Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории надёжности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок, теории управления, теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит для обоснования математической статистики.
Примеры событий досто- верные слу- чайные невоз- можные 1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА. 2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО. 3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ. 4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ. 1. НАЙТИ КЛАД. 2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ. 3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ. 4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ. 5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА. 1. З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ. 2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ 7 ОЧКОВ. 3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
Определение вероятности. Вероятность события А это отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу несовместных элементарных исходов, которые образуют полную группу: P(A) = m / n, где m число элементарных исходов, которые благоприятствуют А; n число всех возможных элементарных исходов испытания.
Следовательно, можно записать следующие три свойства. 1. Вероятность достоверного события равна единице. Следовательно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, тогда m = n, и Р(A) = m / n = n / n = Вероятность невозможного события равна нулю. Следовательно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, тогда m = 0, и Р (А) = m / n = 0 / n = Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Следовательно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания, тогда 0
Противоположное событие По отношению к рассматриваемому событию А – это событие, которое не происходит, если А происходит. И наоборот. Например, событие А – «выпало четное число очков» и B – «выпало нечетное число очков» при бросании игрального кубика – противоположные. Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Т.е.: или p+q=1. Пример: Вероятность того, что день будет дождливым p=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным. Решение: События «день будет дождливым» и «день будет ясным» противоположные. Поэтому искомая вероятность: q=1-p=1-0,7 = 0,3.
Действия над событиями 1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. На диаграмме Венна сумма А+В изображается: Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе. Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить только А или В, тогда + заменяется словом «или». Действия над событиями 1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. На диаграмме Венна сумма А+В изображается: Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе. Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить только А или В, тогда + заменяется словом «или».
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ) Пример: Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны р1=0,7 и р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе хотя бы одним из орудий. Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события А*В (оба орудия дали попадание) Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=0,7*0,8=0,56 Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) = 0,7+0,8-0,56=0,94
Данный пример можно было бы решить другим способом, используя формулу вероятности появления хотя бы одного события. Допустим, в результате испытания могут появиться 2 независимых в совокупности событий или некоторые из них. При этом вероятности появления каждого из этих событий даны. Для нахождения вероятности того, что наступит хотя бы одно из этих событий, воспользуемся следующей теоремой. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1 и А2, которые независимы в совокупности, равняется разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: P(A) = 1q1*q2.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий Если события А и В несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А или В, тогда + заменяется словом «или». Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Соб. А – появление красного шара. Вероятность появления соб. А: Р(А)=10/30=1/3. Соб. В – появление синего шара. Вероятность появления соб. В: Р(В) = 5/30=1/6. События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность: Р(А+В)= Р(А)+Р(В)= 1/3+1/6=1/2.
Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик». Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда А*В*С – «выпало 4 очка».
Если случайное событие представлено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти, и если при вычислении вероятности события, кроме условий S, никаких других ограничений нет, то такая вероятность называется безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то в таком случае вероятность события будет условной. Например, нередко подсчитывают вероятность события В при дополнительном условии, что совершилось событие А. Если случайное событие представлено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти, и если при вычислении вероятности события, кроме условий S, никаких других ограничений нет, то такая вероятность называется безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то в таком случае вероятность события будет условной. Например, нередко подсчитывают вероятность события В при дополнительном условии, что совершилось событие А.
Вероятность события В, подсчитанная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило вычисляется: = Р(А*В) / Р(А), если Р(А) > 0. 0."> 0."> 0." title="Вероятность события В, подсчитанная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило вычисляется: = Р(А*В) / Р(А), если Р(А) > 0."> title="Вероятность события В, подсчитанная в предположении, что событие А уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило вычисляется: = Р(А*В) / Р(А), если Р(А) > 0.">
2. Теорема умножения вероятностей. Допустим известны вероятности Р(А) и двух событий А и В. Для нахождения вероятности того, что появится и событие А, и событие В можно воспользоваться теоремой умножения. Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, подсчитанную в догадке, что первое событие уже наступило: Р(А*В) = Р(А)*
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Положим, что вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называется независимым от события А в том случае, если появление события А не меняет вероятности события В, другими словами, если условная вероятность события В равняется его безусловной вероятности: = Р(В). Теорема умножения Р(А*В) = Р(А)* для независимых событий выглядит следующим образом: Р(А*В) = Р(А)*Р(В).
