Pentru a rezolva o problemă geometrică folosind metoda coordonatelor este nevoie de un punct de intersecție, ale cărui coordonate sunt utilizate în soluție. Apare o situație când se cere să se caute coordonatele intersecției a două drepte pe plan sau să se determine coordonatele acelorași drepte în spațiu. Acest articol ia în considerare cazurile de găsire a coordonatelor punctelor în care liniile date se intersectează.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Este necesar să se definească punctele de intersecție a două drepte.
Secțiunea privind poziția relativă a liniilor pe un plan arată că acestea pot coincide, pot fi paralele, se intersectează într-un punct comun sau se intersectează. Două drepte din spațiu se numesc intersectări dacă au un punct comun.
Definiția punctului de intersecție al liniilor sună astfel:
Definiția 1
Punctul în care două drepte se intersectează se numește punctul lor de intersecție. Cu alte cuvinte, punctul de intersecție este punctul de intersecție.
Luați în considerare figura de mai jos.
Înainte de a găsi coordonatele punctului de intersecție a două linii, este necesar să luăm în considerare exemplul de mai jos.
Dacă există un sistem de coordonate O x y pe plan, atunci sunt date două drepte a și b. Direct a corespunde ecuație generală de forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, pentru o linie dreaptă b - A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Atunci M 0 (x 0 , y 0) este un punct al planului, este necesar să se determine dacă punctul M 0 va fi punctul de intersecție al acestor drepte.
Pentru a rezolva problema, este necesar să respectați definiția. Atunci dreptele trebuie să se intersecteze într-un punct ale cărui coordonate sunt soluția ecuațiilor date A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Aceasta înseamnă că coordonatele punctului de intersecție sunt înlocuite în toate ecuațiile date. Dacă dau identitatea corectă la înlocuire, atunci M 0 (x 0 , y 0) este considerat punctul lor de intersecție.
Exemplul 1
Având în vedere două drepte care se intersectează 5 x - 2 y - 16 = 0 și 2 x - 5 y - 19 = 0 . Va fi punctul M 0 cu coordonatele (2, - 3) punctul de intersecție.
Soluţie
Pentru ca intersectia dreptelor sa fie reala, este necesar ca coordonatele punctului M 0 sa satisfaca ecuatiile dreptelor. Acest lucru se verifică prin înlocuirea lor. Înțelegem asta
5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0
Ambele egalități sunt adevărate, ceea ce înseamnă că M 0 (2, - 3) este punctul de intersecție al dreptelor date.
Reprezentăm această soluție pe linia de coordonate a figurii de mai jos.
Răspuns:punct dat cu coordonatele (2, - 3) va fi punctul de intersecție al dreptelor date.
Exemplul 2
Se vor intersecta dreptele 5 x + 3 y - 1 = 0 și 7 x - 2 y + 11 = 0 în punctul M 0 (2 , - 3) ?
Soluţie
Pentru a rezolva problema, este necesar să înlocuiți coordonatele punctului în toate ecuațiile. Înțelegem asta
5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0
A doua egalitate nu este adevărată, ceea ce înseamnă că punctul dat nu aparține dreptei 7 x - 2 y + 11 = 0 . Prin urmare avem că punctul M 0 nu este un punct de intersecție a dreptelor.
Desenul arată clar că M 0 nu este punctul de intersecție al dreptelor. Au un punct comun cu coordonatele (- 1 , 2) .
Răspuns: punctul cu coordonatele (2, - 3) nu este punctul de intersecție al dreptelor date.
Ne întoarcem la găsirea coordonatelor punctelor de intersecție a două drepte folosind ecuațiile date pe plan.
Două drepte care se intersectează a și b sunt date de ecuații de forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 situate în O x y. Când desemnăm punctul de intersecție M 0, obținem că ar trebui să continuăm căutarea coordonatelor conform ecuațiilor A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.
