В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !
Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.
Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:
В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.
Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.
Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.
Иными словами дробь - это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.
Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.
Например, 5 целых 3/4.
Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.
Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.
К дробям применимы самые разные арифметические операции.
Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.
Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей
Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20
Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю
Ответ: 15/20
Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.
Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3
Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4
Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:
Например:
На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.
Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.
В данном разделе рассматриваются действия с обыкновенными дробями. В случае, если необходимо провести математическую операцию со смешанными числами, то достаточно перевести смешанную дробь в необыкновенную, провести необходимые операции и, в случае необходимости, конечный результат снова представить в виде смешанного числа. Данная операция будет описана ниже.
Математическая операция. Сокращение дроби
Чтобы сократить дробь \frac{m}{n} нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя: НОД(m,n), после чего поделить числитель и знаменатель дроби на это число. Если НОД(m,n)=1, то дробь сократить нельзя. Пример: \frac{20}{80}=\frac{20:20}{80:20}=\frac{1}{4}
Обычно сразу найти наибольший общий делитель представляется сложной задачей и на практике дробь сокращают в несколько этапов, пошагово выделяя у числителя и знаменателя очевидные общие множители. \frac{140}{315}=\frac{28\cdot5}{63\cdot5}=\frac{4\cdot7\cdot5}{9\cdot7\cdot5}=\frac{4}{9}
Математическая операция. Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} к общему знаменателю нужно:
Тем самым мы преобразуем исходные дроби к дробям с одинаковыми знаменателями (которые будут равны числу M).
Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} имеют НОК(6,9) = 18. Тогда: \frac{5}{6}=\frac{5\cdot3}{6\cdot3}=\frac{15}{18};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot2}{9\cdot2}=\frac{8}{18} . Тем самым полученные дроби имеют общий знаменатель.
На практике нахождение наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей является не всегда простой задачей. Поэтому в качестве общего знаменателя выбирается число, равное произведению знаменателей исходных дробей. Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} приводятся к общему знаменателю N=6\cdot9:
\frac{5}{6}=\frac{5\cdot9}{6\cdot9}=\frac{45}{54};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot6}{9\cdot6}=\frac{24}{54}
Математическая операция. Сравнение дробей
Для сравнения двух обыкновенных дробей необходимо:
При сравнении дробей имеются несколько частных случаев:
Внимание! Правило 1 действует для любых дробей, если их общий знаменатель является положительным числом. Правила 2 и 3 действуют для положительных дробей (у которых и числитель и знаменатель больше нуля).
Математическая операция. Сложение и вычитание дробей
Чтобы сложить две дроби, нужно:
Пример: \frac{7}{9}+\frac{4}{7}=\frac{7\cdot7}{9\cdot7}+\frac{4\cdot9}{7\cdot9}=\frac{49}{63}+\frac{36}{63}=\frac{49+36}{63}=\frac{85}{63}
Чтобы из одной дроби вычесть другую, нужно:
Пример: \frac{4}{15}-\frac{3}{5}=\frac{4}{15}-\frac{3\cdot3}{5\cdot3}=\frac{4}{15}-\frac{9}{15}=\frac{4-9}{15}=\frac{-5}{15}=-\frac{5}{3\cdot5}=-\frac{1}{3}
Если исходные дроби изначально имеют общий знаменатель, то пункт 1 (приведение к общему знаменателю) пропускается.
