1. Понятие неравенства с одной переменной
2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
3. Решение неравенств с одной переменной
4. Графическое решение неравенств с одной переменной
5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
6. Основные выводы
Неравенства с одной переменной
Предложения 2х + 7 > 10-х, х 2 +7х < 2,(х + 2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.
В общем виде это понятие определяют так:
Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.
Так, решением неравенства 2 x + 7 > 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2·5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1, ∞), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x >3 => x >1.
Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.
Определение.Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.
Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).
Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.
Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x) равносильны на множестве X.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:
1) Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равносильное исходному.
2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x) равносильны на множестве X.
f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.
Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х ) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h (х ) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x) равносильны на множестве X .
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.
Решение неравенств с одной переменной
Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R , и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 является промежуток (-∞, 7).
Упражнения
1. Установите, какие из следующих записей являются неравенствами с одной переменной:
а) -12 - 7х < 3x + 8; г) 12х + 3(х - 2);
б) 15(x + 2)>4; д) 17-12·8;
в) 17-(13 + 8) < 14-9; е) 2х 2 + 3x -4> 0.
2. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R ? А число 4,25?
3. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:
а) -17х < -51 и х > 3;
б) (3x -1)/4 >0 и 3х -1>0;
в) 6-5x >-4 и х <2?
4. Какие из следующих высказываний истинны:
а) -7 х < -28 => x >4;
б) x < 6 => x < 5;
в) х < 6 => х < 20?
5. Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.
6. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х ) является любое действительное число.
7. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х ) - 2 > 5 - 3х .
8. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:
а) меньше 22 см;
б) больше 17 см?
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить графики функций
у = f (х) = g (х) и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).
Пример 17.8. Решите графически неравенство х 2 - 4 > 3х.
| У - х* - 4 |
Решение. Построим в одной системе координат графики функций
у = х 2 - 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х 2 - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество
(- ¥; -1) È (4; + оо).
Ответ: х Î (- оо; -1) и ( 4; + оо).
Графиком квадратичной функции у = ах 2 + bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции у = ах 2 + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.
Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х г + 5х - 3 > 0; б) -Зх 2 - 2х - 6 < 0.
Решение, а) Уравнение 2х 2 + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х 2 = 0,5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х 2 + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х 2 + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < х х или при х > х г> т.е. при х < -3 или при х > 0,5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0,5; + ¥).
б) Уравнение -Зх 2 + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х 2 - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. Поскольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.
НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:
| f(х) | =
f(х) , если f(х) ³ 0,
- f(х) , если f(х) < 0,
При этом область допустимых значений неравенства следует разбить на интервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.
Пример 17.10. Решите неравенство:
|х -1| + |2- х| > 3+х.
Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х. .Значит, имеет место система:
х – 1 + 2 – х > 3 + х,
Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.
Если х > 2, то х - 1 >0 и 2 – х <0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
х -1 + х – 2 > 3+х,
х > 6 или
Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).
Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а | а - b | означает расстояние между точками а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства.
Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.
58. Основные выводы § 12
В данном параграфе мы определили следующие понятия:
Числовое выражение;
Значение числового выражения;
Выражение, не имеющее смысла;
Выражение с переменной (переменными);
Область определения выражения;
Тождественно равные выражения;
Тождество;
Тождественное преобразование выражения;
Числовое равенство;
Числовое неравенство;
Уравнение с одной переменной;
Корень уравнения;
Что значит решить уравнение;
Равносильные уравнения;
Неравенство с одной переменной;
Решение неравенства;
Что значит решить неравенство;
Равносильные неравенства.
Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.
Знание определений всех названных выше понятий и теорем о равносильности уравнений и неравенств - необходимое условие методически грамотного изучения с младшими школьниками алгебраического материала.
Тема урока «Решение неравенств и их систем» (математика 9 класс)
Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений
Технология урока: технология развития критического мышления, дифференцированное обучение, ИКТ-технологии
Цель урока : повторить и систематизировать знания о свойствах неравенств и методах их решения, создать условия для формирования умений применять эти знания при решении стандартных и творческих задач.
Задачи.
Образовательные:
способствовать развитию умений обучающихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы
организовать деятельность обучающихся по применению полученных знаний на практике
содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях
Развивающие:
продолжить формирование логического мышления, внимания и памяти;
совершенствовать навыки анализа, систематизации, обобщения;
создание условий, обеспечивающих формирование у учеников навыков самоконтроля;
способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.