Din definiție este evident că M 0 este un punct comun de intersecție a dreptelor. În acest caz, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuațiile A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Cu alte cuvinte, aceasta este soluția sistemului rezultat A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .
Aceasta înseamnă că pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție, este necesar să adăugați toate ecuațiile la sistem și să îl rezolvați.
Exemplul 3
Având în vedere două drepte x - 9 y + 14 = 0 și 5 x - 2 y - 16 = 0 pe plan. trebuie să le găsești intersecția.
Soluţie
Datele despre starea ecuației trebuie colectate într-un sistem, după care obținem x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Pentru a o rezolva, prima ecuație este rezolvată pentru x, expresia este înlocuită în a doua:
x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2
Numerele rezultate sunt coordonatele care trebuiau găsite.
Răspuns: M 0 (4 , 2) este punctul de intersecție al dreptelor x - 9 y + 14 = 0 și 5 x - 2 y - 16 = 0 .
Căutarea coordonatelor se reduce la rezolvarea sistemului ecuatii lineare. Dacă, conform condiției, este dată o altă formă a ecuației, atunci aceasta ar trebui redusă la forma normală.
Exemplul 4
Să se determine coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor x - 5 = y - 4 - 3 și x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .
Soluţie
Pentru început, este necesar să aducem ecuațiile într-o formă generală. Atunci obținem că x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R se transformă în acest fel:
x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0
Apoi luăm ecuația formei canonice x - 5 = y - 4 - 3 și transformăm. Înțelegem asta
x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0
Prin urmare, avem că coordonatele sunt punctul de intersecție
x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20
Să aplicăm metoda lui Cramer pentru a găsi coordonatele:
∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1
Răspuns: M0 (-5, 1).
Există o altă modalitate de a găsi coordonatele punctului de intersecție al liniilor situate pe plan. Este aplicabilă atunci când una dintre drepte este dată de ecuații parametrice de forma x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Atunci x = x 1 + a x λ și y = y 1 + a y λ sunt înlocuiți cu x, unde obținem λ = λ 0 corespunzător punctului de intersecție având coordonatele x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .
Exemplul 5
Să se determine coordonatele punctului de intersecție al dreptei x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R și x - 5 = y - 4 - 3 .
Soluţie
Este necesar să se efectueze o înlocuire în x - 5 \u003d y - 4 - 3 cu expresia x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, apoi obținem:
4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3
Când rezolvăm, obținem că λ = - 1 . Aceasta implică faptul că există un punct de intersecție între dreptele x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R și x - 5 = y - 4 - 3 . Pentru a calcula coordonatele, este necesar să înlocuiți expresia λ = - 1 în ecuația parametrică. Atunci obținem că x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .
Răspuns: M0 (-5, 1).
Pentru a înțelege pe deplin subiectul, trebuie să cunoașteți câteva dintre nuanțe.
Mai întâi trebuie să înțelegeți locația liniilor. Când se intersectează, vom găsi coordonatele, în alte cazuri nu va exista nicio soluție. Pentru a evita această verificare, putem compune un sistem de forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Dacă există o soluție, concluzionăm că dreptele se intersectează. Dacă nu există o soluție, atunci ele sunt paralele. Când un sistem are un număr infinit de soluții, atunci se spune că sunt aceleași.
Exemplul 6
Dreptele date x 3 + y - 4 = 1 și y = 4 3 x - 4 . Stabiliți dacă au un punct comun.
Soluţie
Simplificand ecuațiile date, obținem 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 și 4 3 x - y - 4 = 0 .
Este necesar să colectați ecuațiile într-un sistem pentru rezolvarea ulterioară:
1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4
Aceasta arată că ecuațiile sunt exprimate unele prin altele, apoi obținem un număr infinit de soluții. Atunci ecuațiile x 3 + y - 4 = 1 și y = 4 3 x - 4 definesc aceeași linie dreaptă. Prin urmare, nu există puncte de intersecție.
