A valószínűségszámítás olyan matematikai tudomány, amely véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja. A tömeges véletlenszerű eseményeket irányító minták ismerete lehetővé teszi számunkra, hogy megjósoljuk, hogyan fognak ezek az események folytatódni. A valószínűségszámítás módszereit széles körben alkalmazzák a tudomány és a technológia különböző ágaiban: a megbízhatóságelméletben, a sorelméletben, az elméleti fizikában, a geodéziában, a csillagászatban, a hibaelméletben, a vezérléselméletben, a kommunikációelméletben és sok más elméleti és alkalmazott tudományban. A valószínűségszámítás a matematikai statisztika alátámasztására szolgál.
Példák eseményekre megbízható véletlenszerű lehetetlen 1. A TÉL TAVASZ ELJÖTT UTÁN. 2. AZ ÉJSZAKA UTÁN ELJÖN A REGGEL. 3. A KŐ LEHÜL. 4. A VÍZ MELEGEBB VÁL, AMIKOR MELEGED. 1. KERESS KINCSET. 2. A SZENDVICS VAJAN ESIK. 3. AZ ÓRÁKAT LEMONDTAK AZ ISKOLÁBAN. 4. A KÖLTŐ KERÉKPÁRT HASZNÁL. 5. EGY MACSKA LAK A HÁZBAN. 1. FEBRUÁR 30. SZÜLETÉSNAP. 2. A KOCKÁZAT FELdobásakor 7 PONT VAN. 3. A FÉRFI ÖREGESÜL SZÜLETIK, ÉS MINDEN NAPPAL FIATALABB.
A valószínűség definíciója. Az A esemény valószínűsége az ehhez az eseményhez kedvező kimenetelek számának és a komplett csoportot alkotó összeférhetetlen elemi kimeneteleknek az aránya: P(A) = m / n, ahol m az előnyben részesítő elemi kimenetek száma A; n az összes lehetséges elemi teszteredmény száma.
Ezért a következő három tulajdonság írható le. 1. Egy megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő. Ezért, ha az esemény biztos, akkor a teszt minden elemi eredménye az eseménynek kedvez, akkor m = n, és P(A) = m / n = n / n = Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Ezért, ha egy esemény lehetetlen, akkor a teszt egyik elemi eredménye sem kedvez az eseménynek, akkor m = 0, és P (A) = m / n = 0 / n = Egy véletlen esemény valószínűsége pozitív szám, nulla és egy közé zárva. Következésképpen egy véletlen eseménynek csak egy része kedvez teljes szám elemi teszteredmények, majd 0 
A kérdéses esemény ellentétes eseménye, A, olyan esemény, amely nem következik be, ha A bekövetkezik. És fordítva. Például az A esemény – „leesett páros szám pontok" és B - "elesett páratlan szám pontok" kockadobáskor – ellenkezőleg. Tétel: Az ellentétes események valószínűségeinek összege 1. Vagyis: vagy p+q=1. Példa: Annak a valószínűsége, hogy a nap esős lesz, p=0,7. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a nap tiszta lesz. Megoldás: Az „esős lesz a nap” és a „tiszta lesz a nap” események ellentétesek. Ezért a kívánt valószínűség: q=1-p=1-0,7 = 0,3.
Műveletek eseményekre 1. Egy C eseményt A+B összegnek nevezünk, ha az A-ban és B-ben is szereplő összes elemi eseményből áll. A Venn-diagramban az A+B összeget ábrázoljuk: Ha az A és B események közösek, akkor az A +B összeg azt jelenti, hogy A vagy B esemény, vagy mindkét esemény bekövetkezik. Ha az események nem kompatibilisek, akkor az A + B esemény az, hogy csak A vagy B forduljon elő, majd a + helyére a „vagy” szó kerül. Műveletek eseményekre 1. Egy C eseményt A+B összegnek nevezünk, ha az A-ban és B-ben is szereplő összes elemi eseményből áll. A Venn-diagramban az A+B összeget ábrázoljuk: Ha az A és B események közösek, akkor az A +B összeg azt jelenti, hogy A vagy B esemény, vagy mindkét esemény bekövetkezik. Ha az események nem kompatibilisek, akkor az A + B esemény az, hogy csak A vagy B forduljon elő, majd a + helyére a „vagy” szó kerül.
Tétel a közös események valószínűségeinek összeadására. Tétel: Két együttes esemény közül legalább az egyik bekövetkezésének valószínűsége egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, együttes előfordulásuk valószínűsége nélkül: P(A+B)=P(A)+P(B) – P(AB) Példa: A cél eltalálásának valószínűsége az első és a második löveg kilövésénél p1=0,7 és p2=0,8. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy legalább az egyik fegyver egy lövedékkel eltalálja. Megoldás: Az egyes fegyverek célba találásának valószínűsége nem függ a másik lövegből való kilövés eredményétől, ezért az A (első fegyver eltalálása) és a B (a második fegyver találata) események függetlenek. Az A*B esemény valószínűsége (mindkét fegyver eltalálta) P(A*B)=P(A)*P(B)=0,7*0,8=0,56 Szükséges valószínűség P(A+B)=P(A)+P(B) )-P(AB) = 0,7+0,8-0,56=0,94
Ez a példa más módon is megoldható, legalább egy esemény bekövetkezésének valószínűségének képletével. Tegyük fel, hogy a teszt eredményeként 2 egymástól függetlenül független esemény, vagy ezek egy része megjelenhet. Ezen túlmenően minden egyes esemény bekövetkezésének valószínűsége megadva van. Annak megállapítására, hogy mekkora valószínűséggel fog bekövetkezni legalább egy ilyen esemény, a következő tételt használjuk. Tétel. Az aggregátumban független A1 és A2 események legalább egyikének bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az egy és az ellentétes események valószínűségeinek szorzatának különbségével: P(A) = 1q1*q2.
Az inkompatibilis események valószínűségeinek összeadásának tétele Ha A és B események nem kompatibilisek, akkor az A + B esemény az, hogy A vagy B eseménynek meg kell történnie, akkor a + helyére a „vagy” szó kerül. Tétel: Két összeegyeztethetetlen esemény egyikének bekövetkezésének valószínűsége, függetlenül attól, hogy melyik, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével: P(A+B)=P(A)+P(B).
