Na vyriešenie geometrickej úlohy súradnicovou metódou je potrebný priesečník, ktorého súradnice sú použité pri riešení. Nastane situácia, keď potrebujete hľadať súradnice priesečníka dvoch čiar v rovine alebo určiť súradnice tých istých čiar v priestore. Tento článok sa zaoberá prípadmi hľadania súradníc bodov, kde sa dané čiary pretínajú.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Je potrebné definovať priesečníky dvoch priamok.
Časť o vzájomnej polohe čiar v rovine ukazuje, že sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa v jednom spoločnom bode alebo sa môžu pretínať. Dve čiary v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.
Definícia priesečníka čiar znie takto:
Definícia 1
Bod, v ktorom sa dve priamky pretínajú, sa nazýva ich priesečník. Inými slovami, bod pretínajúcich sa čiar je priesečník.
Pozrime sa na obrázok nižšie.
Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch čiar je potrebné zvážiť nižšie uvedený príklad.
Ak má rovina súradnicový systém O x y, potom sú určené dve priamky a a b. Priame a zodpovedá všeobecná rovnica tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pre riadok b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom M 0 (x 0 , y 0) je určitý bod roviny, je potrebné určiť, či bod M 0 bude priesečníkom týchto priamok.
Na vyriešenie problému je potrebné dodržať definíciu. Potom sa priamky musia pretínať v bode, ktorého súradnice sú riešením daných rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znamená, že súradnice priesečníka sú dosadené do všetkých daných rovníc. Ak po substitúcii dávajú správnu identitu, potom sa za ich priesečník považuje M 0 (x 0 , y 0).
Príklad 1
Dané dve pretínajúce sa čiary 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0. Bude bod M 0 so súradnicami (2, - 3) priesečníkom.
Riešenie
Aby bol priesečník priamok platný, je potrebné, aby súradnice bodu M 0 spĺňali rovnice priamok. Dá sa to skontrolovať ich nahradením. Chápeme to
5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0
Obe rovnosti sú pravdivé, čo znamená, že M 0 (2, - 3) je priesečníkom daných čiar.
Znázornime toto riešenie na súradnicovej čiare na obrázku nižšie.
odpoveď:určiť si bod so súradnicami (2, - 3) bude priesečníkom daných čiar.
Príklad 2
Budú sa priamky 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 pretínať v bode M 0 (2, - 3)?
Riešenie
Ak chcete problém vyriešiť, musíte do všetkých rovníc nahradiť súradnice bodu. Chápeme to
5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0
Druhá rovnosť nie je pravdivá, to znamená, že daný bod nepatrí do priamky 7 x - 2 y + 11 = 0. Z toho máme, že bod M 0 nie je priesečníkom priamok.
Nákres jasne ukazuje, že M 0 nie je priesečník čiar. Majú spoločný bod so súradnicami (- 1, 2).
odpoveď: bod so súradnicami (2, - 3) nie je priesečníkom daných čiar.
Pristúpime k hľadaniu súradníc priesečníkov dvoch priamok pomocou daných rovníc v rovine.
Dve pretínajúce sa čiary a a b sú špecifikované rovnicami v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ktoré sa nachádzajú na O x y. Pri označení priesečníka M 0 zistíme, že by sme mali pokračovať v hľadaní súradníc pomocou rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
Z definície je zrejmé, že M 0 je spoločný priesečník priamok. V tomto prípade musia jeho súradnice spĺňať rovnice A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Inými slovami, toto je riešenie výslednej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné pridať všetky rovnice do systému a vyriešiť ho.
Príklad 3
Dané dve priamky x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovine. je potrebné nájsť ich priesečník.
Riešenie
Údaje o podmienkach rovnice sa musia zhromaždiť do systému, potom získame x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Ak to chcete vyriešiť, vyriešte prvú rovnicu pre x a dosaďte výraz do druhej:
x - 9 r + 14 = 0 5 x - 2 r - 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 5 x - 2 r. - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r. - 14 5 9 r. - 14 - 2 r. 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 43 r - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r - 14 r = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 r = 2 ⇔ x = 4 r = 2
Výsledné čísla sú súradnice, ktoré bolo potrebné nájsť.
odpoveď: M 0 (4, 2) je priesečník priamok x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0.
