Lancinova Aisa
A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com
Problémák a GCD-vel és a számok LCM-jével Az MCOU "Kamyshovskaya Secondary School" 6. osztályos diákjának munkája Lantsinova Aisa Felügyelő Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, matematikatanár p. Kamyshevo, 2013
Példa az 50, 75 és 325 számok gcd-jének megtalálására. 1) Tekintsük az 50, 75 és 325 számokat prímtényezőkbe. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Az egyik szám bővítésében szereplő tényezők közül kihúzzuk azokat, amelyek nem szerepelnek a többiben . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát 5 ∙ 5 = 25 Válasz: GCD (50, 75 és 2525 a legnagyobb) Ha az a és b számokat maradék nélkül osztjuk, akkor ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztóját e számok legnagyobb közös osztójának nevezzük.
Példa a 72, 99 és 117 számok LCM-jének meghatározására. 1) Tekintsük a 72, 99 és 117 számokat prímtényezőkbe: 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ . 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Írja le a 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 számok egyikének bővítésében szereplő tényezőket, és adja hozzá a fennmaradó számok hiányzó tényezőit! 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Határozza meg a kapott tényezők szorzatát! 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Válasz: LCM (72, 99 és 117) = 10296 Az a és b természetes számok legkisebb közös többszöröse a legkisebb természetes szám, amely a többszöröse és b.
Egy kartonlap téglalap alakú, amelynek hossza 48 cm, szélessége 40 cm. Ezt a lapot hulladék nélkül egyenlő négyzetekre kell vágni. Melyek a legnagyobb négyzetek, amelyek ebből a munkalapból nyerhetők, és hány? Megoldás: 1) S = a ∙ b – a téglalap területe. S = 48 ∙ 40 = 1960 cm². - karton terület. 2) a – a négyzet oldala 48: a – a karton hosszában elhelyezhető négyzetek száma. 40: a – a karton szélességében elhelyezhető négyzetek száma. 3) GCD (40 és 48) = 8 (cm) – a négyzet oldala. 4) S = a² – egy négyzet területe. S = 8² = 64 (cm²) – egy négyzet területe. 5) 1960: 64 = 30 (négyzetek száma). Válasz: 30 négyzet egyenként 8 cm-es oldallal. GCD problémák
A szobában lévő kandallót négyzet alakúra kell csempézni. Hány csempe kell egy 195 × 156 cm méretű kandallóhoz, és mik azok? legnagyobb méretek csempe? Megoldás: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – a kandalló felületének S. 2) GCD (195 és 156) = 39 (cm) – a csempe oldala. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – 1 csempe területe. 4) 30420: = 20 (darab). Válasz: 20 db 39 ͯ 39 (cm) méretű lapka. GCD problémák
Ehhez egy 54 × 48 m-es kerti telket kell bekeríteni, rendszeres időközönként betonoszlopokat kell elhelyezni. Hány oszlopot kell hozni a helyszínre, és egymástól milyen maximális távolságra helyezik el az oszlopokat? Megoldás: 1) P = 2(a + b) – a lelőhely kerülete. P = 2(54 + 48) = 204 m 2) GCD (54 és 48) = 6 (m) – az oszlopok közötti távolság. 3) 204: 6 = 34 (pillérek). Válasz: 34 pillér, 6 m távolságban GCD problémák
210 bordó, 126 fehér és 294 vörös rózsából gyűjtöttek csokrot, mindegyik csokor azonos számú azonos színű rózsát tartalmazott. Melyik legnagyobb szám ezekből a rózsákból csokrok készültek, és hány rózsa van egy csokorban minden színből? Megoldás: 1) GCD (210, 126 és 294) = 42 (csokrok). 2) 210:42 = 5 (bordó rózsák). 3) 126:42 = 3 (fehér rózsák). 4) 294:42 = 7 (vörös rózsák). Válasz: 42 csokor: 5 bordó, 3 fehér, 7 piros rózsa minden csokorban. GCD problémák
Tanya és Masha ugyanannyi postacsomagot vásárolt. Tanya 90 rubelt fizetett, Masha pedig 5 rubelt. több. Mennyibe kerül egy szett? Hány készletet vásárolt mindenki? Megoldás: 1) 90 + 5 = 95 (dörzsölje.) Mása fizetett. 2) GCD (90 és 95) = 5 (dörzsölje) – 1 készlet ára. 3) 980: 5 = 18 (szett) – Tanya vásárolta. 4) 95: 5 = 19 (készletek) – Masha vásárolta. Válasz: 5 rubel, 18 készlet, 19 készlet. GCD problémák
A kikötővárosban három turistahajó-kirándulás indul, amelyek közül az első 15, a második 20, a harmadik pedig 12 napig tart. A kikötőbe visszatérve a hajók ugyanazon a napon ismét elindultak. Ma mindhárom útvonalon hajók hagyták el a kikötőt. Hány nap múlva mennek újra együtt vitorlázni először? Hány utat tesz meg egy hajó? Megoldás: 1) NOC (15, 20 és 12) = 60 (nap) – találkozási idő. 2) 60: 15 = 4 (utak) – 1 hajó. 3) 60: 20 = 3 (utak) – 2 hajó. 4) 60: 12 = 5 (repülések) – 3 hajó. Válasz: 60 nap, 4 repülés, 3 repülés, 5 repülés. NOC feladatok