Példa: 30 golyó van egy urnában: 10 piros, 5 kék és 15 fehér. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy színes golyó megjelenik. Megoldás: A színes golyó megjelenése egy piros vagy kék golyó megjelenését jelenti. Zokogás. A – egy piros golyó megjelenése. Az előfordulás valószínűsége A: P(A)=10/30=1/3. Zokogás. B – kék golyó megjelenése. Az előfordulás valószínűsége B: P(B) = 5/30=1/6. Az A és B események nem kompatibilisek (egy színű golyó megjelenése kizárja egy másik színű golyó megjelenését), ezért az összeadási tétel alkalmazható. A szükséges valószínűség: P(A+B)= P(A)+P(B)= 1/3+1/6=1/2.
Példa. Legyenek a következő események: A – „egy dámát kivesznek a kártyapakliból”, B – „egy pikk színű kártyát kivesznek a kártyapakliból”. Tehát az A*B azt jelenti, hogy „kivett pikk dáma”. Példa. Egy kockát dobnak. Tekintsük a következő eseményeket: A – „a dobott pontok száma 2”, C – „a dobott pontok száma páros”. Ezután A*B*C – „4 pontot dobtak.”
Ha egy véletlen eseményt olyan eseményként mutatunk be, amely az S feltételrendszer teljesülése esetén előfordulhat vagy nem, és ha egy esemény valószínűségének számításakor az S feltételek kivételével nincs más megkötés, akkor ilyen egy valószínűséget feltétel nélkülinek nevezünk. Ha egyéb további feltételeket szabnak, akkor ebben az esetben az esemény valószínűsége feltételes lesz. Például a B esemény valószínűségét gyakran azzal a járulékos feltétellel számítják ki, hogy az A esemény bekövetkezett. Ha egy véletlen eseményt olyan eseményként jelenítenek meg, amely az S feltételek teljesülése esetén előfordulhat, vagy nem, és ha mikor. egy esemény valószínűségének kiszámítása, kivéve az S feltételeket, nincs más korlátozás, akkor az ilyen valószínűséget feltétel nélkülinek nevezzük. Ha egyéb további feltételeket szabnak, akkor ebben az esetben az esemény valószínűsége feltételes lesz. Például a B esemény valószínűségét gyakran azzal a további feltétellel számítják ki, hogy az A esemény bekövetkezett.
A B esemény valószínűségét, amelyet azzal a feltételezéssel számítunk ki, hogy A esemény már megtörtént, feltételes valószínűségnek nevezzük, és B esemény feltételes valószínűségével jelöljük, feltéve, hogy A esemény már megtörtént: = P(A*B) / P (A), ha P(A ) > 0. 0."> 0."> 0. hogy A esemény már megtörtént, akkor kiszámítjuk: = P(A*B) / P(A), ha P(A) > 0."> title="A B esemény valószínűségét, amelyet azzal a feltételezéssel számítunk ki, hogy A esemény már megtörtént, feltételes valószínűségnek nevezzük, és B esemény feltételes valószínűségével jelöljük, feltéve, hogy A esemény már megtörtént: = P(A*B) / P (A), ha P(A ) > 0."> !}
2. Valószínűségszorzó tétel. Tegyük fel, hogy ismertek a P(A) valószínűségek, valamint két A és B esemény. A szorzási tétel segítségével megállapíthatjuk, hogy az A és B esemény mekkora valószínűséggel fog megjelenni. Tétel. Két esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az egyik valószínűségének a másik feltételes valószínűségével, amelyet abból a feltételezésből számítunk ki, hogy az első esemény már megtörtént: P(A*B) = P( A)*
Független események. Független események szorzási tétele. Tegyük fel, hogy B esemény valószínűsége nem függ A esemény bekövetkezésétől. B eseményt akkor mondjuk függetlennek A eseménytől, ha az A esemény bekövetkezése nem változtatja meg a B esemény valószínűségét, más szóval, ha B esemény feltételes valószínűsége egyenlő annak feltétlen valószínűségével: = P( IN). A független események P(A*B) = P(A)* szorzási tétele a következő: P(A*B) = P(A)*P(B).
Ha több tesztet végeznek, ráadásul az A esemény valószínűsége az egyes tesztekben nem függ más tesztek kimenetelétől, akkor az ilyen teszteket függetlennek nevezzük az A eseményhez képest. A különböző független tesztekben az A eseménynek vagy eltérő valószínűsége lehet vagy ugyanaz a valószínűség.
Tegyük fel, hogy n független tesztet végeznek. Mindegyikben megjelenik az A esemény, de előfordulhat, hogy nem. Gondoljunk arra, hogy minden kísérletben az A esemény valószínűsége azonos, egyenlő p-vel. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy az A esemény nem következik be minden kísérletben, szintén állandó, és egyenlő q = 1p-vel. Ki kell számítani annak a valószínűségét, hogy n próbában az A esemény pontosan k-szer fog bekövetkezni, és nem (n k)-szer.
Teljes valószínűségi képlet Az A esemény valószínűsége, amely csak akkor következhet be, ha a teljes csoportot alkotó összeférhetetlen események valamelyike bekövetkezik, egyenlő az egyes események valószínűségeinek az A esemény megfelelő feltételes valószínűségével való szorzatának összegével. .
Továbbá: a) ha az np-q szám tört, akkor van egy legvalószínűbb szám; b) ha az np-q szám egész szám, akkor két legvalószínűbb szám van, mégpedig az és; c) ha az np szám egész szám, akkor a legvalószínűbb szám = np Továbbá: a) ha az np-q szám tört, akkor van egy legvalószínűbb szám; b) ha az np-q szám egész szám, akkor két legvalószínűbb szám van, mégpedig az és; c) ha az np szám egész szám, akkor a legvalószínűbb szám = np
Az n elem permutációi olyan vegyületek, amelyek mindegyike mind az n elemet tartalmazza, és csak az elrendezésük sorrendjében különböznek egymástól. Az n elem k elem szerinti elrendezését olyan vegyületeknek nevezzük, amelyek k elemből állnak, meghatározott sorrendben a megadott n elemből. (A sorrend fontos) Az n elem k kombinációi azok a vegyületek, amelyek adott n elem közül kiválasztott k elemből állnak. (A sorrend nem fontos).
