Termenul (modul) tradus literal din latină înseamnă „măsură”. Acest concept a fost introdus în matematică de omul de știință englez R. Cotes. Și matematicianul german K. Weierstrass a introdus semnul modulului - simbol care denotă acest concept atunci când scrie.
Pentru prima dată acest concept este studiat la matematică conform programului de clasa a VI-a. liceu. Conform unei definiții, modulul este valoarea absolută a unui număr real. Cu alte cuvinte, pentru a afla modulul unui număr real, trebuie să renunți la semnul acestuia.
Valoarea grafică absolută A notat ca |a|.
Principal trăsătură distinctivă Acest concept este că este întotdeauna o cantitate nenegativă.
Numerele care diferă între ele doar prin semn se numesc numere opuse. Dacă o valoare este pozitivă, atunci opusul ei este negativ și zero este opusul său.
Dacă luăm în considerare conceptul de modul din punctul de vedere al geometriei, atunci acesta va desemna distanța care se măsoară în segmente unitare de la originea coordonatelor până la punct dat. Această definiție dezvăluie pe deplin sensul geometric al termenului studiat.
Grafic aceasta poate fi exprimată astfel: |a| = OA.
Mai jos vom lua în considerare toate proprietățile matematice ale acestui concept și modalitățile de a-l scrie sub formă de expresii literale:
Dacă vorbim despre rezolvarea ecuațiilor și inegalităților matematice care conțin modul, atunci trebuie să ne amintim că pentru a le rezolva va trebui să deschideți acest semn.
De exemplu, dacă semnul unei valori absolute conține o expresie matematică, atunci înainte de a deschide modulul, este necesar să se țină cont de definițiile matematice curente.
|A + 5| = A + 5, dacă, A este mai mare sau egal cu zero.
5-A, dacă, O valoare este mai mică decât zero.
În unele cazuri, semnul poate fi dezvăluit fără ambiguitate pentru orice valoare a variabilei.
Să ne uităm la un alt exemplu. Să construim o linie de coordonate pe care să marchem toate valorile numerice a căror valoare absolută va fi 5.
Mai întâi trebuie să desenați o linie de coordonate, să marcați originea coordonatelor pe ea și să setați dimensiunea unui segment de unitate. În plus, linia dreaptă trebuie să aibă o direcție. Acum pe această linie este necesar să se aplice marcaje care vor fi egale cu dimensiunea unui segment de unitate.
Astfel, putem vedea că pe această linie de coordonate vor exista două puncte de interes pentru noi cu valorile 5 și -5.
Unul dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să ne dăm seama mai întâi cu ce are legătură? De ce, de exemplu, majoritatea copiilor crapă ecuații pătratice precum nucile, dar au atât de multe probleme cu un concept atât de departe de complex ca modul?
În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, hotărând ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă, iar apoi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice. Ce să faci dacă se găsește un modul în ecuație? Vom încerca să descriem clar plan necesar acțiuni în cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Vom da mai multe exemple pentru fiecare caz.
Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului. Deci, modulo numărul A acest număr în sine se numește dacă A nenegativ şi -A, dacă numărul A mai putin de zero. O poti scrie asa:
|a| = a dacă a ≥ 0 și |a| = -a dacă a< 0
Vorbind despre semnificația geometrică a modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerelor - sa 
coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct până la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna specificată ca număr pozitiv. Astfel, modulul oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se încurce. Modulul poate conține orice număr, dar rezultatul utilizării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.
Acum să trecem direct la rezolvarea ecuațiilor.
1. Se consideră o ecuație de forma |x| = c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.
Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Scriem soluția sub forma unei diagrame:
(±c, dacă c > 0
Dacă |x| = c, atunci x = (0, dacă c = 0
(fără rădăcini dacă cu< 0
1) |x| = 5, deoarece 5 > 0, atunci x = ±5;
2) |x| = -5, deoarece -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, atunci x = 0.
2. Ecuația de forma |f(x)| = b, unde b > 0. Pentru a rezolva această ecuație este necesar să scăpăm de modul. O procedăm astfel: f(x) = b sau f(x) = -b. Acum trebuie să rezolvați fiecare dintre ecuațiile rezultate separat. Dacă în ecuația inițială b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, deoarece 4 > 0, atunci
x + 2 = 4 sau x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, deoarece 11 > 0, atunci
x 2 – 5 = 11 sau x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 fără rădăcini
3) |x 2 – 5x| = -8, deoarece -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. O ecuație de forma |f(x)| = g(x). Conform sensului modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă partea sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică. g(x) ≥ 0. Atunci vom avea:
f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x – 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Soluție:
2x – 1 = 5x – 10 sau 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Combinăm O.D.Z. iar soluția, obținem:
Rădăcina x = 11/7 nu se potrivește cu O.D.Z., este mai mică decât 2, dar x = 3 satisface această condiție.
Răspuns: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate folosind metoda intervalului:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Soluție:
x – 1 = 1 – x 2 sau x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 sau x = 1 x = 0 sau x = 1
3. Combinăm soluția și O.D.Z.:
Doar rădăcinile x = 1 și x = 0 sunt potrivite.