Hľadanie súradníc spočíva v riešení systému lineárne rovnice. Ak je podmienkou daný iný typ rovnice, potom by sa mala zredukovať na normálnu formu.
Príklad 4
Určte súradnice priesečníkov priamok x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.
Riešenie
Najprv musíte uviesť rovnice do všeobecného tvaru. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R sa transformuje takto:
x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0
Potom vezmeme rovnicu kanonického tvaru x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme ju. Chápeme to
x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 r - 4 ⇔ 3 x - 5 r + 20 = 0
Odtiaľ máme, že súradnice sú priesečníkom
x - 9 r + 14 = 0 3 x - 5 r + 20 = 0 ⇔ x - 9 r = - 14 3 x - 5 r = - 20
Na nájdenie súradníc použijeme Cramerovu metódu:
∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1
odpoveď: M° (- 5, 1).
Existuje aj spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka čiar umiestnených v rovine. Je použiteľné, keď je jedna z priamok daná parametrickými rovnicami v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Potom namiesto hodnoty x dosadíme x = x 1 + a x · λ a y = y 1 + a y · λ, kde dostaneme λ = λ 0, čo zodpovedá priesečníku so súradnicami x 1 + a x · λ 0 y1 + ay · λ0.
Príklad 5
Určte súradnice priesečníka priamky x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3.
Riešenie
Je potrebné vykonať substitúciu v x - 5 = y - 4 - 3 výrazom x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, potom dostaneme:
4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3
Pri riešení zistíme, že λ = -1. Z toho vyplýva, že medzi priamkami x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 je priesečník. Na výpočet súradníc je potrebné do parametrickej rovnice dosadiť výraz λ = - 1. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.
odpoveď: M° (- 5, 1).
Ak chcete plne pochopiť tému, musíte poznať niektoré nuansy.
Najprv musíte pochopiť umiestnenie čiar. Keď sa pretnú, zistíme súradnice, v ostatných prípadoch nebude riešenie. Aby ste sa vyhli tejto kontrole, môžete vytvoriť systém v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ak existuje riešenie, dôjdeme k záveru, že čiary sa pretínajú. Ak neexistuje riešenie, potom sú paralelné. Keď má systém nekonečný počet riešení, hovorí sa, že sa zhodujú.
Príklad 6
Dané čiary x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4. Zistite, či majú spoločný bod.
Riešenie
Zjednodušením daných rovníc dostaneme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0.
Rovnice by sa mali zhromaždiť do systému pre následné riešenie:
1 3 x - 1 4 r - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 r = 1 4 3 x - y = 4
Z toho vidíme, že rovnice sú vyjadrené cez seba, potom dostaneme nekonečný počet riešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definujú rovnakú čiaru. Preto neexistujú žiadne priesečníky.
odpoveď: dané rovnice definujú rovnakú priamku.
Príklad 7
Nájdite súradnice bodu pretínajúcich sa čiar 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.
Riešenie
Podľa stavu je to možné, linky sa nebudú pretínať. Je potrebné vytvoriť sústavu rovníc a riešiť. Na riešenie je potrebné použiť Gaussovu metódu, pretože s jej pomocou je možné skontrolovať kompatibilitu rovnice. Dostaneme systém formulára:
2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 r - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r. = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2
Dostali sme nesprávnu rovnosť, čo znamená, že systém nemá žiadne riešenia. Dospeli sme k záveru, že čiary sú rovnobežné. Neexistujú žiadne priesečníky.
Druhé riešenie.
Najprv musíte určiť prítomnosť priesečníkov čiar.
n 1 → = (2, 2 - 3) je normálový vektor priamky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, potom vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 je normálový vektor pre priamku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .
Je potrebné skontrolovať kolinearitu vektorov n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Získame rovnosť v tvare 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Je to správne, pretože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Z toho vyplýva, že vektory sú kolineárne. To znamená, že čiary sú rovnobežné a nemajú žiadne priesečníky.
odpoveď: neexistujú žiadne priesečníky, čiary sú rovnobežné.
Príklad 8
Nájdite súradnice priesečníka daných priamok 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2 .
