osztjuk 3 a 3 k 2 + k + 2 kifejezést pedig elosztjuk 3 , így ezek összegét elosztjuk 3 .
Tehát bebizonyítottuk, hogy az n · (n 2 + 5) kifejezés értéke osztható -vel 3 bármely n természetes számra.
Most nézzük meg a vele való oszthatóság bizonyításának megközelítését 3 , amely a következő műveleti algoritmuson alapul:
Annak érdekében, hogy ne vonjuk el a figyelmet a kisebb részletekről, ezt az algoritmust alkalmazzuk az előző példa megoldására.
6. példa
Mutassuk meg, hogy n · (n 2 + 5) osztható vele 3 bármely n természetes számra.
Megoldás
Tegyünk úgy, mintha n = 3 m. Ekkor: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. A kapott termék szorzót tartalmaz 3 , ezért maga a termék fel van osztva 3 .
Tegyünk úgy, mintha n = 3 m + 1. Akkor:
n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2 m + 2)
A kapott terméket felosztjuk 3 .
Tegyük fel, hogy n = 3 m + 2. Akkor:
n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3
Ez a munka is fel van osztva 3 .
Válasz:Így bebizonyítottuk, hogy az n n 2 + 5 kifejezés osztható vele 3 bármely n természetes számra.
7. példa
Osztható-e vele 3 a 10 3 n + 10 2 n + 1 kifejezés értéke valamilyen n természetes számra.
Megoldás
Tegyünk úgy, mintha n=1. Kapunk:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104
Tegyünk úgy, mintha n=2. Kapunk:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001
Ebből arra következtethetünk, hogy bármely természetes n-re olyan számokat kapunk, amelyek oszthatók 3-mal. Ez azt jelenti, hogy 10 3 n + 10 2 n + 1 bármely n természetes számra osztható 3-mal.
Válasz: Igen
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