Răspuns: ecuațiile date definesc aceeași linie dreaptă.
Exemplul 7
Aflați coordonatele punctului de intersectare a dreptelor 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 și 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .
Soluţie
După condiție, este posibil ca liniile să nu se intersecteze. Scrieți un sistem de ecuații și rezolvați. Pentru soluție, este necesar să folosiți metoda Gauss, deoarece cu ajutorul ei este posibil să verificați ecuația pentru compatibilitate. Obtinem un sistem de forma:
2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2
Am primit o egalitate greșită, așa că sistemul nu are soluții. Conchidem că dreptele sunt paralele. Nu există puncte de intersecție.
A doua soluție.
Mai întâi trebuie să determinați prezența intersecției liniilor.
n 1 → = (2 , 2 - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , atunci vectorul n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 este vectorul normal pentru dreapta 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .
Este necesar să se verifice coliniaritatea vectorilor n 1 → = (2, 2 - 3) și n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Obținem o egalitate de forma 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Este corect deoarece 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Rezultă că vectorii sunt coliniari. Aceasta înseamnă că liniile sunt paralele și nu au puncte de intersecție.
Răspuns: nu există puncte de intersecție, liniile sunt paralele.
Exemplul 8
Aflați coordonatele de intersecție ale dreptelor date 2 x - 1 = 0 și y = 5 4 x - 2 .
Soluţie
Pentru a rezolva, compunem un sistem de ecuații. Primim
2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2
Aflați determinantul matricei principale. Pentru aceasta, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Deoarece este diferit de zero, sistemul are 1 soluție. Rezultă că liniile se intersectează. Să rezolvăm sistemul de găsire a coordonatelor punctelor de intersecție:
2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8
Am obținut că punctul de intersecție al dreptelor date are coordonatele M 0 (1 2 , - 11 8) .
Răspuns: M 0 (1 2 , - 11 8) .
În același mod, se găsesc punctele de intersecție ale liniilor spațiului.
Când dreptele a și b din planul de coordonate O x y z sunt date de ecuațiile planurilor care se intersectează, atunci există o dreaptă a, care poate fi determinată folosind sistemul dat A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 \u003d 0 și linia dreaptă b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 \u003d 0.
Când punctul M 0 este punctul de intersecție al dreptelor, atunci coordonatele sale trebuie să fie soluții ale ambelor ecuații. Obținem ecuații liniare în sistem:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0
Să luăm în considerare astfel de sarcini cu exemple.
Exemplul 9
Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor date x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 și 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0
Soluţie
Compunem sistemul x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 și îl rezolvăm. Pentru a găsi coordonatele, este necesar să se rezolve prin matrice. Apoi obținem matricea principală de forma A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 și matricea extinsă T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Determinăm rangul matricei după Gauss.
Înțelegem asta
1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0
Rezultă că rangul matricei augmentate este 3. Atunci sistemul de ecuații x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 are ca rezultat o singură soluție.
Baza minoră are determinantul 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , atunci ultima ecuație nu se potrivește. Obținem că x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Soluție de sistem x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .
Deci avem că punctul de intersecție x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 și 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 are coordonatele (1 , - 3 , 0) .
Răspuns: (1 , - 3 , 0) .
Sistem de forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 are o singură soluție. Deci liniile a și b se intersectează.
În alte cazuri, ecuația nu are soluție, adică nu există nici puncte comune. Adică, este imposibil să găsești un punct cu coordonate, deoarece nu există.
Prin urmare, un sistem de forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 se rezolvă prin metoda Gauss. Cu incompatibilitatea sa, liniile nu se intersectează. Dacă există un număr infinit de soluții, atunci acestea coincid.
Puteți lua o decizie calculând rangul principal și extins al matricei și apoi aplicați teorema Kronecker-Capelli. Primim unul, multe sau absență completă solutii.
Exemplul 10
Sunt date ecuații ale dreptelor x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 și x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Găsiți punctul de intersecție.