Riešenie
Na vyriešenie zostavíme sústavu rovníc. Dostaneme
2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2
Nájdite determinant hlavnej matice. Na to platí 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Keďže sa nerovná nule, sústava má 1 riešenie. Z toho vyplýva, že čiary sa pretínajú. Poďme vyriešiť systém na hľadanie súradníc priesečníkov:
2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8
Zistili sme, že priesečník daných čiar má súradnice M 0 (1 2, - 11 8).
odpoveď: M 0 (1 2 , - 11 8) .
Rovnakým spôsobom sa nájdu priesečníky priamych čiar v priestore.
Keď sú priamky a a b dané v súradnicovej rovine O x y z rovnicami pretínajúcich sa rovín, potom existuje priamka a, ktorú je možné určiť pomocou danej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 a priamka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D4 = 0.
Keď je bod M 0 priesečníkom priamok, potom jeho súradnice musia byť riešeniami oboch rovníc. Získame lineárne rovnice v systéme:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4y + C4z + D4 = 0
Pozrime sa na podobné úlohy pomocou príkladov.
Príklad 9
Nájdite súradnice priesečníka daných priamok x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0
Riešenie
Poskladáme sústavu x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyriešime. Ak chcete nájsť súradnice, musíte vyriešiť pomocou matice. Potom získame hlavnú maticu tvaru A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a rozšírenú maticu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Určíme Gaussovu hodnosť matice.
Chápeme to
1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0
Z toho vyplýva, že poradie rozšírenej matice má hodnotu 3. Potom zo sústavy rovníc x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vyplýva len jedno riešenie.
Základ minor má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, potom posledná rovnica neplatí. Získame, že x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Riešenie sústavy x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .
To znamená, že priesečník x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 má súradnice (1, - 3, 0).
odpoveď: (1 , - 3 , 0) .
Sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má len jedno riešenie. To znamená, že priamky a a b sa pretínajú.
V iných prípadoch rovnica nemá riešenie, teda ani spoločné body. To znamená, že nie je možné nájsť bod so súradnicami, pretože neexistuje.
Preto sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sa rieši Gaussovou metódou. Ak je nekompatibilný, čiary sa nepretínajú. Ak existuje nekonečný počet riešení, potom sa zhodujú.
Môžete to vyriešiť výpočtom základnej a rozšírenej hodnosti matice a potom použiť Kroneckerovu-Capelliho vetu. Dostávame jeden, veľa alebo úplná absencia rozhodnutia.
Príklad 10
Sú uvedené rovnice priamok x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Nájdite priesečník.
Riešenie
Najprv si vytvoríme sústavu rovníc. Dostaneme, že x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Riešime to Gaussovou metódou:
1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10
Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia, čo znamená, že čiary sa nepretínajú. Neexistuje žiadny priesečník.
odpoveď: neexistuje žiadny priesečník.
Ak sú čiary dané pomocou kužeľových alebo parametrických rovníc, musíte ich zredukovať na formu rovníc pretínajúcich sa rovín a potom nájsť súradnice.
Príklad 11
Dané dve priamky x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Nájdite priesečník.
Riešenie
Priamky definujeme rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín. Chápeme to
x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0
Nájdeme súradnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, preto vypočítame poradie matice. Hodnosť matice je 3 a menší základ je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, čo znamená, že posledná rovnica musí byť zo systému vylúčená. Chápeme to
3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0
Riešime systém Cramerovou metódou. Dostaneme, že x = - 2 y = 3 z = - 5. Odtiaľto dostaneme, že priesečník daných čiar dáva bod so súradnicami (- 2, 3, - 5).
odpoveď: (- 2 , 3 , - 5) .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
IN staré časy Zaujímala ma počítačová grafika, 2D aj 3D, vrátane matematických vizualizácií. To, čomu sa hovorí len zo srandy, som ako študent napísal program, ktorý zobrazuje N-rozmerné postavy otáčajúce sa v ľubovoľných rozmeroch, hoci prakticky som bol schopný určiť body len pre 4-D hyperkocku. Ale to je len príslovie. Láska ku geometrii mi odvtedy zostala dodnes a stále rád zaujímavým spôsobom riešim zaujímavé úlohy.Ľavý obrázok (1) zobrazuje dva segmenty, pre oba je splnená podmienka a segmenty sa pretínajú. Na obrázku vpravo (2) je podmienka splnená pre segment b, ale pre segment a nie je splnená, a preto sa segmenty nepretínajú.