Воспитательные:
воспитывать дисциплинированность и собранность, ответственность, самостоятельность, критичное отношение к себе, внимательность.
Планируемые образовательные результаты.
Личностные: ответственное отношение к учению и коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в процессе образовательной деятельности.
Познавательные: умение определять понятия, создавать обобщения, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, строить логическое рассуждение, делать выводы;
Регулятивные: умение определять потенциальные затруднения при решении учебной и познавательной задачи и находить средства для их устранения, выполнять оценку своих достижений
Коммуникативные: умение высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, формулировать вопросы и ответы в ходе выполнения задания, обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений.
Основные термины, понятия: линейноенеравенство, квадратное неравенство, система неравенств.
Оборудование
Проектор, ноутбук учителя, несколько нетбуков для учащихся;
Презентация;
Карточки с основными знаниями и умениями по теме урока (приложение 1);
Карточки с самостоятельной работой (приложение 2).
План урока
| Ход урока |
|||
| Технологические этапы. Цель. | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | |
| Вводно-мотивационный компонент |
|||
| 1.Организационный Цель: психологическая подготовка к общению. | Здравствуйте. Рада вас всех видеть. Садитесь. Проверьте все ли у вас готово к уроку. Если все в порядке, то посмотрите на меня. | Здороваются. Проверяют принадлежности. Настраиваются на работу. | Личностные. Формируются ответственное отношение к учению. |
| 2.Актуализация знаний (2 мин) Цель: определить индивидуальные пробелы в знаниях по теме | Тема нашего урока «Решение неравенств с одной переменной и их систем». (слайд 1) Перед вами перечень основных знаний и умений по теме. Оцените свои знания и умения. Расставьте соответствующие значки. (слайд 2) | Оценивают собственные знания и умения. (приложение 1) | Регулятивные Самооценка своих знаний и умений |
| 3.Мотивация (2 мин) Цель: обеспечить деятельность по определению целей урока. | В работе ОГЭ по математике несколько вопросов и первой, и второй части определяют умения решать неравенства. Что нам нужно повторить на уроке, чтобы успешно справиться с этими заданиями? | Рассуждают, называют вопросы для повторения. | Познавательные. Выделяют и формулируют познавательную цель. |
| Этап осмысления (содержательный компонент) |
|||
| 4.Самооценка и выбор траектории (1-2 мин) | В зависимости от того как вы оценили свои знания и умения по теме, выберите форму работы на уроке. Вы можете работать со всем классом вместе со мной. Можете работать индивидуально на нетбуках, пользуясь моей консультацией или в парах, помогая друг другу. | Определяются с индивидуальной траекторией обучения. При необходимости меняются местами. | Регулятивные определять потенциальные затруднения при решении учебной и познавательной задачи и находить средства для их устранения |
| 5-7 Работа в парах или индивидуально (25 мин) | Учитель консультирует учеников, работающих самостоятельно. | Ученики, хорошо знающие тему работают индивидуально или в парах с презентацией (слайды 4-10) Выполняют задания (слайды 6,9). | Познавательные умение определять понятия, создавать обобщения, выстраивать логическую цепь Регулятивные умение определять действия в соответствии с учебной и познавательной задачей Коммуникативные умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность, работать с источником информации Личностные ответственное отношение к учению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию |
| 5.Решение линейных неравенств. (10 мин) | Какие свойства неравенств используем при их решении? Можете ли вы отличить линейные, квадратные неравенства и их системы? (слайд 5) Как решить линейное неравенство? Выполните решение. (слайд 6) Учитель следит за решением у доски. Проверьте правильность решения. | Называют свойства неравенств, после ответа или в случае затруднения учитель открывает слайд 4. Называют отличительные признаки неравенств. Используя свойства неравенств. Один ученик решает у доски неравенство №1. Остальные в тетрадях, следят за решением отвечающего. Неравенства №2 и 3 выполняют самостоятельно. Сверяются с готовым ответом. | Познавательные Коммуникативные |
| 6.Решение квадратных неравенств. (10 мин) | Как решить неравенство ? Какое это неравенство? Какие методы используют при решении квадратных неравенств? Вспомним метод параболы (слайд 7) Учитель напоминает этапы решения неравенства. Метод интервалов применяют для решения неравенств второй и более высоких степеней. (слайд 8) Для решения квадратных неравенств вы можете выбрать метод, удобный вам. Решите неравенства. (слайд 9). Учитель следит за ходом решения, напоминает способы решения неполных квадратных уравнений. Учитель консультирует индивидуально работающих учеников. | Ответ: Квадратное неравенство решаем методом параболы или методом интервалов. Учащиеся следят за решением по презентации. У доски ученики по очереди решают неравенства №1 и 2. Сверяются с ответом. (для решения нер-ва №2 надо вспомнить способ решения неполных квадратных уравнений). Неравенство №3 решают самостоятельно, сверяются с ответом. | Познавательные умение определять понятия, создавать обобщения, строить рассуждение от общих закономерностей к частным решениям Коммуникативные умение представлять в устной и письменной форме развернутый план собственной деятельности; |
| 7.Решение систем неравенств (4-5 мин) | Вспомните этапы решения системы неравенств. Решите систему (Слайд 10) | Называют этапы решения Ученик решает у доски, сверяется с решением на слайде. | |
| Рефлексивно-оценочный этап |
|||
| 8.Контроль и проверка знаний (10 мин) Цель: выявить качество усвоения материала. | Проверим ваши знания по теме. Решите самостоятельно задания. Учитель проверяет результат по готовым ответам. | Выполняют самостоятельную работу по вариантам (приложение 2) Выполнив работу, ученик сообщает об этом учителю. Ученик определяет свою оценку по критериям (слайд 11). При успешном выполнении работы, может приступить к дополнительному заданию (слайд 11) | Познавательные. Строят логические цепи рассуждений. |
| 9.Рефлексия (2 мин) Цель: формируется адекватная самооценка своих возможностей и способностей, достоинств и ограничений | Есть ли улучшение результата? Если ещё есть вопросы, дома обратитесь к учебнику (стр.120) | Оценивают собственные знания и умения на том же листочке (приложение 1). Сравнивают с самооценкой в начале урока, делают выводы. | Регулятивные Самооценка своих достижений |
| 10.Домашнее задание (2 мин) Цель: закрепление изученного материала. | Домашнее задания определите по результатам самостоятельной работы (слайд 13) | Определяют и записывают индивидуальное задание | Познавательные. Строят логические цепи рассуждений. Производят анализ и преобразование информации. |
Список использованной литературы : Алгебра. Учебник для 9 класса. / Ю.Н.Макрычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. - М.: Просвещение, 2014
Сегодня на уроке мы обобщим наши знания при решении систем неравенств и изучим решение совокупности систем неравенств.
Определение первое .
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.
Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто — решение системы неравенств).
Решить систему неравенств - значит найти все ее частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет.
Запомните! Решение системы неравенств - это пересечение решений неравенств, входящих в систему.
Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.
Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:
Перовое — отдельно решить каждое неравенство.
Второе — найти пересечение найденных решений.
Это пересечение и является множеством решений системы неравенств
Задание 1
Решить систему неравенств семь икс минус сорок два меньше либо равно нулю и два икс минус семь больше нуля.
Решение первого неравенства — икс меньше либо равно шести, второго неравенства - икс больше семи вторых. Отметим эти промежутки на координатной прямой. Решение первого неравенства помечено штриховкой снизу, второго неравенства - штриховкой сверху. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств, то есть промежуток, на котором обе штриховки совпали. В итоге получаем полуинтервал от семи вторых до шести, включая шесть.
Задание 2
Решить систему неравенств: икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля и икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.
Решение
Решим первое неравенство — икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля.
Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс минус шесть. Нули функции: икс первое равно минус трем, икс второе равно двум. Изображая схематически параболу, найдем, что решением первого неравенства является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.
Решим второе неравенство системы икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.
Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс плюс шесть. Дискриминант равен минус двадцати трем меньше нуля, значит, функция не имеет нулей. Парабола не имеет общих точек с осью Ох. Изображая схематически параболу, найдем, что решением неравенства является множество всех чисел.
Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы.
Из рисунка видно, что решением системы является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.