Soluţie
Mai întâi, să stabilim un sistem de ecuații. Obținem că x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . O rezolvăm folosind metoda Gauss:
1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10
Evident, sistemul nu are soluții, ceea ce înseamnă că liniile nu se intersectează. Nu există nici un punct de intersecție.
Răspuns: nici un punct de intersecție.
Dacă liniile sunt date folosind ecuații cononice sau parametrice, este necesar să le aduceți sub formă de ecuații de planuri care se intersectează și apoi să găsiți coordonatele.
Exemplul 11
Având în vedere două drepte x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R și x 2 = y - 3 0 = z 5 în O x y z . Găsiți punctul de intersecție.
Soluţie
Stabilim drepte prin ecuațiile a două plane care se intersectează. Înțelegem asta
x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0
Găsim coordonatele 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , pentru aceasta calculăm rangurile matricei. Rangul matricei este 3, iar minorul de bază este 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, ceea ce înseamnă că ultima ecuație trebuie exclusă din sistem. Înțelegem asta
3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0
Să rezolvăm sistemul prin metoda lui Cramer. Obținem că x = - 2 y = 3 z = - 5 . De aici rezultă că intersecția dreptelor date dă un punct cu coordonatele (- 2 , 3 , - 5) .
Răspuns: (- 2 , 3 , - 5) .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
ÎN zile vechiÎmi plăcea grafica pe computer, atât 2D, cât și 3D, inclusiv vizualizările matematice. Ceea ce se numește doar pentru distracție, ca student, am scris un program care vizualizează figuri N-dimensionale care se rotesc în orice dimensiune, deși în practică a fost suficient doar pentru mine să determin punctele pentru un hipercub 4-D. Dar acesta este doar un indiciu. Dragostea pentru geometrie a rămas cu mine de atunci și până în ziua de azi și încă îmi place să rezolv probleme interesante în moduri interesante.Figura din stânga (1) prezintă două segmente, pentru care ambele condiția este îndeplinită, iar segmentele se intersectează. În figura din dreapta (2), condiția este îndeplinită pentru segmentul b, dar pentru segmentul a nu este îndeplinită, respectiv, segmentele nu se intersectează.
Poate părea că determinarea în ce parte a liniei se află punctul nu este o sarcină banală, dar frica are ochi mari și totul nu este atât de dificil. Știm că înmulțirea vectorială a doi vectori ne dă un al treilea vector, a cărui direcție depinde dacă unghiul dintre primul și al doilea vector este pozitiv sau respectiv negativ, o astfel de operație este anticomutativă. Deoarece toți vectorii se află pe avioane X-Y, atunci produsul lor vectorial (care trebuie să fie perpendicular pe vectorii înmulțiți) va avea doar o componentă Z diferită de zero, iar diferența dintre produsele vectorilor va fi doar în această componentă. Mai mult, la schimbarea ordinii de înmulțire a vectorilor (a se citi: unghiul dintre vectorii înmulțiți), aceasta va consta doar în schimbarea semnului acestei componente.
Prin urmare, putem multiplica vector-pereche vectorul segmentului de separare cu vectorii direcționați de la începutul segmentului de separare către ambele puncte ale segmentului verificat. 
Dacă componentele Z ale ambelor produse vor avea semn diferit, atunci unul dintre unghiuri este mai mic de 0, dar mai mare de -180, iar al doilea este mai mare de 0 și, respectiv, mai mic de 180, punctele se află de-a lungul laturi diferite dintr-o linie dreaptă. Dacă componentele Z ale ambelor produse au același semn, atunci ele se află pe aceeași parte a liniei.
Dacă una dintre componentele Z este zero, atunci avem un caz limită când punctul se află exact pe linia care este verificată. Să lăsăm utilizatorului să decidă dacă dorește să considere aceasta o intersecție.
