Векторный и тензорный анализ. Файловый архив

Наименование дисциплины: Векторный и тензорный анализ

Направление подготовки: 011200 Физика

Профиль подготовки:

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Форма обучения: очная

1.Целями освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» являются:

дать базовые знания по векторному и тензорному анализу, необходимые для освоения последующих курсов; обучить студентов наиболее важным математическим методам физики, а также проиллюстрировать использование этих методов на примерах конкретных физических задач; закрепить и развить знания, умения и приемы, полученные при изучении математических курсов, на которые опирается данный курс; подготовить исходный уровень знаний и навыков, необходимых для дальнейшего обучения студентов.

2.Дисциплина «Векторный и тензорный анализ» относится к базовой части цикла Б2. (математический и естественно- научный цикл) .

Данный курс является промежуточным между традиционными курсами математики и теоретической физики. Для освоения курса необходимы умение вычислять производные функций одной и нескольких переменных, а также неопределенных и определенных интегралов (курс «Математического анализа»), владеть матричным аппаратом (курс «Линейная алгебра»), использовать геометрические методы (курс «Аналитическая геометрия»), и знание основ классической механики (курс «Механика»). Математический аппарат, излагаемый в рамках курса «Векторный и тензорный анализ», необходим для успешного освоения теоретических курсов физики: теоретическая механика, электродинамика, квантовая механика и статистическая физика.

3.В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

определения градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля;

дифференциальные операторы Набла и Лапласа в декартовой системе координат;

определения символ Кронекера и тензор Леви-Чевита, их основные свойства.

работать с векторами в декартовой и криволинейных ортогональных (сферической и цилиндрической) системах координат;

вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля;

выполнять простейшие операции над тензорами произвольного ранга;

применять теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса при вычислениях интегралов по поверхности и по объему.

навыками вычислений геометрических характеристик линии в пространстве;

дифференцированием векторных функций одной переменной;

алгеброй тензоров;

преобразованием тензорных функций при вращении;

умением вычислять градиент скалярного поля, дивергенцию и ротор векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

4.Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.

№ п/п	Раздел дисциплины
№ п/п	Раздел дисциплины
	Векторная алгебра. Скалярные и векторные величины. Вектор и его характеристики. Системы координат, базис. Векторная функция. Дифференцирование векторной функции. Формула Тейлора для векторной функции.
	Элементы дифференциальной геометрии. Дифференциальная геометрия линии в пространстве. Кривизна, кручение. Главная нормаль и бинормаль. Понятие соприкасающейся плоскости.
	Скалярное поле. Определение. Поверхность уровня скалярного поля. Градиент скалярного поля. Оператор Набла в декартовой системе координат. Производная по направлению. Физический смысл.
	Векторное поле. Понятие векторного поля. Векторные линии. Поток векторного поля. Физический смысл потока через замкнутую поверхность. Дивергенция векторного поля. Инвариантное определение. Выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Теорема Гаусса – Остроградского.
	Векторное поле. Циркуляция векторного поля. Понятие ротора векторного поля и его физический смысл. Выражение для ротора в декартовой системе координат. Теорема Стокса. Потенциальное поле. Примеры. Нахождение потенциала потенциального поля. Соленоидальное поле. Векторный потенциал.
	Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа скалярного и векторного полей. Тензорный анализ. Переход от одного ортогонального базиса к другому. Преобразование базиса и координат вектора. Определение тензора в ортогональном базисе.
	Тензорный анализ. Действия над тензорами. Главные направления тензора. Тензорные инварианты. Собственные значения и собственные векторы. Символ Кронекера. Псевдотензоры. Тензор Леви-Чевита.
	Тензорный анализ. Тензоры в косоугольном базисе. Метрический тензор. Ковариантные и контравариантные компоненты тензора. Криволинейные координат. Построение базиса. Коэффициенты Ламэ.
	Криволинейные системы координат. Выражение для градиента, дивергенции и ротора в криволинейной системе координат. Цилиндрическая и сферическая системы координат.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1.Нарынская Е.Н., Поваров А.В. Векторное и тензорное исчисление: учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - 96 с.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - С.-Петербург: Лань, 2003. - 832 с.

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Задачи и примеры с подробными решениями. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 144 с.

4.Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с.

5.Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. Часть 2. - М.: Аирф ПРЕСС, 2004.

б) дополнительная литература:

1.Тамм И.Е. Основы теории электричества. Приложение. - М.: Наука, 1989.

2.Шилов Г.Е. Лекции по векторному анализу. - М.: Наука, 1954.

3.Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. - М.: Изд-во МГУ, 1986.

4.Поздняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. - М.: Изд-во МГУ, 1990.

5.Коренев Г.В. Тензорное исчисление. - М.: Изд-во МФТИ, 1996.

6.Горшков А.Г., Рабинкий Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и механики сплошной среды: Учебник для вузов. - М.: Наука, 2000. - 214 с.

7.Григорьев А.И. и др. Тензорная алгебра в примерах и задачах: Учебное пособие. - Ярославль: ЯрГУ, 1999. - 50 с.

8.Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. - М.: Высшая школа, 1966. - 252 с.