Masha tojást vásárolt a Medvének a boltban. Az erdő felé vezető úton rájött, hogy a tojások száma osztható 2, 3, 5, 10 és 15-tel. Hány tojást vett Masha? Megoldás: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (tojás) Válasz: Mása vett 30 tojást. NOC feladatok
A 16 × 20 cm átmérőjű dobozok elhelyezéséhez szögletes aljú dobozt kell készíteni. Mekkora legyen a négyzet alakú fenék legrövidebb oldalhossza, hogy a dobozok szorosan illeszkedjenek a dobozba? Megoldás: 1) LCM (16 és 20) = 80 (dobozok). 2) S = a ∙ b – 1 doboz területe. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – 1 doboz alsó területe. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – a négyzet aljának területe. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – a doboz méretei. Válasz: 160 cm a négyzet alakú alsó oldala. NOC feladatok
A K ponttól induló út mentén 45 méterenként villanyoszlopok állnak. Úgy döntöttek, hogy ezeket az oszlopokat 60 m távolságra helyezik el másokkal. Hány oszlop volt és hány lesz? Megoldás: 1) LCM (45 és 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – oszlopok voltak. 3) 180: 60 = 3 – oszlopokká váltak. Válasz: 4 oszlop, 3 pillér. NOC feladatok
Hány katona vonul fel a felvonulási téren, ha 12 fős alakulatban vonulnak fel egy sorban, és 18 fős hadoszloppá változnak egy sorban? Megoldás: 1) NOC (12 és 18) = 36 (fő) - menetelés. Válasz: 36 fő. NOC feladatok
De sok természetes szám osztható más természetes számokkal is.
Például:
A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;
A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.
Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható egy egésszel (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12) ún. számok osztói. Osztó természetes szám a- egy természetes szám, amely oszt adott szám a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több osztója van összetett .
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös tényezői vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aÉs b- ez az a szám, amellyel mindkét megadott szám maradék nélkül el van osztva aÉs b.
Közös többszörösek A több szám olyan szám, amely osztható ezen számok mindegyikével. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes közös többszörös között mindig van egy legkisebb, in ebben az esetben ez a 90. Ezt a számot hívják a legkisebbközös többszörös (CMM).
Az LCM mindig természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.
Kommutativitás:
Aszociativitás:
Különösen, ha a és koprímszámok, akkor:
Két egész szám legkisebb közös többszöröse mÉs n az összes többi közös többszörös osztója mÉs n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m, n egybeesik az LCM( m, n).
Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.
Így, Csebisev függvény. És még:
Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).
Ami a prímszámok eloszlásának törvényéből következik.
NOC( a, b) többféleképpen számítható ki:
1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:
2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:
Ahol p 1 ,...,p k- különféle prímszámok, és d 1 ,...,d kÉs e 1 ,...,e k— nem negatív egész számok (ezek lehetnek nullák, ha a megfelelő prím nincs a bővítésben).
Aztán NOC ( a,b) a következő képlettel számítható ki:
Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes prímtényezőt, amely legalább egy számdekompozícióban szerepel. a, b, és ennek a szorzónak a két kitevője közül a legnagyobbat veszik.
Példa:
Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása redukálható két szám LCM-jének több egymást követő számítására:
Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
- a számokat prímtényezőkre bontani;
- a legnagyobb bővülést (a kívánt termék tényezőinek szorzatát) átvinni a kívánt termék faktoraiba nagy számban a megadottak közül), majd adjunk hozzá más olyan számok bővítéséből származó tényezőket, amelyek nem vagy ritkábban szerepelnek az első számban;
— a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.
Bármely két vagy több természetes számnak saját LCM-je van. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.