Apoi trebuie să repetăm operația pentru un alt segment și o linie dreaptă și să ne asigurăm că locația punctelor sale finale îndeplinește și condiția.
Deci, dacă totul este bine și ambele segmente îndeplinesc condiția, atunci intersecția există. Să-l găsim, iar produsul vectorial ne va ajuta și în acest sens.
Deoarece în produsul vectorial avem doar componenta Z diferită de zero, modulul acesteia (lungimea vectorului) va fi numeric egal cu această componentă particulară. Să vedem cum să găsim punctul de intersecție. 
Lungimea produsului vectorial al vectorilor a și b (după cum am aflat, egală numeric cu componenta sa Z) este egală cu produsul modulelor acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei (|a| |b| sin(ab)). În consecință, pentru configurația din figură, avem următoarele: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α) și |AB x AD| = |AB||AD| păcat(β). |AC|sin(α) este perpendiculara de la punctul C la segmentul AB, iar |AD|sin(β) este perpendiculara de la punctul D la segmentul AB (leg ADD"). Deoarece unghiurile γ și δ sunt unghiuri verticale, atunci ele sunt egale, ceea ce înseamnă că triunghiurile PCC" și PDD" sunt similare și, în consecință, lungimile tuturor laturilor lor sunt egal proporționale.
Având în vedere Z1 (AB x AC, deci |AB||AC|sin(α)) și Z2 (AB x AD, deci |AB||AD|sin(β)), putem calcula CC"/DD" (care va fie egal cu Z1 / Z2), și, de asemenea, știind că CC "/DD" = CP / DP, puteți calcula cu ușurință locația punctului P. Personal, o fac așa:
Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Asta e tot. Mi se pare că este într-adevăr foarte simplu și elegant. În concluzie, vreau să dau codul funcției care implementează acest algoritm. Funcția folosește un vector șablon creat de sine
1 șablon
Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că mi-am cumpărat azi accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.
Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:
1) potrivire;
2) fi paralel: ;
3) sau se intersectează într-un singur punct: .
Ajutor pentru manechini : vă rugăm să rețineți semnul matematic al intersecției, acesta va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.
Să începem cu primul caz:
Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile
Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.
Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației 
înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și toți coeficienții ecuației 
reduceți cu 2, obțineți aceeași ecuație: .
Al doilea caz când liniile sunt paralele:
Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: 
, Dar.
Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele: 
Cu toate acestea, este clar că.
Și al treilea caz, când liniile se intersectează:
Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite 
Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem: 
Din prima ecuație rezultă că , și din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.
Concluzie: liniile se intersectează
În problemele practice, se poate folosi schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:
Exemplul 1
A-si da seama aranjament reciproc direct: 
Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: 
.
, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.
Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:
Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)
b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor: 
Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.
Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .
Să aflăm dacă egalitatea este adevărată: 
Prin urmare,
c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor: 
Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori: 
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.
Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: 
.
Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:
Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).
Astfel, liniile coincid.
Răspuns:
Foarte curând vei învăța (sau chiar ai învățat deja) să rezolvi problema luată în considerare verbal, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv pentru care să ofer ceva solutie independenta, este mai bine să puneți o altă cărămidă importantă în fundația geometrică:
Pentru ignorarea acestui lucru cea mai simplă sarcină pedepsește aspru pe privighetoarea tâlharul.
Exemplul 2
Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.
Soluţie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.
Scoatem vectorul direcție din ecuație:
Răspuns:
Geometria exemplului pare simplă: 
Verificarea analitică constă în următorii pași:
1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).
2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.
Verificarea analitică în cele mai multe cazuri este ușor de efectuat oral. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cât de paralele sunt liniile fără nici un desen.
Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.
Exemplul 3
Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă
Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.
Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că luați în considerare o problemă care vă este bine cunoscută curiculumul scolar:
Dacă drept 
se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare 
Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.
În sănătatea ta semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.
Exemplul 4
Aflați punctul de intersecție al dreptelor
Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafic și analitic.
