Natura și originea erorilor sistematice sunt de obicei determinate de specificul unui anumit experiment. De aceea, detectarea și eliminarea erorilor sistematice depinde în mare măsură de priceperea experimentatorului, de gradul în care a studiat profund condițiile specifice de măsurare și caracteristicile instrumentelor și metodelor folosite de el. Cu toate acestea, există câteva cauze comune ale erorilor sistematice, în conformitate cu care sunt împărțite în metodologie, instrumentală și subiectivă.
Erorile metodicerezultă din imperfecțiunea metodei de măsurare, utilizarea ipotezelor și ipotezelor simplificatoare în derivarea formulelor utilizate, influența instrumentului de măsurare asupra obiectului de măsurare. De exemplu, măsurarea temperaturii folosind un termocuplu poate conține o eroare metodologică cauzată de încălcarea regimului de temperatură al obiectului studiat (datorită introducerii unui termocuplu).
Eroare instrumentalădepinde de erorile instrumentelor de măsurare utilizate. Inexactitatea calibrării, imperfecțiunile structurale, modificările caracteristicilor dispozitivului în timpul funcționării etc. sunt cauzele erorilor instrumentale. Această eroare, la rândul său, este împărțită în principal și suplimentar.
Eroare de bază Instrumentele de măsurare sunt eroarea în condițiile luate ca normale, adică la valorile normale ale tuturor cantităților care afectează rezultatul măsurătorilor (temperatură, umiditate, tensiune de alimentare, etc.).
Eroare suplimentară instrumente de măsurare - o eroare care apare în plus când valorile mărimilor de influență diferă de cele normale. De regulă, componentele separate ale erorii suplimentare se disting, de exemplu, eroarea de temperatură, erorile datorate schimbărilor în tensiunea de alimentare etc.
Toate aceste erori diferă de instrumentele instrumentale (GOST 8.009-84), deoarece acestea sunt asociate nu atât cu instrumentele de măsurare, cât și cu condițiile în care funcționează. Eliminarea lor se face în alte moduri decât eliminarea erorilor instrumentale.
Erorile subiectivecauzate de citirile incorecte ale instrumentului de către o persoană (operator). Acest lucru se poate întâmpla, de exemplu, din cauza unei direcții greșite de vedere când se observă citirile unui instrument de comutare (eroare de la paralaxă). Utilizarea dispozitivelor digitale și a metodelor automate de măsurare permite excluderea acestor erori.
Detectarea cauzelor și surselor de erori sistematice ne permite să luăm măsuri pentru a le elimina sau elimina prin introducerea unui amendament.
corecție este valoarea cantității, cu același nume ca cea măsurată, care trebuie adăugată la valoarea valorii obținute în timpul măsurării, pentru a exclude erorile sistematice.
În unele cazuri, utilizați factor de corecție - numărul prin care rezultatul măsurării se înmulțește pentru a exclude eroarea sistematică.
Modificarea sau factorul de corecție se determină prin calibrarea mijloacelor tehnice, compilarea și utilizarea tabelelor și graficelor corespunzătoare. Sunt de asemenea utilizate metode de calcul pentru găsirea valorilor corecției.
Există metode speciale pentru organizarea măsurătorilor care elimină erorile sistematice. Acestea includ, de exemplu, metoda de substituire și metoda de compensare a erorilor de semn. Metoda de substituție este că valoarea măsurată este înlocuită cu valoarea cunoscută obținută folosind măsura reglabilă. Dacă o astfel de substituire se face fără alte modificări în configurația experimentală și după înlocuire se stabilesc aceleași citiri ale instrumentului, atunci valoarea măsurată este egală cu valoarea cunoscută a cărei valoare este măsurată în funcție de indicatorul măsurii reglementate. Această tehnică permite excluderea unor erori sistematice constante. Eroarea de măsurare la utilizarea metodei de substituire este determinată de eroarea de măsurare și de eroarea care apare când se citește valoarea valorii care înlocuiește necunoscutul.
Metodă de compensare pentru eroare prin semnse utilizează pentru a exclude erorile sistematice care, în funcție de condițiile de măsurare, pot fi incluse în rezultatul măsurătorilor cu unul sau alt semn (eroarea de la termo-EMF, de la influența unei constante intensități a câmpului electric sau magnetic, etc.). În acest caz, puteți efectua măsurători de două ori, astfel încât eroarea să fie inclusă în rezultatele măsurătorilor odată cu un semn, iar celălalt cu opusul. Media celor două rezultate obținute este rezultatul final al măsurării, lipsită de erorile sistematice de mai sus.
Atunci când se efectuează măsurători automate se utilizează pe scară largă metode pentru corectarea erorilor sistematice. Compensarea comenzilor de convertizoare, diverse circuite de corecție a temperaturii și frecvenței reprezintă exemple de implementare a acestora.
Noile caracteristici au apărut ca urmare a introducerii în echipamentele de măsură a instrumentelor care conțin sisteme de microprocesoare. Cu ajutorul celor din urmă, este posibil să excludem sau să corectăm multe tipuri de erori sistematice. Acest lucru se aplică în special erorilor instrumentale. Introducerea automată a corecțiilor legate de inexactități în calibrare, calculul și eliminarea erorilor suplimentare, eliminarea erorilor datorate compensării zero - această și alte corecții îmbunătățesc semnificativ precizia măsurătorilor.
Cu toate acestea, trebuie remarcat că o parte a erorii sistematice, în pofida tuturor eforturilor, trebuie să fie exclusă. Această parte este inclusă în rezultatul măsurătorii și o distorsionează. Acesta poate fi evaluat pe baza informațiilor privind caracteristicile metrologice ale mijloacelor tehnice utilizate. Dacă aceste informații nu sunt suficiente, atunci poate fi utilă compararea valorilor măsurate cu rezultate similare obținute în alte laboratoare de către alte persoane.
2. ERORI DE MĂSURARE. ERORI SISTEMICE.
2.1. Conceptul de eroare de măsurare. Clasificarea erorilor.
Atunci când se analizează rezultatele măsurătorilor, două concepte trebuie distinse clar: valorile reale ale PV și manifestările lor empirice sunt rezultatele măsurătorilor.
Valoarea reală a FB este o valoare care reflectă în mod ideal proprietățile unui obiect dat atât din punct de vedere calitativ cât și cantitativ. Nu depinde de mijloacele cunoașterii noastre și este adevărul absolut la care ne străduim, încercând să-l exprimăm sub forma unei valori numerice.
Rezultatele măsurătorilor, dimpotrivă, sunt produsul cunoștințelor noastre. Acestea reprezintă estimări aproximative ale valorilor FE găsite prin măsurători și depind de metoda de măsurare, de mijloacele tehnice prin care se efectuează măsurătorile, de proprietățile organelor senzoriale ale experimentatorului care efectuează măsurătorile etc.
Diferența dintre rezultatul măsurătorii X și valoarea reală a EF măsurată este numită eroarea de măsurare:
= X - Q. (2.1)
Deoarece valoarea reală a PV măsurată este necunoscută (se utilizează în rezolvarea problemelor teoretice ale metrologiei), erorile de măsurare sunt de asemenea necunoscute. În practică, pentru a obține cel puțin estimări aproximative ale erorilor de măsurare, formula anterioară înlocuiește valoarea adevărată Q cu așa-numita valoare PV reală - X d.
Valoarea reală a PV trebuie înțeleasă ca valoare, găsită experimental și atât de apropiată de valoarea reală pe care o poate folosi în loc să o soluționeze.
Astfel, eroarea de măsurare este estimată prin formula:
= X - X d. (2.2)
Valoarea reală pentru măsurători individuale este adesea luată ca valoare obținută utilizând instrumente de măsurare exemplare (AIS) și pentru măsurători repetate - media aritmetică a rezultatelor observațiilor individuale incluse într-o serie.
De regulă, eroarea ca rezultat al măsurării se manifestă într-o formă agregată, adică, în practică, ca rezultat al măsurării, există o eroare totală datorată unui număr de factori care influențează procesul de măsurare (obiect de măsurare, SI, experimentator etc.). Prin urmare, primul pas în studiul erorilor de măsurare este clasificarea componentelor erorii totale pentru a identifica tiparele și cauzele acestor componente, găsind o modalitate de a reduce influența acestora asupra rezultatelor măsurătorilor.
* Erorile de măsurare pot fi clasificate în funcție de diferite criterii:
a) prin natura manifestării - sistematică, aleatorie;
b) după sursa de apariție - metodică, instrumentală și subiectivă;
c) prin metoda de exprimare - absolută, relativă și (sau) dată;
d) pe baza conditiilor de functionare a SR - principalul si suplimentar;
e) în funcție de condițiile de schimbare a măsurătorilor PV - statice și dinamice.
Criteriile de clasificare de mai sus nu sunt singurele posibile, ele sunt condiționate și nu pretind a fi exclusă de acoperire. Acestea se concentrează asupra acestora, deoarece acestea sunt cele mai frecvente în documentația de reglementare și tehnică a SI și sunt bine stabilite în literatura științifică și tehnică.
* Conform metodei de exprimare, erorile de măsurare sunt împărțite în valoare absolută, relativă și (sau) redusă.
Eroarea de măsurare absolută reprezintă eroarea exprimată în unități a cantității măsurate și calculată prin expresii (2.1) sau (2.2).
Eroarea relativă de măsurare este eroarea, exprimată în fracții de valori ale EF măsurată sau în procente. Eroarea relativă este determinată de formula:
De obicei <<Х д, поэтому в приведенную формулу вместо Х д часто может быть подставлено измеренное значение ФВ - Х:
. (2.3b)
Dacă intervalul de măsurare a FE măsurat se încadrează în valoarea sa zero, atunci eroarea relativă devine "" la punctul corespunzător al intervalului. În acest caz, utilizați conceptul de eroare redusă , egal cu raportul dintre eroarea absolută și valoarea normalizării X n :
.
Ca valoare de normalizare, puteți alege valoarea maximă a FE măsurată, intervalul variației EF, lungimea scării instrumentului de măsurare etc.
O caracteristică importantă a măsurătorilor, care reflectă apropierea rezultatelor lor de valoarea reală a EF măsurată, este precizia. Din punct de vedere cantitativ, precizia măsurării poate fi exprimată prin eroarea reciprocă a modulului relativ:
.
* În funcție de numărul de observații efectuate în timpul măsurătorilor, se disting măsurători unice și multiple (măsurători cu observații multiple).
O singură măsurătoare este o măsurătoare efectuată o singură dată.
Măsurarea repetată este măsurarea aceluiași EF, rezultatul căruia se găsește dintr-o serie de date experimentale (rezultatele observării) prin procesarea statistică. Pentru măsurători multiple, trebuie să se facă cel puțin patru observații, atunci când seria de rezultate obținute poate fi procesată prin metode statistice matematice.
Observarea este o operație experimentală efectuată în timpul procesului de măsurare, rezultând o valoare obținută dintr-o serie de valori EF care urmează să fie procesate pentru a obține un rezultat de măsurare.
2.2 Erorile sistematice.
Eroarea sistematică este componenta erorii totale de măsurare, care rămâne constantă sau variază în mod regulat, cu măsurători repetate de aceeași valoare.
Erorile sistematice:
nu depinde de numărul de măsurători;
distorsiunile pe care le determină rezultatul măsurării sunt supuse excluderii sau contabilității;
pot fi determinate în majoritatea cazurilor prin experiment;
uneori ele pot fi determinate prin calcule bazate pe caracteristicile SI utilizate în măsurători.
În unele cazuri, erorile sistematice pot fi excluse în procesul de măsurare; în același timp, procesul de identificare a valorii corectate a EF măsurat poate fi efectuat fără a determina valoarea erorii sistematice (dacă acest lucru este dificil sau imposibil) - motivul care cauzează apariția erorii este eliminat.
Astfel, eroarea sistematică este o anumită funcție (non-aleatoare) a factorilor non-aleși, a căror compoziție depinde de caracteristicile fizice, structurale și tehnologice ale SI, precum și de condițiile de utilizare a acestora.
Erorile sistematice sunt de obicei clasificate în funcție de motivele apariției acestora și de natura comportamentului.
* În funcție de cauze, sunt luate în considerare cinci tipuri de erori sistematice:
erori de metodă sau erori teoretice;
erori instrumentale;
erorile rezultate din instalarea necorespunzătoare a SI;
erorile rezultate din influența condițiilor externe;
erori subiective (personale).
Erori de metodă sau erori teoreticeapar din cauza dezvoltării eronate sau insuficiente a teoriei acceptate a metodei de măsurare ca întreg sau a simplificărilor adoptate în timpul măsurării. Erorile metodei ar trebui să includă și erorile care apar datorită influenței echipamentului de măsurare asupra proprietăților măsurate ale unui obiect (extragerea căldurii sau încălzirea mediei investigate cu un termometru, efectul R și R ieșirea SI asupra modului de funcționare al circuitului și sarcină, înregistrarea proceselor rapide cu un dispozitiv inerțial ... ).
De exemplu, oferim eroarea de măsurare a rezistenței electrice prin metoda ampermetrului și a voltmetrului. Considerăm două scheme de măsurare:
Rezistența calculată de formula pentru primul circuit va fi mai mică decât cea reală, deoarece eu v 0; iar rezistența determinată de formula pentru al doilea circuit va fi mai reală datorită faptului că U A 0. În ambele cazuri, corecțiile pot fi ușor calculate dacă R A și R v sunt cunoscute. Cu toate acestea, se pot face corecții și în cazul în care sunt semnificativ mai mici decât eroarea de măsurare admisă r x (dacă R A \u003e\u003e r x pentru prima schemă și R v< Eroare instrumentală- aceasta este o componentă a erorii datorată erorilor SI folosite. Printre erorile instrumentale ar trebui evidențiate: a) erorile tehnologice care apar ca urmare a imperfecțiunii tehnologiei de fabricare a SI, a nodurilor și a părților componente ale acestora (eroarea aplicării etichetelor scării ...); b) erorile cauzate de uzura, îmbătrânirea sau eșecul SI; c) erorile inerente designului (prezența unei rotiri libere, backlash-uri, goluri etc.). Erori rezultate din instalarea necorespunzătoare a SI. Corectitudinea indicațiilor seriei SI depinde de poziția părților mobile în raport cu cele fixe. Acestea includ toate SI, a căror principiu de acțiune este într-o oarecare măsură legat de echilibrul mecanic (balanțe pârghii, manometru cu piston de marfă). Deviația unui astfel de MI de la poziția corectă indicată în documentație poate duce la apariția unei erori în măsurare (precum și în cazul unei setări și etalonări incorecte la zero). Erori cauzate de influența influențelor externe - Acestea sunt erorile asociate cu expunerea la temperatura ambiantă SR, presiune, umiditate; gravitaționale, magnetice, câmpuri electrice etc. Erorile subiective (personale) - din cauza caracteristicilor individuale ale persoanei care efectuează măsurătorile (citirea incorectă a fracțiunilor unităților scalei, anticiparea sau întârzierea la citirea datelor etc.). * Prin natura comportamentului, erorile sistematice sunt împărțite în permanente și variabile. Variabilele, la rândul lor, sunt împărțite în progresiv, periodic și în schimbare, conform unei legi complexe. Erorile constante se caracterizează prin faptul că, pe întreaga durată a măsurării, mărimea și semnul lor rămân neschimbate (erori de măsurare, erori de calibrare ale scalelor instrumentale etc.). Erorile progresive în procesul de măsurare sunt în continuă scădere sau în creștere. Unul dintre motivele apariției lor poate fi scăderea treptată a tensiunii sursei de curent care alimentează circuitul de măsurare (de exemplu, bateriile și celulele galvanice la începutul lucrului sunt descărcate rapid, apoi pentru o perioadă lungă de timp - lent și uniform, la sfârșitul procesului se accelerează din nou), îmbătrânirea elementelor și etc .. Erorile periodice - schimbarea periodică a valorii și semnului. Acestea sunt caracteristice SI cu o scală de apelare, a cărei săgeată, atunci când este măsurată, face una sau mai multe întoarceri. Ele apar atunci când axa de rotație a săgeții nu coincide cu centrul cercului scalei. Erori care variază în funcție de o lege complexă: un exemplu este eroarea unui contor de energie electrică care depinde de sarcină. 2.3. Eliminarea erorilor sistematice. Erorile sistematice determină o schimbare în rezultatul măsurătorilor. Cel mai mare pericol în acest sens îl reprezintă erorile sistematice care rămân nedetectate și a căror existență nu este nici măcar suspectată. Nu sunt identificate erori sistematice ca fiind cauza repetată a unor descoperiri științifice eronate, stabilirea unor legi fizice false, desenarea nesatisfăcătoare a SI și respingerea producției. Erorile sistematice ar trebui identificate și eliminate, sau cumva luate în considerare! Metodele de contabilitate și excluderea erorilor sistematice pot fi împărțite în patru grupe: Eliminarea surselor de inexactitate înainte de începerea măsurătorilor (prevenirea erorilor); Eliminarea erorilor în procesul de măsurare (eliminarea experimentală a erorilor); Efectuarea modificărilor cunoscute ale rezultatului măsurătorilor (eliminarea erorilor prin calcul); Evaluarea limitelor erorilor sistematice, dacă nu pot fi excluse. Eliminarea surselor de eroare înainte de măsurători - acesta este modul cel mai rațional, deoarece scutește parțial sau total de necesitatea de a elimina erorile în procesul de măsurare sau de a calcula rezultatul cu modificările: sursele erorilor instrumentale ale unui specimen specific al SR pot fi eliminate înainte de începerea măsurărilor prin ajustarea sau repararea SR, necesitatea căreia este stabilită în timpul calibrării; înainte de măsurare, erorile sistematice rezultate din instalarea necorespunzătoare a MI pot fi eliminate; prin selectarea adecvată, erorile de metodă pot fi reduse la minimum; erorile din influența influențelor externe pot fi eliminate fie prin eliminarea directă a sursei impactului, fie prin protejarea SR și a obiectului de măsurare de influența acestor surse. Eliminarea erorilor sistematice în procesul de măsurare asociate, de regulă, cu necesitatea măsurărilor repetate. Prin urmare, astfel de metode sunt aplicabile în principal în măsurători de stabilitate PV, fenomene, parametri. Introducerea modificărilor cunoscute ale rezultatelor măsurătorilor. Prin această metodă de eliminare a erorilor sistematice, rezultatul măsurării este corectat prin calcul. Cea mai obișnuită modalitate de a face un amendament este sumarea algebrică a rezultatului măsurătorii și a modificării (luând în considerare semnul său). Corecția pentru valoarea numerică este egală cu eroarea sistematică și opusă semnului. Deci, este obișnuit să excludem o eroare aditivă. În unele cazuri, eroarea sistematică este eliminată prin înmulțirea rezultatului măsurării cu un factor de corecție apropiat de unul (acesta poate fi mai mult sau mai puțin de 1). Factorul de corecție în diferența față de corecție este utilizat atunci când eroarea multiplicativă este exclusă. Limitele erorilor sistematice sunt estimate în cazurile în care excluderea erorilor sistematice este aproape imposibilă. Poate fi: a) dacă erorile sistematice sunt insuficient studiate; b) pentru integrarea SI (contoare), ale căror erori sistematice sunt suficient studiate și susceptibile de a fi determinate, dar nu pot fi folosite pentru a modifica rezultatul. În principiu, erorile sistematice sunt valori deterministe. Cu toate acestea, în cazul în care acestea nu sunt supuse excluderii, este necesar să se limiteze la estimarea limitelor posibilelor valori, considerându-le variabile sau funcții aleatorii. Concluzie în cadrul secțiunii "Erorile sistematice": când se elaborează o nouă metodă de măsurare sau un SI nou, este necesar să se studieze și să se identifice toate erorile sistematice posibile. Neglijarea acestei reguli conduce deseori la faptul că noile dezvoltări și invenții în domeniul tehnologiei de măsurare nu se justifică în practică! Eroare sistematicăse numește componenta erorii de măsurare, rămânând constantă sau schimbată în mod regulat atunci când se efectuează măsurători repetate ale aceleiași valori. Se presupune că erorile sistematice reprezintă o funcție specifică a factorilor non-aleși, a căror compoziție depinde de caracteristicile fizice, structurale și tehnologice ale instrumentelor de măsurare, de condițiile de utilizare a acestora, precum și de calitățile individuale ale observatorului. Legile deterministe sofisticate care reglementează erorile sistematice sunt determinate fie atunci când se creează instrumente de măsurare și se completează echipamentele de măsurare, fie direct în pregătirea unui experiment de măsurare și în procesul de realizare a acestuia. Îmbunătățirea metodelor de măsurare, folosirea materialelor de înaltă calitate, tehnologia avansată - toate acestea permit în practică eliminarea erorilor sistematice, astfel încât atunci când prelucrarea rezultatelor observațiilor cu prezența lor nu trebuie adesea luată în considerare. Erorile sistematice sunt de obicei clasificate în funcție de motivele apariției acestora și de natura manifestării lor în timpul măsurătorilor. În funcție de cauzele apariției, sunt luate în considerare patru tipuri de erori sistematice. 1. Erori de metodă sau erori teoretice,care rezultă din inexactitatea sau din dezvoltarea insuficientă a teoriei acceptate a metodei de măsurare în ansamblu sau din simplificările efectuate în timpul măsurării. Erori ale metodei apar și atunci când extrapolează o proprietate măsurată pe o parte limitată a unui obiect la întregul obiect, dacă acesta din urmă nu posedă uniformitatea proprietății măsurate. Deci, presupunând că diametrul arborelui cilindric este egal cu rezultatul obținut prin măsurarea într-o singură secțiune și într-o direcție, permitem o eroare sistematică care este complet determinată de abaterile formei arborelui investigat. Atunci când se determină densitatea unei substanțe prin măsurarea masei și a volumului unei probe, apare o eroare sistematică dacă eșantionul conține o anumită cantitate de impurități și rezultatul măsurării este considerat o caracteristică a substanței - în general. Erorile metodei ar trebui să includă și acele erori care apar datorită influenței echipamentului de măsurare asupra proprietăților măsurate ale obiectului. Fenomenele similare se produc, de exemplu, atunci când se măsoară lungimea, când forța de măsurare a instrumentelor utilizate este suficient de mare, atunci când se înregistrează procese rapide cu echipamente care nu acționează suficient de repede, când se măsoară temperaturile cu termometre lichide sau gaze etc. 2. Eroare instrumentală,în funcție de erorile instrumentelor de măsurare utilizate.Între erorile instrumentale din grupul separat se remarcă erorile schemei, care nu au legătură cu inexactitatea fabricării dispozitivelor de măsurare și datorită originii lor în diagrama bloc a dispozitivelor de măsurare în sine. Studiul erorilor instrumentale este obiectul unei discipline speciale - teoria acurateței dispozitivelor de măsurare. 3. Erori cauzate de instalarea necorespunzătoare și de dispunerea reciprocă a dispozitivelor de măsurarefiind o componentă a unui singur complex, inconsecvența caracteristicilor lor, influența temperaturii externe, a gravitației, a radiațiilor și a altor domenii, instabilitatea surselor de energie, inconsecvența parametrilor de intrare și ieșire ai circuitelor electrice ale dispozitivelor etc. 4. Eroare personalădatorită caracteristicilor individuale ale observatorului. Acest tip de eroare este cauzată, de exemplu, de o întârziere sau de avans în înregistrarea unui semnal, o citire incorectă a zecilor din diviziunea scării, asimetria care apare atunci când un accident vascular cerebral este stabilit la jumătatea distanței dintre două riscuri. Prin natura comportamentului lor în procesul de măsurare, erorile sistematice sunt împărțite în permanente și variabile. Erori sistematice permanenteacestea apar, de exemplu, atunci când se stabilește o referință incorectă, o calibrare incorectă și o ajustare incorectă a instrumentelor de măsurare și rămân constante în timpul tuturor observațiilor repetate. Prin urmare, dacă apar, ele sunt foarte greu de detectat în rezultatele observațiilor. Printre erori sistematice variabileeste obișnuit să se facă distincție progresivă și periodică. Eroare progresivăapare, de exemplu, când se cântărește, când unul dintre brațele echilibrului echilibrului este mai aproape de sursa de căldură decât celălalt, prin urmare se încălzește mai repede și extins. Aceasta duce la o schimbare sistematică a originii și la o schimbare monotonă în citirile greutăților. Eroare periodicăeste inerent instrumentului de măsurare cu o scară circulară, dacă axa de rotație a indicatorului nu coincide cu axa scalei. Toate celelalte tipuri de erori sistematice se numesc erori care variază în funcție de o lege complexă. În cazurile în care se creează instrumentele de măsură necesare pentru o anumită configurație de măsurare, nu este posibilă eliminarea influenței erorilor sistematice, este necesar să se organizeze procesul de măsurare și să se efectueze o prelucrare matematică a rezultatelor. Metodele de tratare a erorilor sistematice constau în detectarea acestora și eliminarea ulterioară prin compensare parțială sau parțială. Principalele dificultăți, adesea insurmontabile, constau tocmai în detectarea erorilor sistematice, prin urmare, uneori este necesar să fim mulțumiți de analiza lor aproximativă. Metode pentru detectarea erorilor sistematice.Se vor numi rezultatele observațiilor obținute în prezența erorilor sistematice necorectatăși, spre deosebire de cele corectate, să le aprovizioneze cu accidente vasculare cerebrale (de exemplu, X1, X2etc). Mijloacele aritmetice și abaterile de la rezultatele observațiilor calculate în aceste condiții vor fi numite și necorectate și vom pune accidente pe simbolurile acestor cantități. Astfel, Întrucât rezultatele necorectate ale observațiilor includ erori sistematice, suma cărora pentru fiecare observare va fi notată cu 8., așteptarea lor nu coincide cu adevărata valoare a valorii măsurate și diferă de ea printr-o valoare 0, numită eroarea sistematică a mediei aritmetice necorectate . De fapt, Dacă erorile sistematice sunt constante, adică 0 / = 0, / = 1,2, ..., n,aceste deviații necorectate pot fi utilizate direct pentru a estima dispersia unui număr de observații. În caz contrar, este necesar să se corecteze mai întâi rezultatele măsurării individuale prin introducerea în ele a așa-numitelor corecții egale cu erorile sistematice de mărime și inverse în semne: Astfel, pentru a găsi media aritmetică corectată și pentru a estima dispersia acesteia față de valoarea reală a valorii măsurate, este necesar să se detecteze erorile sistematice și să se elimine prin introducerea de corecții sau care să corespundă organizării măsurătorilor corespunzătoare fiecărui caz specific. Să analizăm mai multe detalii despre unele metode de detectare a erorilor sistematice. Erorile sistematice permanente nu afectează valorile abaterilor aleatorii ale rezultatelor observațiilor din mijloacele aritmetice, prin urmare, nici o prelucrare matematică a rezultatelor observațiilor nu poate conduce la detectarea acestora. Analiza acestor erori este posibilă numai pe baza unor cunoștințe a priori ale acestor erori, obținute, de exemplu, la calibrarea instrumentelor de măsurare. Valoarea măsurată în timpul calibrării este de obicei reprodusă printr-o măsură exemplară, a cărei valoare reală este cunoscută. Prin urmare, diferența dintre media aritmetică a rezultatelor observării și valoarea măsurată cu o precizie determinată de eroarea de atestare a măsurării și de erorile de măsurare aleatorie este egală cu eroarea sistematică căutată. Una dintre modalitățile cele mai eficiente de a detecta erorile sistematice într-un număr de observații este reprezentată de reprezentarea secvenței valorilor necorectate ale deviațiilor aleatorii ale observațiilor din mediile aritmetice. Metoda considerată de detectare a erorilor sistematice constante poate fi formulată după cum urmează: dacă deviațiile necorectate ale rezultatelor observării se schimbă dramatic pe măsură ce condițiile de observare se modifică, atunci aceste rezultate conțin o eroare sistematică constantă în funcție de condițiile de observare. Erorile sistematice sunt valori deterministe, prin urmare, în principiu, ele pot fi întotdeauna calculate și excluse din rezultatele măsurătorilor. După eliminarea erorilor sistematice, obținem mijloace aritmetice corecte și abateri corectate ale rezultatelor observării, ceea ce ne permite să estimăm gradul de dispersie a rezultatelor. Pentru a corecta rezultatele observațiilor, ele sunt adăugate cu corecții egale cu erorile sistematice de mărime și inverse în semne. Modificarea este determinată experimental la calibrarea instrumentelor sau ca urmare a unor studii speciale, de obicei cu o anumită precizie limitată. Modificările pot fi specificate și sub formă de formule prin care acestea sunt calculate pentru fiecare caz specific. De exemplu, atunci când se măsoară și se calibrează manometrele standard, trebuie introduse corecții ale citirilor lor pentru valoarea accelerației gravitației locale. unde P- presiunea măsurată. Prin introducerea unui amendament, efectul unei singure erori sistematice bine definite este eliminat; de aceea, un număr foarte mare de corecții trebuie adesea introduse în rezultatele măsurătorilor. În acest caz, datorită preciziei limitate de determinare a corecțiilor, se acumulează erori aleatorii și variația rezultatului măsurătorilor crește. Eroarea sistematică rămasă după introducerea modificărilor la componentele sale cele mai semnificative include un număr de componente elementare, numite reziduurile ne-excluse de eroare sistematică.Acestea includ erori: Definițiile amendamentelor; În funcție de exactitatea măsurării cantităților de influență incluse în formulele de determinare a modificărilor; Asociat cu fluctuațiile variabilelor de influență (temperatura ambiantă, tensiunea de alimentare etc.). Erori enumerate sunt mici, iar corecțiile pentru ele nu sunt introduse. Eroare sistematicăse numește eroarea rămasă constantă sau în mod regulat în timp în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași valori. Un exemplu de eroare sistematică, care se schimbă în mod natural în timp, poate servi ca setări de dispozitiv offset în timp. Eroare la întâmplare măsurarea se numește eroare, care, atunci când măsoară în mod repetat aceeași valoare, nu rămâne constantă. De exemplu, când se măsoară cilindrul cu același dispozitiv în aceeași secțiune, se obțin diferite valori ale valorii măsurate. Erorile sistematice și aleatorii apar cel mai adesea simultan. Pentru a descoperi eroarea sistematică, se fac măsurători repetate ale unei măsuri exemplare, iar valoarea medie a mărimii este determinată din rezultatele obținute. Abaterea valorii medii din mărimea măsurii modelului caracterizează eroarea sistematică, care se numește "eroare medie aritmetică" sau "deviație medie aritmetică". Eroarea sistematică are întotdeauna un semn de abatere, adică "+" sau "-". Eroarea sistematică poate fi exclusă prin introducerea unui amendament. În pregătirea măsurătorilor exacte, trebuie să vă asigurați că nu există o tendință constantă în această serie de măsurători. Pentru aceasta există metode speciale. Eroare sistematică și periodică, spre deosebire de constante, pot fi detectate prin măsurători multiple. Prelucrarea datelor și estimarea parametrilor de eroare aleatorii se fac prin metodele de statistică matematică prezentate în. Când se calculează marja de eroare măsurătorile determină valoarea numerică a erorii de măsurare din toate componentele și efectuează suma: unde semnele "+" sau "-" sunt puse din condiția că erorile sistematice și aleatorii sunt sumate modulo. În cazul în care eroarea aleatoare este cunoscută abaterea standard patratică, atunci unde K este un indicator care indică limitele de încredere pentru eroarea limită de măsurare aleatorie (la K = 1 r = 0,65; la K = 2 p = 0,945; la K = 3 r = 0,9973). Dacă rezultatele măsurătorilor depind de un număr mare de diferiți factori, atunci unde X i - parametrii funcționali variabili. Fiecare parametru poate avea o abatere Δ x i (eroare) de la valoarea prescrisă x i. Deoarece eroarea Δ x i mic comparativ cu x i eroare totală Δ x y funcții y poate fi calculată prin formula: unde dy / dx i - parametru de viteză (coeficient de influență) x i. Formula (3.1) este valabilă numai pentru erorile sistematice Δ x i. Pentru erorile întâmplătoare (când componentele individuale nu iau întotdeauna valorile limită) se utilizează teoremele teoriei probabilității de dispersie, adică, Dacă există atât componente sistematice, cât și aleatoare ale erorilor, se calculează limitele de încredere ale erorii totale: unde k este factorul de scalare al intervalului de distribuție, în funcție de legea distribuției și nivelul de încredere adoptat. Deci, cu un nivel de încredere P = 0,95 pentru legea distribuirii normale k= 2, și pentru legea lui Maxwell k = 3,6. exemplu. Ca urmare a măsurătorilor și a calculului ulterior folosind formula (3.1), eroarea sistematică totală a rezultatului măsurării este Δ = -0,7 μm, pătratul mediu al acestui rezultat al măsurării, calculat prin formula (3.2) σu = 0,4 μm. Limita erorii admise δ meas = +1 micron. Apoi limitele de încredere superioare și inferioare ale erorii cu probabilitate de încredere P = 0,95. Sarcina imediată de măsurare este de a determina valorile valorii măsurate. Ca urmare a măsurării unei cantități fizice cu o valoare reală a lui Chi, obținem o estimare a acestei cantități, Hizm. - rezultatul măsurătorii. În acest caz, două concepte trebuie distinse clar: adevărate valori
cantitatile fizice si manifestarile lor empirice - valori reale
care sunt rezultatele măsurătorilor și într-o sarcină specifică de măsurare pot fi luate ca valori reale. Valoarea reală a cantității este necunoscută și se utilizează numai în studiile teoretice. Rezultatele măsurătorilor sunt produse de cunoștințele noastre și sunt estimări aproximative ale valorilor cantităților care sunt în proces de măsurare. Gradul de aproximare a estimărilor obținute la valorile reale ale valorilor măsurate depinde de mai mulți factori: metoda de măsurare, instrumentele de măsură utilizate și erorile acestora, proprietățile organelor senzoriale ale operatorilor care efectuează măsurătorile, condițiile în care sunt efectuate măsurătorile etc. Prin urmare, există întotdeauna o diferență între valoarea reală a unei cantități fizice și rezultatul măsurării, care este exprimată eroare de măsurare
(la fel ca eroarea rezultatului măsurării). Deoarece valoarea adevărată a valorii măsurate este întotdeauna necunoscută și în practică avem de-a face cu valori reale xg, formula de determinare a erorii în legătură cu aceasta are forma: Sarcina de măsurare este de a obține valorile unei cantități fizice care caracterizează proprietățile corespunzătoare ale obiectului real de măsurare. Cu toate acestea, datorită faptului că adevărata valoare a cantității măsurate nu ne este cunoscută, apare întrebarea - ce ar trebui să măsuram atunci? Pentru a răspunde la această întrebare, introducem o imagine idealizată a obiectului de măsurare - model de obiect de măsurare
, ale căror parametri corespunzători pot fi cel mai bine reprezentați ca fiind valoarea reală a cantității măsurate. Modelul unui obiect real de măsurare reprezintă, de obicei, o parte din acesta abstracție
iar definiția sa se formează pe baza reprezentărilor logice, fizice și matematice. Ca exemplu, să luăm în considerare soluția celei mai simple probleme de măsurare adesea luată în considerare în literatură - determinarea diametrului unui disc. Obiectul real al măsurării - discul, este reprezentat de modelul său matematic - un cerc. În acest caz, se presupune că diametrul unui cerc reflectă în mod ideal proprietatea unui disc real, numit diametrul acestuia. Prin definiție, diametrul cercului este același în toate direcțiile, prin urmare, pentru a verifica conformitatea modelului nostru cu un obiect real (disc), trebuie să măsurăm discul în mai multe direcții. Din rezultatele măsurătorilor obținute pot rezulta două concluzii. Eroarea rezultatelor măsurătorii are mai multe componente, fiecare dintre acestea datorându-se diferiților factori și surse. O abordare tipică a analizei și estimării erorilor este aceea de a izola aceste componente, de a le studia separat și de a le însuma în conformitate cu regulile acceptate. După determinarea parametrilor cantitativi ai tuturor componentelor erorii și cunoașterea modalităților de sumare a acestora, se poate estima corect eroarea rezultatului măsurătorii și, dacă este posibil, se corectează prin introducerea corecțiilor. Prin gruparea cauzelor de mai sus și a celorlalte erori de măsurare, ele pot fi împărțite în erori metoda de măsurare
, instrumente de măsurare (instrument
) și operator
efectuarea măsurătorilor. Imperfecțiunea fiecărei componente de măsurare contribuie la eroarea de măsurare. Prin urmare, în general, eroarea poate fi exprimată prin următoarea formulă: Clasificarea de mai sus a erorilor de măsurare este legată de cauze
apariția lor. În plus, există și alte semne prin care sunt clasificate erorile. În prezența unor erori de măsurare aleatorii se recurge la observații repetate și prelucrarea statistică ulterioară a rezultatelor acestora. Rezultatele observațiilor și măsurătorilor și erorile aleatorii sunt considerate ca fiind aleatoare variabile
adică, cantitățile care caracterizează un fenomen aleatoriu și ca rezultat al măsurătorilor iau una sau alta valoare. Prelucrarea rezultatelor acestor observații este posibilă dacă dispersia lor detectează anumite statistic
legii
. Dacă rezultatele observațiilor sunt împrăștiate în mod arbitrar, atunci nu este posibil să se utilizeze metode de prelucrare a acestor observații și să se obțină un rezultat de măsurare. Variabila variabilă este cea mai bună și cuprinzătoare caracterizată în teoria probabilităților legea distribuirii sale
. Această lege stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatorii și probabilitățile corespunzătoare ale apariției acestora. Există două forme de descriere a legii de distribuție a unei variabile aleatorii - diferențial și integral
. În plus, în metrologie se utilizează în principal forma diferențială - legea distribuției probabilitatea de densitate
aleatoare variabilă. Sarcina de măsurare este de a găsi cea mai bună estimare a valorii măsurate de observațiile obținute - rezultatul măsurării
și să evalueze acuratețea acestui rezultat, adică gradul de apropiere de valoarea reală a - erorile de măsurare
. În acest caz, se crede că este cunoscută legea distribuirii observațiilor și erorilor. dedesubt evaluare
în acest caz, se înțelege că se găsesc valorile parametrilor acestor distribuții ale variabilelor aleatorii pentru un număr limitat de observații. Estimările obținute ale parametrilor distribuțiilor sunt doar aproximări față de valorile reale ale acestor parametri și sunt utilizate ca urmare a măsurătorilor și a erorilor acestora. Pentru ca estimarea obținută din rezultatele observațiilor multiple să fie utilizată ca parametru al funcției de distribuție a unei variabile aleatorii, ea trebuie să îndeplinească mai multe cerințe - să fie consecventă, imparțială și eficientă. Modalitățile de a găsi valori ale unei variabile aleatorii depind de tipul funcției sale de distribuție. Cu toate acestea, în practică, astfel de funcții sunt de obicei necunoscute. Dacă natura aleatorie a observațiilor rezultă din erorile de măsurare, atunci se crede că observațiile au distribuția normală
. Acest lucru se datorează faptului că erorile de măsurare sunt compuse dintr-un număr mare de tulburări mici, dintre care nici una nu predomină. Potrivit aceleași teoremă limită centrală
suma unui număr infinit de mare de variabile aleatoare infinitezimale independente cu orice distribuție are distribuția normală
. Distribuția normală pentru O altă distribuție aleatorie obișnuită în metrologie este distribuție uniformă
- distribuția la care variabila aleatoare ia valori într-un interval finit de la x1 până la x2 cu densitate constantă de probabilitate. Estimările de mai sus ale parametrilor de distribuție ale variabilelor aleatorii sub forma unei medii aritmetice pentru estimarea așteptărilor și abaterea standard pentru estimarea varianței sunt numite estimări punct
, deoarece sunt exprimate printr-un singur număr. Cu toate acestea, în unele cazuri, cunoașterea unei estimări punctuale este insuficientă. Cea mai corectă și cea mai vizuală estimare a erorii de măsurare aleatorie este estimarea folosind intervale de încredere.
Probabilitățile de încredere pentru exprimarea rezultatelor măsurătorilor și a erorilor în diferite domenii ale științei și tehnologiei sunt considerate egale. Astfel, în măsurătorile tehnice, se presupune un nivel de încredere de 0,95. Doar pentru măsurătorile deosebit de precise și responsabile, obțineți un nivel de încredere mai ridicat. De regulă, metrologia folosește probabilități de încredere de 0,97, în cazuri excepționale 0,99. Trebuie notat că precizia măsurătorilor trebuie să corespundă sarcinii de măsurare stabilite. Acuratețea excesivă duce la cheltuieli nejustificate de fonduri. Acuratețea insuficientă a măsurătorilor poate duce la adoptarea unor decizii eronate bazate pe rezultatele sale cu consecințele cele mai imprevizibile, până la pierderi materiale grave sau dezastre. Atunci când efectuați mai multe măsurători ale xrespectând distribuția normală, intervalul de încredere poate fi construit pentru orice probabilitate de încredere folosind formula: Detectarea și eliminarea erorilor sistematice este o sarcină complexă care necesită o analiză aprofundată a întregului set de observații, instrumente folosite, metode și condiții de măsurare. Trebuie remarcat faptul că eliminarea erorilor sistematice nu se realizează prin procesarea matematică a rezultatelor observațiilor, ci prin utilizarea unor metode de măsurare
. În special, prin măsurarea diverselor metode independente
sau efectuarea de măsurători cu aplicare paralelă instrumente de măsură mai precise.
Erorile sistematice sunt eliminate prin introducerea amendamente
care sunt în moduri diferite și reprezintă valorile erorilor absolute care sunt scăzute din rezultatul măsurătorilor. Astfel, componentele instrumentale ale erorilor sistematice se regăsesc în rezultate verificare
instrumente de măsurare. Aplicarea acestei reguli permite sintetizarea statistică a componentelor unei erori sistematice. În conformitate cu aceasta, în lipsa informațiilor suplimentare, reziduurile neefectuate de erori sistematice sunt considerate variabile aleatorii cu distribuție uniformă
. Principalele prevederi ale metodelor de prelucrare a rezultatelor măsurărilor directe cu observații multiple sunt definite în GOST 8.207-76. grupuri de observare: aritmetică) Există diverse metode aproximative pentru verificarea normalității distribuirii rezultatelor observațiilor. Unele dintre ele sunt date în GOST 8.207-76. Atunci când numărul de observații este mai mic de 15, în conformitate cu această GOST, apartenența lor la distribuția normală nu este verificată. Limitele de încredere ale erorilor aleatorii se determină numai dacă se cunoaște în prealabil că rezultatele observațiilor aparțin acestei distribuții. Aproximativ natura distribuției poate fi judecată prin construirea unei histograme a rezultatelor observațiilor. Metodele matematice pentru verificarea normalității distribuției sunt discutate în literatura de specialitate. unde tq - Coeficientul studenților, în funcție de numărul de observații și de nivelul de încredere. De exemplu, când n= 14, P= 0,95 tq = 2,16. Valorile acestui coeficient sunt prezentate în anexa la prezentul standard. Dacă, atunci SNR este neglijat în comparație cu erorile aleatorii și marja de eroare a rezultatului D =
e..
Dacă\u003e 8, atunci eroarea aleatorie poate fi neglijată și marja de eroare a rezultatului D =
Θ .
Dacă ambele inegalități nu sunt îndeplinite, atunci marja de eroare a rezultatului se găsește prin construirea unei compoziții a distribuțiilor de erori aleatorii și a SNR prin formula: K - coeficientul în funcție de raportul dintre eroarea aleatorie și SNR; Så
- evaluarea deviației standard totale a rezultatului măsurătorii. Estimarea abaterii standard totale este calculată prin formula: În inginerie, majoritatea măsurătorilor sunt individual-guvernamentale
, Ie pentru a obține rezultatul măsurătorilor folosind o singură citire a instrumentului. Acest tip include, de exemplu, măsurători în timpul monitorizării dozimetrice individuale, în care se utilizează adesea un detector. Rezultatul unei singure măsurători include toate erorile inerente (instrumentale, metodice, subiective), fiecare dintre acestea putând conține componente atât sistematice, cât și aleatoare. Dacă este necesar exact
pentru a estima eroarea rezultatului măsurătorii, este necesar să identificăm și să evaluăm toate componentele erorilor și să le sumăm. Dacă este necesar să se ia în considerare ambele componente, apoi ca marjă de eroare a rezultatului măsurătorii D eroarea pătrată totală este luată Så
,
calculată prin formula din secțiunea 4.7, cu determinarea deviației standard a rezultatului măsurătorii și a coeficientului semi-empiric K. Pentru a exclude erorile brute, măsurarea unică ar trebui repetată de 2-3 ori, iar media aritmetică ar trebui luată ca rezultat. Metodele de prelucrare a rezultatelor măsurărilor indirecte sunt stabilite în Ghidul metodologic RD 50-555-85 "Măsurători indirecte. Determinarea rezultatelor măsurării și estimarea erorilor acestora ". Pentru uniformitatea exprimării rezultatelor măsurătorilor și a erorilor, formele de prezentare a acestora sunt standardizate. Regulile de bază sunt după cum urmează. 4. Dacă cifra descendentă este 5 și cifrele care urmează sunt necunoscute sau egale cu zero, atunci ultima cifră salvată nu este modificată, dacă este uniformă și este mărită, dacă este ciudată: 10,5®10; 11,5®12.
Erorile sistematice și aleatorii
Din moment ce Δy sum n\u003e δ ism, metoda selectată și instrumentul de măsurare nu îndeplinesc cerințele de precizie. Prin urmare, este necesar să se compenseze componenta sistematică a erorii, de exemplu, prin realizarea unui eșantion pentru ajustarea mijloacelor de măsurare. Dimensiunea eșantionului ar trebui să fie mai mare decât dimensiunea inițială cu 0,7 microni; atunci inegalitatea este de 0,8< 1 мкм и проведенные измерения будут удовлетворять требованиям по точности.4.1 Conceptul de eroare de măsurare
Eroare de măsurare
- deviația rezultatului măsurătorii de la valoarea reală (valabilă) a valorii măsurate:
4.2 Modele de obiecte și erori de măsurare
Dacă scatterul valorilor măsurate, adică diferențele rezultatelor măsurării între ele, nu depășesc eroarea de măsurare a diametrului discului specificat în sarcina de măsurare, atunci oricare dintre valorile obținute poate fi luată ca rezultat al măsurării.
Dacă diferența rezultatelor măsurării depășește eroarea specificată de măsurare, aceasta înseamnă că modelul adoptat nu este potrivit pentru această sarcină de măsurare și este necesar să se introducă un nou model al obiectului de măsurare. Un astfel de model, de exemplu, poate fi un cerc având un diametru egal cu cea mai mare valoare măsurată (descriind un cerc).
Un alt exemplu este măsurarea zonei unei încăperi. Reprezentând podeaua camerei sub forma unui dreptunghi, suprafața sa poate fi găsită ca produs al lungimii camerei cu lățimea. Dar dacă se dovedește că lățimea camerei nu este aceeași pe toată lungimea ei, atunci este necesar să adoptați un alt model - de exemplu, pentru a reprezenta podeaua camerei ca un trapez și pentru a determina zona utilizând o altă formulă.
În mod similar, modelul de măsurare introduce conceptul modele de eroare de măsurare
. De exemplu, divizarea erorilor în funcție de originea, proprietățile, metodele de exprimare etc. Deci, modelele probabiliste sunt cele mai des folosite pentru a exprima erori aleatorii. În acest caz, eroarea aleatorie este caracterizată nu de o singură valoare, ci de intervalul de valori în care poate fi cu o anumită probabilitate. Pentru modelul de eroare selectat, se stabilesc legile distribuției și parametrii acestor distribuții, care sunt indicatori ai erorii, precum și metodele statistice pentru estimarea acestor parametri din rezultatele măsurătorilor. Detalii despre modelul de eroare de măsurare vor fi discutate mai jos.4.3 Surse de eroare de măsurare
Mai jos sunt câteva surse de
apariția dimensiunilor de măsurare:
unde DM este eroarea metodică (eroare de metodă); DI - eroare instrumentală (eroare a instrumentelor de măsurare); DL - eroare personală (subiectivă).
Principalele cauze ale erorilor instrumentale sunt prezentate în secțiunea privind instrumentele de măsurare.
Eroare metodică
apare din cauza dezavantajelor metodei de măsurare utilizate. Cel mai adesea aceasta este o consecință a diferitelor ipoteze atunci când se utilizează dependențe empirice între valorile măsurate sau simplificările constructive ale instrumentelor utilizate în această metodă de măsurare.
Eroare subiectivă
asociate cu astfel de caracteristici individuale ale operatorilor ca atenție, concentrare, capacitate de reacție, grad de pregătire profesională. Astfel de erori sunt mai frecvente cu o mare parte a muncii manuale în timpul măsurătorilor și sunt aproape absente atunci când se utilizează instrumente automate de măsurare.4.4 Clasificarea erorilor de măsurare
pe natura manifestării
(proprietățile erorilor) ele sunt împărțite în sistematic și aleatoriu, conform moduri de exprimare
- absolută și relativă.
Eroare absolută
exprimată în unități de valoare măsurabilă și eroare relativă
este raportul erorii absolute la valoarea măsurată (reală) a cantității și valoarea numerică a acesteia este exprimată fie în procente, fie în fracțiile unei unități.
Experiența în efectuarea măsurătorilor arată că, cu măsurători repetate ale aceleiași cantități fizice constante în condiții constante, eroarea de măsurare poate fi reprezentată ca doi termeni, care se manifestă diferit de la măsurare la măsurare. Există factori care modifică constant sau în mod regulat procesul de măsurare și afectează rezultatul măsurătorii și eroarea sa. Sunt numite erorile cauzate de astfel de factori sistematică.
Eroare sistematică
- componenta erorii de măsurare, rămânând constantă sau schimbată în mod regulat atunci când măsurători repetate cu aceeași valoare. În funcție de natura schimbării, erorile sistematice sunt împărțite în permanent, progresiv, periodic, schimbând în conformitate cu o lege complexă.
Se reflectă apropierea de eroarea sistematică zero măsurarea corectă
.
Erorile sistematice sunt estimate, de obicei, fie teoretice analiza condițiilor de măsurare
pe baza proprietăților cunoscute ale instrumentului de măsurare sau a utilizării mijloace mai precise
de măsurare
. De regulă, erorile sistematice sunt încercate să fie eliminate cu ajutorul amendamentelor. corecție
reprezintă valoarea valorii introduse în rezultatul măsurării necorectate pentru a elimina erorile sistematice. Semnul amendamentului este opus semnului de mărime. Apariția erorilor este, de asemenea, influențată de factori care apar în mod neregulat și dispar brusc. În plus, intensitatea acestora nu rămâne constantă. Rezultatele măsurării în astfel de condiții au diferențe care sunt imprevizibile individual, iar modelele lor inerente apar numai cu un număr semnificativ de măsurători. Sunt numite erori care rezultă din acțiunea unor astfel de factori aleatoare
.
Eroare la întâmplare
- componenta erorii de măsurare, schimbarea aleatorie (prin semn și valoare) în timpul măsurătorilor repetate cu aceeași valoare, efectuată cu aceeași grijă.
Semnificația erorilor aleatorii indică un lucru bun convergență
măsurători
adică, în apropierea reciprocă a măsurătorilor efectuate în mod repetat prin aceleași mijloace, prin aceeași metodă, în aceleași condiții și cu aceeași grijă.
Erorile întâmplătoare sunt detectate de către măsurători repetate
de aceeași mărime în aceleași condiții. Ele nu pot fi excluse empiric, dar pot fi evaluate prin prelucrarea rezultatelor observațiilor. Divizarea erorilor de măsurare în mod aleatoriu și sistematic este foarte importantă, deoarece contabilitatea și evaluarea acestor componente ale erorilor necesită abordări diferite.
Factorii care cauzează erori, ca regulă, pot fi reduse la un nivel general, când influența lor asupra formării erorilor este mai mult sau mai puțin aceeași. Cu toate acestea, unii factori pot apărea neașteptat de puternici, de exemplu o scădere puternică de tensiune în rețea. În acest caz pot să apară erori care depășesc în mod semnificativ erorile justificate de condițiile de măsurare, de proprietățile instrumentelor de măsurare și de metoda de măsurare și de calificările operatorului. Astfel de erori sunt numite dur sau pierde
.
Eroare grosieră (alunecare
) - eroarea rezultatului unei măsurători individuale care este inclusă într-o serie de măsurători, care pentru aceste condiții diferă brusc de celelalte valori ale erorii. Erorile grave ar trebui să fie întotdeauna excluse din considerație dacă se știe că acestea sunt rezultatul unor erori evidente ale măsurătorilor. Dacă nu se pot stabili cauzele apariției unor observații distincte, atunci metodele statistice sunt folosite pentru a rezolva problema excluziunii lor. Există mai multe criterii care vă permit să identificați erorile brute. Unele dintre ele sunt discutate mai jos în secțiunea privind prelucrarea rezultatelor măsurătorilor.4.5 Erorile aleatorii
4.5.1 Stabilitatea statistică a distribuției observării
Prin urmare, atunci când se formulează o sarcină specifică de măsurare și când se obțin rezultate de observație, este mai întâi necesar să se verifice prezența modelelor în distribuția observațiilor. Dacă se găsesc astfel de modele, distribuția observațiilor are rezistența statistică
iar pentru prelucrarea lor este posibil să se aplice metodele teoriei probabilității și statisticilor matematice. Trebuie remarcat faptul că detectarea regularității statistice în distribuirea rezultatelor observațiilor se efectuează după excluderea de la ele a tuturor erorilor sistematice cunoscute.4.5.2 Diferențial
și legile integrale ale distribuției aleatoare variabile
Legea diferențială de distribuție
caracterizat prin distribuția densității de probabilitate
f
(
x
)
aleatoare variabilă x. probabilitate P lovind o variabilă aleatorie în intervalul de la x1 până la x2 este dată de formula: 
Din punct de vedere grafic, această probabilitate este raportul ariei de sub curbă f(x)
în intervalul x1 până la x2 la suprafața totală delimitată de întreaga curbă de distribuție. Ca regulă, suprafața sub întreaga curbă de distribuție a probabilității este normalizată la una.
În acest caz, distribuția este continuu
aleatoare variabilă. În plus față de ele, există distinct
aleatoare variabile care iau o serie de valori specifice care pot fi numerotate.
Legea distribuției integrale a unei variabile aleatorii
este o funcție F(x),
definite de formula 
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să fie mai mică x1 dată de valoarea funcției F(X) la x = x1:
Deși legea distribuției variabilelor aleatorii este caracteristica lor complet probabilistică, găsirea acestei legi este o sarcină destul de dificilă și necesită numeroase măsurători. De aceea, în practică, pentru a descrie proprietățile unei variabile aleatoare, diferite caracteristicile numerice ale distribuțiilor
. Acestea includ momente
aleatoare: primar și central
care sunt unele valorile medii
. Mai mult, dacă valorile măsurate de la origine sunt medii, atunci sunt solicitate momentele inițială
, și dacă de la centrul de distribuție - atunci central
.
Momentul inițial
k
ordine
este determinată de formula: 
Cel mai mare interes practic este momentul inițial al ordinului întâi - așteptarea unei variabile aleatorii
m1
(k=1
):
Așteptarea determină poziția centru de grupare
aleatorie în jurul căreia se observă împrăștiere. O estimare experimentală a așteptărilor pentru măsurători multiple este media aritmetică
valoarea măsurată.
Momentul central
k
ordine
este determinată de formula: 
Momentul central al ordinii a doua joacă un rol deosebit. Se numește variație
D
aleatoare variază și caracterizează imprastiere
valorile sale individuale: 
În practică, mai des folosită deviația standard σ (MSD)
aleatorie definită de formula:
Într-un studiu mai detaliat al distribuțiilor unei variabile aleatoare, se utilizează momente de ordine superioare. Deci, orice moment central ciudat caracterizează asimetrie
distribuție. De exemplu, cel de-al treilea punct este folosit pentru a găsi coeficientul de asimetrie
curba de distribuție în raport cu așteptările. Momentul central al patrulea caracterizează claritatea topului curbei de distribuție.4.5.3 Caracteristicile evaluării valorii măsurate
O evaluare solidă este
aceasta este o estimare care, având în vedere creșterea numărului de observații, tinde să se estimeze valoarea reală a parametrului.
O estimare imparțială
- scorul, așteptările matematice ale cărora sunt egale cu valoarea reală a parametrului care este estimat.
Evaluare efectivă
- o estimare care are cea mai mică variație în comparație cu orice altă estimare a acestui parametru.
Metodele de estimare a parametrilor distribuțiilor și, în funcție de acestea, rezultatele măsurătorilor și erorile acestora depind de tipul funcției de distribuție și de acorduri de prelucrare a rezultatelor măsurătorilor
, care sunt standardizate în cadrul metrologiei legale în documentația de reglementare.4.5.4 Exemple de distribuire a variabilelor aleatoare
aleatoare variabilă xcu așteptări matematice și dispersie s are forma:
În realitate, chiar și impactul unui număr limitat de tulburări conduce la o distribuție normală a rezultatelor măsurătorilor și a erorilor acestora. În prezent, aparatul matematic cel mai complet dezvoltat este pentru variabilele aleatoare cu o distribuție normală. Dacă se respinge presupunerea că distribuția este normală, prelucrarea statistică a observațiilor devine mult mai complicată și în acest caz este imposibil să se recomande o metodă generală de prelucrare statistică a observațiilor. Adesea, nici măcar nu se știe care caracteristică a distribuției poate servi ca o estimare a valorii reale a cantității măsurate.
Cele de mai sus reprezintă o expresie analitică pentru distribuția normală pentru o cantitate măsurată aleator. x. Trecerea la distribuirea normală a erorilor aleatorii
realizată prin transferarea centrului distribuțiilor și depunerea de-a lungul abscisei erorii .
Distribuția normală este caracterizată de doi parametri: așteptarea m1
și deviația standard σ.
Cu mai multe măsurători, o evaluare imparțială, consecventă și eficientă m1
pentru un grup de n Observațiile sunt media aritmetică:
.
Trebuie spus că media aritmetică oferă o estimare a așteptării rezultatului observațiilor și poate fi evaluarea valorii adevărate (valide)
numai valoarea măsurată după excludere
erori sistematice.
evaluare S deviația standard (RMS) este dată de formula: 
Această evaluare este caracterizată imprastiere
măsurarea unică rezultă dintr-o serie de măsurători egale cu aceeași valoare în jurul valorii medii.
Alte estimări ale dispersiei rezultatelor într-o serie de măsurători sunt mătura
(diferența dintre valorile cele mai înalte și cele mai scăzute), modulul eroare medie aritmetică
(suma aritmetică a erorilor împărțită la numărul de măsurători) și limita de încredere a erorii (discutată în detaliu mai jos).
RMS este cea mai convenabilă caracteristică a erorii în cazul conversiei ulterioare. De exemplu, pentru câțiva termeni necorelați ai MSE, suma este determinată de formula:
.
Estimarea S caracterizează împrăștierea rezultatelor unice ale observațiilor relative la valoarea medie, adică dacă luăm rezultatul individual corectat al observațiilor ca rezultat al măsurării. Dacă media aritmetică este luată ca rezultat al măsurării, atunci abaterea medie este determinată de formula: 
Distribuția normală a erorilor are următoarele proprietăţi
:
Funcția diferențială a distribuției uniforme este:
f(x) = cla x1£
x£
x2
f(x) = 0
la x2<
x<
x1
Când normalizăm zona curbei de distribuție cu una, descoperim acest lucru s (x2 - x1) = 1 și c = 1 / (x2 - x1).
Distribuția uniformă este caracterizată de așteptări matematice, variante sau MSE.
În plus față de exemplele considerate de distribuție a variabilelor aleatoare, există și alte aspecte importante pentru utilizarea practică a distribuției de variabile aleatoare discrete, de exemplu, distribuția binomică și distribuția poisson
. Nu sunt acoperite de acest curs.4.5.5 Intervale de încredere
DistanŃa simetrică în limitele ± Δx (P) Se numește interval de încredere
aleatorie cu probabilitate de încredere Pdacă suprafața curbei de distribuție dintre abscis este bHși + bH este sus P- o parte din suprafața totală sub curba densității de probabilitate. Când se normalizează întreaga suprafață pe unitate P reprezintă o parte a acestei zone în fracțiuni ale unei unități (sau procentaj). Cu alte cuvinte, în intervalul -
Dx (r) până la +
Dx (r) cu o anumită probabilitate P găsit P× 100% din toate valorile posibile ale erorii aleatorii.
Intervalul de încredere pentru distribuția normală se găsește prin formula:
unde este coeficientul t depinde de nivelul de încredere P.
Pentru o distribuție normală există următoarele relații între intervalele de încredere și probabilitatea de încredere: 1s (P = 0,68), 2s (P = 0,95), 3s (P = 0,997), 4s (P = 0,999).
unde tq- Coeficientul studenților, în funcție de numărul de observații n și nivel de încredere selectat P. Se determină folosind tabelul qprocent din distribuția studenților t, care are doi parametri: k =
n - 1 și q= 1 - P; - Estimarea deviației standard a mediei aritmetice.
Interval de încredere pentru eroare Dx (r) vă permite să construiți intervalul de încredere pentru valoarea adevărată (reală) a valorii măsurate
a cărui estimare este media aritmetică. Valoarea reală a valorii măsurate este cu o probabilitate de încredere P în intervalul :. Intervalul de încredere vă permite să aflați cât de mult poate fi obținută estimarea valorii măsurate obținută ca urmare a acestei serii de măsurători atunci când se efectuează o serie de măsurători repetate în aceleași condiții. Trebuie remarcat faptul că intervalele de încredere sunt construite pentru non-aleatoare
ale căror valori sunt necunoscute. Acestea sunt valoarea reală a valorii măsurate și a deviațiilor standard. În același timp, estimările acestor cantități, obținute ca urmare a prelucrării datelor observaționale, sunt variabile aleatorii.
Dezavantajul intervalelor de încredere în estimarea erorilor aleatorii este că, în cazul probabilităților de încredere alese arbitrar, este imposibil să se rezume mai multe erori, deoarece intervalul de încredere al sumei nu este egal cu suma intervalelor de încredere .
Variațiile variabilelor aleatorii independente sunt însumate. :
Då = åDi .
Adică, pentru a putea rezuma, componentele erorii aleatorii ar trebui să fie reprezentate de abaterea lor standard, și nu de erori de limitare sau de încredere.4.6 Erorile sistematice
Sunt unele speciale tehnicile de măsurare
care permit excluderea unor părți ale erorilor sistematice:
Modificări aduse contului afectând cantitățile
calculat folosind funcții sau factori de influență
în funcție de rezultatele măsurătorilor auxiliare ale acestor cantități. Dar introducerea de amendamente nu exclude complet erori sistematice, deoarece există, de exemplu, erori în stabilirea modificărilor. Aceste părți care nu sunt excluse sunt reziduuri ne-excluse de erori sistematice (NSP).
Deoarece este imposibil să se elimine complet erorile sistematice, apare problema estimării limitelor sau a altor parametri ai acestor erori. De regulă, eroarea sistematică a rezultatului măsurătorii este estimată prin metoda sa part-guvernare,
. Aceste componente sunt fie cunoscute în prealabil, fie pot fi determinate folosind date auxiliare, de exemplu, calculate pentru fiecare dintre cantitățile de influență. În calitatea lor pot fi erorile de determinare a amendamentelor. Eroarea sistematică ne-exclusă se caracterizează prin: de frontieră
fiecare dintre componentele sale.
Aceasta ridică provocarea însumării
componente ale erorilor sistematice. În acest caz, componentele trebuie considerate ca variabile aleatoare și sunt însumate prin metodele teoriei probabilității, ceea ce implică cunoașterea funcției de distribuție a acestor componente. Cu toate acestea, legea de distribuire a componentelor elementare ale erorii, ca regulă, este necunoscută. Prin urmare, rezumarea urmează: regulă practică
bazat pe bun simț și intuiție:
Limitele erorilor sistematice care nu sunt excluse
Q atunci când numărul de termeni este mai mare sau egal cu 4 se calculează cu formula: 
unde este granița eu-la componentă a erorii; k - coeficientul determinat de probabilitatea de încredere. la P= 0,95 k = 1.1, cu P= 0,99 k = 1,4.
Când numărul de termeni este mai mic sau egal cu 3, valorile sunt sumate modulo aritmetic. Dacă rezumăm NSP aritmetic cu orice număr de termeni, atunci estimarea rezultată va fi, deși fiabilă, dar supraestimată.
Probabilitatea de încredere pentru calcularea limitelor erorii sistematice ne-excluse se presupune a fi aceeași ca și în calculul limitelor de încredere ale erorii aleatorii.4.7 Metode de prelucrare a rezultatelor măsurărilor directe
Pentru a obține rezultatul măsurătorii media aritmetică
date nobservații din care sunt excluse erorile sistematice. Se presupune că rezultatele observațiilor după excluderea erorilor sistematice din partea acestora aparțin distribuirii normale. Pentru a calcula rezultatul măsurării, este necesar să se excludă o eroare sistematică din fiecare observație și să se obțină rezultatul corectat. euobservație. Apoi se calculează media aritmetică a acestor rezultate corectate, care este luată ca rezultat al măsurării. Media aritmetică este o estimare consecventă, imparțială și eficientă a valorii măsurate, cu o distribuție normală a datelor observaționale.
Trebuie remarcat faptul că, uneori, în literatură, în loc de termen rezultatul observații uneori termen utilizat rezultat individual de măsuraredin care sunt excluse erorile sistematice. În același timp, valoarea medie aritmetică este înțeleasă pentru rezultatul măsurătorii în această serie de mai multe măsurători. Aceasta nu modifică esența procedurilor de procesare a rezultatelor prezentate mai jos.
Atunci când se agregă grupuri de observații, trebuie efectuate următoarele. operațiuni
:
Verificați disponibilitatea greșeli grave
- există valori care depășesc ± 3 S. În conformitate cu legea normală de distribuție, cu o probabilitate aproape egală cu 1 (0,997), niciuna dintre valorile acestei diferențe nu ar trebui să depășească limitele specificate. Dacă există, valorile corespunzătoare ar trebui să fie excluse din considerare și calculele și evaluarea ar trebui repetate. S.
.
Coeficientul K se calculează prin formula empirică: 
.
Probabilitatea de încredere pentru calcul și trebuie să fie aceeași.
Eroarea de la utilizarea ultimei formule pentru compoziția distribuțiilor uniforme (pentru NSP) și normale (pentru eroare aleatorie) ajunge la 12% cu un nivel de încredere de 0,99.
9. Înregistrați rezultatul măsurătorilor. Scrierea rezultatului măsurării este furnizată în două versiuni, deoarece este necesar să se facă distincția între măsurători, atunci când se obține valoarea valorii măsurate este obiectivul final și măsurătorile, ale căror rezultate vor fi utilizate pentru calcule sau analize ulterioare.
În primul caz, este suficient să se cunoască eroarea totală a rezultatului măsurătorii și, cu o eroare de încredere simetrică, rezultatele măsurătorilor sunt date în forma: unde
unde este rezultatul măsurătorii.
În cel de-al doilea caz, trebuie cunoscute caracteristicile componentelor erorii de măsurare - estimarea deviației standard a rezultatului măsurătorii, limitele NRS, numărul de observații făcute. În absența datelor privind forma funcțiilor de distribuție a componentelor erorii rezultatului și necesitatea procesării ulterioare a rezultatelor sau analiza erorilor, rezultatele măsurătorilor sunt sub forma:
Dacă limitele PNS sunt calculate în conformitate cu p.4.6, atunci se indică și probabilitatea de încredere R.
Estimările și derivatele valorilor lor pot fi exprimate atât în formă absolută, adică în unități ale valorii măsurate și relativă, adică raportul dintre valoarea absolută a acestei valori și rezultatul măsurării. În acest caz, calculele care utilizează formulele din această secțiune ar trebui să fie efectuate utilizând valori exprimate numai în formă absolută sau relativă.4.8 Măsurători unice
Componenta de eroare aleatorie nu poate fi calculată din rezultatele măsurătorilor, deși este implicită în ea. În calitate estimările componentei aleatorii a erorii
pot fi utilizate, de exemplu coeficientul de variație
, determinată anterior în procesul de măsurători multiple în studiul reproductibilității citirilor acestui dispozitiv. Coeficientul de variație se găsește ca raport al estimării deviației standard la media aritmetică a instrumentului cu măsurători repetate. În unele cazuri, eroarea aleatorie poate fi determinată de limitele de încredere.
Estimarea erorilor sistematice
poate fi obținută prin caracteristicile dispozitivului utilizat (prin datele pașaportului sau din certificatul de verificare) și prin metoda de măsurare (prin analizarea acestuia). Din documentația pentru dispozitiv pot fi estimate și țin cont de erorile sistematice suplimentare.
Stadiile principale
estimările de eroare pentru măsurători individuale cu estimări corecte de eroare sunt după cum urmează:
În practică, se găsesc adesea măsurători pentru care nu este nevoie să se evalueze cu precizie eroarea. În astfel de măsurători, rezultă valoarea referinței x, iar pentru estimarea erorii de măsurare se utilizează limita erorii de bază admisibile a dispozitivului Detc. și erori suplimentare ale dispozitivului Yeude la afectarea cantităților. Erorile subiective în acest caz sunt considerate mici și neglijate.
Estimarea erorii de măsurare Då
este definită ca suma valorilor absolute ale erorii de bază și totalului sistematic prin formula:
Då
=
|
Detc.|
+
å
|
Yeu|
.
O estimare mai precisă a erorii poate fi obținută prin adăugarea statistică a componentelor conform formulei din secțiunea 4.7, presupunând că acestea sunt distribuite uniform.4.9 Determinarea rezultatelor măsurărilor indirecte și estimarea erorilor acestora
Principalele etape ale procesării rezultatelor măsurărilor indirecte sunt următoarele. 
1. Valoarea dorită Y găsit pe baza rezultatelor măsurării argumentelor x1
, …, xi, …,
xmasociate cu valoarea dorită a dependenței neliniare. . Tipul funcției f trebuie să fie cunoscute din punct de vedere teoretic sau să fie stabilite experimental. Eroare de incertitudine Y depinde de erorile de măsurare ale argumentelor. Mai jos este cazul când argumentele sunt independente una de alta.
2. Estimarea MSE a erorii aleatorii S(Y) se calculează cu formula: 
unde xi- rezultatul măsurării argumentului a-th; S(xi)
- evaluarea deviației standard a rezultatului măsurătorii xi- argument (determinat de formulele de la secțiunea 4.6.7).
3. Limitele de încredere ale erorii aleatoare e, cu condiția ca distribuția erorilor rezultatelor măsurătorilor ale argumentelor să nu contrazică distribuția normală, este determinată de formula:
4. Limita erorii sistematice neexecutate a rezultatului măsurătorii se calculează prin formula 
unde k este factorul de corecție pentru probabilitatea de încredere adoptată și numărul m componente ale SNR, pentru P = 0,95, coeficientul k = 1,1.
5. Eroarea rezultatelor măsurătorii se calculează în funcție de raportul dintre limitele SNR și eroarea aleatorie. la 
limita de încredere a rezultatului măsurării indirecte D calculate prin formula ,
unde K- coeficient în funcție de relație și nivelul de încredere (valori K date în RD specificat).
6. Rezultatul măsurării se calculează conform formulei de mai sus. Dacă se dorește cercetarea și compararea rezultatelor măsurătorilor sau analiza erorilor, atunci rezultatul măsurătorii și eroarea sa sunt sub formă
.
Dacă limitele erorilor de măsurare sunt simetrice, atunci rezultatul măsurătorii și eroarea sa sunt în formă U ± D.
7. Cu distribuții necunoscute ale erorilor de măsurare a argumentelor și în prezența unei corelații între acestea, rezultatul măsurării indirecte și eroarea acesteia sunt determinate de metoda de reducere bazată pe reducerea unui număr de valori individuale ale unei cantități măsurate indirect la o serie de măsurători directe. Această metodă este descrisă în detaliu în RD mai sus menționat.4.10 Înregistrări de eroare și reguli de rotunjire
Deoarece erorile determină doar zona de inexactitate a rezultatelor măsurătorilor, nu este necesară cunoașterea acestora cu precizie. Prin urmare, în înregistrarea finală, eroarea este exprimată una sau două cifre semnificative.
Cifrele semnificative ale numărului sunt numerele care rămân după scăderea zerourilor principale. Astfel, în cifrele 0.12 și 0.012 există câte două cifre semnificative. Se acceptă că cele mai mici cifre ale valorilor numerice ale rezultatelor măsurătorilor și ale erorilor ar trebui să fie aceleași: 20,56 ± 0,25 sau 2,1 ± 0,1. Una dintre cele mai frecvente greșeli în evaluarea rezultatelor și erorilor de măsurare este calculul acestora cu un număr excesiv de mare de cifre semnificative. De regulă, acest lucru nu este necesar și numai atunci când calcule intermediare
Puteți deține 3-4 cifre semnificative.
Numai cu cele mai exacte calcule se lasă două cifre. Rezultatul măsurătorii trebuie înregistrat astfel încât să se încheie cu un punct zecimal de aceeași cifră ca valoarea erorii. Un număr mai mare de cifre nu este necesar, deoarece aceasta nu va reduce incertitudinea rezultatului, caracterizată de această eroare. Reducerea numărului de cifre prin rotunjire mărește incertitudinea rezultatelor măsurătorilor și reduce precizia acestora. De exemplu, eroarea de rotunjire a erorii la două cifre semnificative este de 5%, iar la o cifră semnificativă - nu mai mult de 50%.
Sunt stabilite următoarele norme de rotunjire
rezultatele și erorile de măsurare:
1. Rezultatul măsurării este rotunjit astfel încât se termină cu cifra de aceeași cifră ca valoarea erorii sale. Dacă fracțiunea zecimală în valoarea numerică a rezultatului măsurării se termină cu zerouri, atunci acestea sunt aruncate doar la nivelul care corespunde cifrei valorii numerice a erorii. De exemplu, rezultatul este 3, 2800 cu o eroare de 0,001 rotunjită la 3,280.
2. Dacă cifra celui mai senior dintre cifrele aruncate este mai mică de 5, atunci cifrele rămase ale numerelor nu se modifică, cifrele suplimentare în întregi sunt înlocuite cu zerouri și în fracții zecimale sunt aruncate. De exemplu, numărul 267.245, păstrând patru cifre semnificative, ar trebui rotunjit la 267.200; numărul 165245 la 165,2.
3. Dacă cifra numărului cel mai înalt de descărcare este mai mare sau egală cu 5, dar urmată de cifre care nu sunt zero, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu una: 14597®14600; 123,58®124;