Если осуществляется несколько испытаний, к тому же вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания носят название независимых относительно события А. Событие А в различных независимых испытаниях может иметь или различные вероятности, или одну и ту же вероятность.
Допустим, делается n независимых испытаний. В каждом из них событие А может появиться или не появиться. Будем думать, что во всяком испытании вероятность события А одна и та же, равная р. Значит, вероятность того, что событие А не наступит в каждом испытании также постоянна, причем равна она q = 1p. Пусть необходимо подсчитать вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно k раз, а не осуществится (n k) раз.
Формула полной вероятности Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из событий на соответствующую условную вероятность события А.
Причем: а) если число np-q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число; б) если число np-q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно и; в) если число np – целое, то наивероятнейшее число = np Причем: а) если число np-q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число; б) если число np-q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно и; в) если число np – целое, то наивероятнейшее число = np
Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком их расположения Размещениями из n элементов по k элементов называются такие соединения, состоящие из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов. (Порядок важен) Сочетаниями из n элементов по k называются такие соединения, составленные из k элементов, выбранных из данных n элементов. (Порядок не важен).
ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ Пусть даны элементов первого типа, второго типа,..., k-го типа, всего n элементов. Способы разместить их по различным местам называются перестановками с повторениями. Их количество обозначается Число перестановок с повторениями есть
Правило произведения Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. При этом первое действие можно выполнить n1 способами, второе n2 способами и так до k-го действия. Тогда число m способов, которыми могут быть выполнены все k действий, по правилу произведения комбинаторики равно
По кнопке выше «Купить бумажную книгу» можно купить эту книгу с доставкой по всей России и похожие книги по самой лучшей цене в бумажном виде на сайтах официальных интернет магазинов Лабиринт, Озон, Буквоед, Читай-город, Литрес, My-shop, Book24, Books.ru.
По кнопке «Купить и скачать электронную книгу» можно купить эту книгу в электронном виде в официальном интернет магазине «ЛитРес» , и потом ее скачать на сайте Литреса.
По кнопке «Найти похожие материалы на других сайтах» можно искать похожие материалы на других сайтах.
On the buttons above you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.
Название : Школьнику о теории вероятностей. 1983.
Цель данного пособия - попятно изложить самые элементарные сведения из теории вероятностей, научить юного читателя применять их при решении практических задач.
Эта небольшая книга раскроет перед вами, если вы проявите достаточно желания и упорства, мир случайного. Собственно, мир остается таким, каков он есть, но показывается он не совсем с обычной стороны.
"Оказывается, только пользуясь языком науки о случае - теории вероятностей, можно описать многие явления и ситуации.
Постепенно при чтении этой книги вы углубите свои знания в теории и сможете с ее помощью решать задачи практического содержания, к которым недавно не знали, как и подступиться. На этом этапе задачи объясняют, иллюстрируют теорию.
Понятно изложить самые элементарные сведения из теории вероятностей, научить юного читателя применять их при решении практических задач - такова основная цель, которую преследовал автор. А для того чтобы эта цель была достигнута, автор, не претендуя на оригинальность в математических рассуждениях, старался исходить из возможностей и интересов школьников.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к читателю
I Кое-что из прошлого теории вероятностей
4
II Случайные события и операции над ними
10
1 Случайное событие
2 Множество элементарных событий 12
3 Отношения между событиями
4 Операции над событиями 14
5 Полная группа событий 21
III Наука о подсчете числа комбинаций - комбинаторика
22
1 Общие правила комбинаторики 23
2 Выборки элементов 24
3 Выборки с повторениями 28
4 Сложная комбинаторика 32
IV Вероятность события
35
V Операции над вероятностями 42
1 Вероятность суммы несовместимых событий -
2 Вероятность суммы совместимых событий 44
3 Условные вероятности 46
4 Вероятность произведения независимых событий 48
5 Формула полной вероятности 50
VI Независимые повторные испытания
55
1 Формула Я Бернулли
2 Формула Муавра Лапласа 60
3 Формула Пуассона 62
4 Формула Лапласа 65
VII Дискретные случайные величины и их характеристики
68
1 Математическое ожидание 70
2 Дисперсия 76
3 Неравенство Чебышева и закон больших чисел 80
4 Распределение Пуассона 84
VIII Непрерывные случайные величины и их характеристики
88
1 Плотность распределения 90
2 Математическое ожидание 93
3 Дисперсия 95
4 Нормальное распределение
5 Понятие о теореме Ляпунова 98
6 Показательное распределение 102
IX Немножко странно, но интересно
104
1 Умная игла (задача Бюффона)
2 Задача шевалье де Мере 106
3 Отдайте мою шапку 108
4 Метеорологический парадокс 110
5 Чтобы покупатели были довольны
6 Парадокс Бертрана 111
7 Случайность или система? 11З
8 Преступление раскрыто 114
9 "Сражение" 115
10 В гости к дедушке 116
Список литературы 118
Приложение 119
Ответы 125
Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов.