9.Борисенко А.И. Механика сплошной среды: В 3 ч. Ч.1: Векторный анализ и начала тензорного исчисления / Борисенко А.И., Тарапов И.Е. -Харьков: Золотые страницы, 2003. - 320 с.

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга - Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Погружение в специальную литературу не приносило просветления. Технарю достаточно тяжело переварить строгий абстрактный язык чистой математики. Тем не менее, от случая к случаю я возвращался к этому вопросу, и вот спустя почти шестнадцать лет наступило просветление, о чем и будет рассказано под катом. Возможно, мои рассуждения покажутся примитивными и упрощенными, но понимание любой сложной вещи принято разворачивать от процесса оперирования простыми понятиями, поэтому начнем.

1. Вектор на плоскости. Контравариантные, ковариантные координаты и связь между ними

Рассмотрим вектор, и без потери общности наших рассуждений, рассмотрим вектор заданный на плоскости. Как известно из курса ещё школьной геометрии, любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов

Здесь - коэффициенты разложения, (под верхним индексом следует понимать именно номер компоненты, а не возвдение в степень), называемые контрвариантные координаты вектора . Геометрически это можно изобразить так, как показано на рисунке ниже. Векторы называют базисными, угол между ними, при условии , может быть произвольным, произвольна так же ненулевая длина базисных векторов. Указанный базис задает косоугольную систему координат на плоскости, с осями .

Исходя из чертежа длины отрезков и равны

Однако, это не единственный способ определить вектор в данной системе координат. Его можно так же задать ортогональными проекциями на оси . Нетрудно видеть, что эти проекции равны

С другой стороны, выразим длины этих проекций через длины базисных векторов таким образом

Где и - ковариантные координаты вектора .

Сравниваем (3), (5) и (4), (6)

Умножим (7) на , а (8)
на и преобразуем их
Введем матрицу
тогда (9) и (10) можно выразить следующим соотношением
Выражение (12) дает связь между ковариантными контрaвариантными координатами вектора, определяемую лишь видом матрицы , зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. Пока никак не будем интерпретировать полученный результат, а просто запомним его.

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом

а в ковариантной форме - матрицей-строкой

2. Скалярное произведение векторов

Перейдем к пространству более высокой размерности и рассмотрим два вектора
где базисные векторы , как и выше, ненулевые
некомпланарные векторы. Перемножим векторы скалярно.
В последнем выражении аккуратно раскроем скобки
и снова введем матрицу
и тогда скалярное произведение можно свернуть весьма компактным образом
Первое, что можно заметить, при уменьшении числа измерений пространства мы перейдем от (14) к (11) а выражение
(15) будет работать и давать склярное произведение векторов, но уже на плоскости. То есть мы получили некую обобщающую форму записи операции скалярного умножения, не зависящую ни от размерности пространства, ни от рассматриваемого базиса, все свойства которого обраны в матрице . Внимательно взглянув на (15) мы поймем ещё одну вещь
что есть ничто иное как ковариантные координаты вектора . То есть, (15) можно переписать
Но и это не предел упрощения

3. Правило Эйнштейна

Хитный и проницательный Альберт Эйнштейн придумал правило суммирования, в выражениях подобных (17), избавляющее математика от надоедливой и избыточной . В выражениях (16) и (17) можно опустить знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющемуся индексу, который называют «немым». То есть, (16) переписываем так
здесь j - индекс, по которому происходит суммирование. По правилу, этот индекс должен чередовать свое положение - если у первого множителя он внизу, то у второго должен быть вверху и наоборот. Выражение (17) будет выглядеть так
Ну а (15) придет к виду
А теперь мы посмотрим, для чего надо было городить такой огород.

4. Анализ на простых примерах

Допустим, что наш базис - декартов, то есть ортонормированый. Тогда, матрица становится единичной
Пусть вектор задан в таком базисе. Квадрат длины вектора, как известно, это скалярное произведение этого вектора самого на себя, то есть
И мы получили… квадрат длины вектора, заданного в прямоугольной системе координат!

Ещё пример, дабы не загроможнать который, будем работать в двух измерениях. Пусть система координат подобна той, что изображена на рисунке из параграфа 1, и в ней задан вектор своими контравариантными rоординатами. Тогда

где - угол между векторами базиса. Вычислим длину вектора
Ровно такой же результат мы получим, если воспользуемся теоремой косинусов и найдем квадрат длины диагонали параллелограмма.

Что получается? Работая в разных системах координат, мы использовали одну единственную формулу (20) для вычисления скалярного произведения. И её вид совершенно не зависит ни от базиса, ни от числе измерений пространства, в котором мы работаем. Базисом определяются лишь конкретные значения компонент матрицы .

Так вот, уравнение (20) выражает скалярное произведение двух векторов в тензорной, то есть независимой от выбранного базиса форме .

Матрица задает так называемый метрический тензор . Её вид
определяет каким образом в выбранных координатах вычисляется расстояние между двумя точками.

Но почему мы называем эту матрицу тензором? Следует понимать, что математическая форма, в данном случае квадратная матрица, содержащая набор компонент, это ещё не тензор. Понятие тензора несколько шире, и прежде чем мы скажем, что такое тензор, мы рассмотрим ещё один вопрос.