Răspuns: x = 0, x = 1.
4. Ecuația de forma |f(x)| = |g(x)|. O astfel de ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f(x) = g(x) sau f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 sau x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 sau x = 4 x = 2 sau x = 1
Răspuns: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (înlocuire variabilă). Aceasta metoda soluțiile sunt cel mai ușor de explicat exemplu concret. Deci, să ni se dea o ecuație pătratică cu modul:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Să facem înlocuirea |x| = t ≥ 0, atunci vom avea:
t 2 – 6t + 5 = 0. Rezolvând această ecuație, constatăm că t = 1 sau t = 5. Să revenim la înlocuire:
|x| = 1 sau |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Răspuns: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Să ne uităm la un alt exemplu:
x 2 + |x| – 2 = 0. Prin proprietatea modulului x 2 = |x| 2, prin urmare
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Să facem înlocuirea |x| = t ≥ 0, atunci:
t 2 + t – 2 = 0. Rezolvând această ecuație, obținem t = -2 sau t = 1. Să revenim la înlocuire:
|x| = -2 sau |x| = 1
Fără rădăcini x = ± 1
Răspuns: x = -1, x = 1.
6. Un alt tip de ecuații sunt ecuațiile cu un modul „complex”. Astfel de ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest tip pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.
1) |3 – |x|| = 4. Vom acţiona la fel ca în ecuaţiile de al doilea tip. Deoarece 4 > 0, atunci obținem două ecuații:
3 – |x| = 4 sau 3 – |x| = -4.
Acum să exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi |x| = -1 sau |x| = 7.
Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile rezultate. Nu există rădăcini în prima ecuație, pentru că -1< 0, а во втором x = ±7.
Răspuns x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Rezolvăm această ecuație într-un mod similar:
3 + |x + 1| = 5 sau 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 sau x + 1 = -2. Fara radacini.
Răspuns: x = -3, x = 1.
De asemenea este si metoda universala rezolvarea de ecuații cu modul. Aceasta este metoda intervalului. Dar ne vom uita la asta mai târziu.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
A se calculează în conformitate cu următoarele reguli:
Pentru concizie, se folosesc notații |a|. Deci, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 etc.
Fiecare dimensiune X corespunde unei valori destul de precise | X|. Si asta inseamnă identitate la= |X| seturi la Ca unii funcția argument X.
Programa acest funcții prezentat mai jos.
Pentru X > 0 |X| = X, si pentru X< 0 |X|= -X; în acest sens, linia y = | X| la X> 0 combinat cu o linie dreaptă y = x(bisectoarea primului unghi de coordonate) și când X< 0 - с прямой y = -x(bisectoarea celui de-al doilea unghi de coordonate).
Separa ecuații include necunoscute sub semn modul.
Exemple arbitrare de astfel de ecuații - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 etc.
Rezolvarea ecuațiilor care conține o necunoscută sub semnul modulului se bazează pe faptul că dacă valoarea absolută a numărului necunoscut x este egală cu număr pozitiv a, atunci acest număr x însuși este egal fie cu a, fie cu -a.
De exemplu:, dacă | X| = 10, atunci sau X=10 sau X = -10.
Sa luam in considerare rezolvarea ecuațiilor individuale.
Să analizăm soluția ecuației | X- 1| = 2.
Să extindem modulul apoi diferența X- 1 poate fi egal fie cu + 2, fie cu - 2. Dacă x - 1 = 2, atunci X= 3; dacă X- 1 = - 2, atunci X= - 1. Facem o substituție și constatăm că ambele aceste valori satisfac ecuația.
Răspuns. Ecuația de mai sus are două rădăcini: X 1 = 3, X 2 = - 1.
Să analizăm soluția ecuației | 6 — 2X| = 3X+ 1.
După extinderea modulului obținem: sau 6 - 2 X= 3X+ 1 sau 6 - 2 X= - (3X+ 1).
In primul caz X= 1, iar în al doilea X= - 7.
Examinare. La X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; rezulta din instanta, X = 1 - rădăcină dat ecuații.
La X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20; deoarece 20 ≠ -20, atunci X= - 7 nu este o rădăcină a acestei ecuații.
Răspuns. U ecuația are o singură rădăcină: X = 1.
Ecuațiile de acest tip pot fi rezolva si grafic.
Deci haideți să decidem De exemplu, grafic ecuația | X- 1| = 2.
Mai întâi vom construi grafica functionala la = |X- 1|. Mai întâi, să desenăm un grafic al funcției la=X- 1:
Acea parte a ei Arte grafice, care este situat deasupra axei X Nu o vom schimba. Pentru ea X- 1 > 0 și deci | X-1|=X-1.
Partea graficului care se află sub axă X, hai să ne înfățișăm simetric raportat la această axă. Pentru că pentru această parte X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Rezultați linia(linie continuă) și voință graficul funcției y = | X—1|.
Această linie se va intersecta cu Drept la= 2 în două puncte: M 1 cu abscisă -1 și M 2 cu abscisă 3. Și, în consecință, ecuația | X- 1| =2 vor fi două rădăcini: X 1 = - 1, X 2 = 3.