PERmutációk ISMÉTLÉSTEL Legyenek adottak az első típusú, a második típusú,..., a k-adik típusú elemek, összesen n elem. A különböző helyekre történő elhelyezés módjait ismétléses permutációknak nevezzük. Számukat az ismétlődő permutációk száma jelzi
Termékszabály Egymás után kell k műveletet végrehajtania. Ebben az esetben az első művelet n1 módon, a második n2 módon hajtható végre, és így tovább a k-adik műveletig. Ekkor a kombinatorika szorzatszabálya szerint mind a k művelet végrehajtási módjainak száma m egyenlő
Kattintson a fenti gombra „Vegyél papírkönyvet” megvásárolhatja ezt a könyvet kiszállítással Oroszország egész területén, és hasonló könyveket az egész országban legjobb ár papír formában a Labyrinth, Ozone, Bukvoed, Read-Gorod, Litres, My-shop, Book24, Books.ru hivatalos online áruházak webhelyein.
Az „E-könyv vásárlása és letöltése” gombra kattintva megvásárolhatja ezt a könyvet elektronikus formában a hivatalos literes online áruházban, majd töltse le a literes weboldalról.
Kattintson a „Keresés” gombra hasonló anyagok más webhelyeken" kereshet hasonló anyagokat más webhelyeken.
A fenti gombokon megvásárolhatja a könyvet a hivatalos Labirint, Ozon és mások online áruházakban. Más webhelyeken is kereshet kapcsolódó és hasonló anyagokat.
Név: Egy iskolásnak a valószínűségelméletről. 1983.
Ennek a kézikönyvnek az a célja, hogy felvázolja a valószínűségszámítás legalapvetőbb információit, és megtanítsa a fiatal olvasót ezek alkalmazására gyakorlati problémák megoldása során.
Ez a kis könyv felfedi számodra, ha kellő vágyat és kitartást mutatsz, a véletlenek világát. Valójában a világ olyan marad, amilyen, de nem a megszokott oldalról mutatják.
„Kiderült, hogy csak a véletlen tudományának – a valószínűség elméletének – nyelvezetével lehet sok jelenséget és helyzetet leírni.
A könyv olvasása során fokozatosan elmélyül elméleti tudása, és képes lesz arra használni azokat a gyakorlati problémák megoldására, amelyeket nemrégiben nem tudott megközelíteni. Ebben a szakaszban a feladatok elmagyarázzák és szemléltetik az elméletet.
Egyértelmű, hogy a valószínűségelmélet legelemibb információit bemutassuk, megtanítsuk a fiatal olvasót alkalmazni a gyakorlati problémák megoldása során - ez a szerző fő célja. És ennek a célnak az elérése érdekében a szerző, anélkül, hogy a matematikai érvelésben eredetiséget követelt volna, az iskolások képességeiből és érdeklődéséből próbált kiindulni.
TARTALOMJEGYZÉK
Egy szó az olvasóhoz
én Valami a valószínűségszámítás múltjából 4
II Véletlenszerű események és műveletek rajtuk 10
1 Véletlenszerű esemény
2 Sok elemi esemény 12
3 Események közötti kapcsolatok
4 Műveletek az eseményeken 14
5 Teljes csoport események 21
III A kombinációk számának számolásának tudománya - kombinatorika 22
1 Általános szabályok kombinatorika 23
2 Elemek kiválasztása 24
3 minta ismétléssel 28
4 Összetett kombinatorika 32
IV Az esemény valószínűsége 35
V Valószínűségi műveletek 42
1 Összeférhetetlen események összegének valószínűsége -
2 A kompatibilis események összegének valószínűsége 44
3 Feltételes valószínűségek 46
4 Független események szorzatának valószínűsége 48
5 50. teljes valószínűségi képlet
VI Független újratesztek 55
1 Bernoulli Forma I
2 Moivre-Laplace 60-as formula
3 Poisson-képlet 62
4 Laplace 65-ös képlete
VII Diszkrét Véletlen változókés azok jellemzőit 68
1 Matematikai elvárás 70
2 76. szórás
3 Csebisev egyenlőtlensége és törvénye nagy számok 80
4 Poisson-eloszlás 84
VIII Folyamatos valószínűségi változók és jellemzőik 88
1 Eloszlási sűrűség 90
2 Matematikai elvárás 93
3 95. szórás
4 Normál eloszlás
5 Ljapunov 98. tételének fogalma
6 Exponenciális eloszlás 102
IX Kicsit furcsa, de érdekes 104
1 intelligens tű (Buffon probléma)
2 Chevalier de Mere problémája 106
3 Add ide a kalapomat 108
4 Meteorológiai paradoxon 110
5 Hogy az ügyfelek elégedettek legyenek
6 Bertrand paradoxona 111
7 Véletlenszerűség vagy rendszer? 11З
8 Bûnügy megoldva 114
9 „Csata” 115
10 Nagypapa látogatása 116
Hivatkozások 118
119. függelék
Válaszok 125
Egy szabadon választható tantárgy tankönyve 8-10. évfolyamos tanulók számára.
2. kiadás, add. -M.; Felvilágosodás, 1983.-127 p.
Ennek a kézikönyvnek az a célja, hogy felvázolja a valószínűségszámítás legalapvetőbb információit, és megtanítsa a fiatal olvasót ezek alkalmazására gyakorlati problémák megoldása során.
Formátum: djvu/zip
Méret: 1,7 MB
/Fájl letöltése
TARTALOMJEGYZÉK
Egy szó az olvasóhoz............................
I. Valami a valószínűségszámítás múltjából............. 4
II. Véletlenszerű események és műveletek rajtuk............ 10
1. Véletlenszerű esemény................... -
2. Elemi események halmaza............ 12
3. Események közötti kapcsolatok............... -
4. Műveletek eseményeken................. 14
5. Teljes eseménycsoport........................ 21
III. A kombinációk számának számolásának tudománya - kombinatorika... 22
1. A kombinatorika általános szabályai........................ 23
2. Elemek kiválasztása................... 24
3. Minták ismétléssel................... 28
4. Komplex kombinatorika.................. 32
IV. Valamely esemény valószínűsége........................ 35
V. Valószínűségi műveletek................................ 42
1. Összeférhetetlen események összegének valószínűsége......... -
2. A kompatibilis események összegének valószínűsége......... 44
3. Feltételes valószínűségek........................ 46
4. Független események létrejöttének valószínűsége....... 48
5. A teljes valószínűség képlete................... 50
VI. Független ismételt tesztek.......55
1. J. Bernoulli képlete................. -
2. Moivre-Laplace képlet........................ 60
3. Poisson-képlet................... 62
4. Laplace-képlet................... 65
VII. Diszkrét valószínűségi változók és jellemzőik.. 68
1. Matematikai elvárás................ 70
2. Variancia.................................. 76
3. Csebisev egyenlőtlensége és a nagy számok törvénye....... 80
4. Poisson-eloszlás................... 84
VIII. Folyamatos valószínűségi változók és jellemzőik. 88
1. Eloszlási sűrűség................90
2. Matematikai elvárás................93
3. Diszperzió.................................. 95
4. Normál eloszlás................ -
5. Ljapunov-tétel fogalma................... 98
6. Exponenciális eloszlás........................ 102
IX. Kicsit furcsa, de érdekes......... 104
1. Intelligens tű (Buffon probléma) ............... -
2. Chevalier de Mere problémája................................... 106
3. Add ide a kalapomat................. 108
4. Meteorológiai paradoxon 110
5. Hogy az ügyfelek elégedettek legyenek............
6. Bertrand paradoxona...... 111
7. Véletlenszerűség vagy rendszer?................................. 11З
8. Megoldódik a bûn................... 114
9. „Csata” ...................... 115
10. Látogató nagypapa.................................. 116
Felhasznált irodalom........................ 118
Függelék........................ 119
A válaszok........................ 125
A valóságban vagy a képzeletünkben megtörtént események 3 csoportra oszthatók. Ezek bizonyos események, amelyek biztosan meg fognak történni, lehetetlen események és véletlenszerű események. A valószínűségszámítás véletlenszerű eseményeket vizsgál, pl. események, amelyek megtörténhetnek, vagy meg sem. Ez a cikk röviden bemutatja a valószínűségi képletek elméletét és a valószínűségszámítási feladatok megoldási példáit, amelyek az Egységes Államvizsga matematika (profilszint) 4. feladatában szerepelnek.
Történelmileg e problémák vizsgálatának igénye a 17. században a fejlődés és a professzionalizáció kapcsán merült fel szerencsejátékés a kaszinók megjelenése. Ez egy valódi jelenség volt, amely saját tanulmányt és kutatást igényelt.
A kártyázás, a kocka és a rulett olyan helyzeteket teremtett, ahol a véges számú, egyformán lehetséges esemény bármelyike bekövetkezhet. Számszerű becsléseket kellett adni egy adott esemény bekövetkezésének lehetőségéről.
A 20. században világossá vált, hogy ez a látszólag komolytalan tudomány fontos szerepet játszik a mikrokozmoszban végbemenő alapvető folyamatok megértésében. Elkészült modern elmélet valószínűségek.
A valószínűségszámítás vizsgálatának tárgya az események és azok valószínűségei. Ha egy esemény összetett, akkor egyszerű komponensekre bontható, amelyek valószínűségét könnyű megtalálni.
Az A és B események összegét C eseménynek nevezzük, ami abból áll, hogy vagy A vagy B esemény, vagy A és B esemény egyidejűleg történt.
Az A és B események szorzata egy C esemény, ami azt jelenti, hogy A és B esemény egyaránt bekövetkezett.
Az A és B eseményeket inkompatibilisnek nevezzük, ha nem következhetnek be egyszerre.
Egy A eseményt lehetetlennek nevezünk, ha nem következhet be. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.
Egy A eseményt akkor nevezünk bizonyosnak, ha biztosan megtörténik. Az ilyen eseményt a szimbólum jelzi.
Legyen minden A esemény társítva egy P(A) számmal. Ezt a P(A) számot az A esemény valószínűségének nevezzük, ha a következő feltételek teljesülnek ezzel a megfeleléssel.
Fontos speciális eset az a helyzet, amikor egyformán valószínű elemi kimenetelek vannak, és ezek közül tetszőleges kimenetelű események alkotják az A eseményeket. Ebben az esetben a valószínűséget a képlettel lehet megadni. Az így bevezetett valószínűséget klasszikus valószínűségnek nevezzük. Bizonyítható, hogy ebben az esetben az 1-4 tulajdonságok teljesülnek.
A matematikai egységes államvizsgán megjelenő valószínűségszámítási problémák főként a klasszikus valószínűségszámításhoz kapcsolódnak. Az ilyen feladatok nagyon egyszerűek lehetnek. A valószínűségszámítási problémák a demonstrációs változatokban különösen egyszerűek. Könnyen kiszámítható a kedvező kimenetelek száma a feltételben.
A választ a képlet segítségével kapjuk.
20 pite van az asztalon – 5 káposztával, 7 almával és 8 rizzsel. Marina el akarja vinni a pitét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy elviszi a rizstortát?
20 egyformán valószínű elemi eredmény van, vagyis Marina a 20 pite bármelyikét el tudja venni. De meg kell becsülnünk annak valószínűségét, hogy Marina elviszi a rizspitét, vagyis ahol A a rizspitét választotta. Ez azt jelenti, hogy a kedvező kimenetelek száma (rizses pite választása) mindössze 8. Ekkor a valószínűséget a következő képlet határozza meg:
A nyitott feladatbankban azonban elkezdtek összetettebb feladatokat találni. Ezért hívjuk fel az olvasó figyelmét a valószínűségszámításban vizsgált egyéb kérdésekre.
Az A és B eseményeket függetlennek mondjuk, ha mindegyik valószínűsége nem függ attól, hogy a másik esemény bekövetkezik-e.
B esemény az, hogy az A esemény nem történt meg, azaz. B esemény ellentétes az A eseménnyel. Az ellenkező esemény valószínűsége egyenlő eggyel mínusz a közvetlen esemény valószínűsége, azaz. .
Tetszőleges A és B események esetén ezen események összegének valószínűsége megegyezik a közös eseményük valószínűsége nélküli valószínűségeik összegével, azaz. .
Az A és B független események esetében ezen események bekövetkezésének valószínűsége egyenlő valószínűségeik szorzatával, azaz. ebben az esetben .
Az utolsó 2 állítást a valószínűségek összeadási és szorzási tételeinek nevezzük.
Az eredmények számának számolása nem mindig ilyen egyszerű. Bizonyos esetekben szükség van kombinatorikai képletekre. A legfontosabb az, hogy megszámoljuk azokat az eseményeket, amelyek megfelelnek bizonyos feltételeknek. Néha az ilyen típusú számítások önálló feladatokká válhatnak.
Hányféleképpen lehet 6 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. A harmadik tanulónak 4 szabad hely maradt, a negyediknek 3, az ötödiknek 2, a hatodik pedig az egyetlen megmaradt helyet. Az összes opció számának megtalálásához meg kell találnia a terméket, amelyet a 6-os szimbólum jelöl! és a "hat faktoriális" felirat olvasható.
BAN BEN általános eset Erre a kérdésre az n elem permutációinak képlete adja meg a választ.
Nézzünk most egy másik esetet diákjainkkal. Hányféleképpen lehet 2 diákot leültetni 6 üres helyre? Az első tanuló a 6 hely bármelyikét elfoglalja. Ezen opciók mindegyike 5 módnak felel meg, hogy a második tanuló elfoglalja a helyét. Az összes lehetőség kiválasztásához meg kell találnia a terméket.
Általában erre a kérdésre a választ az n elem k elem feletti elhelyezésének képlete adja meg
A mi esetünkben .
És az utolsó eset ebben a sorozatban. Hányféleképpen lehet kiválasztani 3 tanulót a 6 közül? Az első tanulót 6, a másodikat - 5, a harmadikat - négyféleképpen lehet kiválasztani. De ezek között a lehetőségek között ugyanaz a három diák hatszor jelenik meg. Az összes lehetőség számának meghatározásához ki kell számítania az értéket: . Általában erre a kérdésre a választ az elemek kombinációinak számának képlete adja meg:
A mi esetünkben .
Feladat 1. A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.
30 pite van a tányéron: 3 húsos, 18 káposzta és 9 cseresznye. Sasha véletlenszerűen választ egy pitét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy cseresznyével végez.
.
Válasz: 0.3.
2. feladat A gyűjteményből szerkesztette. Jascsenko.
1000 izzóból álló tételenként átlagosan 20 hibás. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy kötegből véletlenszerűen vett izzó működni fog.
Megoldás: A működő izzók száma 1000-20=980. Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy kötegből véletlenszerűen vett izzó működni fog:
Válasz: 0,98.
0,67 annak a valószínűsége, hogy U. tanuló 9-nél több feladatot fog helyesen megoldani egy matematikai teszt során. Annak a valószínűsége, hogy U 8-nál több feladatot fog helyesen megoldani, 0,73. Határozza meg annak valószínűségét, hogy U pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani.
Ha elképzelünk egy számegyenest, és megjelöljük rajta a 8-as és 9-es pontot, akkor látni fogjuk, hogy az „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani” szerepel az „U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani”, de nem vonatkozik az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani.”
Azonban az „U. több mint 9 problémát fog helyesen megoldani” az „U. több mint 8 problémát fog helyesen megoldani.” Így, ha eseményeket jelölünk ki: „U. pontosan 9 feladatot fog helyesen megoldani" - A-n keresztül, "U. több mint 8 feladatot fog helyesen megoldani" - B-n keresztül, "U. több mint 9 feladatot helyesen old meg” – C. A megoldás így fog kinézni:
Válasz: 0,06.
A geometria vizsgán egy diák válaszol egy kérdésre a vizsgakérdések listájából. Annak a valószínűsége, hogy ez egy trigonometriai kérdés, 0,2. Annak a valószínűsége, hogy ez a kérdés a külső szögekre vonatkozik, 0,15. Nincsenek olyan kérdések, amelyek egyszerre vonatkoznának erre a két témára. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy diák a vizsgán e két téma valamelyikében kap kérdést.
Gondoljuk végig, milyen rendezvényeink vannak. Két összeférhetetlen eseményt kapunk. Vagyis a kérdés vagy a „Trigonometria” vagy a „Külső szögek” témakörhöz kapcsolódik. A valószínűségi tétel szerint az összeférhetetlen események valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével, meg kell találnunk ezen események valószínűségeinek összegét, azaz:
Válasz: 0,35.
A helyiséget három lámpás lámpás világítja meg. Annak a valószínűsége, hogy egy lámpa egy éven belül kiég, 0,29. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy lámpa nem ég ki az év során.
Nézzük a lehetséges eseményeket. Három izzónk van, amelyek mindegyike más izzóktól függetlenül kiéghet, vagy nem. Ezek független események.
Ezután jelezzük az ilyen rendezvények lehetőségeit. Használjuk a következő jelöléseket: - a villanykörte ég, - a villanykörte kiégett. És közvetlenül ezután kiszámítjuk az esemény valószínűségét. Például egy olyan esemény valószínűsége, amelyben három független esemény „kiégett a villanykörte”, „az izzó ég”, „az izzó be van kapcsolva” bekövetkezett: , ahol a „villanykörte” esemény valószínűsége be van kapcsolva” az „az izzó nem világít” eseménnyel ellentétes esemény valószínűségeként kerül kiszámításra, nevezetesen: .
Mint tudják, a közösségnek két könyvespolca van a valószínűségszámításról és a matematikai statisztikáról szóló irodalom számára
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika irodalom (1. rész)
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika irodalom (2. rész)
Főleg egyetemistáknak és tanároknak szóló könyveket tartalmaz azonban.
Ezt a bejegyzést a valószínűségszámításról és a matematikai statisztikákról szóló könyveknek szentelik iskolásoknak és tanároknak.
Néhányukat már közzétették a közösségben.
A könyvek ábécé sorrendben vannak elrendezve.
Valószínűségszámítási és matematikai statisztikai könyvek iskolásoknak és tanároknak
| Brodsky Ya S. Statisztika. Valószínűség. Kombinatorika M.: Onyx Publishing House LLC: Mir and Education Publishing House LLC, 2008. - 544 p.: ill. - (Iskolai matematika szak). ISBN 978-5-488-01369-8 (Onyx Publishing House LLC) Ebben tankönyv részletesen bemutatásra kerülnek a leíró és matematikai statisztika alapjai, a valószínűségszámítás és a kombinatorika elemei. Minden bekezdéshez vannak ellenőrző kérdések és feladatok önálló döntés. Ezen kívül minden fejezet további feladatokat is tartalmaz. A könyv végén minden problémára választ és útmutatást adunk. A kézikönyv a nem matematikai szakokon tanuló középiskolásoknak, főiskolásoknak és alsó tagozatos egyetemistáknak szól. A weben található. Letöltés (pdf/zip, 5,14 Mb) mediafire.com || ifile.it |
 |
Bunimovich B. A., Bulychev V. A. Valószínűség és statisztika. 5-9. osztály: Kézikönyv az általános műveltséghez. tankönyv avedenia M.: Túzok, 2002. - 160 p.: ill. - (Iskolai tanfolyamok témakörei). ISBN 5-7107-4582-0 A kézikönyv tartalmazza a szükséges elméleti és gyakorlati anyagokat a valószínűségi-statisztikai vonal tanulmányozásához, amely ma már az iskolai matematika tantárgy szerves részévé válik. A valószínűségszámítás várhatóan az 5-9. osztályos matematika alapszak része lesz. A sikeres elsajátításához elég az alapokat elsajátítani elméleti anyagés az A csoport feladatainak megoldása. A kézikönyv bármely meglévő matematikai tankönyvvel együtt használható. Robot biztosítja Letöltés (djvu/rar, 2,41 MB) ifolder.ru || online lemez |
 |
Varga T. Matematika 1. Folyamatábrák, lyukkártyák, valószínűségek: ( Matematikai játékokés kísérletek) Per. vele. - M.: Pedagógia, 1978. - 112 p., ill. A könyv hatékony módszereket tár fel a modern matematika olyan részeinek az iskolai tanításba való bevezetésére, mint a valószínűségszámítás, a folyamatábrák és a lyukkártyák bevezetése. A szerző a 10-14 éves gyerekek matematikai fogalmainak elsajátítására fókuszál szórakoztató játékokon keresztül. A weben található Letöltés (djvu/rar, 1,74 MB) ifolder.ru || online lemez |
 |
Varga Tamás, Nemény-Cservenák Eszter, Halmos Mária Matematika 2. Sík és tér. Fák és grafikonok. Kombinatorika és valószínűségszámítás. (Matematikai játékok és kísérletek). Per. vele. E.Ya. Gabovich. M.: Pedagógia, 1978. – 112 p. beteggel. A könyv hatékony módszereket tár fel a sokszögek és poliéderek geometriájával kapcsolatos számos fogalom iskolai oktatásba való korai bevezetésére, a modern matematika olyan fogalmainak bevezetésére, mint a legegyszerűbb gráfok, fák és valószínűségszámítások, valamint ezek legegyszerűbb alkalmazásai. A könyv 3. fejezete a „Matematika 1” című könyv 3. fejezetének folytatása, és együtt képezi az alapját a valószínűségszámításba való bevezetésnek közép- és középiskolások számára. iskolás korú. A szerző a 10-14 éves gyerekek matematikai fogalmainak elsajátítására fókuszál szórakoztató játékokon keresztül. A kiadvány a módszertanosok és a kísérleti munkát szervező tanárok számára készült hatékony módszerek matematika tanítása. Köszönöm szépen a könyvet Ak-szakal Letöltés (djvu, 2,6 MB) ifolder.ru || online lemez |
 |
Viszockij I. R., Jascsenko I. V. Egységes államvizsga 2012. Matematika. Probléma B10. Valószínűségi elmélet. Munkafüzet M.: MTsNMO, 2012. -48 p. ISBN 978-5-94057-860-4 A képzés különböző szakaszaiban a kézikönyv segít az ismétlés megszervezésében, a „valószínűségelmélet” témában szerzett ismeretek nyomon követésében és önellenőrzésében. A munkafüzet egyre összpontosít tanév szükség esetén azonban lehetővé teszi a lehető leghamarabb hiánypótló a végzett hallgató tudásában. A jegyzetfüzet diákoknak készült Gimnázium, matematikatanárok, szülők. Könyv biztosított Robot Letöltés (djvu/rar, 690 kb) rghost.ru || online lemez |
| Evich L. N., Olkhovaya L. S., Kovalevskaya A. S. Matematika. Felkészülés a 2012-es egységes államvizsgára. A valószínűségszámítás és a statisztika elemei: oktatási kézikönyv / Szerkesztette F. F. Lysenko, S. Kulabukhov. - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 32 p. - (Felkészülés az egységes államvizsgára) ISBN 978-5-91724-116-6 A kézikönyv a „Valószínűségszámítás”, „Kombinatorika”, „Statisztika” szakaszokban tartalmazza a matematika egységes államvizsgára való felkészüléshez szükséges anyagokat: próba verzió feladatok megoldásaival; 8 új tematikus szerzői oktatási és képzési teszt a fent említett szakaszokhoz, az Egységes Államvizsga-2012 előírásainak figyelembevételével összeállított; részletesebb fejlesztéshez készült problémakönyv különböző típusok tesztfeladatokat. A könyv az általános oktatási intézményekben végzett hallgatóknak, tanároknak és módszertanosoknak szól. Köszönöm a könyvet shipevg Letöltés (djvu, 489,39 KB) Letöltés (djvu, 489,39 KB) rghost |
 |
Kolmogorov A. N., Zhurbenko I. G., Prokhorov A. V. Bevezetés a valószínűségelméletbe. - M., Nauka, 1982. - 160 p. - "Kvantum" bibliai könyv. 23. szám A könyvben egyszerű példák bemutatják a valószínűségszámítás alapfogalmait. A valószínűség kombinatorikus definíciója mellett a statisztikai definíciót is figyelembe vesszük. Az egyenes vonalon történő véletlenszerű sétát részletesen elemzik, leírják fizikai folyamatok részecskék egydimenziós Brown-mozgása, valamint számos más példa. Iskolásoknak, diákoknak, tanároknak, önképzéssel foglalkozóknak. A weben található Letöltés (djvu, 1,9 MB) Rapida || rghost.ru |
 |
Kordemsky B. A. A matematika a véletlenszerűséget tanulmányozza. Kézikönyv diákoknak. M., „Felvilágosodás”, 1975. -223 pp. (A tudás világa). A könyv szerzője azt a célt tűzte ki maga elé, hogy segítse az olvasót a valószínűségszámítás kezdeti fogalmainak és módszereinek, valamint a matematikai statisztika legegyszerűbb apparátusának önálló elsajátításában. Ez a könyv oktatási olvasáshoz ceruzával a kezében és munkafüzet az asztalon. A könyv kezdeti részében a program kereteitől nem szabott, szabad előadásmód érvényesül, szórakoztató, játékos anyagok felhasználásával; a könyv fokozatosan „komolyodik”, de nem veszíti el hozzáférhetőségét a középiskolások és a már érettségizett olvasók számára. A megszerzett tudás és a „valószínűségi gondolkodás” hatékonyságának önellenőrzésére az utolsó előtti fejezet mintegy ötven vázlatfeladatot kínál. Néhány bizonyítékot, következtetést és elméleti megjegyzést az utolsó fejezet, a „Függelék” tartalmaz. Könyv biztosított Robot Letöltés (djvu/rar, 4,17 MB, 600 dpi+OCR) ifolder vagy online lemez |
 |
Makarychev Yu N. Algebra: a statisztika és a valószínűségszámítás elemei: tankönyv. kézikönyv 7-9 évfolyamos tanulóknak. Általános oktatás intézmények / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. 3. kiadás - M.: Oktatás, 2005. - 78 p. : ill. - ISBN 5-09-014164-9. Ez a kézikönyv a valószínűségi és statisztikai anyagok tanulmányozására szolgál, amikor Yu N. Makarycheva, N. G. Mindyuk, K. I. Peshkova, S. B. Suvorova „Algebra, 7”, „Algebra, 8”, „Algebra, 9” tankönyveken dolgozunk. , szerk. S. A. Teljakovszkij. A könyvet acub biztosítja Letöltés (djvu, 1,3 mb)mediafire.com || ifolder.ru |
| Mordkovich A. G., P. V. Semenov. Valószínűségek. Statisztikai adatfeldolgozás: Kiegészítő bekezdések az algebra tantárgyhoz 7-9 évfolyam. Általános oktatás intézmények 5. kiadás - M., 2008. - 112 p. : ill. ISBN 978-5-346 01012-8 A kézikönyv célja, hogy a tanulókat megismertesse a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika elemeivel. Tovább Nagy mennyiségű Példák vázolják a kombinatorika, a valószínűségszámítás és a statisztika kezdeti fogalmait, elképzeléseit és módszereit. Megoldásokkal és válaszokkal kapcsolatos problémákat, valamint egyre nehezebb feladatokkal rendelkező gyakorlatokat adnak az iskolások önálló munkájához (beleértve a válaszokat is). Hozzávetőleges ajánlásokat tartalmaz óratervezés oktatási anyag. Könyv biztosított akub Letöltés (djvu, 1,14 MB) A fájl letöltése a szerzői jog tulajdonosának kérésére le van tiltva. |
 |
F. Mosteller Ötven szórakoztató valószínűségi probléma megoldásokkal. - Per. angolról M.: Tudomány. Ch. szerk. fizika és matematika lit., 1975.- 112 p. A könyv valójában 57-et tartalmaz szórakoztató feladatokat(hét problémát inkább megbeszélnek, mintsem megoldanak). A legtöbb feladat egyszerű. Csak nagyon kevesen igényelnek elemzési kurzust, de a képzetlen olvasó még ezekben az esetekben is képes megérteni a problémafelvetést és a választ. A könyv az olvasók széles köréhez szól: középiskolásoknak, tanároknak, diákoknak. A weben található Letöltés (djvu, 1,9 mb)alleng.ru || mediafire.com |
| Tarasov L.V. Nem véletlen. Fejlesztő jellegű kísérleti tankönyv A környező világ mintái integratív témában Moszkva. "Élcsapat". 1994. - 162 p. 5-87868-058-0 Ez a könyv a „Környező világ mintái” integratív tárgyú kísérleti fejlesztő tankönyvek sorozatából származik. A VI. osztályban ezt a tantárgyat „nem véletlenszerű”-nek hívják. A pszichológusok bevált ajánlásai alapján a modern pedagógia már régen felismerte, hogy az iskolásokat meg kell ismertetni a kombinatorika gondolataival és módszereivel, valamint a valószínűségelmélettel, és ezek alapján kell kialakítani változó gondolkodását. Az iskolák a világ számos országában bevezették a megfelelő akadémiai tárgyak. Hazánkban B.V. Gnedenko mindig is szenvedélyesen rajongott a valószínűségi elképzelések és megközelítések középfokú oktatásba való beépítéséért. Nyom. A könyv nem nagyon hasonlít egy tankönyvhöz. Escher rajzai, mítoszok darabjai, kedvenc gyermekirodalmi szereplőinek párbeszédei - Alice L. Carroll, Micimackó, Majom és Elefánt stb. Használható könyvként a témával kapcsolatos szórakoztató olvasmányokhoz. Könyv biztosított Robot Letöltés (djvu/rar, 3,59 MB) ifolder.ru || online lemez |