A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítjük egy 3-as tényezővel (a 21-gyel), így a kapott szorzat (84) a legkisebb 21-gyel és 28-cal osztható szám lesz.
A legnagyobb 30-as prímtényezőit kiegészítjük a 25-ös szám 5-ös szorzatával, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez legkevesebb termék a lehetségesek közül (150, 250, 300...), amelynek minden megadott szám többszöröse.
A 2,3,11,37 számok prímszámok, így LCM-jük megegyezik az adott számok szorzatával.
Szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.
Egy másik lehetőség:
Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:
1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) írja le az összes prímtényező hatványait:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) írja fel ezeknek a számoknak az összes prímosztóját (szorzóját);
4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb mértéket, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;
5) szorozd meg ezeket a hatványokat.
Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.
Megoldás. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Felírjuk az összes prímosztó legnagyobb hatványait, és megszorozzuk őket:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
De sok természetes szám osztható más természetes számokkal is.
Például:
A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;
A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.
Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható egy egésszel (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12) ún. számok osztói. Természetes szám osztója a- egy természetes szám, amely egy adott számot oszt a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több osztója van összetett .
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös tényezői vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aÉs b- ez az a szám, amellyel mindkét megadott szám maradék nélkül el van osztva aÉs b.
Közös többszörösek A több szám olyan szám, amely osztható ezen számok mindegyikével. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes közös többszörös között mindig van egy legkisebb, ebben az esetben ez 90. Ezt a számot hívják a legkisebbközös többszörös (CMM).
Az LCM mindig természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.
Kommutativitás:
Aszociativitás:
Különösen, ha a és koprímszámok, akkor:
Két egész szám legkisebb közös többszöröse mÉs n az összes többi közös többszörös osztója mÉs n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m, n egybeesik az LCM( m, n).
Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.
Így, Csebisev függvény. És még:
Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).
Ami a prímszámok eloszlásának törvényéből következik.
NOC( a, b) többféleképpen számítható ki:
1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:
2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:
Ahol p 1 ,...,p k- különféle prímszámok, és d 1 ,...,d kÉs e 1 ,...,e k— nem negatív egész számok (ezek lehetnek nullák, ha a megfelelő prím nincs a bővítésben).
Aztán NOC ( a,b) a következő képlettel számítható ki:
Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes prímtényezőt, amely legalább egy számdekompozícióban szerepel. a, b, és ennek a szorzónak a két kitevője közül a legnagyobbat veszik.
Példa:
Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása redukálható két szám LCM-jének több egymást követő számítására:
Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
- a számokat prímtényezőkre bontani;
- a legnagyobb dekompozíciót (az adottak közül a legtöbb tényező tényezőinek szorzatát) átvisszük a kívánt szorzat faktoraiba, majd hozzáadjuk az első számban nem szereplő, vagy abban megjelenő egyéb számok felbontásából származó tényezőket kevesebb alkalommal;
— a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.
Bármely két vagy több természetes számnak saját LCM-je van. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.
A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítjük egy 3-as tényezővel (a 21-gyel), így a kapott szorzat (84) a legkisebb 21-gyel és 28-cal osztható szám lesz.
A legnagyobb 30-as prímtényezőit kiegészítjük a 25-ös szám 5-ös szorzatával, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez a lehető legkisebb szorzat (150, 250, 300...), amely az összes megadott szám többszöröse.
A 2,3,11,37 számok prímszámok, így LCM-jük megegyezik az adott számok szorzatával.
Szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.
Egy másik lehetőség:
Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:
1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) írja le az összes prímtényező hatványait:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) írja fel ezeknek a számoknak az összes prímosztóját (szorzóját);
4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb mértéket, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;
5) szorozd meg ezeket a hatványokat.
Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.
Megoldás. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Felírjuk az összes prímosztó legnagyobb hatványait, és megszorozzuk őket:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Megtanulni, hogyan kell megtalálni a legnagyobbat közös osztó két vagy több szám esetén meg kell értened, hogy mi a természetes, prímszám és komplex szám.
A természetes szám bármely szám, amelyet egész objektumok megszámlálására használnak.
Ha egy természetes szám csak önmagára és egyre osztható, akkor prímnek nevezzük.
Minden természetes szám osztható önmagával és eggyel, de az egyetlen páros prímszám a 2, az összes többi osztható kettővel. Ezért csak páratlan számok lehetnek prímszámok.
Nagyon sok prímszám van teljes lista nem léteznek. A GCD megtalálásához kényelmes speciális táblázatokat használni ilyen számokkal.