5. Преобразование метрического тензора при смене базиса

Перепишем соотношение (20) в матричной форме, так нам будет легче оперировать им
где c - скалярное произведение векторов. Верхний индекс несет смысл системы координат, в которой заданы векторы и определен метрический тензор. Скажем это система координат СК0. Преобразование вектора к некоторой другой системе
координат СК1 описывается матрицей преобразования , то есть
Подставим (22) в (21)

В последнем выражении

метрический тензор, компоненты которого определяются новым базисом. То есть, в новом базисе операция имеет аналогичную форму
Тем самым мы показали ещё одно свойство тензора - его компоненты меняются синхронно с компонентами векторов того пространства, в котором определен тензор . То есть теперь мы можем сказать, что тензор - это математический объект, представленный набором компонент и правилом их преобразования при смене базиса .

Теперь, используя правило Эйнштейна, перепишем (22) и (23) в тензорной форме

где - элементы матрицы . Проиллюстрируем (25) на трехмерном примере. Пусть матрица преобразования координат имеет вид
Распишем преобразование компонента метрического тензора, выполняя суммирование по немым индексам k и l в (25)
откуда видно что в (25) выполняется транспонирование матрицы перехода, умножение результата на метрический тензор и
умножение полученной матрицы на матрицу перехода.

Теперь рассмотрим конкретный пример, на плоскости, чтобы не писать излишне громоздких выкладок

Пусть вектор задан в двух нормированных базисах: прямоугольном
и косоугольном . Преобразование из косоугольной системы координат в прямоугольную выражается матрицей

обратное преобразование
Пусть также, в прямоугольных координатах наш вектор имеет компоненты
и совсем нетрудно увидеть, что длина его . Метрический тензор в ортонормированном базисе представляется единичной матрицей
значит
Зададим угол наклона осей и вычислим контравариантные компоненты вектора в косоугольных осях

То есть

и скалярное произведение и длина вектора инвариантны , то есть неизменны при преобразовании координат, а так и должно быть. При этом, мы использовали по сути одно и то же соотношение (20) для работы в разных базисах, предварительно преобразовав метрический тензор в соответствии с правилом преобразования векторов в рассматриваемых пространствах
(25).

Заключение и выводы

Что мы увидели в предыдущем параграфе? Если свойства пространства, в котором заданы векторы известны, то для нас не составляет труда выполнить, строго формальным образом, действия над векторами, используя соотношения, вид которых от формы пространства независим. Причем соотношения (20), (24) и (25) дают нам и алгоритм вычисления и способ преобразования компонент выражений, используемых алгоритмом. В этом - мощь и сила тензорного подхода.

Многие физические теории, например ОТО, оперируют искривленным пространством-временем, и там другой подход просто неприемлем. В искривленном пространстве-времени метрический тензор задан локально, в каждой его точке, и если попытаться обойтись без тензоров, у нас ничего не выйдет - мы получим громоздкие и неповоротливые уравнения, если получим их вообще.

В прикладных областях науки тензорная запись выражений применима там, где требуется получать уравнения, независимые от используемой системы координат.

Но это ещё не всё. Мы не поговорили о свойствах метрического тензора, не рассмотрели векторное произведение и тензор Леви-Чевиты. Не поговорили о ранге тензоров и операциях с ними, не разобрались до конца с правилами индексации компонент тензоров и о многом другом. Об этом будет написано несколько позднее, а пока - спасибо всем моим читателям за внимание. Добавить метки

В книге излагаются основные сведения из векторной и тензорной алгебры, понятие тензорных полей и тензорный анализ, включающий интегральные теоремы; содержится ряд задач тензорного исчисления в применении к механике сплошных сред и электромагнетизму. Все операции подробно разобраны в ортогональных системах координат и дано обобщение на случай произвольной криволинейной системы координат. Книга предназначена для студентов, изучающих аэрогидромеханику, теорию упругости и другие предметы, использующие тензорный аппарат.

Необходимость применения тензорного исчисления в современной физике вызвана не столько удобством и наглядностью математических формулировок законов, сколько объективными свойствами изучаемых явлений.
Что касается предметов, изучаемых в технических вузах, то в первую очередь в гидромеханике, теории упругости и электротехнике векторное исчисление давно уже широко применяется. Успехи технических наук, углубление их теоретической базы требуют знания основ тензорного исчисления, особенно той части, которая связана с рассмотрением декартовой системы координат.
Современная научно-техническая литература изобилует примерами широкого использования тензорного и векторного исчисления. Лучшие учебники для втузов по специальным дисциплинам учитывают эту тенденцию совершенствования математического аппарата современных естественных наук.
Программы по математике наших втузов включают необходимый материал по важному разделу основ векторной алгебры и векторного анализа. Однако иногда изложение этих разделов носит относительно формальный характер, и это естественно, ибо физическое содержание этого математического аппарата наиболее полно может быть раскрыто в тех специальных дисциплинах, которые используют его.