Môže sa zdať, že určiť, na ktorej strane čiary bod leží, je netriviálna úloha, ale strach má veľké oči a všetko nie je také ťažké. Vieme, že vektorové násobenie dvoch vektorov nám dáva tretí vektor, ktorého smer závisí od toho, či je uhol medzi prvým a druhým vektorom kladný alebo záporný, takáto operácia je antikomutatívna. A keďže všetky vektory ležia na Rovina X-Y, potom ich vektorový súčin (ktorý musí byť kolmý na násobené vektory) bude mať len nenulovú zložku Z, a teda rozdiel medzi súčinmi vektorov bude len v tejto zložke. Navyše pri zmene poradia násobenia vektorov (čítaj: uhla medzi násobenými vektormi) bude spočívať výlučne v zmene znamienka tohto komponentu.
Preto môžeme vektor deliaceho segmentu vynásobiť v pároch vektormi smerujúcimi od začiatku deliaceho segmentu do oboch bodov kontrolovaného segmentu. 
Ak zložky Z oboch produktov majú iné znamenie, čo znamená, že jeden z uhlov je menší ako 0, ale väčší ako -180 a druhý je väčší ako 0 a menší ako 180, body ležia pozdĺž rôzne strany z priamky. Ak majú zložky Z oboch produktov rovnaké znamienko, ležia teda na tej istej strane čiary.
Ak je jedna zo zložiek Z nulová, potom máme hraničný prípad, keď bod leží presne na testovanej priamke. Nechajme na používateľovi, aby sa rozhodol, či to chce považovať za križovatku.
Potom musíme operáciu zopakovať pre ďalší segment a čiaru a uistiť sa, že aj umiestnenie jej koncových bodov spĺňa podmienku.
Ak je teda všetko v poriadku a oba segmenty spĺňajú podmienku, potom priesečník existuje. Poďme to nájsť a pomôže nám v tom aj vektorový produkt.
Keďže vo vektorovom súčine máme len nenulovú zložku Z, tak jej modul (dĺžka vektora) sa bude číselne rovnať presne tejto zložke. Pozrime sa, ako nájsť priesečník. 
Dĺžka vektorového súčinu vektorov a a b (ako sme zistili, je číselne rovná jeho zložke Z) sa rovná súčinu absolútnych hodnôt týchto vektorov a sínusu uhla medzi nimi (|a | |b| sin(ab)). Podľa toho máme pre konfiguráciu na obrázku nasledovné: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α) a |AB x AD| = |AB||AD| hriech(β). |AC|sin(α) je kolmica z bodu C na segment AB a |AD|sin(β) je kolmica z bodu D na segment AB (noha ADD“). Pretože uhly γ a δ sú vertikálne uhly, potom sú rovnaké, čo znamená, že trojuholníky PCC" a PDD" sú podobné, a preto sú dĺžky všetkých ich strán úmerné v rovnakých pomeroch.
Ak máme Z1 (AB x AC, čo znamená |AB||AC|sin(α)) a Z2 (AB x AD, čo znamená |AB||AD|sin(β)), môžeme vypočítať CC"/DD" ( ktorá sa bude rovnať Z1/Z2) a tiež s vedomím, že CC"/DD" = CP/DP, si ľahko vyrátate polohu bodu P. Osobne to robím nasledovne:
Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;
To je všetko. Myslím, že je to naozaj veľmi jednoduché a elegantné. Na záver by som rád uviedol funkčný kód, ktorý implementuje tento algoritmus. Funkcia používa domácu vektorovú šablónu
1 šablóna
Ach-och-och-och-och... no je to ťažké, akoby si čítal vetu sám pre seba =) Relax však pomôže neskôr, najmä keď som si dnes kúpila príslušné doplnky. Preto poďme k prvej časti, dúfam, že do konca článku si udržím veselú náladu.
To je prípad, keď publikum spieva v zbore. Dve rovné čiary môžu:
1) zápas;
2) byť paralelné: ;
3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .
Pomoc pre figuríny : Prosím, zapamätajte si matematickú značku križovatky, bude sa objavovať veľmi často. Zápis znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode .
Začnime prvým prípadom:
Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje číslo „lambda“ také, že sú splnené rovnosti
Uvažujme priame čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov vytvorte tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.
Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice 
vynásobte –1 (znamienka zmeny) a všetky koeficienty rovnice 
znížením o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .
Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:
Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty premenných úmerné: 
, Ale.
Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné: 
Je však celkom zrejmé, že.
A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:
Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NEEXISTUJE taká hodnota „lambda“, aby boli splnené rovnosti 
Takže pre priame čiary vytvoríme systém: 
Z prvej rovnice vyplýva, že , a z druhej rovnice: , čo znamená systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.
Záver: čiary sa pretínajú
V praktických problémoch môžete použiť práve diskutovanú schému riešenia. Mimochodom, veľmi to pripomína algoritmus na kontrolu kolinearity vektorov, na ktorý sme sa pozreli v triede Koncept lineárnej (ne)závislosti vektorov. Základy vektorov. Existuje však civilizovanejší obal:
Príklad 1
Prísť na to vzájomného usporiadania priamy: 
Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:
a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: 
.
, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.
Pre každý prípad dám na križovatku kameň so značkami:
Zvyšok preskočte kameň a choďte ďalej, priamo ku Kašchei nesmrteľnému =)
b) Nájdite smerové vektory čiar: 
Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo zhodné. Tu nie je potrebné počítať determinant.
Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné a .
Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá: 
teda
c) Nájdite smerové vektory čiar: 
Vypočítajme determinant tvorený súradnicami týchto vektorov: 
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné alebo zhodné.
Koeficient proporcionality „lambda“ je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: 
.
Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:
Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).
Čiary sa teda zhodujú.
Odpoveď:
Veľmi skoro sa naučíte (alebo ste sa dokonca už naučili) riešiť diskutovaný problém doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto smere nevidím zmysel, aby som niečo ponúkal nezávislé rozhodnutie, je lepšie položiť ďalšiu dôležitú tehlu do geometrického základu:
Pre neznalosť tohto najjednoduchšia úloha Zbojník slávik prísne trestá.
Príklad 2
Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.
Riešenie: Neznámy riadok označme písmenom . Čo o nej hovorí stav? Bodom prechádza priamka. A ak sú čiary rovnobežné, potom je zrejmé, že smerový vektor priamky „tse“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.
Z rovnice vyberieme smerový vektor:
Odpoveď:
Príklad geometrie vyzerá jednoducho: 
Analytické testovanie pozostáva z nasledujúcich krokov:
1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).
2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.
Vo väčšine prípadov možno analytické testovanie ľahko vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo určia rovnobežnosť čiar bez akéhokoľvek kreslenia.
Príklady nezávislých riešení dnes budú kreatívne. Pretože stále budete musieť súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou najrôznejších hádaniek.
Príklad 3
Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak
Existuje racionálny a nie až taký racionálny spôsob, ako to vyriešiť. Najkratšia cesta je na konci hodiny.
Trochu sme pracovali s paralelnými líniami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa pozrime na problém, ktorý je vám známy školské osnovy:
Ak rovno 
pretínajú v bode , potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc 
Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.
Nech sa páči geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi- sú to dve pretínajúce sa (najčastejšie) čiary v rovine.
Príklad 4
Nájdite priesečník čiar
Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.
Grafická metóda je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu: 
Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice čiary, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému. V podstate sme sa pozreli na grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.
Grafická metóda samozrejme nie je zlá, no sú tu citeľné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že vytvorenie správneho a PRESNEHO nákresu zaberie čas. Navyše, niektoré rovné čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v tridsiatom kráľovstve mimo zošitového listu.
Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém: 
Na riešenie systému bola použitá metóda sčítania rovníc po členoch. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, vezmite si lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?
Odpoveď:
Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.
Príklad 5
Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Je vhodné rozdeliť úlohu do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.
Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.
Úplné riešenie a odpoveď na konci lekcie:
Predtým, ako sme sa dostali k druhej časti lekcie, neboli opotrebované ani topánky:
Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili, ako postaviť priamku rovnobežnú s touto, a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:
Príklad 6
Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu kolmú na priamku prechádzajúcu bodom.
Riešenie: Podľa podmienok je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor čiary. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:
Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.
Zostavme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:
Odpoveď: 
Rozšírime geometrický náčrt:
Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.
Analytické overenie riešenia:
1) Z rovníc vyberieme smerové vektory 
a s pomocou skalárny súčin vektorov prichádzame k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .
Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.
2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici 
.