2-е изд., доп. -М.; Просвещение, 1983.-127 с.
Цель данного пособия-попятно изложить самые
элементарные сведения из теории вероятностей, научить юного читателя применять
их при решении практических задач.
Формат: djvu / zip
Размер: 1 ,7 Мб
/ Download
файл
ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к
читателю.......................
I. Кое-что из прошлого теории вероятностей............. 4
II. Случайные события и операции над ними............. 10
1. Случайное событие.................... -
2. Множество элементарных событий............ 12
3. Отношения между событиями............... -
4. Операции над событиями................. 14
5. Полная группа событий.................. 21
III. Наука о подсчете числа комбинаций - комбинаторика... 22
1. Общие правила комбинаторики.............. 23
2. Выборки элементов................... 24
3. Выборки с повторениями................. 28
4. Сложная комбинаторика................. 32
IV. Вероятность события..................... 35
V. Операции над вероятностями.................. 42
1. Вероятность суммы несовместимых событий......... -
2. Вероятность суммы совместимых событий.......... 44
3. Условные вероятности.................. 46
4. Вероятность произведения независимых событий....... 48
5. Формула полной вероятности............... 50
VI. Независимые повторные испытания.......... 55
1. Формула Я. Бернулли.................. -
2. Формула Муавра-Лапласа............... 60
3. Формула Пуассона.................... 62
4. Формула Лапласа.................... 65
VII. Дискретные случайные величины и их характеристики.. 68
1. Математическое ожидание................ 70
2. Дисперсия....................... 76
3. Неравенство Чебышева и закон больших чисел....... 80
4. Распределение Пуассона................. 84
VIII. Непрерывные случайные величины и их характеристики. 88
1. Плотность распределения................ 90
2. Математическое ожидание................ 93
3. Дисперсия....................... 95
4. Нормальное распределение................ -
5. Понятие о теореме Ляпунова............... 98
6. Показательное распределение.............. 102
IX. Немножко странно, но интересно.......... 104
1. Умная игла (задача Бюффона) ............... -
2. Задача шевалье де Мере................. 106
3. Отдайте мою шапку................... 108
4. Метеорологический парадокс 110
5. Чтобы покупатели были довольны............. -
6. Парадокс Бертрана................... 111
7. Случайность или система?................. 11З
8. Преступление раскрыто................. 114
9. "Сражение"....................... 115
10. В гости к дедушке.................... 116
Список литературы........................ 118
Приложение........................... 119
Ответы........................... 125
События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).
Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.
Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.
В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.
Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.
Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.
События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.
Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .
Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .
Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.
Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.
Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .
Ответ получаем по формуле .
На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?
Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:
Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.
События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.
Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .
Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .
Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.
Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.
Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого - 3, для пятого - 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .
Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .
В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам
В нашем случае .
И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго - 5 способами, третьего - четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:
В нашем случае .
Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.
На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
.
Ответ: 0,3.
Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.
В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.
Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:
Ответ: 0,98.
Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.
Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».
Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:
Ответ: 0,06.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:
Ответ: 0,35.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.
Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .
Как известно, в сообществе есть две книжные полки, посвященные литературе по теории вероятностей и математической статистике
Литература по теории вероятностей и математической статистике (часть 1)
Литература по теории вероятностей и математической статистике (часть 2)
Однако там размещены в основном книги для студентов и преподавателей вузов.
Данная запись будет посвящена книгам по теории вероятностей и математической статистике для школьников и учителей.
Часть из них уже выкладывалась в сообществе.
Книги размещены в алфавитном порядке.
Книги по теории вероятностей и математической статистике для школьников и учителей
| Бродский Я. С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика
М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. - 544 с: ил. - (Школьный курс математики). ISBN 978-5-488-01369-8 (ООО «Издательство Оникс») В данном учебном пособии подробно излагаются основы описательной и математической статистики, элементы теории вероятностей и комбинаторики. К каждому параграфу приводятся контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Кроме того, каждая глава содержит дополнительные задачи. В конце книги даны ответы и указания ко всем задачам. Пособие предназначено старшеклассникам, студентам техникумов и младших курсов вузов, обучающихся на не математических специальностях. Найдена в сети. Скачать (pdf/zip, 5,14 Mb) mediafire.com || ifile.it |
 |
Бунимович Б. А., Булычев В. А. Вероятность и статистика. 5-9 классы: Пособие для общеобразоват. учеб. аведений
М.: Дрофа, 2002. - 160 с: ил. - (Темы школьного курса). ISBN 5-7107-4582-0 Пособие содержит необходимый теоретический и практический материал для изучения вероятностно-статистической линии, становящейся сегодня неотъемлемой частью школьного курса математики. Изучение вероятности предполагается в рамках базового курса математики 5-9 классов. Для успешного усвоения достаточно овладения базовым теоретическим материалом и решения задач группы А. Пособие может быть использовано вместе с любым из действующих учебников по математике. Предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 2.41 Мб) ifolder.ru || onlinedisk |
 |
Варга Т. Математика 1. Блок-схемы, перфокарты, вероятности: (Математические игры и опыты)
Пер. с нем. - М.: Педагогика, 1978. - 112 с, ил. В книге раскрываются эффективные пути внедрения в школьное обучение таких разделов современной математики, как введение в теорию вероятностей, блок-схемы и перфокарты. В центре внимания автора - усвоение детьми 10-14 лет математических понятий в ходе занимательных игр. Найдена в сети Скачать (djvu/rar, 1.74 Мб) ifolder.ru || onlinedisk |
 |
Bарга Тамаш, Эстер Нэмени- Червенак, Мария Халмош Математика 2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность. (Математические игры и опыты).
Пер. с нем. Е.Я. Габович. М.: Педагогика, 1978. – 112 с. с ил. В книге раскрываются эффективные пути раннего введения в школьное обучение ряда понятий геометрии многоугольников и многогранников, внедрения таких понятий современной математики, как простейшие графы деревья и вероятность, а также их простейших применений. Глава 3 книги является продолжением главы 3 книги «Математика 1», вместе составляющих основу введения в теорию вероятностей для учащихся среднего и старшего школьного возраста. В центре внимания автора – усвоение детьми 10 – 14 лет математических понятий в ходе занимательных игр. Издание предназначается для методистов и педагогов, организующих экспериментальную работу по определению эффективных методов обучения математике. За книгу большое спасибо Ak-sakal Скачать (djvu, 2,6 мб) ifolder.ru || onlinedisk |
 |
Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь
М.: МЦНМО, 2012. -48 с. ISBN 978-5-94057-860-4 На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Теория вероятностей». Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника. Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 690 кб) rghost.ru || onlinedisk |
| Евич Л. Н., Ольховая Л. С., Ковалевская А. С.
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистики:
учебно-методическое пособие/Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону:Легион-М, 2011. - 32 с. - (Готовимся к ЕГЭ) ISBN 978-5-91724-116-6 Пособие содержит необходимый материал для самостоятельной подготовки к единому государственному экзамену по математике по разделам «Теория вероятностей», «Комбинаторика», «Статистика»: демонстрационный вариант с решениями заданий; 8 новых тематических авторских учебно-тренировочных тестов по упомянутым выше разделам, составленных с учётом спецификации ЕГЭ-2012; задачник, предназначенный для более детальной отработки разных видов тестовых заданий. Книга предназначена выпускникам общеобразовательных учреждений, учителям и методистам. За книгу спасибо shipevg Скачать (djvu, 489,39 КБ) Скачать (djvu, 489,39 КБ) rghost |
 |
Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей. - М., Наука, 1982. - 160 с. - Библ-ка "Квант". Выпуск 23
В книге на простых примерах вводятся основные понятия теории вероятностей. Наряду с комбинаторным определением вероятности рассматривается статистическое определение. Подробно анализируется случайное блуждание на прямой, описывающее физические процессы одномерного броуновского движения частиц, а также ряд других примеров. Для школьников, студентов, преподавателей, лиц, занимающихся самообразованием. Найдена в сети Скачать (djvu, 1,9 Мб) Рапида || rghost.ru |
 |
Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1975. -223 с ил. (Мир знаний).