Оглавление
Предисловия
Глава первая Основные сведения из векторной алгебры
1.1. Векторы н скаляры
1.2. Сложение и вычитание векторов. Проекция вектора на ось
1.3. Умножение вектора на скаляр. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора
1.4. Скалярное и векторное произведения двух векторов
1.5. Произведения трех векторов
1.6. Взаимные базисы векторон Ковариантные и контравариантные
составляющие вектора. Сокращенные обозначения
1.7. Переменные векторы
Задачи с решениями
Упражнения
Глава вторая Понятие тензора и закон преобразования его компонент
2.1. Компоненты тензоров и их преобразование. Равноправность координатных систем
2.2. Тензоры нулевого ранга (скаляры)
2-3 Тензоры 1-го ранга (векторы)
2.4. Тензоры 2-го ранга
2.5. Тензоры высших рангов
2.6. Преобразование компонент векторов и тензоров при повороте координатной плоскости вокруг перпендикулярной оси
2.7. Инвариантность тензорных уравнений
2.8. Криволинейные координаты
2.9. Тензоры в системах обобщенных координат
Задачи с решениями
Упражнения
Глава третья Тензорная алгебра
3.1. Сложение тензоров
3.2. Умножение тензоров
3.3. Свертывание тензоров
3.4 Свойство симметрии тензоров
3.5. Единичный тензор Метрический тензор
3.6 Главные оси тензора Приведение тензора к главным осям 3 7 Инварианты тензора
3.8. Признак тензорности величин
3.9. Псевдотензоры
3.10. Линейное n-мерное пространство Векторы и тензоры в n-мерном
пространстве
Задачи с решениями
Упражнения
Глава четвертая Векторный и тензорный анализ
4 1. Тензорное поле. Циркуляция
4 2 Теорема Остроградского н теорема Стокса
4.3 Скалярное поле Производная по направлению Оператор V
4.4. Векторное поле Дивергенция и вихрь векторного поля Дифференцирование вектора по направлению
4.5. Поле тензора 2-го ранга. Поток, дивергенция и производная по направлению тензорного поля
4.6. Ковариантное дифференцирование тензоров. Ковариантиая производная вектора. Символы Кристоффеля
4.7. Применение дифференциальных операций к различного вида векторным и скалярным функциям
4.8. Интегральные теоремы векторного и тензорного анализа 4 9. Потенциальное векторное поле. Скалярный потенциал
4.10. Соленоидальное векторное поле. Векторный потенциал
4 11. Лапласово векторное поле. Гармонические функции
4.12. Основная теорема векторного анализа
Задачи с решениями
Упражнения

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Векторный анализ и начала тензорного исчисления, Борисенко А.И., Тарапов И.Е., 1966 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Транскрипт

1 теоретической физики «Утверждаю» Декан физического факультета Ф. В. Титов 2012 г. Рабочая программа дисциплины Векторный и тензорный анализ для специальности Физика, ЕН.Ф.3.4 Курс: 1 Семестр: 2 Лекции: 16 час. Практические занятия: 18 час. Самостоятельная работа: 36 час. Всего: 70 час. Составитель: к.ф.-м.н., доц. КТФ КемГУ Кравченко Н.Г. Экзамен: 2 семестр Кемерово 2013

3 1. Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основании типовой программы курса «Векторный и тензорный анализ» для специальности «Физика», направления «Физика», утвержденной УМС по физике УМО классических университетов (Москва, 2001г.) и полностью соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта специальности «Физика» (направления «Физика»), утвержденного в 2000г. Актуальность и значимость курса. Элементы векторного и тензорного анализа широко применяется во всех разделах физики. Курс направлен на формирование представлений и навыков работы с математическими объектами тензорного характера, которые составляют основу инвариантного математического аппарата, широко используемого как в общей (электричество и магнетизм), так и в теоретической физике (теоретическая механика, электродинамика, основы механики сплошных сред, квантовая механика и т.д.). Данный курс является также основой для большинства курсов специальной подготовки. Цель и задачи изучения курса. Систематизировать полученные ранее знания из математического анализа и аналитической геометрии (понятия скаляра, вектора, переход от одной системы координат к другой, интегральные теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса, понятие потока вектора и циркуляции векторного поля и т.д.); получить новые знания (понятие тензора, работа с индексами; умение работать в криволинейных координатах; дифференциальные операторы rot, dv и grad; обобщенные интегральные теоремы и т.д.); уметь применять индексные формы записи к решению прикладных задач (решение простейших задач электродинамики, теоретической механики и механики сплошных сред). Место дисциплины в профессиональной подготовке специалистов. Дисциплина входит в профессиональный цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин (ЕН.Ф.3.4). Данная дисциплина логически и содержательно связана с такими дисциплинами и модулями ООП, как: «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Математический анализ» и необходимо при изучении курса общей физики «Электричество и магнетизм», всех курсов теоретической физики. Структура учебной дисциплины. Данный курс состоит из двух частей: «Векторный анализ» и «Тензорный анализ». К вопросам, составляющим основное содержание курса, относятся: скалярные и векторные поля, теоремы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса, дифференциальные операторы градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа, основные операции векторного анализа в криволинейных координатах, потенциальные и соленоидальные поля, полилинейные функции векторного