Test je opäť jednoduché vykonať ústne.
Príklad 7
Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa 
a bodka.
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné formulovať riešenie bod po bode.
Naša vzrušujúca cesta pokračuje:
Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.
Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom „rho“, napríklad: – vzdialenosť od bodu „em“ k priamke „de“.
Vzdialenosť od bodu k čiare 
vyjadrené vzorcom
Príklad 8
Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare 
Riešenie: všetko, čo musíte urobiť, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:
Odpoveď: 
Urobme výkres: 
Nájdená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak nakreslíte kresbu na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. = 1 cm (2 bunky), potom možno vzdialenosť odmerať obyčajným pravítkom.
Uvažujme o ďalšej úlohe založenej na rovnakom výkrese:
Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku 
. Navrhujem vykonať kroky sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:
1) Nájdite čiaru, ktorá je kolmá na čiaru.
2) Nájdite priesečník čiar: 
.
Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.
3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu nájdeme .
Bolo by dobré skontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotky.
Tu môžu nastať problémy s výpočtami, ale mikrokalkulačka je veľkou pomocou vo veži, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Už som Vám mnohokrát poradil a budem Vás odporúčať znova.
Príklad 9
Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami
Toto je ďalší príklad, aby ste sa rozhodli sami. Dám vám malú nápovedu: existuje nekonečne veľa spôsobov, ako to vyriešiť. Zhrnutie na konci lekcie, ale je lepšie sa pokúsiť uhádnuť sami, myslím, že vaša vynaliezavosť bola dobre vyvinutá.
Každý roh je zárubňou: 
V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami považuje za MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované„malinový“ kútik.
Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.
Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, zásadne dôležitý je smer, v ktorom sa uhol „posúva“. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .
Prečo som ti to povedal? Zdá sa, že si vystačíme s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vzorce, podľa ktorých nájdeme uhly, môžu ľahko vyústiť do negatívneho výsledku, a to by vás nemalo zaskočiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. V prípade záporného uhla na výkrese nezabudnite označiť jeho orientáciu šípkou (v smere hodinových ručičiek).
Ako nájsť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:
Príklad 10
Nájdite uhol medzi čiarami
Riešenie A Metóda jedna
Uvažujme dve priame čiary definované rovnicami vo všeobecnom tvare: 
Ak rovno nie kolmá, To orientovaný Uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca: 
Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerovanie vektorov priamych čiar:
Ak , potom sa menovateľ vzorca stane nulou a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti priamych čiar vo formulácii.
Na základe vyššie uvedeného je vhodné formalizovať riešenie v dvoch krokoch:
1) Vypočítajme skalárny súčin smerových vektorov priamok:
, čo znamená, že čiary nie sú kolmé.
2) Nájdite uhol medzi priamymi čiarami pomocou vzorca:
Používaním inverzná funkcia Je ľahké nájsť samotný roh. V tomto prípade používame nepárnosť arkustangens (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):
Odpoveď: 
Vo vašej odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.
No, mínus, mínus, nič veľké. Tu je geometrická ilustrácia: 
Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v probléme je prvé číslo priamka a „odskrutkovanie“ uhla začalo presne s ním.
Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice 
a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym 
.
Komentáre 11
Nájdite priesečník dvoch priamok vynesených z dvoch bodov so známymi súradnicami a azimutmi z týchto bodov.
Na štúdium správania zvierat sa často používa metóda rádiotelemetrie: skúmaný objekt je označený rádiovým vysielačom, ktorý vysiela rádiový signál určitej frekvencie, a potom výskumník pomocou prijímača a prijímacej antény sleduje pohyby. tohto objektu. Jeden z možné spôsoby Určenie presnej polohy objektu je biangulačná metóda. Na to potrebuje výskumník zobrať 2 azimuty k skúmanému objektu z bodov so známymi súradnicami. Umiestnenie objektu bude zodpovedať priesečníku týchto dvoch azimutov. Súradnice bodov, z ktorých sa merajú azimuty, sa dajú získať pomocou satelitného navigátora (GPS), alebo sa azimuty získajú z referenčných bodov, ktorých súradnice sú vopred známe. Azimut je v tomto prípade smer k zdroju najsilnejšieho signálu vychádzajúceho z objektu označeného vysielačom, zvyčajne sa meria v stupňoch.
Pred výpočtami je potrebné previesť body získané pomocou GPS do projektovaného súradnicového systému, napríklad zodpovedajúcej UTM zóny, to je možné vykonať pomocou DNRGarmin.
Aby vypočítaná poloha skúmaného objektu čo najpresnejšie zodpovedala skutočnej polohe, je potrebné vziať do úvahy:
1) musíte skúsiť počkať, kým chyba pri určovaní súradníc v navigátore bude čo najmenšia.
2) tak, aby uhol medzi azimutmi mal sklon k 90 stupňom (aspoň je viac ako 30 a menej ako 150 stupňov).
Vzdialenosť, z ktorej by sa mal azimut snímať, závisí od dosahu vysielača a platí pravidlo, že chyba pri určovaní azimutu narastá so vzdialenosťou od skúmaného objektu o 1 meter na každých 10 m. pri azimute so vzdialenosťou od objektu 100 m bude chyba 10 m. Toto pravidlo však platí v rovných, otvorených priestoroch. Je potrebné vziať do úvahy, že nerovný terén a stromová a krovitá vegetácia signál odrážajú a odrážajú. Mali by ste sa vyhnúť tomu, aby ste boli v tesnej blízkosti skúmaného objektu, pretože po prvé, príliš silný signál sťaží určenie presného azimutu a po druhé, v niektorých prípadoch nebude možné vypočítať priesečník z dôvodu, že druhý azimut bude prechádzať za bodom, kde bol prvý azimut prijaté. Časový interval medzi odobratím páru azimutov by sa mal minimalizovať, ale, samozrejme, závisí od pohyblivosti skúmaného zvieraťa.
Úloha sa rieši pomocou jednoduchej geometrie a riešením sústavy rovníc.
Na začiatok získame z bodu a azimutu rovnicu priamky:
Z rov. všeobecný pohľad:
ax + by + c = 0
za predpokladu, že b<>0 dostaneme
y = kx + d , Kde k=-(a/b) , d=-(c/b)
tak dostaneme
k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b = 1
k1x + d1 = y
k2x + d2 = y
Získame súradnice X a Y spoločného bodu dvoch priamok (priesečník).
Rovnica musí obsahovať dve špeciálne príležitosti, keď sú čiary rovnobežné (k1=k2).
Keďže tu nemáme do činenia s vektormi alebo lúčmi, to znamená, že čiary nemajú začiatok a koniec, je potrebné zabezpečiť aj prípad priesečníka čiar mimo záujmového územia, tzv. falošná križovatka. Riešenie tohto problému sa dosiahne meraním azimutu z falošného bodu a3 do bodu 2, ak je azimut a3 = a2, potom je priesečník falošný, návratový azimut z výsledného bodu späť do pôvodného 2 by sa nemal rovnať jeden z pôvodných azimutov.
Nevyhnutný postup v jazyku Avenue to vyzerá takto:
a1rad = (90-a1)*pi/180Ak dve čiary nie sú rovnobežné, potom sa nevyhnutne pretínajú v jednom bode. Objavte súradnice bodov priesečník 2 čiar je povolený graficky aj aritmeticky, v závislosti od toho, aké údaje poskytuje úloha.
Budete potrebovať
1. Ak sú na grafe nakreslené priame čiary tesne, nájdite riešenie grafická metóda. Ak to chcete urobiť, pokračujte v oboch alebo v jednej z čiar tak, aby sa pretínali. Potom označte priesečník a znížte z neho kolmicu na os x (ako obvykle, oh).
2. Pomocou značiek mierky vyznačených na osi nájdite hodnotu x pre daný bod. Ak je v kladnom smere osi (napravo od nulovej značky), jej hodnota bude správna, v opačnom prípade bude záporná.
3. Správne nájdite aj súradnicu priesečníka. Ak sa priemet bodu nachádza nad nulovou značkou, je správny, ak je nižšie, je záporný. Zapíšte si súradnice bodu v tvare (x, y) - to je riešenie úlohy.
4. Ak sú čiary zadané vo forme vzorcov y=khx+b, môžete problém vyriešiť aj graficky: nakreslite čiary na súradnicovej mriežke a nájdite riešenie pomocou metódy opísanej vyššie.