Цель, которую поставил перед собой автор предлагаемой книги, состоит в том, чтобы помочь читателю самостоятельно овладеть первоначальными понятиями и методами теории вероятностей и простейшим аппаратом математической статистики. Это - книга для познавательного чтения с карандашом в руке и рабочей тетрадью на столе. В начальной части книги преобладает свободная форма изложения, не стесненная рамками программы, с привлечением занимательного и игрового материала; постепенно книга «серьезнеет», но не теряет доступности для учащихся старших классов и читателей, уже окончивших среднюю школу. Для самопроверки действенности приобретенных знаний и «вероятностного мышления» в предпоследней главе предлагается около пятидесяти задач-этюдов. Некоторые доказательства, выводы и теоретические комментарии вынесены в заключительную главу «Дополнения». Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 4.17 Мб, 600dpi+OCR) ifolder или onlinedisk |
 |
Макарычев Ю. Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк; под ред. С. А. Теляковского.
3-е изд.- М. : Просвещение, 2005.- 78 с. : ил.- ISBN 5-09-014164-9. Данное пособие предназначено для изучения вероятностно-статистического материала при работе по учебникам «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9» Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Пешкова, С. Б. Суворовой, под ред. С. А. Теляковского. Книга предоставлена acub Скачать (djvu, 1.3 мб)mediafire.com || ifolder.ru |
| Мордкович А. Г., П. В. Семенов.События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений
5-е изд. - М., 2008. - 112 с. : ил. ISBN 978-5-346 01012-8 Пособие предназначено для ознакомления учащихся с элементами теории вероятностей и математической статистики. На большом количестве примеров изложены начальные понятия, идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Даны задачи с решениями н ответами, а также упражнения с возрастающей степенью сложности для самостоятельной работы школьников (включая ответы). Содержатся рекомендации по примерному поурочному планированию учебного материала. Книга предоставлена acub Скачать (djvu, 1,14 мб) Возможность скачивания данного файла заблокирована по требованию правообладателя. |
 |
Ф. Мостеллер Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - Пер. с англ.
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.- 112с. Книга в действительности содержит 57 занимательных задач (семь задач скорее обсуждаются, чем решаются). Большинство задач несложно. Лишь совсем немногие из них требуют знания курса анализа, но и в этих случаях неподготовленный читатель все равно сможет понять постановку задачи и ответ. Книга обращена к широкому кругу читателей: ученикам старших классов, педагогам, студентам. Найдена в сети Скачать (djvu, 1,9 mb)alleng.ru || mediafire.com |
| Тарасов Л.В. Неслучайная случайность. Экспериментальный учебник развивающего типа по интегративному предмету Закономерности окружающего мира
Москва. «Авангард». 1994. - 162 с. 5-87868-058-0 Данная книга из серии экспериментальных учебников развивающего типа по интегративному предмету «Закономерности окружающего мира». В VI-м классе этот предмет называется «Неслучайная случайность». Опираясь на апробированные рекомендации психологов, современная педагогика уже сравнительно давно признала необходимость ознакомления школьников с идеями и методами комбинаторики и теории вероятности и развития у них на этой основе вариативного мышления. В школах многих стран мира введены соответствующие учебные предметы. У нас в стране страстным энтузиастом включения вероятностных идей и подходов в среднее образование всегда выступал Б. В. Гнеденко. От себя. Книга не очень похожа на учебник. Рисунки Эшера, кусочки мифов, диалоги любимых детских литературных героев - Алисы Л. Кэрролла, Винни-Пуха, Мартышки и Слоненка и т.д. Можно использовать как книгу для занимательного чтения по предмету. Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 3.59 Мб) ifolder.ru || onlinedisk |
 |
Тюрин Ю. Н. и др. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. - М: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.- 256 с: ил. ISBN 5-94057-161-1
djvu-версия найдена Гостем Скачать (djvu, 4,58 Мб) ifolder.ru || mediafire.com || rghost.ru pdf-версия (скопированная постранично с reshlib) предоставлена jagger777 Скачать (pdf, 8,6 Мб) ifolder.ru || rghost.ru |
 |
Тюрин Ю. Н. и др. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко.-2-е изд., переработанное. - М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008. -256 с: ил. ISBN 987-5-94057-319-7
Учебное пособие по основам теории вероятностей и статистики рассчитано на учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. Оно также может быть использовано и в старших классах полной средней школы. В этой книге в равной мере уделяется внимание статистике и теории вероятностей и их роли в изучении явлений окружающего мира. Книга предназначена для первичного знакомства учащихся с формами представления и описания данных в статистике, рассказывает о случайных событиях, вероятностях и их свойствах. В приложениях даны примерные самостоятельные и контрольные работы для 7, 8 и 9 класса, написаны пояснения ко встречающимся терминам. Авторы стремились сделать изложение простым и не злоупотребляли математическим формализмом. Найдена в сети Скачать (djvu, 1.8 мб)mediafire.com ||ifolder.ru |
 |
Шевелева Н.В. Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс
М. : Национальное образование, 2011. - 144 с. : ил. - (Краткий курс). ISBN 978-5-905084-55-3 Пособие предназначено для учащихся 9 классов. В нём в краткой и доступной форме представлены сведения по основным темам курса алгебры 9 класса, а также по разделу «Элементы статистики и теории вероятностей». Особое внимание уделяется разбору решения типовых задач. Книга будет полезна учащимся в процессе обучения, а также при повторении материала в целях его систематизации и при подготовке к экзамену. Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 1.96 Мб) ifolder.ru || rghost |
 |
Шор Е. В мире случайностей.
Кишинев, Издательство «Картя Молдовеняска», 1977. - 90 с. Читатель совершит путешествие в демографию, математическую статистику, психолингвистику, вместе с героями Эдгара По примет участие в разгадке таинственного текста. Для успеха такого экскурса он вначале получит представление о вероятности, методах ее подсчета, причем от него не требуется специальной математической подготовки. Из путешествия читатель возвратится обогащенным понятиями и методами теории вероятностей, знанием областей ее применения. Брошюра будет полезна всем, кто интересуется миром случайного. Найдена в сети Скачать (djvu, 1,05 Мб) ifolder.ru || mediafire.com |
Книги по комбинаторике
Подборка книг Н.Я Виленкина
Виленкин Н.Я Комбинаторика. - М., Наука, 1969. -328 с.
Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. -М., Наука, 1975. - 208 с.
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.
находится в разделе Литература по теории вероятностей и математической статистике (часть 1)
.
Следующие книги
Виленкин Н, Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1976
Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. К. Элементы комбинаторики. - М., Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977
Савельев Л.Я. (ред) Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика. - Новосибирск, НГУ, 1979.
находятся в разделе Литература по подготовке к математическим олимпиадам (часть II) .
Контрольные работы по математике (теории вероятностей и статистике) для 7 класса
Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 24.04.2008
(содержат варианты 1-2 контрольной работы по теории вероятностей и статистике, ответы и критерии оценивания контрольной работы по теории вероятностей и статистике и демонстрационные версии контрольной работы по теории вероятностей и статистике для 7 класса)
Скачать (pdf/rar, 1.38 Мб) ifolder.ru || onlinedisk
Контрольные работы по математике (теории вероятностей и статистике) для 8 класса
, составленные Московским институтом открытого образования (МИОО).
Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 12.05.2011
Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 19.05.2010
Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 19.05.2009
(содержат варианты 1-2 контрольной работы по теории вероятностей и статистике, ответы и критерии оценивания контрольной работы по теории вероятностей и статистике и демонстрационные версии контрольной работы по теории вероятностей и статистике для 8 класса)
Скачать (pdf/rar, 1.01 Мб) ifolder.ru || onlinedisk
Разыскиваются
Афанасьев В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей
Ивашев-Мусатов О.С. Начала теории вероятностей для школьников
Просветов Г.И. Теория вероятностей и статистика для школьников: задачи и решения