4 аргумента, преобразование координат тензора при изменении базиса линейного пространства. Особенности изучения дисциплины. Данный курс является частью большого раздела математики «Векторный и тензорный анализ», но рассчитан на студентов-физиков и на его изучение выделяется небольшое число часов. Поэтому из этого огромного раздела математики выбран тот материал, который необходим при изучении теоретических курсов физики. Исходя из уровня подготовки студентов, обучающихся на физическом факультете КемГУ, традиций преподавания данного курса в университете отсутствует раздел «Элементы теории групп». Это связано с выделением данного раздела в самостоятельные курсы «Теория групп» и «Теория симметрии». В то же время сделана попытка обратить внимание студентов на физическое содержание тензорного исчисления. Форма организации занятий по курсу. Организация занятий традиционная, по курсу «Векторный и тензорный анализ» в течение одного семестра читаются лекции и ведутся практические занятия. Однако занятия ведутся через неделю, что требует о студентов определенных усилий для успешной организации практических занятий и усвоения материала студентами. Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы студентов. Аудиторные занятия, лекции и практика, предполагают самостоятельную работу студентов по данному курсу. На лекциях предлагается для самостоятельного изучения дополнительные темы, самостоятельное проведение некоторых вычислений. На практических занятиях даются домашние задания для самостоятельного решения задач и упражнений. Требования к уровню усвоения содержания курса. Свободно оперировать такими математическими понятиями как тензор, вектор и скаляр; ротор и дивергенция векторного поля, градиент скалярного поля. Владеть навыками работы в разных системах координат. Уметь применять знания тензорного и векторного анализа к физическим задачам. Объем и сроки изучения курса. Курс «Векторный и тензорный анализ» читается на первом курсе (2 семестр): лекции 1час в неделю (16 часов), практические занятия 1 час в неделю (18 часов), самостоятельная работа студентов (36 часов). Виды контроля знаний и их отчетности. Усвоение материала, излагаемого на лекциях, контролируется проведением пяти минутных «лекционных диктантов» по основным понятиям предыдущих лекций. Усвоение каждой пройденной темы на практическом занятии контролируется проведением пяти - семи минутной контрольной работы. В течение семестра проводится восемь контрольных работ и семь лекционных диктантов. Темы, выносимые на самостоятельное изучение, предполагают написание рефератов.

5 Критерии оценки знаний студентов по курсу. Для получения допуска к экзамену по курсу «Векторный и тензорный анализ» требуется посещение аудиторных занятий и выполнение контрольных заданий по практическому и теоретическому курсу. Система оценивания работы студентов бальная, до экзамена допускаются студенты, набравшие не менее 25% от максимально возможного балла. Оценка «хорошо» ставится при решении двух задач экзаменационного билета. Задача считается решенной, если дано ее полное, правильное, поэтапное решение с устным объяснением. Для получения оценки «отлично», кроме решения задачи, необходимо полно и с пониманием ответить на два теоретических вопроса билета. Экзамен проводится устно. 2. Тематический план. Объем часов Название и содержание разделов, тем, модулей Общий Аудиторная работа Лекции Практически е Лабораторн Самостоятельная работа Формы контроля Элементы векторной алгебры Лекционны й диктант, проверочна я работа 2 Тензорная алгебра Лекционны й диктант, проверочна я работа 3 Векторный анализ - основные определения 4 Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных полей Лекционны й диктант, проверочна я работа Лекционны й диктант, проверочна

6 я работа 5 Основные операции векторного дифференцирования 6 Формулы Грина и основная теорема векторного анализа Лекционны й диктант, проверочна я работа Лекционны й диктант 7 Криволинейные системы координат Реферат 8 Элементы теории групп Реферат Итого: Содержание дисциплины. Теоретический курс. Элементы векторной алгебры. Скаляры. Векторы - определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция вектора на ось. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартов базис. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов - определение, вычисление в декартовой системе координат. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы. Тензорная алгебра. Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры. Алгебра тензоров: сложение, умножение, свертка тензоров. Симметричные и антисимметричные тензоры. -символ Кронекера. Признак тензорности величины. Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры. Псевдотензор Леви-Чивиты. Векторный анализ - основные определения. Вектор-функция скалярного аргумента. Производная вектор-функции скалярного аргумента. Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий. Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-

7 Гаусса для векторных полей. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля. Основные операции векторного дифференцирования. Оператор Гамильтона (). Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором и в декартовой системе координат. Запись основных операций векторного дифференцирования в тензорном виде. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Формулы Грина и основная теорема векторного анализа. Следствия из интегральных теорем: 1-я и 2-я формулы Грина. Основная теорема векторного анализа - построение потенциального и соленоидального векторных полей. Криволинейные системы координат. Определение. Коэффициенты Ламэ. Локальный базис. Цилиндрическая, сферическая системы координат. Градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа в криволинейных системах координат. Элементы теории групп. Абстрактные группы. Аксиомы теории групп. Подгруппа, сопряженные совокупности. Классы. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Прямое произведение групп. Таблицы умножения групп. Практические занятия 1. Векторная алгебра (векторы, скаляры, основные операции с векторами: скалярное, векторное, смешанное произведение векторов). 2. Тензорная алгебра. -символ Кронекера, правило суммирования Эйнштейна, дифференцирование функций многих переменных с использованием индексных обозначений (j, x,) x 3. Тензорная алгебра. Тензоры: определение, закон преобразования (задачи на закон преобразования, инвариантные тензоры на примере -символа). Дополнительно: дифференцирование (занятие 2). 4. Тензорная алгебра. Псевдотензор Леви-Чивиты, четная и нечетная перестановки, запись векторных выражений в тензорном виде. 5. Векторный анализ. Градиент: определение (декартовая система координат). 1 Рассмотрение основных примеров: r, (a, r), (, a) r в декартовой системе r Бескоординатное дифференцирование ((r) r,) r 6. Векторный анализ. Дивергенция векторного поля: определение (декартовая система координат), физический смысл на примерах. Основные задачи dv r 3,