Математическая операция. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь и обратно
Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, достаточно просуммировать целую часть смешанной дроби с дробной частью. Результатом такой суммы станет неправильная дробь, числитель которой равен сумме произведения целой части на знаменатель дроби с числителем смешанной дроби, а знаменатель останется прежним. Например, 2\frac{6}{11}=2+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11}{11}+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11+6}{11}=\frac{28}{11}
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число необходимо:
Например, дробь \frac{23}{4} . При делении 23:4=5,75, то есть целая часть 5, остаток от деления равен 23-5*4=3. Тогда смешанное число запишется: 5\frac{3}{4} . \frac{23}{4}=\frac{5\cdot4+3}{4}=5\frac{3}{4}
Математическая операция. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную
Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо:
Пример 1: 0.0089=\frac{89}{10000} (десятичных знаков 4, поэтому в знаменателе 10 4 =10000, поскольку целая часть равна 0, то в числителе записано число после десятичной точки без начальных нулей)
Пример 2: 31.0109=\frac{310109}{10000} (в числитель записываем число после десятичной точки со всеми нулями: "0109", а затем перед ним дописываем целую часть исходного числа "31")
Если целая часть десятичной дроби отлична от нуля, то её можно перевести в смешанную дробь. Для этого переводим число в обыкновенную дробь как если бы целая часть равнялась нулю (пункты 1 и 2), а целую часть просто переписываем перед дробью - это будет целая часть смешанного числа. Пример:
3.014=3\frac{14}{100}
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, достаточно просто произвести деление числителя на знаменатель. Иногда получится бесконечная десятичная дробь. В этом случае необходимо произвести округление до нужного десятичного знака. Примеры:
\frac{401}{5}=80.2;\quad \frac{2}{3}\approx0.6667
Математическая операция. Умножение и деление дробей
Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, надо перемножить числители и знаменатели дробей.
\frac{5}{9}\cdot\frac{7}{2}=\frac{5\cdot7}{9\cdot2}=\frac{35}{18}
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй (обратная дробь - дробь, в которой поменяны местами числитель и знаменатель).
\frac{5}{9}:\frac{7}{2}=\frac{5}{9}\cdot\frac{2}{7}=\frac{5\cdot2}{9\cdot7}=\frac{10}{63}
В случае, если одна из дробей является натуральным числом, то указанные выше правила умножения и деления остаются в силе. Просто нужно учитывать, что целое число это та же дробь, знаменатель которой равен единице. Например: 3:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}\cdot\frac{7}{3}=\frac{3\cdot7}{1\cdot3}=\frac{7}{1}=7
Сама столкнулась с тем, что дроби оказались достаточно сложной темой для моих детей.
Есть очень хорошая игра Дроби Никитина, она предназначена для дошкольников, но и в школе отлично поможет ребенку разобраться, что же все-таки это такое - дроби, их соотношение друг к другу..., причем все в доступной, наглядной и увлекательной форме.
Представляет она из себя двенадцать разноцветных кругов. Один круг - целый, а все остальные поделены на равные части - две, три.... (до двенадцати).
Ребнку предлагается выполнить несложные игровые задания, например:
Как называютсячасти кружков? или
Какая часть больше? (наложить меньшую на большую.)
Моим эта методика помогла. Вообще очень жалею, что все эти Никитинские развивашки не попались на глаза, когда дети были еще малышами.
Игру можно сделать самостоятельно или купить готовую, а узнать обо всем подробней - .
Решение дробей можно объяснить и на кубиках Lego. Он развивает не только воображение, но и творческое и логическое мышление, а значит, его можно использовать и как учебное пособие.
Алишия Зиммерман придумала использовать кубики известного конструктора для обучения детей основам математики.
И вот как на основе конструктора Lego можно объяснить дроби.
Практика показывает, что больше всего трудностей возникает при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями и при делении дробей.
Трудности возникают из-за кривых указаний в учебнике, как, например, разделить дробь на дробь.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби на знаменатель первой дроби.
Может ли ребенок в 4 классе это понять и не запутаться? НЕТ!
А нам учительница объяснила элементарно: нужно вторую дробь перевернуть, а потом умножить!
Тоже самое со сложением.
Чтобы сложить две дроби, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби, полученные числа сложить и записать в числитель. А в знаменатель нужно записать произведение знаменателей дробей. После этого полученную дробь можно (или нужно) сократить.
А проще так: Приведите дроби к общему знаменателю, который равен НОК знаменателей, а потом сложите числители.
Показать им на наглядном примере. Например, яблоко разрежьте на 4 части, на 8, на 12 сложите в целое, сложите несколько частей, отнимите. При этом на бумаге объясняйте с использованием правил. Правила сложения, вычитания. деления дробей, а так же как из неправильной дроби выделить целое - вс это учите в ходе манипуляций с яблоком. Не торопите детей, пусть внимательно с вашей помощью разберутся с дольками.