Mod grafic este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen: 
Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.
Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp să faci un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat în afara foii de caiet.
Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție prin metoda analitică. Să rezolvăm sistemul: 
Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?
Răspuns:
Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.
Exemplul 5
Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Este convenabil să împărțiți problema în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.
Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.
Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului:
O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:
Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:
Exemplul 6
Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.
Soluţie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:
Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.
Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:
Răspuns: 
Să desfășurăm schița geometrică:
Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.
Verificarea analitică a soluției:
1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații 
si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .
Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.
2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată 
.
Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.
Exemplul 7
Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută 
și punct.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.
Călătoria noastră interesantă continuă:
În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.
Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.
Distanța de la punct la linie 
este exprimat prin formula
Exemplul 8
Aflați distanța de la un punct la o linie 
Soluţie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:
Răspuns: 
Să executăm desenul: 
Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.
Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:
Sarcina este de a găsi coordonatele punctului , care este simetric față de punctul în raport cu dreapta 
. Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:
1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.
2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: 
.
Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.
3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .
Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.
Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracții comune. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.
Exemplul 9
Aflați distanța dintre două drepte paralele
Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.
Oricare ar fi colțul, apoi cantul: 
În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.
Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.
Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția de „defilare” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .
De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.
Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:
Exemplul 10
Găsiți unghiul dintre linii
SoluţieȘi Metoda unu
Luați în considerare două drepte date de ecuații în formă generală: 
Dacă drept nu perpendicular, Acea orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula: 
Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:
Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.
Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:
1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
deci liniile nu sunt perpendiculare.
2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:
Prin utilizarea funcție inversă ușor de găsit colțul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arc-tangentei (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):
Răspuns: 
În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.
Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică: 
Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.
Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație 
, și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct 
.
Comentarii 11
Găsiți punctul de intersecție a două drepte trasate din două puncte cu coordonate și azimuturi cunoscute din aceste puncte.
Pentru a studia comportamentul animalelor se folosește adesea metoda telemetriei radio: obiectul studiat este marcat cu un transmițător radio care emite un semnal radio de o anumită frecvență, iar apoi cercetătorul, folosind un receptor și o antenă de recepție, monitorizează mișcările acestui obiect. Unul dintre moduri posibile determinarea locației exacte a unui obiect este metoda de biangulare. Pentru a face acest lucru, cercetătorul trebuie să ia 2 azimuturi la obiectul studiat din puncte cu coordonate cunoscute. Locația obiectului va corespunde punctului de intersecție al acestor două azimuturi. Coordonatele punctelor din care sunt detectate azimuturile pot fi luate cu ajutorul unui navigator prin satelit (GPS), sau azimuturile sunt preluate din puncte de referință ale căror coordonate sunt cunoscute dinainte. Azimutul în acest caz este direcția către sursă a celui mai puternic semnal care vine de la obiectul marcat de emițător, de obicei măsurat în grade.
Înainte de calcule, este necesar să traduceți punctele obținute folosind GPS într-un sistem de coordonate proiectat, de exemplu, zona UTM corespunzătoare, acest lucru se poate face folosind DNRGarmin .
Pentru ca locația calculată a obiectului studiat să corespundă cât mai exact cu poziția reală, trebuie luate în considerare următoarele:
1) este necesar să se încerce să se aștepte momentul pentru ca eroarea în determinarea coordonatelor în navigator să fie cât mai mică.
2) astfel încât unghiul dintre azimuturi tinde spre 90 de grade (cel puțin a fost mai mult de 30 și mai puțin de 150 de grade).