8 dv[ a, r] 0, векторные линии. Бескоординатное «векторное» дифференцирование с использование свойств дивергенции: (dv(A B) dva dvb, dv A dva (, A),) 7. Векторный анализ. Ротор векторного поля: определение (декартовая система), физический смысл на примерах. Основные задачи: rotr 0, rot[ a, r] 2a. Примеры на бескоординатное «векторное» дифференцирование с использованием свойств ротора (rot(A B) rota rotb, rot A rota [, A],). 8. Решение задач на векторное дифференцирование 1 9. Криволинейные системы координат. Рассмотрение основных примеров (r, r dvr r, dv, rotr) в цилиндрической и сферической системах координат. n r 4. Список основной учебной литературы 1. Гордиенко А.Б., Золотарев М.Л., Кравченко Н.Г. Основы векторного и тензорного анализа: учебное пособие. Томск: из-во ТГПУ, с. 2. Журавлев Ю.Н., Кравченко Н.Г. Введение в теорию симметрии: учебнометодическое пособие / ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». Кемерово: Кузбассвузиздат, с. 3. Келлер И. Э. Тензорное исчисление. / Санкт-Петербург: Лань, 2012, 176 с. (доступ с 4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х тт. Том 3. 9-е изд. / Санкт-Петербург: Лань, 2009, 656 с. (доступ с Дополнительная литература. 1. Гордиенко А.Б., Золотарев М.Л., Полыгалов Ю.И. Основы векторного и тензорного анализа. Ч.I. Векторная алгебра. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Кемерово, КемГУ, Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 2003, т.3, 723 с. 3. Полыгалов Ю.И. Методические указания по курсу Основы векторного и тензорного анализа. Кемерово. Изд-во КемГУ, 1988, 82 с. 4. Гордиенко А.Б., Золотарев М.Л., Полыгалов Ю.И. Основы векторного и тензорного анализа. Ч.2. Основы векторного анализа. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Кемерово, КемГУ, Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля. А) Вопросы к экзамену 1. Скаляры. Векторы- определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция на ось.

9 2. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартовый базис. 3. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов- определение, вычисление в декартовой системе координат. 4. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы. 5. Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат. 6. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры. 7. Алгебра тензоров: сложение и умножение тензоров. 8. Алгебра тензоров: свертка тензоров. 9. Симметричные и антисимметричные тензоры. -символ Кронекера (определение, закон преобразования, ранг). 10.Признак тензорности величины. 11.Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры. 12.Псевдотензор Леви-Чивиты. Запись векторного произведения в тензорном виде. 13.Вектор-функция скалярного аргумента. Производная. 14.Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате. 15.Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 16.Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий. 17.Поток векторного поля. 18.Теорема Остроградского-Гаусса для векторных полей (формулировка). Дивергенция векторного поля. 19.Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля. 20.Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором и в декартовой системе координат. 21.Запись основных операций векторной алгебры и вектоного дифференцирования в тензорном виде: A, B, A B, A, B, C, dva, rota. 22.Векторные дифференциальные операции второго порядка. 23.Следствия из интегральных теорем: первая формула Грина. 24.Следствия из интегральных теорем: вторая формула Грина. 25.Основная теорема векторного анализа. Построение соленоидального векторного поля. 26.Основная теорема векторного анализа. Построение потенциального векторного поля. 27.Криволинейные координаты. 28.Градиент скалярного поля в ортогональных криволинейных системах координат. 29.Дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат.

10 30.Ротор векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат. 31.Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных системах координат. 32.Аксиомы теории групп. 33.Подгруппа, сопряженные совокупности. Индекс подгруппы. 34.Классы. 35.Прямое произведение групп. Примерный список задач, выносимых на экзамен 1. Операции с векторами. 1.1 Вычислить [ A, B ] и A, B) для векторов: A 5 6 j 3 и A 1 1j A 5 4 j 3 и A 3 j Вычислить (C,[ A, B]) для векторов: (1) A 11 6 j 2, B 10 7 и C A j 2, B 10 7 и C 3 2 j 1.3 Показать прямым вычислением, что [ A,[ B, C]] [[ A, B], C] : (1) A 11 6 j 2, B 10 7 и C A j 2, B 10 7 и C 3 2 j 1.4 Показать прямым вычислением, что [ A,[ B, C]] B(A, C) C(A, B) : (1) A 11 6 j 2, B 10 7 и C 2 3 j A j, B 10 7 и C 2 j 1.5 Вычислить объем пирамиды ABCD, вершины которой имеют координаты: (2) A(1,-1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5) A(2,0,3), B(1,1,1), C(4,6,6), D(-1,2,3) 2. Просуммировать выражение с -символом: 2.1 Al m mj n 2.2 A B l lm l n mp 2.4 l lj j 2.4 Cm ml 2.27 j m jm m n jn n 2.28 n m nm mm m nn n mn 3. Записать закон преобразования и указать ранг величины: 3.1 TlmBmC 3.2 A B 3.3 A B 3.4 B nl