A legtöbb természetes szám nem csak eggyel osztható, hanem más számokkal is. Így például a 15-ös szám osztható további 3-mal és 5-tel. Mindegyiket a 15-ös szám osztóinak nevezzük.
Így bármely A osztója az a szám, amellyel maradék nélkül osztható. Ha egy számnak kettőnél több természetes tényezője van, akkor összetettnek nevezzük.
A 30-as számnak lehetnek osztói, például 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Észreveheti, hogy 15 és 30 ugyanazokkal az osztókkal rendelkezik: 1, 3, 5, 15. Ennek a két számnak a legnagyobb közös osztója a 15.
Így az A és B számok közös osztója az a szám, amellyel teljesen oszthatók. A legnagyobbnak az a maximális összszám tekinthető, amellyel oszthatók.
A problémák megoldására a következő rövidített feliratot használják:
GCD (A; B).
Például gcd (15; 30) = 30.
Egy természetes szám összes osztójának felírásához használja a következő jelölést:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
IN ebben a példában A természetes számoknak csak egy közös tényezője van. Viszonylag elsődlegesnek nevezik őket, így az egység a legnagyobb közös osztójuk.
Több szám gcd-jének megkereséséhez a következőkre lesz szüksége:
Keresse meg az egyes természetes számok összes osztóját külön-külön, azaz szorozza őket faktorokká (prímszámokká);
Válassza ki a megadott számok összes azonos tényezőjét;
Szorozza össze őket.
Például a 30 és 56 számok legnagyobb közös osztójának kiszámításához a következőket kell írnia:
A félreértések elkerülése érdekében célszerű a tényezőket függőleges oszlopokkal írni. A sor bal oldalán el kell helyezni az osztalékot, a jobb oldalon pedig az osztót. Az osztalék alatt a kapott hányadost kell feltüntetni.
Tehát a jobb oldali oszlopban ott lesz a megoldáshoz szükséges összes tényező.
Az azonos osztók (talált tényezők) a kényelem kedvéért aláhúzhatók. Át kell írni és szorozni, és a legnagyobb közös osztót le kell írni.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Valójában ilyen egyszerű megtalálni a számok legnagyobb közös osztóját. Ha egy kicsit gyakorolsz, ezt szinte automatikusan megteheted.
Az alábbiakban bemutatott anyag az LCM - legkisebb közös többszörös, definíció, példák, az LCM és a GCD kapcsolata című cikk elméletének logikus folytatása. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), És különös figyelmet Koncentráljunk a példák megoldására. Először is bemutatjuk, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-jével. Ezután megvizsgáljuk a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítjuk. Ezt követően három vagy több szám LCM-jének megkeresésére összpontosítunk, és figyelmet fordítunk a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.
Oldalnavigáció.
A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Meglévő kapcsolat Az LCM és a GCD között lehetővé teszi két pozitív egész legkisebb közös többszörösének kiszámítását egy ismert legnagyobb közös osztó segítségével. A megfelelő képlet az LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Nézzünk példákat az LCM megtalálására a megadott képlet segítségével.
Példa.
Határozzuk meg két szám 126 és 70 legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM és a GCD közötti kapcsolatot a képlettel kifejezve LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Vagyis először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után az írott képlet segítségével kiszámolhatjuk ezeknek a számoknak az LCM-jét.
Keressük meg a GCD(126, 70)-t az euklideszi algoritmus segítségével: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tehát GCD(126, 70)=14.
Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: GCD(126;70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Válasz:
LCM(126,70)=630.
Példa.
Mi egyenlő LCM(68; 34)?
Megoldás.
Mert 68 osztható 34-gyel, akkor GCD(68, 34)=34. Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: GCD(68;34)=68·34:GCD(68;34)= 68·34:34=68.
Válasz:
LCM(68,34)=68.
Vegye figyelembe, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az a és b pozitív egész számok LCM-jének meghatározására: ha az a szám osztható b-vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a.
A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha adott számok összes prímtényezőjéből összeállítunk egy szorzatot, majd ebből a szorzatból kizárjuk az adott számok dekompozícióiban előforduló összes gyakori prímtényezőt, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok legkisebb közös többszörösével. .
Az LCM megtalálásának kimondott szabálya az egyenlőségből következik LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Valóban, az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok bővülésében részt vevő összes tényező szorzatával. A GCD(a, b) viszont egyenlő az a és b számok kiterjesztésében egyidejűleg jelen lévő összes prímtényező szorzatával (ahogyan a GCD megtalálása a számok prímtényezőkké történő kiterjesztésével foglalkozik).