 |
Tyurin Yu és munkatársai / Yu N. Tyurin, A. A. Makarov, I. R. Vysotsky, I. V. Yashchenko. - M: MTsNMO: JSC "Moszkva Tankönyvek", 2004.- 256 p.: ill. ISBN 5-94057-161-1 Vendég találta a djvu verziót Letöltés (djvu, 4,58 MB) ifolder.ru || mediafire.com || rghost.ru pdf verzió (oldalról oldalra másolva a reshlib-ről). jagger777 Letöltés (pdf, 8,6 MB) ifolder.ru || rghost.ru |
 |
Tyurin Yu et al. - M.: MTsNMO: OJSC "Moszkva Tankönyvek", 2008. -256 p.: ill. ISBN 987-5-94057-319-7 A valószínűségszámítás és statisztika alapjairól szóló tankönyv az általános oktatási intézmények 7-9. évfolyamos tanulói számára készült. Középiskolában is használható Gimnázium. Ebben a könyvben be egyaránt Figyelmet fordítanak a statisztikákra és a valószínűségszámításra, valamint ezek szerepére a környező világ jelenségeinek vizsgálatában. A könyv célja, hogy a hallgatók először megismerkedjenek a statisztikai adatok bemutatási és leírási formáival, beszél véletlenszerű események, valószínűségek és tulajdonságaik. A mellékletek példaértékű önálló és tesztmunkát adnak a 7., 8. és 9. évfolyamon, a talált kifejezésekre magyarázatot írnak. A szerzők törekedtek az előadás egyszerűsítésére, és nem éltek vissza a matematikai formalizmussal. A weben található Letöltés (djvu, 1,8 MB)mediafire.com ||ifolder.ru |
 |
Sheveleva N.V. T.A. Koreshkova, V.V. Miroshin matematika (algebra, statisztika elemei és valószínűségszámítás). 9. osztály M.: Nemzetnevelés, 2011. - 144 p. : ill. - ( Rövid tanfolyam). ISBN 978-5-905084-55-3 A kézikönyv 9. osztályos tanulóknak szól. A 9. évfolyamos algebra tantárgy főbb témáiról, valamint a „Statisztika és valószínűségszámítás elemei” rovatról nyújt tájékoztatást tömör és közérthető formában. Speciális figyelem tipikus problémák megoldásainak elemzésével foglalkozik. A könyv hasznos lesz a tanulók számára a tanulási folyamatban, valamint a tananyag ismétlésekor a rendszerezés és a vizsgára való felkészülés során. Könyv biztosított Robot Letöltés (djvu/rar, 1,96 MB) ifolder.ru || rghost |
 |
Shor E. A balesetek világában. Chisinau, „Kartya Moldovenyaska” kiadó, 1977. - 90 p. Az olvasó demográfiába, matematikai statisztikába, pszicholingvisztikába tesz utazást, és Poe hőseivel együtt részt vesz a rejtélyes szöveg megfejtésében. Egy ilyen kirándulás sikeréhez először megérti a valószínűséget és annak számítási módszereit, és nincs szükség speciális matematikai képzettségre. Az olvasó a valószínűségszámítás fogalmaival, módszereivel, alkalmazási területeinek ismeretében gazdagodva tér vissza az utazásról. A brosúra hasznos lesz mindenkinek, aki érdeklődik a véletlen világa iránt. A weben található Letöltés (djvu, 1,05 MB) ifolder.ru || mediafire.com |
Kombinatorika könyvei
Válogatás N. Ya Vilenkin könyveiből
Vilenkin N.Ya Kombinatorika. - M., Nauka, 1969. -328 p.
Vilenkin N.Ya. Népszerű kombinatorika. -M., Nauka, 1975. - 208 p.
Vilenkin N.Ya., Vilenkin A.N., Vilenkin P.A. Kombinatorika. - M.: FIMA, MTsNMO, 2006. - 400 p.
részben van Valószínűségszámítás és matematikai statisztika irodalom (1. rész) .
Következő könyvek
Vilenkin N, Ya. Kombinatorika. Kézikönyv tanároknak. M., "Felvilágosodás", 1976
Ezhov I. I., Skorokhod A. V., Yadrenko M. K. A kombinatorika elemei. - M., A "Nauka" kiadó fizikai és matematikai szakirodalmi főszerkesztősége, 1977
Savelyev L.Ya. (ed) Olimpia. Algebra. Kombinatorika. - Novoszibirszk, NSU, 1979.
A matematikai olimpiára való felkészülés irodalom című részben (II. rész) találhatók.
Matematika (valószínűségszámítás és statisztika) tesztek 7. évfolyamra
Teszt a valószínűségszámításról és a statisztikákról 2008.04.24
(az 1-2. opciókat tartalmazza próba munka a valószínűségszámításban és a statisztikában, a valószínűségszámítás és a statisztika tesztmunkáinak válaszai és értékelési szempontjai és demó verziók valószínűségszámítási és statisztikai teszt a 7. évfolyamon)
Letöltés (pdf/rar, 1,38 MB) ifolder.ru || online lemez
Matematika (valószínűségszámítás és statisztika) tesztek 8. évfolyamra, amelyet a Moszkvai Nyílt Oktatási Intézet (MIOO) állított össze.
Teszt a valószínűségszámításról és a statisztikákról 2011.05.12
Teszt a valószínűségszámításról és a statisztikákról 2010.05.19
Teszt a valószínűségszámításról és a statisztikákról 2009.05.19
(tartalmazza a valószínűségszámítás és statisztika teszt 1-2. lehetőségét, a valószínűségszámítás és statisztika teszt válaszait és értékelési szempontjait, valamint a valószínűségszámítási és statisztikai teszt demóváltozatait a 8. évfolyamon)
Letöltés (pdf/rar, 1,01 MB) ifolder.ru || online lemez
Wanted
Afanasjev V. Iskolásoknak a valószínűségekről a játékokban. Bevezetés a valószínűségszámításba
Ivasev-Musatov O.S. A valószínűségszámítás kezdetei iskolásoknak
Prosvetov G.I. Valószínűségszámítás és statisztika iskolásoknak: problémák és megoldások