11 Al lm 3.6 B x x x 2 A x x m A x x m 2 Bm x x l 2 T x x l 3.8 B l 4. Продифференцировать: 2 x x 4.1 Cxx, T x x x j, j, j x x x j 4.2 xx x 4.6 A sn x x, 4.19 C x m tg (xm) 4.20 x m A m exp x 5. Вычислить, используя какой-либо из способов представление в декартовой системе координат, в тензорной или векторной форме: 5.1 rot[ r,[ a, r]] 5.2 (a, r) 5.3 dv[ a, r] (a, r) 5.5 grad 3 r 5.4 rot[ a, r] [ a, r] 5.6 rot 3 r 5.7 dv ar 5.8 rot ar 5.9 dv r ln 2 (a, r) 5.10 grad r ln 2 (a, r) ln(a, r) 5.12 (b,)[ a, r] 5.13 (r,)[ r, rb] 5.14 dv r ln r в) Примеры вопросов к лекционным «диктантам» 1. Дать определение -символа Кронекера 2. дать определение тензора n-го ранга 3. записать правило сложения тензоров 4. записать правило умножения тензоров 5. дать определение псевдотензора 6. дать определение псевдотензора Леви Чивиты. 7. указать, как меняется ранг тензора при его дифференцировании по скалярному аргументу 8. указать, как меняется ранг тензора при его дифференцировании по координатам радиус-вектора m

12 9. записать оператор в декартовой системе координат 10. дать определение потока векторного поля 11.физический смысл дивергенции 12.сформулировать теорему Стокса для векторных полей 13.физический смысл ротора 14.вычислить dv grad 15.вычислить dv rota 16.вычислить rot grad a, b, c 17.записать в тензорном виде г) Примерные темы рефератов. 1. Системы криволинейных координат. 2. Тороидальная система координат. Лапласиан скалярной функции. 3. Трёхмерные параболические координаты. Лапласиан скалярной функции. 4. Эллипсоидальные координаты. Лапласиан скалярной функции. 5. Параболоидальные координаты. Лапласиан скалярной функции. 6. Бицилиндрические координаты. Лапласиан скалярной функции. 7. Биполярные координаты. Лапласиан скалярной функции. 8. Параболические координаты. Лапласиан скалярной функции. 9. Конические координаты. Лапласиан скалярной функции. 10. Координаты эллиптического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 11. Координаты параболического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 12. Тороидальная система координат. Градиент скалярной функции. 13. Трёхмерные параболические координаты. Градиент скалярной функции. 14. Эллипсоидальные координаты. Градиент скалярной функции. 15. Параболоидальные координаты. Градиент скалярной функции. 16. Бицилиндрические координаты. Градиент скалярной функции. 17. Биполярные координаты. Градиент скалярной функции. 18. Параболические координаты. Градиент скалярной функции. 19. Конические координаты. Градиент скалярной функции. 20. Координаты эллиптического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 21. Координаты параболического цилиндра. Лапласиан скалярной функции. 22. Группа перестановок. 23. Группа Матье. 24. Преобразования пространства. 25. Точечные группы симметрии. 26. Приводимые и неприводимые представления 27. Умножение операций симметрии 28. Генераторы точечных групп.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

I. Аннотация. Рабочая программа составлена на основании государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по курсу "Векторный и тензорный анализ" и учебного плана по специальности

Аннотация рабочей программы дисциплины (модуля) «Векторный и Тензорный анализ» по направлению 14.03.02 Ядерные физика и технологии (профиль Радиационная безопасность человека и окружающей среды) 1. Цели

Белорусский государственный университет ого факультета БГУ -;r.:~ат~~нi- В.М.Анищик ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА Учебная программа для специальности: 1-31 04 01 «Физика (по направлениям))) Факультет

2 СОСТАВИТЕЛИ: Н.Г. Абрашина-Жадаева - заведующая кафедрой высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук Российской Федерации,

1 Аннотация рабочей программы дисциплины Векторный и тензорный анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра

Методические материалы рабочей программы дисциплины «Векторный и тензорный анализ» Направление подготовки (специальность) 14.03.02 «Ядерные физика и технологии» Направленность (профиль) образовательной

Рабочая программа дисциплины "Векторный и тензорный анализ" предназначена для студентов 2 курса 3 семестр по специальности: 010801.65 - РАДИОФИЗИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Факультет естественных

Аннотация рабочей программы дисциплины Код дисциплины в учебном плане Название дисциплины Код и направление подготовки Профиль (и) подготовки 1. Цели и задачи дисциплины Б.Б.1.4 Векторный и тензорный анализ

1. Цели и задачи дисциплины: Цель: развитие логического мышления студентов, формирование общенаучных компетенций и навыков самостоятельного получения математических знаний, обучение основным математическим

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) Информатики, вычислительной

1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы Коды компетенций ОПК-2 Планируемые результаты освоения образовательной