Научить решать дроби, в частности детей, это дело вполне обычно и не создаст много хлопот. Самое просто что можно сделать, это взять что-то целое, например мандарин, или любой другой плод, разделить его не части, и на примере показывать вычитания, сложение и другие операции с кусочками этого плода, что и будет дробями от целого. Все нужно объяснять и показывать, и завершающим фактором будет на математических примерах объяснять и решать задания совместно, пока ребенок сам не научиться делать эти задания.
На рисунке наглядно видно что чему соответствует и как смотрится дробь на реальном предмете, именно так и нужно объяснять.
Вам к этому вопросу, нужно подойти основательно, так как решение дробей в жизни пригодится. Нужно в этом вопросе, как говорится, с детьми быть на равных, и объяснять теорию на им доступном языке, например на языке торта или мандарина. Нужно делить торт на до и раздавать друзьям, после чего ребенок начнет вникать в суть решения дробей. Не начинайте с тяжелых дробей, начните с понятий 1/2, 1/3, 1/10. Сначала отнимайте и прибавляйте, а потом переходите на более сложные понятия как умножение и деление.
Проблемы с дробями бывают разные. Один ребнок не может понять, что одна вторая и пять десятых - это одно и то же, у других вызывает недоумение приведение различных дробей к одному знаменателю, у третьих - деление дробей. Поэтому и одного правила на все случаи жизни нет.
Главное в задачах на дроби - не упустить момент, когда понятное перестат таковым быть. Возвращаться к печке и повторять вс сначала, даже если оно кажется убого-примитивным. Например, вернуться к тому, что такое одна вторая .
Ребнок должен понять, что математические понятия - абстрактны, что одно и то же явление можно описать разными словами, выразить разными числами.
Мне нравится ответ, данный Mefody66. Добавлю из личной многолетней практики: научить решать задачи с дробями (а не решать дроби; решать дроби нельзя, равно как невозможно решать числа) довольно несложно, надо лишь быть рядом с ребенком, когда он только приступает к решению таких задач, вовремя корректировать его решение, дабы ошибки, которые неизбежны при любом обучении, не успели закрепиться в сознании ребенка. Переучивать сложнее, чем учить новое. И как можно больше решать таких задач. Довести до автоматизма решение таких заданий - вот это хорошо бы сделать. Умение решать задачи с обыкновенными дробями по важности в школьном курсе математики занимает такое же место, как и знание таблицы умножения. Так что надо не полениться и проследить, как ваш ребенок решает такие задачи.
И не очень опирайтесь при этом на учебник: учителя в школах объясняют именно так, как писал в своем ответе Mefody66. Лучше поговорить с учителем, выяснить, какими словами учитель объяснял эту тему. И использовать по возможности те же слова и фразы (чтобы не сильно запутывать ребенка)
Еще: наглядные примеры использовать советую лишь на начальном этапе объяснения, потом побыстрее абстрагироваться, переходить к алгоритму решения. Иначе наглядность может повредить при решении более сложных задач. Например, если надо сложить дроби со знаменателями 29 и 121 - какая тут наглядность поможет? Только запутает.
Дроби - одна из тех благодатных математических тем, где нет не приложимых к делу абстракций. В ход идти должны продукты (на тортах , как Хуаните Солис в Отчаянных домохозяйках - реально классный метод объяснений). Все эти числители-знаменатели - потом. Потом нужно, чтобы ребенок понял, что деление на дробь уже и не уменьшение вовсе, а умножение- не прибавка. Тут лучше показать, как делить на дробь в форме умножения на перевертыш. В игровой форме подать сокращение, если делятся на одно число, то делить, почти судоку получается, если заинтересовать. Главное вовремя заметить непонятки, потому что дальше будут темы покруче, которые понять не просто. Поэтому побольше практики решении дробей и все быстро наладится. Мне, гуманитарию наичистейшему, далкому от малейшей степени абстракции, дроби всегда были понятны, чем остальные темы.
