С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным, а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
Решение первого неравенства путем сведения к квадратному
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
Решение же второго неравенства изобразим под осью.
Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:
1.3. Дополнительные веб-ресурсы
http://slovo. ws/urok/algebra -Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.
http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/
1.4. Сделай дома
Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010
Домашнее задание: 4.24; 4.28
Другие задания: 4.25; 4.26
Нужно скачать поурочный план по теме » Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств ?
С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
А сегодня рациональные неравенства не все могут решать. Точнее, решать могут не только лишь все. Мало кто может это делать.
Кличко
Этот урок будет жёстким. Настолько жёстким, что до конца его дойдут лишь Избранные. Поэтому перед началом чтения рекомендую убрать от экранов женщин, кошек, беременных детей и...
Да ладно, на самом деле всё просто. Допустим, вы освоили метод интервалов (если не освоили — рекомендую вернуться и прочитать) и научились решать неравенства вида $P\left(x \right) \gt 0$, где $P\left(x \right)$ — какой-нибудь многочлен или произведение многочленов.
Полагаю, что для вас не составит труда решить, например, вот такую дичь (кстати, попробуйте для разминки):
\[\begin{align} & \left(2{{x}^{2}}+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2{{x}^{2}}-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-{{x}^{4}} \right){{\left(x-5 \right)}^{6}}\le 0. \\ \end{align}\]
Теперь немного усложним задачу и рассмотрим не просто многочлены, а так называемые рациональные дроби вида:
где $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ — всё те же многочлены вида ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{0}}$, либо произведение таких многочленов.
Это и будет рациональное неравенство. Принципиальным моментом является наличие переменной $x$ в знаменателе. Например, вот это — рациональные неравенства:
\[\begin{align} & \frac{x-3}{x+7} \lt 0; \\ & \frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}\ge 0; \\ & \frac{3{{x}^{2}}+10x+3}{{{\left(3-x \right)}^{2}}\left(4-{{x}^{2}} \right)}\ge 0. \\ \end{align}\]
А это — не рациональное, а самое обычное неравенство, которое решается методом интервалов:
\[\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{5}\ge 0\]
Забегая вперёд, сразу скажу: существует как минимум два способа решения рациональных неравенств, но все они так или иначе сводятся к уже известному нам методу интервалов. Поэтому прежде чем разбирать эти способы, давайте вспомним старые факты, иначе толку от нового материла не будет никакого.
Важных фактов не бывает много. Действительно потребуются нам всего четыре.
Да, да: они будут преследовать нас на протяжении всей школьной программы математики. И в университете тоже. Этих формул довольно много, но нам потребуются лишь следующие:
\[\begin{align} & {{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left(a\pm b \right)}^{2}}; \\ & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right); \\ & {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right). \\ \end{align}\]
Обратите внимание на последние две формулы — это сумма и разность кубов (а не куб суммы или разности!). Их легко запомнить, если заметить, что знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, а во второй — противоположен знаку исходного выражения.
Это самые простые уравнения вида $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — это обычные числа, причём $a\ne 0$. Такое уравнение решается просто:
\[\begin{align} & ax+b=0; \\ & ax=-b; \\ & x=-\frac{b}{a}. \\ \end{align}\]
Отмечу, что мы имеем право делить на коэффициент $a$, ведь $a\ne 0$. Это требование вполне логично, поскольку при $a=0$ мы получим вот что:
Во-первых, в этом уравнении нет переменной $x$. Это, вообще говоря, не должно нас смущать (такое случается, скажем, в геометрии, причём довольно часто), но всё же перед нами уже не линейное уравнение.
Во-вторых, решение этого уравнения зависит исключительно от коэффициента $b$. Если $b$ — тоже ноль, то наше уравнение имеет вид $0=0$. Данное равенство верно всегда; значит, $x$ — любое число (обычно это записывается так: $x\in \mathbb{R}$). Если же коэффициент $b$ не равен нулю, то равенство $b=0$ никогда не выполняется, т.е. ответов нет (записывается $x\in \varnothing $ и читается «множество решений пусто»).
Чтобы избежать всех этих сложностей, просто полагают $a\ne 0$, что нисколько не ограничивает нас в дальнейших размышлениях.
Напомню, что квадратным уравнением называется вот это:
Здесь слева многочлен второй степени, причём снова $a\ne 0$ (в противном случае вместо квадратного уравнения мы получим линейное). Решаются такие уравнения через дискриминант:
Сами корни считаются по всем известной формуле:
\[{{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\]
Отсюда, кстати, и ограничения на дискриминант. Ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует. По поводу корней у многих учеников жуткая каша в голове, поэтому я специально записал целый урок: что такое корень в алгебре и как его считать — очень рекомендую почитать .:)
Всё, что было написано выше, вы и так знаете, если изучали метод интервалов. А вот то, что мы разберём сейчас, не имеет аналогов в прошлом — это совершенно новый факт.
Определение. Рациональная дробь — это выражение вида
\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)}\]
где $P\left(x \right)$ и $Q\left(x \right)$ — многочлены.
Очевидно, что из такой дроби легко получить неравенство — достаточно лишь приписать знак «больше» или «меньше» справа. И чуть дальше мы обнаружим, что решать такие задачи — одно удовольствие, там всё очень просто.
Проблемы начинаются тогда, когда в одном выражении находятся несколько таких дробей. Их приходится приводить к общему знаменателю — и именно в этот момент допускается большое количество обидных ошибок.
Поэтому для успешного решения рациональных уравнений необходимо твёрдо усвоить два навыка:
Как разложить многочлен на множители? Очень просто. Пусть у нас есть многочлена вида
Приравниваем его к нулю. Получим уравнение $n$-й степени:
\[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0\]
Допустим, мы решили это уравнение и получили корни ${{x}_{1}},\ ...,\ {{x}_{n}}$ (не пугайтесь: в большинстве случаев этих корней будет не более двух). В таком случае наш исходный многочлен можно переписать так:
\[\begin{align} & P\left(x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}= \\ & ={{a}_{n}}\left(x-{{x}_{1}} \right)\cdot \left(x-{{x}_{2}} \right)\cdot ...\cdot \left(x-{{x}_{n}} \right) \end{align}\]
Вот и всё! Обратите внимание: старший коэффициент ${{a}_{n}}$ никуда не исчез — он будет отдельным множителем перед скобками, и при необходимости его можно внести в любую из этих скобок (практика показывает, что при ${{a}_{n}}\ne \pm 1$ среди корней почти всегда есть дроби).
Задача. Упростите выражение:
\[\frac{{{x}^{2}}+x-20}{x-4}-\frac{2{{x}^{2}}-5x+3}{2x-3}-\frac{4-8x-5{{x}^{2}}}{x+2}\]
Решение. Для начала посмотрим на знаменатели: все они — линейные двучлены, и раскладывать на множители тут нечего. Поэтому давайте разложим на множители числители:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2{{x}^{2}}-5x+3=2\left(x-\frac{3}{2} \right)\left(x-1 \right)=\left(2x-3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5{{x}^{2}}=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac{2}{5} \right)=\left(x+2 \right)\left(2-5x \right). \\\end{align}\]
Обратите внимание: во втором многочлене старший коэффициент «2» в полном соответствии с нашей схемой сначала оказался перед скобкой, а затем был внесён в первую скобку, поскольку там вылезла дробь.
То же самое произошло и в третьем многочлене, только там ещё и порядок слагаемых перепутан. Однако коэффициент «−5» в итоге оказался внесён во вторую скобку (помните: вносить множитель можно в одну и только в одну скобку!), что избавило нас от неудобств, связанных с дробными корнями.
Что касается первого многочлена, там всё просто: его корни ищутся либо стандартно через дискриминант, либо по теореме Виета.
Вернёмся к исходному выражению и перепишем его с разложенными на множители числителями:
\[\begin{matrix} \frac{\left(x+5 \right)\left(x-4 \right)}{x-4}-\frac{\left(2x-3 \right)\left(x-1 \right)}{2x-3}-\frac{\left(x+2 \right)\left(2-5x \right)}{x+2}= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end{matrix}\]
Ответ: $5x+4$.
Как видите, ничего сложного. Немного математики 7—8 класса — и всё. Смысл всех преобразований в том и состоит, чтобы получить из сложного и страшного выражения что-нибудь простое, с чем легко работать.
Однако так будет не всегда. Поэтому сейчас мы рассмотрим более серьёзную задачу.
Но сначала разберёмся с тем, как привести две дроби к общему знаменателю. Алгоритм предельно прост:
Возможно, этот алгоритм вам покажется просто текстом, в котором «много букв». Поэтому разберём всё на конкретном примере.
Задача. Упростите выражение:
\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]
Решение. Такие объёмные задачи лучше решать по частям. Выпишем то, что стоит в первой скобке:
\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2}\]
В отличие от предыдущей задачи, тут со знаменателями всё не так просто. Разложим на множители каждый из них.
Квадратный трёхчлен ${{x}^{2}}+2x+4$ на множители не раскладывается, поскольку уравнение ${{x}^{2}}+2x+4=0$ не имеет корней (дискриминант отрицательный). Оставляем его без изменений.
Второй знаменатель — кубический многочлен ${{x}^{3}}-8$ — при внимательном рассмотрении является разностью кубов и легко раскладывается по формулам сокращённого умножения:
\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)\]
Больше ничего разложить на множители нельзя, поскольку в первой скобке стоит линейный двучлен, а во второй — уже знакомая нам конструкция, которая не имеет действительных корней.
Наконец, третий знаменатель представляет собой линейный двучлен, который нельзя разложить. Таким образом, наше уравнение примет вид:
\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}\]
Совершенно очевидно, что общим знаменателем будет именно $\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)$, и для приведения к нему всех дробей необходимо первую дробь домножить на $\left(x-2 \right)$, а последнюю — на $\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)$. Затем останется лишь привести подобные:
\[\begin{matrix} \frac{x\cdot \left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1\cdot \left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{x\cdot \left(x-2 \right)+\left({{x}^{2}}+8 \right)-\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}. \\ \end{matrix}\]
Обратите внимание на вторую строчку: когда знаменатель уже общий, т.е. вместо трёх отдельных дробей мы написали одну большую, не стоит сразу избавляться от скобок. Лучше напишите лишнюю строчку и отметьте, что, скажем, перед третьей дробью стоял минус — и он никуда не денется, а будет «висеть» в числителе перед скобкой. Это избавит вас от множества ошибок.
Ну и в последней строчке полезно разложить на множители числитель. Тем более что это точный квадрат, и нам на помощь вновь приходят формулы сокращённого умножения. Имеем:
\[\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]
Теперь точно так же разберёмся со второй скобкой. Тут я просто напишу цепочку равенств:
\[\begin{matrix} \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}= \\ =\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}+\frac{2}{x-2}= \\ =\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}+\frac{2\cdot \left(x+2 \right)}{\left(x-2 \right)\cdot \left(x+2 \right)}= \\ =\frac{{{x}^{2}}+2\cdot \left(x+2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}. \\ \end{matrix}\]
Возвращаемся к исходной задачи и смотрим на произведение:
\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]
Ответ: \[\frac{1}{x+2}\].
Смысл этой задачи такой же, как и у предыдущей: показать, насколько могут упрощаться рациональные выражения, если подойти к их преобразованию с умом.
И вот теперь, когда вы всё это знаете, давайте перейдём к основной теме сегодняшнего урока — решению дробно-рациональных неравенств. Тем более что после такой подготовки сами неравенства вы будете щёлкать как орешки.:)
Существует как минимум два подхода к решению рациональных неравенств. Сейчас мы рассмотрим один из них — тот, который является общепринятым в школьном курсе математики.
Но для начала отметим важную деталь. Все неравенства делятся на два типа:
Неравенства второго типа легко сводятся к первому, а также уравнению:
Это небольшое «дополнение» $f\left(x \right)=0$ приводит к такой неприятной штуке как закрашенные точки — мы познакомились с ними ещё в методе интервалов. В остальном никаких отличий между строгими и нестрогими неравенствами нет, поэтому давайте разберём универсальный алгоритм:
- Собрать все ненулевые элементы с одной стороны от знака неравенства. Например, слева;
- Привести все дроби к общему знаменателю (если таких дробей окажется несколько), привести подобные. Затем по возможности разложить на числитель и знаменатель на множители. Так или иначе мы получим неравенство вида $\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)}\vee 0$, где «галочка» — знак неравенства.
- Приравниваем числитель к нулю: $P\left(x \right)=0$. Решаем это уравнение и получаем корни ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ... Затем требуем, чтобы знаменатель был не равен нулю: $Q\left(x \right)\ne 0$. Разумеется, по сути приходится решить уравнение $Q\left(x \right)=0$, и мы получим корни $x_{1}^{*}$, $x_{2}^{*}$, $x_{3}^{*}$, ... (в настоящих задачах таких корней вряд ли будет больше трёх).
- Отмечаем все эти корни (и со звёздочками, и без) на единой числовой прямой, причём корни без звёзд закрашены, а со звёздами — выколоты.
- Расставляем знаки «плюс» и «минус», выбираем те интервалы, которые нам нужны. Если неравенство имеет вид $f\left(x \right) \gt 0$, то в ответ пойдут интервалы, отмеченные «плюсом». Если $f\left(x \right) \lt 0$, то смотрим на интервалы с «минусами».
Практика показывает, что наибольшие трудности вызывают пункты 2 и 4 — грамотные преобразования и правильная расстановка чисел в порядке возрастания. Ну, и на последнем шаге будьте предельно внимательны: мы всегда расставляем знаки, опираясь на самое последнее неравенство, записанное перед переходом к уравнениям . Это универсальное правило, унаследованное ещё от метода интервалов.
Итак, схема есть. Давайте потренируемся.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x-3}{x+7} \lt 0\]
Решение. Перед нами строгое неравенство вида $f\left(x \right) \lt 0$. Очевидно, пункты 1 и 2 из нашей схемы уже выполнены: все элементы неравенства собраны слева, к общему знаменателю ничего приводить не надо. Поэтому переходим сразу к третьему пункту.
Приравниваем к нулю числитель:
\[\begin{align} & x-3=0; \\ & x=3. \end{align}\]
И знаменатель:
\[\begin{align} & x+7=0; \\ & {{x}^{*}}=-7. \\ \end{align}\]
В этом месте многие залипают, ведь по идее нужно записать $x+7\ne 0$, как того требует ОДЗ (на ноль делить нельзя, вот это вот всё). Но ведь в дальнейшем мы будем выкалывать точки, пришедшие из знаменателя, поэтому лишний раз усложнять свои выкладки не стоит — пишите везде знак равенства и не парьтесь. Никто за это баллы не снизит.:)
Четвёртый пункт. Отмечаем полученные корни на числовой прямой:
Все точки выколоты, поскольку неравенство — строгое
Обратите внимание: все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое . И тут уже неважно: из числителя эти точки пришли или из знаменателя.
Ну и смотрим знаки. Возьмём любое число ${{x}_{0}} \gt 3$. Например, ${{x}_{0}}=100$ (но с тем же успехом можно было взять ${{x}_{0}}=3,1$ или ${{x}_{0}}=1\ 000\ 000$). Получим:
Итак, справа от всех корней у нас положительная область. А при переходе через каждый корень знак меняется (так будет не всегда, но об это позже). Поэтому переходим к пятому пункту: расставляем знаки и выбираем нужное:
Возвращаемся к последнему неравенству, которое было перед решением уравнений. Собственно, оно совпадает с исходным, ведь никаких преобразований в этой задаче мы не выполняли.
Поскольку требуется решить неравенство вида $f\left(x \right) \lt 0$, я заштриховал интервал $x\in \left(-7;3 \right)$ — он единственный отмечен знаком «минус». Это и есть ответ.
Ответ: $x\in \left(-7;3 \right)$
Вот и всё! Разве сложно? Нет, не сложно. Правда, и задачка была лёгкая. Сейчас чуть усложним миссию и рассмотрим более «навороченное» неравенство. При его решении я уже не буду давать столь подробных выкладок — просто обозначу ключевые моменты. В общим, оформим его так, как оформляли бы на самостоятельной работе или экзамене.:)
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}\ge 0\]
Решение. Это нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\ge 0$. Все ненулевые элементы собраны слева, разных знаменателей нет. Переходим к уравнениям.
Числитель:
\[\begin{align} & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow {{x}_{1}}=-\frac{1}{7}; \\ & 11x+2=0\Rightarrow {{x}_{2}}=-\frac{2}{11}. \\ \end{align}\]
Знаменатель:
\[\begin{align} & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & {{x}^{*}}=\frac{4}{13}. \\ \end{align}\]
Не знаю, что за извращенец составлял эту задачу, но корни получились не очень: их будет трудно расставить на числовой прямой. И если с корнем ${{x}^{*}}={4}/{13}\;$ всё более-менее ясно (это единственное положительное число — оно будет справа), то ${{x}_{1}}=-{1}/{7}\;$ и ${{x}_{2}}=-{2}/{11}\;$ требуют дополнительного исследования: какое из них больше?
Выяснить это можно, например, так:
\[{{x}_{1}}=-\frac{1}{7}=-\frac{2}{14} \gt -\frac{2}{11}={{x}_{2}}\]
Надеюсь, не нужно объяснять, почему числовая дробь $-{2}/{14}\; \gt -{2}/{11}\;$? Если нужно, рекомендую вспомнить, как выполнять действия с дробями .
А мы отмечаем все три корня на числовой прямой:
Точки из числителя закрашены, из знаменателя — выколоты
Расставляем знаки. Например, можно взять ${{x}_{0}}=1$ и выяснить знак в этой точке:
\[\begin{align} & f\left(x \right)=\frac{\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)}{13x-4}; \\ & f\left(1 \right)=\frac{\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right)}{13\cdot 1-4}=\frac{8\cdot 13}{9} \gt 0. \\\end{align}\]
Последним неравенством перед уравнениями было $f\left(x \right)\ge 0$, поэтому нас интересует знак «плюс».
Получили два множества: один — обычный отрезок, а другой — открытый луч на числовой прямой.
Ответ: $x\in \left[ -\frac{2}{11};-\frac{1}{7} \right]\bigcup \left(\frac{4}{13};+\infty \right)$
Важное замечание по поводу чисел, которые мы подставляем для выяснения знака на самом правом интервале. Совершенно необязательно подставлять число, близкое к самому правому корню. Можно брать миллиарды или даже «плюс-бесконечность» — в этом случае знак многочлена стоящего в скобке, числителе или знаменателе, определяется исключительно знаком старшего коэффициента.
Давайте ещё раз посмотрим на функцию $f\left(x \right)$ из последнего неравенства:
В её записи присутствуют три многочлена:
\[\begin{align} & {{P}_{1}}\left(x \right)=7x+1; \\ & {{P}_{2}}\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end{align}\]
Все они являются линейными двучленами, и у всех старшие коэффициенты (числа 7, 11 и 13) положительны. Следовательно, при подстановке очень больших чисел сами многочлены тоже будут положительны.:)
Это правило может показаться чрезмерно сложным, но только поначалу, когда мы разбираем совсем лёгкие задачи. В серьёзных неравенствах подстановка «плюс-бесконечности» позволит нам выяснить знаки намного быстрее, нежели стандартное ${{x}_{0}}=100$.
Мы очень скоро столкнёмся с такими задачами. Но сначала разберём альтернативный способ решения дробно-рациональных неравенств.
Этот приём мне подсказала одна из моих учениц. Сам я никогда им не пользовался, однако практика показала, что многим ученикам действительно удобнее решать неравенства именно таким способом.
Итак, исходные данные те же. Нужно решить дробно-рациональное неравенство:
\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)} \gt 0\]
Давайте подумаем: чем многочлен $Q\left(x \right)$ «хуже» многочлена $P\left(x \right)$? Из-за чего нам приходится рассматривать отдельные группы корней (со звёздочкой и без), думать о выколотых точках и т.д.? Всё просто: у дроби есть область определения, согласной которой дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель отличен от нуля.
В остальном никаких отличий между числителем и знаменателем не прослеживается: мы так же приравниваем его к нулю, ищем корни, затем отмечаем их на числовой прямой. Так почему бы не заменить дробную черту (фактически — знак деления) обычным умножением, а все требования ОДЗ прописать в виде отдельного неравенства? Например, так:
\[\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)} \gt 0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & P\left(x \right)\cdot Q\left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Обратите внимание: такой подход позволит свести задачу к методу интервалов, но при этом нисколько не усложнит решение. Ведь всё равно мы будем приравнивать многочлен $Q\left(x \right)$ к нулю.
Давайте посмотрим, как это работает на реальных задачах.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x+8}{x-11} \gt 0\]
Решение. Итак, переходим к методу интервалов:
\[\frac{x+8}{x-11} \gt 0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0, \\ & x-11\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Первое неравенство решается элементарно. Просто приравниваем каждую скобку к нулю:
\[\begin{align} & x+8=0\Rightarrow {{x}_{1}}=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow {{x}_{2}}=11. \\ \end{align}\]
Со вторым неравенством тоже всё просто:
Отмечаем точки ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$ на числовой прямой. Все они выколоты, поскольку неравенство строгое:
Правая точка оказалась выколотой дважды. Это нормально.Обратите внимание на точку $x=11$. Получается, что она «дважды выколота»: с одной стороны, мы выкалываем её из-за строгости неравенства, с другой — из-за дополнительного требования ОДЗ.
В любом случае, это будет просто выколотая точка. Поэтому расставляем знаки для неравенства $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ — последнего, которое мы видели перед тем, как начали решать уравнения:
Нас интересуют положительные области, поскольку мы решаем неравенство вида $f\left(x \right) \gt 0$ — их и закрасим. Осталось лишь записать ответ.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$
На примере этого решения хотел бы предостеречь вас от распространённой ошибки среди начинающих учеников. А именно: никогда не раскрывайте скобки в неравенствах! Наоборот, старайтесь всё разложить на множители — это упростит решение и избавит вас от множества проблем.
Теперь попробуем кое-что посложнее.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)}{15x+33}\le 0\]
Решение. Это нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\le 0$, поэтому здесь нужно внимательно следить за закрашенными точками.
Переходим к методу интервалов:
\[\left\{ \begin{align} & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Переходим к уравнению:
\[\begin{align} & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow {{x}_{1}}=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow {{x}_{2}}=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow {{x}_{3}}=-2,2. \\ \end{align}\]
Учитываем дополнительное требование:
Отмечаем все полученные корни на числовой прямой:
Если точка одновременно и выколота, и закрашена, она считается выколотойОпять две точки «накладываются» друг на друга — это нормально, так будет всегда. Важно лишь понимать, что точка, отмеченная одновременно выколотой и закрашенной, на самом деле является выколотой. Т.е. «выкалывание» — более сильное действие, чем «закрашивание».
Это абсолютно логично, ведь выкалыванием мы отмечаем точки, которые влияют на знак функции, но сами не участвуют в ответе. И если в какой-то момент число перестаёт нас устраивать (например, не попадает в ОДЗ), мы вычёркиваем его из рассмотрения до самого конца задачи.
В общем, хватит философствовать. Расставляем знаки и закрашиваем те интервалы, которые отмечены знаком «минус»:
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.
И снова хотел обратить ваше внимание вот на это уравнение:
\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]
Ещё раз: никогда не раскрывайте скобки в таких уравнениях! Вы только усложните себе задачу. Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение просто «разваливается» на несколько более мелких, которые мы и решали в предыдущей задаче.
Из предыдущих задач легко заметить, что наибольшую сложность представляют именно нестрогие неравенства, потому как в них приходится следить за закрашенными точками.
Но в мире есть ещё большее зло — это кратные корни в неравенствах. Тут уже приходится следить не за какими-то там закрашенными точками — тут знак неравенства может внезапно не поменяться при переходе через эти самые точки.
Ничего подобного мы в этом уроке ещё не рассматривали (хотя аналогичная проблема часто встречалась в методе интервалов). Поэтому введём новое определение:
Определение. Корень уравнения ${{\left(x-a \right)}^{n}}=0$ равен $x=a$ и называется корнем $n$-й кратности.
Собственно, нас не особо интересует точное значение кратности. Важно лишь то, чётным или нечётным является это самое число $n$. Потому что:
Частным случаем корня нечётной кратности являются все предыдущие задачи, рассмотренные в этом уроке: там везде кратность равна единице.
И ещё. Перед тем, как мы начнём решать задачи, хотел бы обратить ваше внимание на одну тонкость, которая покажется очевидной для опытного ученика, но вгоняет в ступор многих начинающих. А именно:
Корень кратности $n$ возникает только в том случае, когда в эту степень возводится всё выражение: ${{\left(x-a \right)}^{n}}$, а никак не $\left({{x}^{n}}-a \right)$.
Ещё раз: скобка ${{\left(x-a \right)}^{n}}$ даёт нам корень $x=a$ кратности $n$, а вот скобка $\left({{x}^{n}}-a \right)$ или, как часто бывает, $(a-{{x}^{n}})$ даёт нам корень (или два корня, если $n$ — чётное) первой кратности вне зависимости от того, чему равно $n$.
Сравните:
\[{{\left(x-3 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]
Здесь всё чётко: вся скобка возводилась в пятую степень, поэтому на выходе мы получили корень пятой степени. А теперь:
\[\left({{x}^{2}}-4 \right)=0\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=\pm 2\]
Мы получили два корня, но оба они имеют первую кратность. Или вот ещё:
\[\left({{x}^{10}}-1024 \right)=0\Rightarrow {{x}^{10}}=1024\Rightarrow x=\pm 2\]
И пусть вас не смущает десятая степень. Главное, что 10 — это чётное число, поэтому на выходе имеем два корня, и оба они вновь имеют первую кратность.
В общем будьте внимательны: кратность возникает только тогда, когда степень относится ко всей скобке, а не только к переменной .
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{{{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)}{{{\left(x+7 \right)}^{5}}}\ge 0\]
Решение. Попробуем решить её альтернативным способом — через переход от частного к произведению:
\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)\cdot {{\left(x+7 \right)}^{5}}\ge 0, \\ & {{\left(x+7 \right)}^{5}}\ne 0. \\ \end{align} \right.\]
Разбираемся с первым неравенством методом интервалов:
\[\begin{align} & {{x}^{2}}{{\left(6-x \right)}^{3}}\left(x+4 \right)\cdot {{\left(x+7 \right)}^{5}}=0; \\ & {{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & {{\left(6-x \right)}^{3}}=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & {{\left(x+7 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end{align}\]
Дополнительно решаем второе неравенство. На самом деле мы уже решали его, но чтобы проверяющие не придрались к решению, лучше решить его ещё раз:
\[{{\left(x+7 \right)}^{5}}\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]
Обратите внимание: никаких кратностей в последнем неравенстве нет. В самом деле: какая разница, сколько раз вычёркивать точку $x=-7$ на числовой прямой? Хоть один раз, хоть пять — результат будет один и тот же: выколотая точка.
Отметим всё, что мы получили, на числовой прямой:
Как я и говорил, точка $x=-7$ в итоге будет выколота. Кратности расставлены исходя из решения неравенства методом интервалов.
Осталось расставить знаки:
Поскольку точка $x=0$ является корнем чётной кратности, знак при переходе через неё не меняется. Остальные точки имеют нечётную кратность, и с ними всё просто.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$
Ещё раз обратите внимание на $x=0$. Из-за чётной кратности возникает интересный эффект: слева от неё всё закрашено, справа — тоже, да и сама точка вполне себе закрашена.
Как следствие, её не нужно обособлять при записи ответа. Т.е. не надо писать что-нибудь в духе $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (хотя формально такой ответ тоже будет правильным). Вместо этого сразу пишем $x\in \left[ -4;6 \right]$.
Такие эффекты возможны только при корнях чётной кратности. И в следующей задаче мы столкнёмся с обратным «проявлением» этого эффекта. Готовы?
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{{{\left(x-3 \right)}^{4}}\left(x-4 \right)}{{{\left(x-1 \right)}^{2}}\left(7x-10-{{x}^{2}} \right)}\ge 0\]
Решение. В этот раз пойдём по стандартной схеме. Приравниваем к нулю числитель:
\[\begin{align} & {{\left(x-3 \right)}^{4}}\left(x-4 \right)=0; \\ & {{\left(x-3 \right)}^{4}}=0\Rightarrow {{x}_{1}}=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow {{x}_{2}}=4. \\ \end{align}\]
И знаменатель:
\[\begin{align} & {{\left(x-1 \right)}^{2}}\left(7x-10-{{x}^{2}} \right)=0; \\ & {{\left(x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x_{1}^{*}=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-{{x}^{2}}=0\Rightarrow x_{2}^{*}=5;\ x_{3}^{*}=2. \\ \end{align}\]
Поскольку мы решаем нестрогое неравенство вида $f\left(x \right)\ge 0$, корни из знаменателя (которые со звёздочками) будут выколоты, а из числителя — закрашены.
Расставляем знаки и штрихуем области, отмеченные «плюсом»:
Точка $x=3$ — изолированная. Это часть ответа
Перед тем, как записать окончательный ответ, внимательно посмотрим на картинку:
- Точка $x=1$ имеет чётную кратность, но сама выколота. Следовательно, её придётся обособить в ответе: нужно записать $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а никак не $x\in \left(-\infty ;2 \right)$.
- Точка $x=3$ тоже имеет чётную кратность и при этом закрашена. Расстановка знаков свидетельствует, что сама точка нас устраивает, но шаг влево-вправо — и мы попадаем в область, которая нас точно не устраивает. Такие точки называются изолированными и записываются в виде $x\in \left\{ 3 \right\}$.
Объединяем все полученные кусочки в общее множество и записываем ответ.
Ответ: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\{ 3 \right\}\bigcup \left[ 4;5 \right)$
Определение. Решить неравенство — значит найти множество всех его решений , либо доказать, что это множество пусто.
Казалось бы: что тут может быть непонятны? Да в том-то и дело, что множества можно задавать по-разному. Давайте ещё раз выпишем ответ к последней задаче:
Читаем буквально, что написано. Переменная «икс» принадлежит некому множеству, которое получается объединением (значок «U») четырёх отдельных множеств:
Интерес здесь представляет третий пункт. В отличие от интервалов, которые задают бесконечные наборы чисел и лишь обозначают лишь границы этих наборов, множество $\left\{ 3 \right\}$ задаёт строго одно число путём перечисления.
Чтобы понять, что мы именно перечисляем конкретные числа, входящие в множество (а не задаём границы или что-либо ещё), используются фигурные скобки. Например, запись $\left\{ 1;2 \right\}$ означает именно «множество, состоящее из двух чисел: 1 и 2», но никак не отрезок от 1 до 2. Ни в коем случае не путайте эти понятия.
Ну и в заключение сегодняшнего урока немного жести от Павла Бердова.:)
Внимательные ученики уже наверняка задались вопросом: а что будет, если в числителе и знаменателе обнаружатся одинаковые корни? Так вот, работает следующее правило:
Кратности одинаковых корней складываются. Всегда. Даже если этот корень встречается и в числителе, и в знаменателе.
Иногда лучше решать, чем говорить. Поэтому решаем следующую задачу:
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{{{x}^{2}}+6x+8}{\left({{x}^{2}}-16 \right)\left({{x}^{2}}+9x+14 \right)}\ge 0\]
\[\begin{align} & {{x}^{2}}+6x+8=0 \\ & {{x}_{1}}=-2;\ {{x}_{2}}=-4. \\ \end{align}\]
Пока ничего особенного. Приравниваем к нулю знаменатель:
\[\begin{align} & \left({{x}^{2}}-16 \right)\left({{x}^{2}}+9x+14 \right)=0 \\ & {{x}^{2}}-16=0\Rightarrow x_{1}^{*}=4;\ x_{2}^{*}=-4; \\ & {{x}^{2}}+9x+14=0\Rightarrow x_{3}^{*}=-7;\ x_{4}^{*}=-2. \\ \end{align}\]
Обнаружены два одинаковых корня: ${{x}_{1}}=-2$ и $x_{4}^{*}=-2$. Оба имеют первую кратность. Следовательно заменяем их одним корнем $x_{4}^{*}=-2$, но уже с кратностью 1+1=2.
Кроме того, есть ещё одинаковые корни: ${{x}_{2}}=-4$ и $x_{2}^{*}=-4$. Они тоже первой кратности, поэтому останется лишь $x_{2}^{*}=-4$ кратности 1+1=2.
Обратите внимание: в обоих случаях мы оставили именно «выколотый» корень, а «закрашенный» выкинули из рассмотрения. Потому что ещё в начале урока договорились: если точка одновременно и выколотая, и закрашенная, то мы всё равно считаем её выколотой.
В итоге у нас есть четыре корня, причём все оказались выколоты:
\[\begin{align} & x_{1}^{*}=4; \\ & x_{2}^{*}=-4\left(2k \right); \\ & x_{3}^{*}=-7; \\ & x_{4}^{*}=-2\left(2k \right). \\ \end{align}\]
Отмечаем их на числовой прямой с учётом кратности:
Расставляем знаки и закрашиваем интересующие нас области:
Всё. Никаких изолированных точек и прочих извращений. Можно записывать ответ.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.
Иногда встречается ещё более неприятная ситуация: уравнение, имеющее кратные корни, само возводится в некоторую степень. При этом меняются кратности всех исходных корней.
Такое встречается редко, поэтому большинство учеников не имеют опыта решения подобных задач. А правило здесь следующее:
При возведении уравнения в степень $n$ кратности всех его корней тоже увеличиваются в $n$ раз.
Другими словами, возведение в степень приводит к умножению кратностей на эту же степень. Рассмотрим это правило на примере:
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x{{\left({{x}^{2}}-6x+9 \right)}^{2}}{{\left(x-4 \right)}^{5}}}{{{\left(2-x \right)}^{3}}{{\left(x-1 \right)}^{2}}}\le 0\]
Решение. Приравниваем к нулю числитель:
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. С первым множителем всё понятно: $x=0$. А вот дальше начинаются проблемы:
\[\begin{align} & {{\left({{x}^{2}}-6x+9 \right)}^{2}}=0; \\ & {{x}^{2}}-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D={{6}^{3}}-4\cdot 9=0 \\ & {{x}_{2}}=3\left(2k \right)\left(2k \right) \\ & {{x}_{2}}=3\left(4k \right) \\ \end{align}\]
Как видим, уравнение ${{x}^{2}}-6x+9=0$ имеет единственный корень второй кратности: $x=3$. Затем всё это уравнение возводится в квадрат. Следовательно, кратность корня составит $2\cdot 2=4$, что мы в итоге и записали.
\[{{\left(x-4 \right)}^{5}}=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]
Со знаменателем тоже никаких проблем:
\[\begin{align} & {{\left(2-x \right)}^{3}}{{\left(x-1 \right)}^{2}}=0; \\ & {{\left(2-x \right)}^{3}}=0\Rightarrow x_{1}^{*}=2\left(3k \right); \\ & {{\left(x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow x_{2}^{*}=1\left(2k \right). \\ \end{align}\]
В сумме у нас получилось пять точек: две выколотых и три закрашенных. Совпадающих корней в числителе и знаменателе не наблюдается, поэтому просто отмечаем их на числовой прямой:
Расставляем знаки с учётом кратностей и закрашиваем интересующие нас интервалы:
Снова одна изолированная точка и одна выколотая
Из-за корней чётной кратности вновь получили парочку «нестандартных» элементов. Это $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, а никак не $x\in \left[ 0;2 \right)$, а также изолированная точка $x\in \left\{ 3 \right\}$.
Ответ. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\{ 3 \right\}\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$
Как видите, всё не так сложно. Главное — внимательность. Последний раздел этого урока посвящён преобразованиям — тем самым, которые мы обсуждали в самом начале.
Неравенства, которые мы разберём в этом разделе, нельзя назвать сложными. Однако в отличие от предыдущих задач здесь придётся применить навыки из теории рациональных дробей — разложение на множители и приведение к общему знаменателю.
Мы детально обсуждали этот вопрос в самом начале сегодняшнего урока. Если вы не уверены, что понимаете, о чём речь — настоятельно рекомендую вернуться и повторить. Потому что нет никакого смысла зубрить методы решения неравенств, если вы «плаваете» в преобразовании дробей.
В домашней работе, кстати, тоже будет много подобных задач. Они вынесены в отдельный подраздел. И там вас ждут весьма нетривиальные примеры. Но это будет в домашке, а сейчас давайте разберём парочку таких неравенств.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{x}{x-1}\le \frac{x-2}{x}\]
Решение. Переносим всё влево:
\[\frac{x}{x-1}-\frac{x-2}{x}\le 0\]
Приводим к общему знаменателю, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые в числителе:
\[\begin{align} & \frac{x\cdot x}{\left(x-1 \right)\cdot x}-\frac{\left(x-2 \right)\left(x-1 \right)}{x\cdot \left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-\left({{x}^{2}}-2x-x+2 \right)}{x\left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+3x-2}{x\left(x-1 \right)}\le 0; \\ & \frac{3x-2}{x\left(x-1 \right)}\le 0. \\\end{align}\]
Теперь перед нами классическое дробно-рациональное неравенство, решение которого уже не представляет трудности. Предлагаю решить его альтернативным методом — через метод интервалов:
\[\begin{align} & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=\frac{2}{3};\ {{x}_{2}}=0;\ {{x}_{3}}=1. \\ \end{align}\]
Не забываем ограничение, пришедшее из знаменателя:
Отмечаем все числа и ограничения на числовой прямой:
Все корни имеют первую кратность. Никаких проблем. Просто расставляем знаки и закрашиваем нужные нам области:
Это всё. Можно записывать ответ.
Ответ. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ {2}/{3}\;;1 \right)$.
Разумеется, это был совсем уж просто пример. Поэтому сейчас рассмотрим задачу посерьёзнее. И кстати, уровень этой задачи вполне соответствует самостоятельным и контрольным работам по этой теме в 8 классе.
Задача. Решите неравенство:
\[\frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}\ge \frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}\]
Решение. Переносим всё влево:
\[\frac{1}{{{x}^{2}}+8x-9}-\frac{1}{3{{x}^{2}}-5x+2}\ge 0\]
Перед тем как приводить обе дроби к общему знаменателю, разложим эти знаменатели на множители. Вдруг вылезут одинаковы скобки? С первым знаменателем легко:
\[{{x}^{2}}+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]
Со вторым чуть сложнее. Не стесняйтесь вносить множитель-константу в ту скобку, где обнаружилась дробь. Помните: исходный многочлен имел целые коэффициенты, поэтому велика вероятность, что и разложение на множители будет иметь целые коэффициенты (на самом деле так будет всегда, за исключением случаев, когда дискриминант иррационален).
\[\begin{align} & 3{{x}^{2}}-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac{2}{3} \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end{align}\]
Как видим, есть общая скобка: $\left(x-1 \right)$. Возвращаемся к неравенству и приводим обе дроби к общему знаменателю:
\[\begin{align} & \frac{1}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)}-\frac{1}{\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right)}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{3x-2-x-9}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ & \frac{2x-11}{\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)}\ge 0; \\ \end{align}\]
Приравниваем к нулю знаменатель:
\[\begin{align} & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_{1}^{*}=1;\ x_{2}^{*}=-9;\ x_{3}^{*}=\frac{2}{3} \\ \end{align}\]
Никаких кратностей и совпадающих корней. Отмечаем четыре числа на прямой:
Расставляем знаки:
Записываем ответ.
Ответ: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left({2}/{3}\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \right)$.
Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства . Они являются частными случаями рациональных неравенств , изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.
Навигация по странице.
В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.
Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:
В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.
Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств. Например, x>4
, x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1)
, - это рациональные неравенства. А неравенство 
не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.
Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.
Определение.
Рациональное неравенство будем называть целым , если обе его части – целые рациональные выражения.
Определение.
Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.
Так 0,5·x≤3·(2−5·y)
, 
- целые неравенства, а 1:x+3>0
и 
- дробно рациональные.
Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.
Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x)
Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x) , образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое . Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) и h(x) имеют одинаковую переменной x ), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).
В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Решение.
Сначала переносим выражение из правой части в левую: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0
. Выполнив все в левой части, приходим к линейному неравенству 3·x−2≤0
, которое равносильно исходному целому неравенству. Его решение не представляет сложности:
3·x≤2
,
x≤2/3
.
Ответ:
x≤2/3 .
Пример.
Решите неравенство (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x) .
Решение.
Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0
,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0
,
1>0
.
Так, выполняя равносильные преобразования, мы пришли к неравенству 1>0 , которое верно при любых значениях переменной x . А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.
Ответ:
x - любое.
Пример.
Выполните решение неравенства x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0 .
Решение.
В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0
,
−2·x 2 +11·x+6>0
.
Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом .
Находим корни квадратного трехчлена −2·x 2 +11·x+6
:
Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это имеет место на интервале (−0,5, 6) , он и является искомым решением.
Ответ:
(−0,5, 6) .
В более сложных случаях в левой части полученного неравенства h(x)<0 (≤, >, ≥) будет многочлен третьей или более высокой степени. Для решения таких неравенств подходит метод интервалов , на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h(x) , что частенько делается через .
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Решение.
Перенесем все в левую часть, после чего там и :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4·x 2 +2·x+8−14+9·x<0
,
x 3 +4·x 2 +11·x−6<0
.
Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Для этого в первую очередь надо найти корни многочлена, что упирается в x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 . Выясним, имеет ли оно рациональные корни, которые могут быть лишь среди делителей свободного члена, то есть, среди чисел ±1 , ±2 , ±3 , ±6 . Подставляя по очереди эти числа вместо переменной x в уравнение x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 , выясняем, что корнями уравнения являются числа 1 , 2 и 3 . Это позволяет представить многочлен x 3 +4·x 2 +11·x−6 в виде произведения (x−1)·(x−2)·(x−3) , а неравенство x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: отметить на числовой прямой точки с координатами 1
, 2
и 3
, которые разбивают эту прямую на четыре промежутка, определить и расставить знаки, изобразить штриховку над промежутками со знаком минус (так как мы решаем неравенство со знаком <) и записать ответ.
Откуда имеем (−∞, 1)∪(2, 3) .
Ответ:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.
Пример.
Решите неравенство (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1) .
Решение.
Это целое неравенство. Если перенести выражение из его правой части в левую, после чего раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится неравенство x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0 . Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени. Несложно проверить, что рациональных корней он не имеет (ими могли бы быть числа 1 , −1 , 19 или −19 ), а другие его корни искать проблематично. Поэтому этот путь тупиковый.
Давайте поищем другие возможности решения. Несложно заметить, что после переноса выражения из правой части исходного целого неравенства в левую, можно вынести за скобки общий множитель x 2 −2·x−1
:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0
,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0
.
Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.
А теперь мы можем найти нули выражения, находящегося в левой части полученного неравенства, для этого надо x 2 −2·x−1=0
и x 2 −2·x−19=0
. Их корнями являются числа 
. Это позволяет перейти к равносильному неравенству , а его мы можем решить методом интервалов:
По чертежу записываем ответ .
Ответ:
В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h(x) , и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов. В этих случаях нет возможности решить неравенство h(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, нет возможности найти решение исходного целого рационального уравнения.
Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x
вида r(x)
Алгоритм решения дробно рационального неравенства
с одной переменной r(x)
Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.
Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое . В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.
На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.
Второй вопрос: «Будет ли неравенство p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) равносильно неравенству r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), а значит, и исходному»? Оно может быть как равносильно, так и неравносильно. Оно равносильно тогда, когда ОДЗ для выражения p(x)/q(x)
совпадает с ОДЗ для выражения r(x)−s(x)
. В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Но ОДЗ для выражения p(x)/q(x)
может оказаться шире, чем ОДЗ для выражения r(x)−s(x)
. Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от 
к . Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от 
к . Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров.