3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ИГУ») Физический факультет

10201.65 Геофизические методы поисков и разведки месторождеий полезных 10202.65 Геофизические методы исследования скважин очная 1 2 1. Цели и задачи дисциплины: Целью преподавания теории поля для студентов

Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

Федеральное агентство по рыболовству Камчатский государственный технический университет Факультет информационных технологий кафедра высшей математики "УТВЕРЖДАЮ" Декан ФЭУ Рычка И.А. " " 007г. РАБОЧАЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА UT4305 Теория поля 050109 - Математика 2 кредита Уральск

Лекция 1 Глава V. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение) 6. Теорема об обратной функции Замечание разрешимости системы линейных уравнений Ax = y, m = n, m > n, m < n. Теорема

3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Авторы: кандидат физико-математических наук, профессор А.А. Гусак; кандидат физико-математических наук, доцент Г.М. Гусак; доцент Е.А. Бричикова Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор

Тензоры Тензоры объединяют целый ряд понятий, находящих применение в физике и математике, в частности, в аналитической геометрии Частными случаями тензоров являются векторы, линейные операторы, квадратичные

Содержание Используемые обозначения... 12 1. Числовые множества и операции с числами... 14 1.1. Числовые множества...............................14 1.2. Числовые промежутки...16 1.3. Признаки делимости...17

Трехмерная ортогональная группа 2 1 Рассмотрим весьма важный пример пространства R В заданной системе координат его точки отождествляются с их радиусами- векторами X, компоненты которых мы будем располагать

2 1. Цели и задачи дисциплины Математика является федеральной составляющей образовательного стандарта. Она является базовой дисциплиной, на которой основано изучение всех фундаментальных и технических

СЕМИНАРЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 1 1 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕ- РАТОРЫ Аннотация Обсуждаются криволинейные системы координат. Вводятся касательные и единичные вектора

Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Билет 1. 1. Криволинейные координаты в R 3. Базис. Кобазис (взаимный базис). 2. Закон сохранения полной энергии ρ de dt + div q = P D, P D = 1 2 привести к дивергентному виду i,j p ji (v i x j + v j x

2 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Кратные интегралы и ряды» призвана расширить имеющиеся у студентов знания в области математического анализа. Эти знания необходимы как при проведении теоретических

Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение высших учебных заведений Республики Беларусь по педагогическому образованию МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Типовая учебная программа

1. Цели и задачи дисциплины Линейная алгебра часть алгебры, изучающая векторы, векторные или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются

Программа дисциплины «Линейная алгебра» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к структуре и результатам освоения основных образовательных программ специалитета по профессиональному циклу по

Дисциплина: Математика Направление: педагогическое образование Квалификация (степень): бакалавр Объем трудоемкости 8 кредитов (288 часов, из них: 144 часа аудиторной нагрузки, 144 часа самостоятельной

«Управление в технических системах» семестр Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая

2 3 1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА В связи с возросшей ролью математики в современной науке и технике будущие экологи, инженеры нуждаются в серьезной математической подготовке. Изучение математики развивает логическое

Аннотация дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» Объем трудоемкости: 3 зачетных единицы (108 ч, из которых 73 ч- аудиторных занятий: 36 ч лекций, 36 ч практических занятий, 8 ч самостоятельной

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). 1. Кафедра Общие сведения 2. Направление подготовки 3. Дисциплина (модуль) 4. Количество этапов формирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Институт

Содержание 1. Пояснительная записка... 3 2. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине 4 3. Место дисциплины в структуре ООП.. 5 4. Объем дисциплины в зачетных единицах и академических часах

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

ЛА Свиркина кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, директор Центра дополнительных образовательных программ, Санкт-Петербургский государственный университет Методика преподавания

1 Аннотация рабочей программы дисциплины Математический практикум (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и аналитическая геометрия» является дисциплиной модуля «Математика» Б1.Б.6 базовой части ОПОП по направлению подготовки 02.03.03

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент логического анализа, численных

Þ.Ï. Ñàìàðèí, Ã.À. Ñàõàáèåâà, Â.À. Ñàõàáèåâ ÂÛÑØÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ДЛЯ ВУЗОВ Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè â êà åñòâå ó åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó åáíûõ çàâåäåíèé, îáó àþùèõñÿ

4. Субстанциональные производные по времени (Substantal tm dats) для тензора напряжений Субстанциональная или индивидуальная производная для скалярной или векторной функции, зависящей только от координат

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет

Билет 1 1. Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: I = (x 2 + y 2) ds, где S граница

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Мурманский арктический государственный университет» в г. Апатиты РАБОЧАЯ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВПО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе УО «ГГУ им. Ф. Скорины» И.В. Семченко Регистрационный УД- /р. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра дифференциальных

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Западно-Казахстанский государственный университет им.м.утемисова РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА Актуальные вопросы математического анализа 6М060100 Математика

7. Ковариантная формулировка уравнений Максвелла и динамические уравнения для потенциалов. Динамические (дифференциальные) уравнения для потенциалов электромагнитного поля. Подставим определение потенциалов

Аннотация рабочей программы дисциплины «Алгебра и геометрия» направления подготовки 01.03.02. «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической