Работа первой силы на перемещении ее точки приложения, вызванном второй силой равняется работе второй силы на перемещении ее точки приложения, вызванном первой силой.
(Линейно-упругие системы всегда консервативны, если загружены консервативными силами, т.е. силами, имеющими потенциал).
В качестве модели системы выберем консольную балку. Перемещения будем обозначать - перемещение по направлению силы , вызванное силой .
Нагрузим систему вначале силой , а затем приложим силу . Работа сил, приложенных к системе запишется:
(Почему два первых члена имеют множитель , а последний нет?)
Затем первой приложим силу а второй - .
Т.к. система консервативна, а также потому, что начальные и конечные состояния в обоих случаях совпадают, то работы необходимо равны, откуда следует
Если положить , то получим частный случай теоремы Бетти – теорему о взаимности перемещений.
Перемещения, вызванные единичными силами, мы будем обозначать (смысл индексов прежний). Тогда
Потенциальная энергия деформации плоской
Стержневой системы.
Будем рассматривать плоскую систему, т.е. систему все стержни которой и все силы лежат в одной плоскости. В стержнях такой системы в общем случае могут возникать при внутренних силовых факторах:
Упругая система деформируясь накапливает при этом энергию (упругую энергию) называемую потенциальной энергией деформации .
а) Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии.
Потенциальная энергия накопленная в малом элементе длиной dz будет равняться работе сил приложенных к этому элементу
Потенциальная энергия для стержня: 
Замечание. и - необязательно постоянные величины.
б) Потенциальная энергия при изгибе.
Для стержня: 
в) Поперечные силы вызывают сдвиги, и им соответствует по
тенциальная энергия сдвига. Однако, эта энергия в большинстве случаев невелика и мы не будем ее учитывать.
Замечание. В качестве рассматриваемых объектов у нас фигурировали прямые стержни, но полученные результаты применимы и криволинейным стержням малой кривизны, у которых радиус кривизны приблизительно в 5 раз и более превосходит высоту сечения.
Потенциальная энергия для стержневой системы может быть записана: 
Здесь учтено то обстоятельство, что при растяжении и сжатии сечения не поворачиваются, следовательно, изгибающие моменты при этом работы не совершают, а при изгибе не меняется расстояние по оси между смежными сечениями и работа нормальных сил равна нулю. Т.е. потенциальную энергию изгиба и растяжения – сжатия можно вычислить независимо.
Знаки стимулирования означают, что потенциальная энергия вычисляется для всей системы.
Теорема Кастельяно.
Выражение (3) показывает, что потенциальная энергия деформации является однородной квадратичной функцией и , а те в свою очередь линейно зависят от сил, действующих на систему таким образом является квадратичной функцией сил.
Теорема. Частная производная от потенциальной энергии по силе равняется перемещению точки приложения этой силы по направлению последней.
Доказательство:
Пусть - потенциальная энергия, соответствующая силам системы Рассмотрим два случая.
1) Вначале приложены все силы а затем одна из них получает малое приращение тогда полная потенциальная энергия равна:
2) Вначале приложена сила а затем прикладываются силы В этом случае потенциальная энергия равна:
Т.к. начальное и конечное состояние в обоих случаях одинаково, а система консервативна, то потенциальные энергии надо приравнять 
Отбрасывая малые второго порядка, получаем
Интеграл Мора.
Теорема Кастельяно дала нам возможность определять перемещения. Эту теорему используют для отыскания перемещений в пластинках, оболочках. Однако, вычисление потенциальной энергии громоздкая процедура и мы сейчас наметим более простой и наиболее общий путь определения перемещений в стержневых системах.
Пусть задана произвольная стержневая система и нам нужно определить в ней перемещение точки по направлению , вызванное всеми силами системы -
Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.4,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F1 и F2 через, где индекс «i» показывает направление перемещения, а индекс «j» - вызвавшую его причину.
Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F1) на перемещениях первого состояния через А11, а работу силы F2 на вызванных ею перемещениях - А22:
Используя (1.9), работы А11 и А22 можно выразить через внутренние силовые факторы:
Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.5,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F1 (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F1 составит:
Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F2 (рис.5,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (рис.5,а). В процессе нарастания силы F2 от нуля до ее конечного значения сила F1 , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу:
Сила F2 при этом совершает работу:
Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F1, F2 равна:
С другой стороны, в соответствии с (1.4) полную работу можно определить в виде:
Приравнивая друг к другу выражения (1.11) и (1.12), получим:
А12=А21 (1.14)
Равенство (1.14) носит название теоремы о взаимности работ, или теоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния. Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А12 через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:
Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.
Рассмотрим два различных состояния (в порядке загружения) одной и той же упругой системы:состояния 1 при действии группы сил и состояние 2 при действий группы сил на примере балки на рис.33, а
. Определим и сопоставим работу внешних сил в следующих предположениях. Сначала система постепенно загружается силами состояния 1, а затем, когда силы достигнут окончательного значения, система будет постепенно нагружаться силами состояния 2.Во втором варианте последовательность приложения сил изменяется. Сначала система нагружается силами состояния 2, а затем -силами состояния 1.Допустим, что сперва на систему начала постепенно действовать нагрузка первого состояния, а потом- второго. Суммарная работа внешних сил будет выражаться алгебраической суммой 
.
Рассмотрим теперь приложение нагрузки в обратной последовательности, когда сначала прикладывается нагрузка второго, а затем – первого состояния. В этом случае суммарная работа внешних сил выразится следующей алгебраической суммой: 
, где -работа внешних сил второго состояния на перемещениях, вызванных действием сил первого состояния.
Согласно выражению (63), суммарная работа W внешних сил равна по абсолютной величине работе А внутренних сил, взятой с обратным знаком, или потенциальной энергии деформации U .
Известно, что в линейно деформируемой системе потенциальная энергия деформации не зависит от последовательности приложения внешних сил, а зависит только от исходного и конечного состояний системы. Поскольку исходное и конечное состояния системы в обоих случаях загружения одинаковы, то и суммарные работы внешних сил будут равны, т.е. или , откуда
Полученная аналитическая зависимость выражает собой теорему о взаимности работы и формируется так: в линейно деформируемом теле возможная работа внешних или внутренних сил первого состояния на перемещениях точек их приложения, вызванных действием сил второго состояния, равна возможной работе внешних или внутренних сил второго состояния перемещениях, вызванных действием сил первого состояния. Это так называемая теорема Бетти-Рэлея.
Теорема о взаимности перемещений может быть представлена как частный случай теоремы о взаимности работ. Пусть на балку в первом состоянии действует только одна единичная сила , а во втором состоянии – тоже одна единичная сила (рис.34,а, б ). Сила приложена в точке 1, а сила – в точке 2. На основании теоремы о взаимности работ приравняем возможную работу внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния:
Это аналитическое выражение для теоремы взаимности перемещений, которая формулируется так: перемещение точки приложения первой единичной силы по направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению по направлению второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы, это так называемая теорема Максвелла, имеющая фундаментальное значение в строительной механике.
Рисунок 34 – Определение взаимности перемещений
Литература:
Основная: 6[разр.3: с 29-31; разр.5:с 36-47].
Контрольные вопросы:
1 Для чего нужно уменьшит размеры панелей и с какой целью вводятся дополнительные двухопорные фермочки-шпренгели, а также сколько и какие категории различают в шпренгельных фермах, и как определяются усилия в элементах основной и дополнительных ферм?
2 Какими функциями выражаются деформации (перемещения)в упругих системах и как аналитически это может быть записано, а также при каких допущениях, назовите их, перемещения, и деформации рассматриваемых упругих систем подчиняются закону независимости действия сил?
3 Для чего анализируют работу внешних и внутренних сил упругого тела и какими понятиями при этом пользуются в строительной механике, а также по какой зависимости определяется работа деформации элементов сооружения при статическом приложении внешних сил, дайте определение теореме Клайперона?
4 По какой зависимости определяется работа всех внешних сил действующих на балку и через какие силы может быть выражена работа внутренних сил упругой стержневой системы?
5 По какой зависимости определяется полная работа внутренних сил и почему работа внешних и внутренних сил называется возможной?
6 Какая аналитическая зависимость выражает теорему о взаимности работы и как формулируется (теорема Бетти-Релея)?
На основании теоремы о взаимности работ (9) имеем F 1 δ 12 =F 2 δ 21 , но если принять, чтоF 1 =F 2 = 1, тогда получаемδ 12 =δ 21 , или в общем виде
δ ij = δ ji . (10)
«Перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванному первой единичной силой».
Л е к ц и я 9
Рассмотрим два состояния (рис. 1). Составим выражение работы W 21 , то есть работы силыF 2 = 1 на перемещении Δ 21:
W 21 = F 2 Δ 21 = Δ 21 . (1)
Согласно формулы (7) лекции 8 получаем
W 12 = W – W 11 – W 22 , (2)
(3)
M , N , Q – это моменты, нормальные и поперечные силы от суммарного действия силF 1 иF 2 (рис. 7 лекции 8), т.е.
M = M 1 + M 2 , N = N 1 + N 2 , Q = Q 1 + Q 2 . (4)
Значения (4) подставляем в формулу (3), а результат и выражения для W 11 иW 22 – в формулу (2). В итоге получим
а с учетом равенства (1) имеем
где черточки показывают, что эти значения возникают от единичных сил.
Формулу (6) можно записать в общем виде:
Выражение (7) – это формула для определения перемещений в конкретном сечении конструкции или интеграл Мора (формула Мора ).
При расчете балок и рам учитывают влияние только изгибающих моментов M , а влияниемN иQ пренебрегают.
«Интеграл
произвед ения двух функций, из которых
одна линейная, а другая – произвольная,
равен площади произвольной функции,
умноженной на ординату из прямоугольной
функции, лежащей под центром тяжести
площади произвольной функции».
Например,
имеем две эпюры моментов М
F
и
(рис.
2), тогда по формуле (7) получаем при
использовании правила Верещагина:
(8)
Запишем еще три положения, вытекающие из правила Верещагина:
1. Ордината у С должна быть взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры – прямолинейные, то ординатуу С можно брать из любой.
2. Перемножаемые эпюры не должны иметь
изломов. При их наличии эпюры необходимо
перемножать по участкам.
3. Для перемножения двух прямолинейных эпюр (рис. 3) можно использовать формулу:
Пример. Пусть дана балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкойq (рис. 4). Вычислим прогиб балки в точкеС при ее изгибной жесткостиEI =const. При расчете учитываем только влияние изгибающих моментов, поэтому принимаем интеграл Мора в виде (8):
(9)
где
Вычисляем перемещение Δ С при помощи интеграла Мора (9):
Вычисляем перемещение Δ С при помощи интеграла Мора (9), но с использованием правила перемножения эпюр Верещагина:
Л е к ц и я 10
Данную тему рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 1
.
Определим прогиб конца консоли (рис.
1). Построим грузовую эпюру моментов и
эпюру изгибающих моментов от единичной
силы, приложенной на конце консоли (рис.
1). Используя правило Верещагина, имеем:
Пример 2. Определим горизонтальное смещение точкиС рамы, изображенной на рис. 2.
A MF
Построим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (М F ) и от силыР = 1, приложенной в точкеС по направлению искомого горизонтального смещения (
),
тогда
Знак (–) в ответе означает, что горизонтальное смещение точки С и направление единичной силыР = 1 не совпадают.
Пример 3. Определим горизонтальное перемещение точкиВ от действия сосредоточенной силыF (рис. 3).
Для криволинейного бруса изгибающий момент в произвольной точке С можно записать в виде:
Если приложить единичную силу в точке В по направлению действия внешней сосредоточенной силыF (в направлении искомого перемещения), то
и тогда горизонтальное перемещение точки В при учете только изгибающего момента будет
Найдем горизонтальное перемещение точки В при учете только нормальных силN F , в этом случае
Учтем влияние поперечной силы Q F на величину горизонтального смещения этой же точкиВ :
Горизонтальное перемещение точки В при учете изгибающего момента, нормальных и поперечных внутренних сил будет
Если учесть, что для прямоугольного поперечного сечения I z =bh 3 /12,А = bh , а также, чтоG = 0,5Е /(1 +ν ), то
Таким образом, если (R / h ) > 1, то при определении горизонтального перемещения влиянием нормальных и поперечных сил можно пренебречь.
Начало возможных перемещений, являясь общим принципом механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем. Применительно к ним этот принцип можно сформулировать следующим образом: если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях системы равна нулю.
где
- внешние силы;
- возможные перемещения этих сил;
- работа внутренних сил.
Заметим, что в процессе совершения системой возможного перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать на половину, а полную величину произведения соответствующих сил и перемещений.
Рассмотрим два состояния какой-либо
системы, находящейся в равновесии (рис.
2.2.9). В состоянии
система деформируется обобщенной силой
(рис. 2.2.9, а), в состоянии
- силой
(рис. 2.2.9, б).
Работа сил состояния
на перемещениях состояния
,
как и работа сил состояния
на перемещениях состояния
,
будет возможной.
(2.2.14)
Вычислим теперь возможную работу
внутренних сил состояния
на перемещениях, вызванных нагрузкой
состояния
.
Для этого рассмотрим произвольный
элемент стержня длиной
в обоих случаях. Для плоского изгиба
действие удаленных частей на элемент
выражается системой усилий
,
,
(рис. 2.2.10, а). Внутренние усилия имеют
направления, противоположные внешним
(показаны штриховыми линиями). На рис.
2.2.10, б показаны внешние усилия
,
,
,
действующие на элемент
в состоянии
.
Определим деформации, вызванные этими
усилиями.
Очевидно удлинение элемента
,
вызванное силами
.
Работа внутренних осевых сил
на этом возможном перемещении
. (2.2.15)
Взаимный угол поворота граней элемента,
вызванный парами
,
.
Работа внутренних изгибающих моментов
на этом перемещении
. (2.2.16)
Аналогично определяем работу поперечных
сил
на перемещениях, вызванных силами
. (2.2.17)
Суммируя полученные работы, получаем
возможную работу внутренних сил,
приложенных к элементу
стержня, на перемещениях, вызванной
другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом
Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, получим полное значение возможной работы внутренних сил:
(2.2.19)
Применим начало возможных перемещений, суммируя работу внутренних и внешних сил на возможных перемещениях системы, и получим общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:
(2.2.20)
Т. е., если упругая система находится в
равновесии, то работа внешних и внутренних
сил в состоянии
на возможных перемещениях, вызванных
другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом
,
равна нулю.
Запишем выражения начала возможных
перемещений для балки, показанной на
рис. 2.2.9, приняв для состояния
в качестве возможных перемещения,
вызванные состоянием
,
а для состояния
- перемещения, вызванные состоянием
.
(2.2.21)
(2.2.22)
Так как выражения работ внутренних сил одинаковы, то очевидно, что
(2.2.23)
Полученное выражение носит название
теоремы о взаимности работ (теоремы
Бетти). Она формулируется следующим
образом: возможная работа внешних (или
внутренних) сил состояния
на перемещениях состояния
равна возможной работе внешних (или
внутренних) сил состояния
на перемещениях состояния
.
Применим теорему о взаимности работ к
частному случаю нагружения, когда в
обоих состояниях системы приложено по
одной единичной обобщенной силе
и
.
Рис. 2.2.11
На основании теоремы о взаимности работ получаем равенство
, (2.2.24)
которое носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла). Формулируется она так: перемещение точки приложения первой силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй силы по ее направлению, вызванному действием первой единичной силы.
Теоремы о взаимности работ и перемещений существенно упрощают решение многих задач при определении перемещений.
Пользуясь теоремой о взаимности работ,
определим прогиб
балки посредине пролета при действии
на опоре момента
(рис. 2.2.12, а).
Используем второе состояние балки –
действие в точке 2 сосредоточенной силы
.
Угол поворота опорного сечения
определим из условия закрепления балки
в точке В:
Рис. 2.2.12
Согласно теореме о взаимности работ
,