Distanța de la care trebuie luat azimutul depinde de raza de acțiune a emițătorului, în timp ce se aplică regula generală că eroarea în determinarea azimutului crește cu 1 metru cu distanța de la obiectul studiat la fiecare 10 m. la luarea azimutului cu o distanță până la obiect de 100 m, eroarea va fi de 10 m. Cu toate acestea, această regulă este aplicabilă pe o zonă plană deschisă. Trebuie luat în considerare faptul că terenul neuniform și copacii și arbuștii acoperă și reflectă semnalul. Ar trebui să evitați să vă aflați în imediata apropiere a obiectului studiat, deoarece. în primul rând, un semnal prea puternic va face dificilă determinarea azimutului exact și, în al doilea rând, în unele cazuri nu va fi posibil să se calculeze punctul de intersecție din cauza faptului că al doilea azimut va trece în spatele punctului în care a fost primul azimut. Luat. Intervalul de timp dintre luarea unei perechi de azimuturi ar trebui redus la minimum, dar, desigur, depinde de mobilitatea animalului studiat.
Problema este rezolvată folosind cea mai simplă geometrie și rezolvând un sistem de ecuații.
Pentru început, dintr-un punct și un azimut, obținem ecuația unei drepte, pentru aceasta:
Din ecuație vedere generala:
ax + by + c = 0
cu condiția ca b<>0 primi
y = kx + d , Unde k=-(a/b) , d=-(c/b)
astfel obținem
k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1
k1x + d1 = y
k2x + d2 = y
Obținem coordonatele X și Y ale punctului comun a două drepte (punctul de intersecție).
Ecuația trebuie să includă două ocazie speciala când dreptele sunt paralele (k1=k2).
Deoarece nu avem de-a face cu vectori sau raze, adică liniile nu au început și sfârșit, este necesar să se prevadă și cazul intersecției liniilor în afara zonei de interes, așa-numita. falsă intersecție. Rezolvarea acestei probleme se realizează prin măsurarea azimutului de la un punct fals a3 la punctul 2, dacă azimutul a3 = a2, atunci intersecția este falsă, azimutul invers de la punctul obținut înapoi la 2 original nu ar trebui să fie egal cu unul dintre azimuturile originale.
Procedura necesaraîn limbajul Avenue arată astfel:
a1rad = (90-a1)*pi/180Dacă două drepte nu sunt paralele, atunci ele se vor intersecta strict într-un punct. descoperi coordonate puncte intersecția a 2 linii este permisă atât prin metode grafice, cât și prin metode aritmetice, în funcție de ce date furnizează sarcina.
Vei avea nevoie
1. Dacă liniile sunt desenate mai îndeaproape pe grafic, găsiți soluția metoda grafica. Pentru a face acest lucru, continuați ambele sau una dintre linii, astfel încât acestea să se intersecteze. După aceea, marcați punctul de intersecție și coborâți perpendiculara de la acesta pe axa x (o, ca de obicei).
2. Folosind marcajul de pe axă, găsiți valoarea x pentru acel punct. Dacă se află pe direcția pozitivă a axei (în dreapta semnului zero), atunci valoarea sa va fi corectă, în caz contrar, va fi negativă.
3. True detectează și ordonata punctului de intersecție. Dacă proiecția punctului este situată deasupra semnului zero, este corectă; dacă este mai jos, este negativă. Scrieți coordonatele punctului sub forma (x, y) - aceasta este soluția problemei.
4. Dacă liniile sunt date sub formă de formule y=kx+b, puteți rezolva problema și grafic: trageți linii pe grila de coordonate și găsiți soluția folosind metoda descrisă mai sus.
5. Încercați să găsiți o soluție la problemă aplicând aceste formule. Pentru a face acest lucru, alcătuiți un sistem din aceste ecuații și rezolvați-l. Dacă ecuațiile sunt date ca y=kx+b, echivalați primitiv ambele părți cu x și găsiți x. Apoi introduceți valoarea x într-una dintre ecuații și găsiți y.
6. Este permisă găsirea soluției prin metoda lui Cramer. În acest caz, aduceți ecuațiile la forma A1x + B1y + C1 \u003d 0 și A2x + B2y + C2 \u003d 0. Conform formulei lui Cramer, x \u003d - (C1B2-C2B1) / (A1B2-A2B1) și y \u003d - (A1C2-A2C1) / (A1B2-A2B1). Atenție, dacă numitorul este egal cu zero, atunci liniile sunt paralele sau coincid și, în consecință, nu se intersectează.
