Любая десятичная дробь может быть записана в виде a ,bc ... · 10 k . Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.
Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись - это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.
Для начала - небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок « »). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:
Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.
Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:
Для первого выражения: 25,81 · 10.
Для второго выражения: 0,00005 · 1000.
Последнее выражение: 8,0034 · 100.
Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:
Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k (где k > 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо - ведь число увеличивается.
Аналогично, умножение на 10 −k (где k > 0) равносильно делению на 10 k , т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008: 10; 1,447: 100;
Во всех выражениях второе число - степень десятки, поэтому имеем:
Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10 1 = 1,3725 · 10 2 = 0,13725 · 10 3 = ...
Стандартный вид числа - это выражения вида a ,bc ... · 10 k , где a , b , c , ... - обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k - целое.
Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.
Алгоритм перехода от обычной десятичной дроби к стандартному виду очень прост. Но перед тем как его использовать, обязательно повторите, что такое значащая часть числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »). Итак, алгоритм:
Задача. Запишите число в стандартном виде:
- 9280;
- 125,05;
- 0,0081;
- 17 000 000;
- 1,00005.
Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6 500 000 = 6,5 · 10 6 .
По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:
Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.
Замечательно свойство дробей, записанных в стандартном виде, заключается в том, что к их значащей части можно приписывать любое количество нулей - как слева, так и справа. Аналогичное правило существует для других десятичных дробей (см. урок «Десятичные дроби »), но там есть свои ограничения.
Задача. Сравните числа:
- 8,0382 · 10 6 и 1,099 · 10 25 ;
- 1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 ;
- 2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 ;
- −1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 ;
- −1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 .
Хотели бы вы научиться записывать огромные или очень маленькие числа в простой форме? Эта статья содержит необходимые объяснения и очень четкие правила о том, как это сделать. Теоретический материал поможет разобраться в этой довольно легкой теме.
Допустим, есть некоторое число. Смогли бы вы быстро сказать, как оно читается или насколько велико его значение?
100000000000000000000
Бессмыслица, не так ли? Мало кто сможет справиться с таким заданием. Даже если и существует конкретное имя для такой величины, на практике его можно и не вспомнить. Вот почему вместо этого принято использовать стандартный вид. Это намного проще и быстрее.
Термин может означать много разных вещей, в зависимости от того, с какой областью математики мы имеем дело. В нашем случае это еще одно название научной записи числа.
Она действительно проста. Выглядит следующем образом:
В этих обозначениях:
a - это число, которое называется коэффициентом.
Коэффициент должен быть больше или равен 1, но меньше 10.
«x» - знак умножения;
10 является основой;
n - показатель, степень десятки.
Таким образом, полученное выражение читается как "a на десять в n-й степени".
Возьмем конкретный пример для полного понимания:
2 x 10 3
Умножив число 2 на 10 в третьей степени, получаем в результате 2000. То есть имеем пару равносильных вариантов записи одного и того же выражения.
Возьмем некоторое число.
300000000000000000000000000000
В подсчетах использовать такое число неудобно. Попробуем привести его к стандартному виду.
Вот так просто можно получить ответ.
Если бы перед первой ненулевой цифрой были бы еще другие, то алгоритм слегка бы изменился. Пришлось бы выполнять те же действия однако, величина показателя вычислялась бы по нулям слева и имела бы отрицательно значение.
0.0003 = 3 x 10 -4
Преобразование числа облегчает и ускоряет математические подсчеты, делает запись решения более компактной и наглядной.
Положительное число, записанное в стандартной форме , имеет вид
Число m является натуральным числом или десятичной дробью , удовлетворяет неравенству
и называется мантиссой числа, записанного в стандартной форме .
Число n является целым числом (положительным, отрицательным или нулем) и называется порядком числа, записанного в стандартной форме .
Например, число 3251 в стандартной форме записывается так:
Здесь число 3,251 является мантиссой, а число 3 является порядком.
Стандартная форма записи числа часто используется в научных расчетах и очень удобна для сравнения чисел .
Для того, чтобы сравнить два числа, записанных в стандартной форме, нужно сначала сравнить их порядки. Большим будет то число, порядок которого больше. Если же порядки сравниваемых чисел одинаковы, то нужно сравнить мантиссы чисел. Большим в этом случае будет то число, у которого мантисса больше.
Например, если сравнить между собой записанные в стандартной форме числа
и ,
то, очевидно, первое число больше второго, поскольку у него порядок больше.
Если же сравнить между собой числа
то, очевидно, что второе число больше, чем первое, поскольку порядки у этих чисел совпадают, а мантисса у второго числа больше.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
Хотели бы вы научиться записывать огромные или очень маленькие числа в простой форме? Эта статья содержит необходимые объяснения и очень четкие правила о том, как это сделать. Теоретический материал поможет разобраться в этой довольно легкой теме.
Допустим, есть некоторое число. Смогли бы вы быстро сказать, как оно читается или насколько велико его значение?
100000000000000000000
Бессмыслица, не так ли? Мало кто сможет справиться с таким заданием. Даже если и существует конкретное имя для такой величины, на практике его можно и не вспомнить. Вот почему вместо этого принято использовать стандартный вид. Это намного проще и быстрее.
Термин может означать много разных вещей, в зависимости от того, с какой областью математики мы имеем дело. В нашем случае это еще одно название научной записи числа.
Она действительно проста. Выглядит следующем образом:
В этих обозначениях:
a - это число, которое называется коэффициентом.
Коэффициент должен быть больше или равен 1, но меньше 10.
«x» - знак умножения;
10 является основой;
n - показатель, степень десятки.
Таким образом, полученное выражение читается как "a на десять в n-й степени".
Возьмем конкретный пример для полного понимания:
2 x 10 3
Умножив число 2 на 10 в третьей степени, получаем в результате 2000. То есть имеем пару равносильных вариантов записи одного и того же выражения.
Возьмем некоторое число.
300000000000000000000000000000
В подсчетах использовать такое число неудобно. Попробуем привести его к стандартному виду.
Вот так просто можно получить ответ.
Если бы перед первой ненулевой цифрой были бы еще другие, то алгоритм слегка бы изменился. Пришлось бы выполнять те же действия однако, величина показателя вычислялась бы по нулям слева и имела бы отрицательно значение.
0.0003 = 3 x 10 -4
Преобразование числа облегчает и ускоряет математические подсчеты, делает запись решения более компактной и наглядной.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : урок объяснения и первичного закрепления новых знаний.
Оборудование: маршрутный лист (МР) (Приложение 1 ); техническое оснащение урока – компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран. Компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint.
ХОД УРОКА
I. Организация начала урока
Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, наличие раздаточного материала у вас на парте и свою готовность к уроку.
II. Сообщение темы, цели и задач урока
– Прежде чем приступить к изучению новой темы,
выполните задания на первой странице
маршрутного листа (проверка на экране). Если
вы правильно выполнили задания, то вы должны
получить слово – СТАНДАРТ.
Что такое стандарт? Где вы встречались с этим
словом? Что оно означает? (ЭКРАН)
Стандарт (от англ. – standard
) Образец, эталон,
модель, с которым сопоставляются, сравниваются
подобные объекты, процессы. (Универсальный
энциклопедический словарь). Т.е., когда говорят о
стандарте, людям легче представить о чем идет
речь. А мы сегодня будем говорить о стандартном
виде числа. Итак, это тема сегодняшнего урока.
III.Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока
– Составим план урока:
В окружающем нас мире мы сталкиваемся с очень большими и очень маленькими числами. Мы уже с вами знаем, как записывать большие и маленькие числа с помощью степени числа.
– Удобно ли записывать числа в таком виде?
Почему? (Занимают много места, тратится много
времени, сложно запоминать.)
– Как вы считаете, какой выход нашли из этой
ситуации? (Записывать числа с помощью
степеней.)
Запишите массу Земли, используя степень числа.
598 10 25 г. Теперь запишите массу атома
водорода. 17 10 –20 г. А можно ли по
другому записать эти числа, используя степени?
Попробуйте! 59,8 10 26 , 5,98 10 27 ; 0,
598 10 28 ; 5980 10 24 .
17 10 –20 ; 1,7 10 –19 ; 0,17 10 –18 ; 170
10 –21 ;
– Все результаты правильные. Но можно ли
говорить о стандартной записи? Как быть? (Договориться
о единой записи чисел.)
– Попробуйте обсудить с соседом, какая же запись
должна быть единой, стандартной?
– Каким же должен быть множитель перед степенью
числа 10, чтобы было удобно и ЗАПОМНИТЬ число и
представить его?
IV. Усвоение новых знаний
– Откройте, пожалуйста, учебники п.35 и найдите
определение стандартного вида числа и запишите
его в маршрутные листы.
– Стандартным видом числа называется запись вида а
10 n , где 1 <
а
< 10, n – целое. n –
называют порядком числа.
– В стандартном виде можно записать любое
положительное число!!!
Почему? (По определению. Т.к. первый множитель
число, принадлежащее промежутку от }