Termín (modul) doslovne preložený z latinčiny znamená „miera“. Tento pojem zaviedol do matematiky anglický vedec R. Cotes. A nemecký matematik K. Weierstrass zaviedol znamienko modulu – symbol, ktorý tento pojem pri písaní označuje.
Prvýkrát sa tento pojem študuje v matematike podľa programu pre 6. ročník. stredná škola. Podľa jednej definície je modul absolútna hodnota reálneho čísla. Inými slovami, ak chcete zistiť modul reálneho čísla, musíte zahodiť jeho znamienko.
Graficky absolútna hodnota A označené ako |a|.
Hlavná rozlišovacia črta Tento koncept spočíva v tom, že ide vždy o nezápornú veličinu.
Čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkom, sa nazývajú opačné čísla. Ak je hodnota kladná, jej opak je záporný a nula je jej opakom.
Ak vezmeme do úvahy koncept modulu z hľadiska geometrie, potom bude označovať vzdialenosť, ktorá sa meria v jednotkových segmentoch od začiatku súradníc po daný bod. Táto definícia plne odhaľuje geometrický význam skúmaného pojmu.
Graficky to možno vyjadriť takto: |a| = OA.
Nižšie zvážime všetky matematické vlastnosti tohto konceptu a spôsoby jeho písania vo forme doslovných výrazov:
Ak hovoríme o riešení matematických rovníc a nerovníc, ktoré obsahujú modul, musíme si uvedomiť, že na ich vyriešenie budete musieť otvoriť tento znak.
Napríklad, ak znamienko absolútnej hodnoty obsahuje nejaký matematický výraz, tak pred otvorením modulu je potrebné vziať do úvahy aktuálne matematické definície.
|A + 5| = A + 5, ak A je väčšie alebo rovné nule.
5-A, ak je hodnota A menšia ako nula.
V niektorých prípadoch môže byť znamienko odhalené jednoznačne pre akúkoľvek hodnotu premennej.
Pozrime sa na ďalší príklad. Zostrojme súradnicovú čiaru, na ktorej označíme všetky číselné hodnoty, ktorých absolútna hodnota bude 5.
Najprv musíte nakresliť súradnicovú čiaru, označiť na nej počiatok súradníc a nastaviť veľkosť segmentu jednotky. Okrem toho musí mať priamka smer. Teraz na tomto riadku je potrebné použiť značky, ktoré sa budú rovnať veľkosti segmentu jednotky.
Môžeme teda vidieť, že na tejto súradnicovej línii budú pre nás dva body záujmu s hodnotami 5 a -5.
Jednou z najťažších tém pre študentov je riešenie rovníc obsahujúcich premennú pod znamienkom modulu. Poďme najprv zistiť, s čím to súvisí? Prečo napríklad väčšina detí lúska kvadratické rovnice ako orechy, ale má toľko problémov s tak ďaleko od komplexného konceptu, akým je modul?
Všetky tieto ťažkosti sú podľa mňa spojené s nedostatkom jasne formulovaných pravidiel riešenia rovníc s modulom. Takže rozhodovanie kvadratická rovnica, študent s istotou vie, že najprv musí použiť diskriminačný vzorec a potom vzorce pre korene kvadratickej rovnice. Čo robiť, ak sa v rovnici nájde modul? Pokúsime sa jasne popísať potrebný plán akcie v prípade, keď rovnica obsahuje pod znamienkom modulu neznámu. Pre každý prípad uvedieme niekoľko príkladov.
Najprv si však spomeňme definícia modulu. Takže modulo číslo a toto číslo samotné sa volá ak a nezáporné a -a, ak číslo a menej ako nula. Môžete to napísať takto:
|a| = a ak a ≥ 0 a |a| = -a ak a< 0
Keď už hovoríme o geometrickom význame modulu, malo by sa pamätať na to, že každé skutočné číslo zodpovedá určitému bodu na číselnej osi - jeho 
koordinovať. Takže modul alebo absolútna hodnota čísla je vzdialenosť od tohto bodu k začiatku číselnej osi. Vzdialenosť sa vždy uvádza ako kladné číslo. Teda modul akéhokoľvek záporné číslo je kladné číslo. Mimochodom, aj v tejto fáze začína byť veľa študentov zmätených. Modul môže obsahovať ľubovoľné číslo, ale výsledkom používania modulu je vždy kladné číslo.
Teraz prejdime priamo k riešeniu rovníc.
1. Uvažujme rovnicu v tvare |x| = c, kde c je reálne číslo. Túto rovnicu možno vyriešiť pomocou definície modulu.
Všetky reálne čísla rozdeľujeme do troch skupín: tie, ktoré sú väčšie ako nula, tie, ktoré sú menšie ako nula a treťou skupinou je číslo 0. Riešenie zapíšeme vo forme diagramu:
(±c, ak c > 0
Ak |x| = c, potom x = (0, ak c = 0
(bez koreňov, ak s< 0
1) |x| = 5, pretože 5 > 0, potom x = ±5;
2) |x| = -5, pretože -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, potom x = 0.
2. Rovnica tvaru |f(x)| = b, kde b > 0. Na vyriešenie tejto rovnice je potrebné zbaviť sa modulu. Urobíme to takto: f(x) = b alebo f(x) = -b. Teraz musíte vyriešiť každú z výsledných rovníc samostatne. Ak v pôvodnej rovnici b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, pretože 4 > 0, potom
x + 2 = 4 alebo x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, pretože 11 > 0, potom
x 2 – 5 = 11 alebo x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 žiadne korene
3) |x 2 – 5x| = -8, pretože -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Rovnica v tvare |f(x)| = g(x). Podľa významu modulu bude mať takáto rovnica riešenia, ak jej pravá strana bude väčšia alebo rovná nule, t.j. g(x) ≥ 0. Potom budeme mať:
f(x) = g(x) alebo f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Táto rovnica bude mať korene, ak 5x – 10 ≥ 0. Tu začína riešenie takýchto rovníc.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Riešenie:
2x – 1 = 5x – 10 alebo 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Spájame O.D.Z. a riešenie dostaneme:
Odmocnina x = 11/7 nevyhovuje O.D.Z., je menšia ako 2, ale x = 3 túto podmienku spĺňa.
Odpoveď: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2.
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Vyriešme túto nerovnosť pomocou intervalovej metódy:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Riešenie:
x – 1 = 1 – x 2 alebo x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 alebo x = 1 x = 0 alebo x = 1
3. Skombinujeme riešenie a O.D.Z.:
Vhodné sú len korene x = 1 a x = 0.
Odpoveď: x = 0, x = 1.
4. Rovnica tvaru |f(x)| = |g(x)|. Takáto rovnica je ekvivalentná nasledujúcim dvom rovniciam f(x) = g(x) alebo f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Táto rovnica je ekvivalentná nasledujúcim dvom:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 alebo x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 alebo x = 4 x = 2 alebo x = 1
Odpoveď: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Rovnice riešené substitučnou metódou (variabilná náhrada). Táto metóda riešenia sa dajú najjednoduchšie vysvetliť konkrétny príklad. Dajme nám teda kvadratickú rovnicu s modulom:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Podľa vlastnosti modulu x 2 = |x| 2, takže rovnicu možno prepísať takto:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Urobme náhradu |x| = t ≥ 0, potom budeme mať:
t 2 – 6t + 5 = 0. Vyriešením tejto rovnice zistíme, že t = 1 alebo t = 5. Vráťme sa k náhrade:
|x| = 1 alebo |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Odpoveď: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Pozrime sa na ďalší príklad:
x 2 + |x| – 2 = 0. Modulovou vlastnosťou x 2 = |x| 2 teda
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Urobme náhradu |x| = t ≥ 0, potom:
t 2 + t – 2 = 0. Vyriešením tejto rovnice dostaneme t = -2 alebo t = 1. Vráťme sa k náhrade:
|x| = -2 alebo |x| = 1
Žiadne korene x = ± 1
Odpoveď: x = -1, x = 1.
6. Ďalším typom rovníc sú rovnice s „komplexným“ modulom. Takéto rovnice zahŕňajú rovnice, ktoré majú „moduly v module“. Rovnice tohto typu je možné riešiť pomocou vlastností modulu.