Ответ:объединение открытых числовых лучей от минуса бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.
Запомните! Если в системе из нескольких неравенств одно является следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбросить.
Рассмотрим пример решения неравенства системой.
Задание 3
Решить неравенство логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно единице.
Решение
ОДЗ неравенства задается условием икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше нуля. Представим число один как логарифм двух по основанию два и получим неравенство — логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно логарифму двух по основанию два.
Видим, что основание логарифма равно двум больше одного, то приходим к равносильному неравенству икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше либо равно двум. Следовательно, решение данного логарифмического неравенства сводится к решению системы двух квадратных неравенств.
Причем легко заметить, если выполнено второе неравенство, то тем более выполняется первое неравенство. Поэтому первое неравенство - следствие второго, и его можно отбросить. Второе неравенство преобразуем и запишем в виде: икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок больше нуля. Решением его является объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.
Ответ:объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.
открытых числовых лучей
Определение второе .
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.
Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.
Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой общее решение совокупности неравенств.
Запомните! Решение совокупности неравенств - объединение решений неравенств, входящих в совокупность.
Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.
Алгоритм решения совокупности неравенств:
Первое — отдельно решить каждое неравенство.
Второе — найти объединение найденных решений.
Это объединение и является решением совокупности неравенств.
Задание 4
ноль целых две десятых умноженное на разность двух икс и трех меньше икс минус два;
пять икс минус семь больше икс минус шесть.
Решение
Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность
икс больше семи третьих;
икс больше одной четвертой.
Для первого неравенства множеством решений служит промежуток от семи третьих до плюс бесконечности, а для второго - промежуток от одной четвертой до плюс бесконечности.
Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенствам икс больше семи третьих и икс больше одной четвертой.
Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.
Ответ: открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.
Задание 5
Решить совокупность неравенств:
два икс минус один меньше трех и три икс минус два больше либо равно десяти.
Решение
Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность неравенств: икс больше двух и икс больше либо равно четырем.
Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам.
Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.
Ответ: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №26
с углубленным изучением отдельных предметов»
города Нижнекамска Республики Татарстан
Конспект урока по математике
в 8 классе
Решение неравенств с одной переменной
и их систем
подготовила
учитель математики
первой квалификационной категории
Кунгурова Гульназ Рафаэловна
Нижнекамск 2014
План- конспект урока
Учитель: Кунгурова Г.Р.
Предмет: математика
Тема: «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем».
Класс: 8Б
Дата проведения: 10.04.2014
Тип урока: урок обобщения и систематизации изученного материала.
Цель урока: закрепление практических умений и навыков решения неравенств с одной переменной и их систем, неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Задачи урока:
Обучающие:
обобщение и систематизация знаний учащихся о способах решения неравенств с одной переменной;
расширение вида неравенств: двойные неравенства, неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, системы неравенств;
установление межпредметной связи между математикой, русским языком, химией.
Развивающие:
активизация внимания, мыслительной деятельности, развитие математической речи, познавательного интереса у учащихся;
овладение способами и критериями самооценки и самоконтроля.
Воспитательные:
воспитание самостоятельности, аккуратности, умения работать в коллективе
Основные методы, применяемые на уроке : коммуникативный, объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, метод программированного контроля.
Оборудование:
компьютер
компьютерная презентация
моноблоки (выполнение индивидуального онлайн-теста)
раздаточный материал (разноуровневые индивидуальные задания);
листы самоконтроля;
План урока:
1. Организационный момент.
4. Самостоятельная работа
5. Рефлексия
6. Итоги урока.
Ход урока:
1. Организационный момент.
(Учитель сообщает учащимся цели и задачи урока.).
Сегодня перед нами стоит очень важная задача. Мы должны подвести итог по данной теме. Вновь нужно будет очень тщательно проработать теоретические вопросы, заняться вычислениями, рассмотреть практическое применение данной темы в нашей повседневной жизни. И нельзя никогда забывать о том, как же мы рассуждаем, анализируем, строим логические цепочки. Наша речь всегда должна быть грамотной правильной.
У каждого из вас на столе имеется лист самоконтроля. На протяжении всего урока не забывайте отмечать знаком «+» свой вклад в этот урок.
Учитель задает домашнее задание, прокомментировав его:
№1026(а,б), №1019(в,г); дополнительно - №1046(а)
2. Актуализация знаний, умений, навыков
1) Прежде чем начнем выполнять практические задания, обратимся к теории.
Учитель озвучивает начало определения, а ученики должны завершить формулировку
а) Неравенством с одной переменной называется неравенство вида ах>в, ах<в;
б) Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет;
в) Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, обращающее его в верное неравенство;
г) Неравенства называются равносильными, если у них совпадают множества решений. Если у них нет решений, то они тоже называются равносильными
2) На доске неравенства с одной переменной, расположенные в один столбик. А рядом в другой столбик вписаны их решения в виде числовых промежутков. Задача учащихся - установить соответствие межу неравенствами и соответствующими промежутками.
Установить соответствие между неравенствами и числовыми промежутками:
1. 3x > 6 а) (-∞ ; - 0,2]
2. -5х ≥ 1 б) (- ∞ ; 15)
3. 4х > 3 в) (2; + ∞)
4. 0,2х < 3 г) (0,75; + ∞)
3) Практическая работа в тетради с самопроверкой.
На доске учащимся написано линейное неравенство с одной переменной. Выполнив которое один из учеников озвучивает свои решение и исправляются допущенные ошибки)
Решите неравенство:
4 (2х - 1) - 3(х + 6) > х;
8х - 4 - 3х - 18 > х;
8х - 3х – х > 4+18 ;
4х > 22 ;
х > 5,5 .
Ответ. (5,5 ; + ∞)
3. Практическое применение неравенств в повседневной жизни (химический опыт)
Неравенства в нашей повседневной жизни могут стать хорошими помощниками. И кроме того конечно же существует неразрывная связь между школьными предметами. Математика идет плечо в плечо не только с русским языком, но и с химией.
(На каждой парте эталонная шкала для водородного показателя pH , в пределах от 0 до 12)
Если показатель 0 ≤ pH < 7, то среда кислая;
если показатель pH = 7, то среда нейтральная;
если показатель 7< pH ≤ 12, то среда щелочная
Учитель наливает в различные пробирки 3 бесцветных раствора. Из курса химии ученикам предлагается вспомнить виды среды раствора (кислая, нейтральная, щелочная). Далее опытным путем, привлекая учащихся, определяется среда каждого из трех растворов. Для этого в каждый раствор опускается универсальный индикатор. Происходит следующее: каждый индикатор окрашивается в соответствующий цвет. И по цветовой гамме, благодаря эталонной щкале, учащиеся устанавливают среду каждого из предложенных растворов.
Вывод:
1 индикатор окрасился в красный цвет, показатель 0 ≤ pH < 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке
2 индикатор окрасился в зеленый цвет, показатель pH = 7 , значит среда второго раствора нейтральная, т. е. у нас была вода во 2 пробирке
3 индикатор окрасился в синий цвет, показатель 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь
Зная границы показателя pH можно определить уровень кислотности почвы, мыла, многих косметических средств.
Продолжение актуализации знаний, умений, навыков.
1) Вновь учитель начинает формулировки определений, а учащиеся должны завершить их
Продолжить определения:
а) Решить систему линейных неравенств – значит найти все её решения или доказать, что их нет
б) Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств
в) Чтобы решить систему неравенств с одной переменной нужно найти решение каждого неравенства, и найти пересечение этих промежутков
Учитель вновь напоминает ученикам о том, что умение решать линейные неравенства с одной переменной и их систем является основой, базой для более сложных неравенств, которые предстоит изучить в более старших классах. Закладывается фундамент знаний, прочность которого предстоит подтвердить на ОГЭ по математике после 9 класса.
Ученики письменно в тетради решают системы линейных неравенств с одной переменной. (2 ученика выполняют эти задания на доске, поясняют свое решение, озвучивают свойства неравенств, использованные при решении систем).
№1012(д). Решите систему линейных неравенств
0,3 х+1 < 0,4х-2;
1,5 х-3 > 1,3х-1. Ответ. (30; +∞).