Условимся считать, что под "действиями с дробями" на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь - это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10. Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!
Две дроби и называются равными, если .
Например, , так как
Равными также являются дроби и (так как ), и (так как ).
Очевидно, равными являются и дроби и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .
Это свойство называется основным свойством дроби.
Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то получим . Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:
Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.
Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда
.
В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель - взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.
Итак, сократить дробь - это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.
Пример 1. Сократить дробь
Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен - 5xy в виде суммы - 2xy - 3xy , получим
Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:
В результате
.
Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим
Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим
Итак, дроби приведены к общему знаменателю:
.
Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:
,
и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.
Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим
,
.
Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120 .
Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь
со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным
множителем. Значит 
.
Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби
на дополнительный
множитель 4, получим 
.
Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.
Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.
Пример 2. Найти общий знаменатель дробей и .
Решение. Общим знаменателем данных дробей является многочлен
,
так как он делится и на ,
и на .
Однако этот многочлен не единственный, который может быть общим знаменателем данных дробей.
Им может быть также многочлен 
,
и многочлен 
, и
многочлен 
и т.д.
Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный без
остатка. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем.
В нашем примере наименьший общий знаменатель равен . Получили:
;
.
Нам удалось привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Это произошло путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на , а числителя и знаменателя второй дроби - на . Многочлены и называются дополнительными множителями, соответственно для первой и для второй дроби.
Сложение дробей определяется следующим образом:
.
Например,
.
Если b = d , то
.
Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,
.
Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,
.
Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.
Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение
.
Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители.
Чтобы выразить часть в долях целого, нужно часть разделить на целое.
Задача 1. В классе 30 учащихся, отсутствуют четверо. Какая часть учащихся отсутствует?
Решение:
Ответ: в классе отсутствует учащихся.
Для решения задач, в которых требуется найти часть целого справедливо следующее правило:
Если часть целого выражена дробью, то чтобы найти эту часть, можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить на её числитель.
Задача 1. Было 600 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег истратили?
Решение: чтобы найти от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4 части, тем самым мы узнаем, сколько денег составляет одна четвёртая часть:
600: 4 = 150 (р.)
Ответ: истратили 150 рублей.
Задача 2. Было 1000 рублей, этой суммы истратили. Сколько денег было истрачено?
Решение: из условия задачи мы знаем, что 1000 рублей состоит из пяти равных частей. Сначала найдём сколько рублей составляет одна пятая часть от 1000, а затем узнаем сколько рублей составляют две пятых:
1) 1000: 5 = 200 (р.) - одна пятая часть.
2) 200 · 2 = 400 (р.) - две пятых части.
Эти два действия можно объединить: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).
Ответ: было истрачено 400 рублей.
Второй способ нахождения части целого:
Чтобы найти часть целого, можно умножить целое на дробь, выражающую эту часть целого.
Задача 3. По уставу кооператива, для правомочности отчётного собрания на нём должно присутствовать не менее членов организации. В кооперативе 120 членов. При каком составе может состояться отчётное собрание?
Решение:
Ответ: отчётное собрание может состояться при наличии 80 членов организации.
Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:
Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.
Задача 1. Потратили 50 рублей, это составило от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.
Решение: из описания задачи мы видим, что 50 рублей в 6 раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в 6 раз больше, чем 50 рублей. Чтобы найти эту сумму, надо 50 умножить на 6:
50 · 6 = 300 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 300 рублей.
Задача 2. Потратили 600 рублей, это составило от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.
Решение: будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны 600 рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):
1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)
Ответ: первоначальная сумма - 900 рублей.
Второй способ нахождения целого по его части:
Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.
Задача 3. Отрезок AB , равный 42 см, составляет длины отрезка CD . Найти длину отрезка CD .
Решение:
Ответ: длина отрезка CD 70 см.
Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал , после обеда - привезённых арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?
Решение: сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число 80. Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):
И так, мы узнали, что 80 арбузов составляет от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет , а затем сколько арбузов составляют (количество привезённых арбузов):
2) 80: 4 · 15 = 300 (арбузов)
Ответ: всего в магазин привезли 300 арбузов.