5. Pokúste sa nájsť riešenie problému pomocou týchto vzorcov. Za týmto účelom vytvorte systém z týchto rovníc a vyriešte ho. Ak sú rovnice uvedené v tvare y=khx+b, jednoducho prirovnajte obe strany k x a objavte x. Potom vložte hodnotu x do jednej z rovníc a nájdite y.
6. Riešenie môžete nájsť pomocou Cramerovej metódy. V tomto prípade zredukujte rovnice na tvar A1x+B1y+C1=0 a A2x+B2y+C2=0. Podľa Cramerovho vzorca x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1) a y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Upozorňujeme, že ak je menovateľ nula, potom sú čiary rovnobežné alebo sa zhodujú, a preto sa nepretínajú.
7. Ak dostanete čiary v priestore v kanonickej forme, skôr ako začnete hľadať riešenie, skontrolujte, či sú čiary rovnobežné. Ak to chcete urobiť, vyhodnoťte exponenty pred t, či sú úmerné, povedzme x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t a x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, potom sú čiary rovnobežné. Okrem toho sa čiary môžu pretínať, v takom prípade systém nebude mať riešenie.
8. Ak zistíte, že sa čiary pretínajú, nájdite bod ich priesečníka. Najprv prirovnajte premenné z rôznych riadkov, pričom podmienečne nahraďte t znakom u v prvom riadku a znakom v v druhom riadku. Povedzme, že ak dostanete riadky x=t-1, y=2t+1, z=t+2 a x=t+1, y=t+1, z=2t+8, dostanete výrazy ako u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.
9. Vyjadrite u z jednej rovnice, dosaďte ho do inej a nájdite v (v tejto úlohe u=-2,v=-4). Teraz, aby ste našli priesečník, nahraďte získané hodnoty namiesto t (na prvej alebo druhej rovnici nezáleží) a získajte súradnice bodu x=-3, y=-3, z =0.
Ak chcete zvážiť 2 pretínajúce sa priamy Stačí ich zvážiť v rovine, pretože dve pretínajúce sa čiary ležia v tej istej rovine. Poznať rovnice týchto priamy, je možné zistiť súradnicu ich bodu križovatky .
Budete potrebovať
1. V karteziánskych súradniciach vyzerá všeobecná rovnica priamky takto: Ax+By+C = 0. Nech sa dve priamky pretnú. Rovnica prvého riadku je Ax+By+C = 0, 2. riadku je Dx+Ey+F = 0. Všetky indikátory (A, B, C, D, E, F) musia byť špecifikované. bod križovatky títo priamy je potrebné vyriešiť sústavu týchto 2 lineárnych rovníc.
2. Na vyriešenie je vhodné vynásobiť prvú rovnicu E a druhú B. Vo výsledku budú rovnice vyzerať takto: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Po odčítaní druhej rovnice z prvej, dostanete: (AE- DB)x = FB-CE. Preto x = (FB-CE)/(AE-DB) Analogicky prvá rovnica počiatočný systém Môžete vynásobiť D, druhý A, potom opäť odpočítať druhý od prvého. Výsledkom je, že y = (CD-FA)/(AE-DB). Výsledné hodnoty x a y budú súradnicami bodu križovatky priamy .
3. Rovnice priamy možno zapísať aj cez uhlový index k, ktorý sa rovná dotyčnici uhla sklonu priamky. V tomto prípade má rovnica priamky tvar y = kx+b. Nech je teraz rovnica prvého riadku y = k1*x+b1 a rovnica 2. riadku je y = k2*x+b2.
4. Ak dáme rovnítko medzi pravé strany týchto 2 rovníc, dostaneme: k1*x+b1 = k2*x+b2. Odtiaľ je ľahké zistiť, že x = (b1-b2)/(k2-k1). Po dosadení tejto hodnoty x do ktorejkoľvek z rovníc dostanete: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Hodnoty x a y určia súradnice bodu križovatky priamy.Ak sú dve priamky rovnobežné alebo zhodné, tak nemajú univerzálne body alebo majú nesmierne veľký počet univerzálnych bodov, resp. V týchto prípadoch k1 = k2, menovatele súradníc bodov križovatky zanikne, teda systém nebude mať klasické riešenie, systém môže mať len jedno klasické riešenie, čo je bezpodmienečné, pretože dve divergentné a nerovnobežné priamky môžu mať iba jeden bod križovatky .
Video k téme