Mondjunk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. Állítsuk össze a szorzatot ezen bővítések összes tényezőjéből: 2·3·3·5·5·5·7 . Most ebből a szorzatból kizárjuk mind a 75-ös szám kiterjesztésében, mind a 210-es szám kiterjesztésében (ilyen tényezők a 3 és 5), akkor a szorzat 2·3·5·5·7 alakot vesz fel. . Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő 75 és 210 legkisebb közös többszörösével, azaz NOC(75,210)=2·3·5·5·7=1050.
Példa.
A 441-es és 700-as számokat prímtényezőkké alakítsa, és keresse meg ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Tekintsük a 441 és 700 számokat prímtényezőkbe:
441=3·3·7·7 és 700=2·2·5·5·7 kapjuk.
Most hozzunk létre egy szorzatot az összes tényezőből, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében részt vesznek: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazon tényezőket, amelyek egyidejűleg jelen vannak mindkét bővítésben (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2·2·3·3·5·5·7·7. Így, LCM(441,700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Válasz:
NOC(441,700)=44100.
Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkké alakításával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha a b szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az a szám bővítéséből származó tényezőkhöz, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b számok legkisebb közös többszörösével..
Vegyük például ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, amelyek prímtényezőkre való felosztása a következő: 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. A 75-ös szám bővítéséből származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám bővítéséből hiányzó 2-es és 7-es tényezőket, így a 2·3·5·5·7 szorzatot kapjuk, melynek értéke: egyenlő: LCM(75; 210).
Példa.
Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Először megkapjuk a 84-es és 648-as számok prímtényezőkre történő felbontását. Így néznek ki: 84=2·2·3·7 és 648=2·2·2·3·3·3·3. A 84-es szám bővítéséből származó 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 648-as szám bővítéséből hiányzó 2, 3, 3 és 3-as tényezőket, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.
Válasz:
LCM(84,648)=4536.
Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse két szám LCM-jének szekvenciális meghatározásával kereshető meg. Emlékezzünk vissza a megfelelő tételre, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.
Tétel.
Legyenek adottak az egész számok pozitív számok a 1 , a 2 , …, a k, ezeknek a számoknak az m k legkisebb közös többszörösét az m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , …, m k szekvenciális kiszámításával kapjuk meg. = LCM( m k−1 , a k) .
Nézzük meg ennek a tételnek az alkalmazását a négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.
Példa.
Keresse meg négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.
Megoldás.
Ebben a példában a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Először megtaláljuk m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140; 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a GCD(140, 9) értéket, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ezért GCD(140, 9)=1 , honnan GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140·9:1=1260. Azaz m 2 =1 260.
Most megtaláljuk m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Számítsuk ki a GCD(1 260, 54) függvényen keresztül, amit szintén az euklideszi algoritmussal határozunk meg: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Ekkor gcd(1,260,54)=18, ebből gcd(1,260,54)=1,260·54:gcd(1,260,54)=1,260·54:18=3,780. Vagyis m 3 = 3 780.
Már csak meg kell találni m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780; 250). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével megtaláljuk a GCD(3,780, 250) értéket: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Ezért GCM(3780;250)=10, innen GCM(3780;250)= 3 780 250: GCD(3 780; 250)= 3780·250:10=94500. Azaz m 4 =94 500.
Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.
Válasz:
LCM(140;9;54;250)=94500.
Sok esetben célszerű megtalálni három vagy több szám legkisebb közös többszörösét az adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben be kell tartania a következő szabályt. Több szám legkisebb közös többszöröse megegyezik a szorzattal, amely a következőképpen épül fel: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből adjuk. harmadik számot adunk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.
Nézzünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a prímtényezős rendszer használatával.
Példa.
Keresse meg az öt szám legkisebb közös többszörösét: 84, 6, 48, 7, 143.
Megoldás.
Először is megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való felbontását: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 prímszám, egybeesik prímtényezőkre való bontásával) és 143=11·13.
Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es faktorokhoz (ezek 2, 2, 3 és 7) hozzá kell adni a hiányzó tényezőket a második 6-os szám bővítéséből. A 6-os szám dekompozíciója nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen az első 84-es szám felbontásában már a 2-es és a 3-as is jelen van. Ezután a 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. A következő lépésben nem kell ehhez a halmazhoz szorzót hozzáadni, mivel a 7 már benne van. Végül a 2-es, 2-es, 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 143-as szám bővítéséből hiányzó 11-es és 13-as tényezőket. A 2·2·2·2·3·7·11·13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.