7. Dacă vi se dau linii în spațiu în formă canonică, înainte de a începe să căutați o soluție, verificați dacă liniile sunt paralele. Pentru a face acest lucru, evaluați exponenții înainte de t dacă aceștia sunt proporționali cu, de exemplu, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t și x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5 +2t, atunci liniile sunt paralele. În plus, liniile se pot intersecta, caz în care sistemul nu va avea nicio soluție.
8. Dacă descoperiți că liniile se intersectează, găsiți punctul de intersecție a acestora. Mai întâi, setați variabilele din linii diferite egale prin înlocuirea condiționată a t cu u pentru prima linie și cu v pentru a doua linie. Să presupunem că dacă vi se dau linii x=t-1, y=2t+1, z=t+2 și x=t+1, y=t+1, z=2t+8, veți obține expresii ca u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.
9. Exprimați u dintr-o ecuație, înlocuiți în alta și găsiți v (în această problemă u=-2,v=-4). Acum, pentru a găsi punctul de intersecție, înlocuiți valorile obținute în loc de t (fără diferență, în prima sau a doua ecuație) și obțineți coordonatele punctului x=-3, y=-3, z=0 .
Să considerăm 2 care se intersectează direct este suficient să le considerăm într-un plan, deoarece cele două drepte care se intersectează se află în același plan. Cunoscând ecuațiile acestora direct, este permisă găsirea coordonatei punctului lor intersecții .
Vei avea nevoie
1. În coordonatele carteziene, ecuația generală a unei drepte arată astfel: Ax + By + C = 0. Fie că două drepte se intersectează. Ecuația primei linii are forma Ax + By + C = 0, a doua linie - Dx + Ey + F = 0. Trebuie precizați toți indicatorii (A, B, C, D, E, F). pentru a găsi un punct intersecții aceste direct este necesar să se rezolve sistemul acestor 2 ecuații liniare.
2. Pentru a o rezolva, este convenabil să înmulțim prima ecuație cu E, iar a doua cu B. Ca urmare, ecuațiile vor arăta astfel: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. După scăderea a doua ecuație din prima, obțineți: (AE-DB)x = FB-CE. Otsel, x = (FB-CE)/(AE-DB).Prin analogie, prima ecuație sistem initial este permis să se înmulțească cu D, al doilea - cu A, după care din nou scădeți al doilea din primul. Ca rezultat, y = (CD-FA)/(AE-DB). Valorile rezultate x și y vor fi coordonatele punctului intersecții direct .
3. Ecuații direct poate fi scris și în termenii exponentului unghiular k, care este egal cu tangentei pantei dreptei. În acest caz, ecuația unei drepte are forma y = kx+b. Fie acum ecuația primei linii este y = k1*x+b1, iar a doua dreaptă este y = k2*x+b2.
4. Dacă echivalăm părțile corecte ale acestor 2 ecuații, obținem: k1*x+b1 = k2*x+b2. De aici este ușor să obținem că x = (b1-b2)/(k2-k1). Mai târziu, înlocuirea acestei valori x în oricare dintre ecuații va avea ca rezultat: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Valorile x și y vor seta coordonatele punctului intersecții direct.Dacă două drepte sunt paralele sau coincid, atunci ele nu au puncte comune sau, respectiv, au infinit de puncte comune. În aceste cazuri, k1 = k2, numitorii pentru coordonatele punctelor intersecții va dispărea, prin urmare, sistemul nu va avea o soluție clasică.Sistemul poate avea o singură soluție clasică, care este necondiționată, deoarece două drepte care nu coincid și nu sunt paralele între ele pot avea un singur punct. intersecții .
Videoclipuri asemănătoare