1) |3 – |x|| = 4. Budeme konať rovnako ako v rovniciach druhého typu. Pretože 4 > 0, potom dostaneme dve rovnice:
3 – |x| = 4 alebo 3 – |x| = -4.
Teraz vyjadrime modul x v každej rovnici, potom |x| = -1 alebo |x| = 7.
Riešime každú z výsledných rovníc. V prvej rovnici nie sú korene, pretože -1< 0, а во втором x = ±7.
Odpoveď x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Túto rovnicu riešime podobným spôsobom:
3 + |x + 1| = 5 alebo 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 alebo x + 1 = -2. Žiadne korene.
Odpoveď: x = -3, x = 1.
Je tu tiež univerzálna metóda riešenie rovníc s modulom. Toto je intervalová metóda. Ale na to sa pozrieme neskôr.
blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.
Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
Ako používame vaše osobné údaje:
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
A sa vypočíta podľa nasledujúcich pravidiel:
Kvôli stručnosti sa používajú notácie |a|. Takže |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| = 100 atď.
Každá veľkosť X zodpovedá pomerne presnej hodnote | X|. A to znamená identity pri= |X| súpravy pri ako niektorí argumentačnú funkciu X.
Rozvrh toto funkcie uvedené nižšie.
Pre X > 0 |X| = X, a pre X< 0 |X|= -X; v tomto ohľade čiara y = | X| pri X> 0 v kombinácii s priamkou y = x(osever prvého súradnicového uhla) a kedy X< 0 - с прямой y = -x(osektor druhého súradnicového uhla).
Samostatné rovníc zahrnúť neznáme pod znak modul.
Ľubovoľné príklady takýchto rovníc - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 atď.
Riešenie rovníc obsahujúce neznámu pod znamienkom modulu vychádza z toho, že ak sa absolútna hodnota neznámeho čísla x rovná kladné číslo a, potom sa toto číslo x samo rovná buď a alebo -a.
Napríklad:, ak | X| = 10, potom alebo X= 10, resp X = -10.
Uvažujme riešenie jednotlivých rovníc.
Poďme analyzovať riešenie rovnice | X- 1| = 2.
Rozšírime modul potom rozdiel X- 1 sa môže rovnať + 2 alebo - 2. Ak x - 1 = 2, potom X= 3; ak X- 1 = - 2, teda X= - 1. Urobíme substitúciu a zistíme, že obe tieto hodnoty vyhovujú rovnici.
Odpoveď. Vyššie uvedená rovnica má dva korene: X 1 = 3, X 2 = - 1.
Poďme analyzovať riešenie rovnice | 6 — 2X| = 3X+ 1.
Po rozšírenie modulu dostaneme: alebo 6 - 2 X= 3X+ 1 alebo 6 - 2 X= - (3X+ 1).
V prvom prípade X= 1 a v druhom X= - 7.
Vyšetrenie. O X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; vyplýva zo súdu, X = 1 - koreň daný rovníc.
O X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1 = -20; od 20 ≠ -20, teda X= - 7 nie je koreňom tejto rovnice.
Odpoveď. U rovnica má iba jeden koreň: X = 1.
Rovnice tohto typu môžu byť riešiť a graficky.
Tak sa poďme rozhodnúť Napríklad, graficky rovnica | X- 1| = 2.
Najprv postavíme funkčná grafika pri = |X- 1|. Najprv nakreslíme graf funkcie pri=X- 1:
Tá jeho časť grafické umenie, ktorá sa nachádza nad osou X My to nezmeníme. Pre ňu X- 1 > 0 a teda | X-1|=X-1.
Časť grafu, ktorá sa nachádza pod osou X, poďme znázorniť symetricky vzhľadom na túto os. Pretože pre túto časť X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Výsledný riadok(plná čiara) a vôľa funkčný graf y = | X—1|.
Táto čiara sa bude pretínať s rovno pri= 2 v dvoch bodoch: M 1 s osou -1 a M 2 s osou 3. A podľa toho rovnica | X- 1| =2 budú dva korene: X 1 = - 1, X 2 = 3.