№1028(г). Решите двойное неравенство и укажите все целые числа, которые являются его решением
1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0
2) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
Практика показывает, что неравенства, содержащие переменную под знаком модуля,вызывают у учащихся тревогу, неуверенность в себе. И часто за такие неравенства ученики просто не берутся. А причиной тому служит некачественно заложенный фундамент. Учитель настраивает учащихся на то, чтобы они своевременно поработали над собой, усвоили последовательно все шаги для успешного выполнения этих неравенств.
Проводится устная работа. (Фронтальный опрос)
Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:
1. Модулем числа х называется расстояние от начала отсчета до точки с координатой х.
| 35 | = 35,
| - 17 | = 17,
| 0 | = 0
2. Решить неравенства:
а) | х | < 3 . Ответ. (-3 ; 3)
б) | х | > 2 . Ответ. (- ∞; -2) U (2; +∞)
На экран подробно выводится ход решения данных неравенств и проговаривается алгоритм решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.
4. Самостоятельная работа
С целью контроля степени усвоения данной темы 4 ученика занимают места за моноблоками и проходят тематическое онлайн-тестирование. Время тестирования 15 минут. После выполнения осуществляется самопроверка как в баллах, так и процентном соотношении.
Остальные учащиеся за партами выполняют повариантно самостоятельную работу
Самостоятельная работа (время выполнения 13мин)
Вариант 1
Вариант 2
1. Решите неравенства:
а) 6+х < 3 - 2х;
б) 0,8(х-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - х).
3(х+1) - (х-2) < х,
2 > 5х - (2х-1) .
-6 < 5х - 1 < 5
4*. (Дополнительно)
Решите неравенство:
| 2- 2х | ≤ 1
1. Решите неравенства:
а) 4+х < 1 - 2х;
б) 0,2(3х - 4) - 1,6 ≥ 0,3(4-3х).
2. Решите систему неравенств:
2(х+3) - (х - 8) < 4,
6х > 3(х+1) -1.
3. Решите двойное неравенство:
-1 < 3х - 1 < 2
4*. (Дополнительно)
Решите неравенство:
| 6х-1 | ≤ 1
После выполнения самостоятельной работы учащиеся сдают тетради на проверку. Учащиеся, работавшие за моноблоками, тоже сдают тетради на проверку учителю.
5. Рефлексия
Учитель напоминает учащимся о листах самоконтроля, на которых они должны были в течение всего урока, на различных его этапах, оценивать свою работу знаком «+».
Но основную оценку своей деятельности учащимся предстоит поставить только сейчас, после озвучивания одной древней притчы.
Притча.
Шел мудрец, а навстречу ему – 3 человека. Они под горячим солнцем для строительства храма везли тележки с камнями.
Мудрец остановил их и спросил:
- Что вы делали целый день?
- Возил проклятые камни, - ответил первый.
- Я добросовестно выполнял свою работу, - ответил второй.
- А я принимал участие в строительстве храма,- гордо ответил третий.
В листы самоконтроля, в пункте №3 учащиеся должны вписать фразу, которая соответствовала бы их действиям на этом уроке.
Лист самоконтроля __________________________________________
№ п/ п
Этапы урока
Оценка учебной деятельности
Устная работа на уроке
Практическая часть:
Решение неравенств с одной переменной;
решение систем неравенств;
решение двойных неравенств;
решение неравенств со знаком модуля
Рефлексия
В пунктах 1 и 2 верные ответы на уроке отмечать знаком «+» ;
в пункте 3 оценить свою работу на уроке согласно инструкции
6. Итоги урока.
Учитель подводя итоги урока отмечает успешные моменты и проблемы, над которыми предстоит провести дополнительную работу.
Учащимся предлагается оценить свою работу согласно листам самоконтроля, и еще по одной отметке получают ученики по результатам самостоятельной работы.
В конце урока нучитель обращает внимание учащихся на слова французского ученого Блеза Паскаля: «Величие человека- в его способности мыслить».
Список литературы:
1 . Алгебра. 8 класс. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Е. Нешков, И.Е.Феоктистов.-М.:
Мнемозина, 2012
2. Алгебра.8 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации / И.Е.Феоктистов.
2-е издание., стер.-М.: Мнемозина, 2011
3. Контрольно-измерительные материалы.Алгебра: 8класс / Составитель Л.И. Мартышова.-
М.: ВАКО, 2010
Интернет-ресурсы:
Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.
Навигация по странице.
Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.
Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.
Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .
А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
