МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
ВВЕДЕНИЕ
Удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтверждается всей практической деятельностью человека. Наиболее грандиозные технические проекты XX и начала XXI века без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в современном виде и качестве при минимальном количестве катастрофических ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее. Однако, даже самый общий взгляд на проблему приводит к осознанию того, что тезис о возможной высокой эффективности математики в экономике является вполне естественными и логичным, так как вся математика изначально и многие её разделы в последствий, своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества.
В то же время, справедливость общих положений ещё не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой метод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. Поэтому, не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль математических методов и математики вообще, что и вызывает у обучающихся негативное отношение к предмету: существует широкий класс экономических структур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и даёт вполне приемлемые результаты. Таким структурам относятся отдельные предприятия мелкого масштаба. Применение математики в организациях такого типа сводится к элементарным арифметическим расчётам в рамках задач бухгалтерского учёта, что создаёт и укрепляет иллюзию возможности успешного управления любыми экономическими системами без использования какой-либо серьёзной математики вообще.
Однако такая точка зрения является излишне упрощённой.
Математическая модель объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, условный образ объекта, созданный для упрощения его исследования, получения о нём новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.
Экономико-математическое моделирование , являясь одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов в виде математических моделей, превращается тем самым в часть самой экономики, вернее сплав экономики, математики и кибернетики.
В составе экономико-математических методов можно выделить следующие научные дисциплины и их раздели:
Экономическая кибернети ка (системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем);
Математическая статистика (дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, кластерный анализ, частотный анализ, теория индексов и др.);
Математическая экономика и эконометрика (теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.);
Методы принятия оптимальных решений (математическое программирование, сетевые и программно-целевые методы планировании и управления, теория массового обслуживания, теория и методы управления запасами, теория игр, теория и методы принятия решений, теория расписаний и др.);
Специфические методы и дисциплины (модели свободной конкуренции, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и др.);
Экспериментальные методы изучения экономики (математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, имитационное моделирование, деловые игры, методы экспертных оценок и др.).
Экономико-математические модели можно классифицировать по следующим основным признакам
По общему целевому назначению – теоретико-аналитические и прикладные модели ;
По степени агрегирования объектов – микроэкономические и макроэкономические модели ;
По конкретному предназначению – балансовые (требование соответствия наличия ресурсов и их использования), трендовые (развитие моделируемой системы через длительную тенденцию её основных параметров), оптимизационные, имитационные (в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) модели ;
По типу информации, используемой в модели, - аналитические и идентифицируемые (на базе апостериорной, экспериментальной информации) модели ;
По учёту фактора неопределённости – детерминированные и стохастические модели ;
По характеристике математических объектов или аппарата – матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т. п. ;
По типу подхода к изучаемым системам – дескриптивные (описательные) модели (например, балансовые и трендовые) и нормативные модели (например, оптимизационные модели и модели уровня жизни).
Также по используемому инструментарию можно выделить равновесные, статические, динамические, непрерывные и другие модели.
Теоретические модели на базе априорной информации отображают общие свойства экономики и её компонентов с дедукцией выводов из формальных предпосылок.
Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.
Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны ка единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование и др.
Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм в условиях олигополии с использованием методов оптимизации и теории игр и т. п.
Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем, на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия.
Детерминированные модели предполагают жёсткие функциональные связи между переменными модели, а стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарии теории вероятностей и математической статистики для их описания.
Равновесные модели, присущие рыночной экономике, описывающие поведение субъектов хозяйствования как в стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыночной экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами.
Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени; динамические модели, напротив, включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.
К числу сложной комбинированной экономико-математической модели, например, можно отнести экономико-математическую модель межотраслевого баланса , являющуюся прикладной, макроэкономической, аналитической, дескриптивной, детерминированной, балансовой, матричной моделью, причём выделяют как статические, так и динамические модели межотраслевого баланса.
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
§ 1. Основные понятия и определения
Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся теорией и методами решения многомерных экстремальных задач на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).
В общем виде задача математического программирования формулируется следующим образом: найти наименьшее (или наибольшее) значение функции при ограничениях
где
и
– заданные функции, а
– некоторые постоянные числа.
В
зависимости от свойств функции
и
математическое программирование делится
на ряд самостоятельных дисциплин. Прежде
всего это линейное программирование.
К задачамлинейного
программирования
(ЛП) относятся задачи математического
программирования, в которых функции
и
Для решения задач линейного программирования существуют универсальные методы, с помощью которых можно решить любую задачу линейного программирования.
Рассмотрим основную задачу линейного программирования.
(1.2)
Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.2) найти такое решение, при котором функция (1.1) принимает минимальное значение .
канонической или основной задачей линейного программирования (ЗЛП).
Условия неотрицательности решения системы (1.2), если они не оговорены в формулировке задачи, записываются в виде
Функцию (1.1) называют целевой функцией (ЦФ), а условия (1.2) – ограничениями-равенствами .
Всякое неотрицательное решение системы (1.2) называется допустимым решением или планом задачи.
Совокупность допустимых решений системы (1.2) называется областью допустимых решений (ОДР).
Допустимое решение системы (1.2), минимизирующее функцию (1.1), называется оптимальным решением или оптимальным планом ЗЛП.
Значение целевой функции (1.1), отвечающее оптимальному решению, называется оптимумом .
Если в задаче линейного программирования необходимо найти максимум функции , то максимизацию этой функции можно заменить минимизацией противоположной функции .
Рассмотрим другую задачу линейного программирования.
Пусть заданы линейная функция
и система линейных уравнений снеизвестными
(1.5)
где ,и– заданные постоянные числа.
Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.5) найти такое решение, которое минимизирует функцию (1.4) .
Сформулированная задача называется стандартной или симметричной задачей линейного программирования .
Условия (1.5) называются ограничениями-неравенствами .
Стандартную задачу линейного программирования нетрудно привести к каноническому виду, заменив неравенства в системе (1.5) равенствами с помощью введения новых неотрицательных неизвестных .
§ 2. Простейшие задачи линейного программирования
Задача о наилучшем использования ресурсов .
Для трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Предприятие может израсходовать 32 т сырья, не менее 40 т сырьяи не более 50 т сырья. Нормы расхода сырья на единицу продукции того или иного вида, а также трудовые и энергетические затраты на производство единицы продукции, и приведены в таблице.
|
Запасы (т) |
Нормы расхода на единицу продукции (т) |
|||
|
Расходы (руб.) | ||||
Определить количества продукции видов ,и, которые следует производить при минимальных затратах энергетических и трудовых ресурсов.
Для построения математической модели задачи обозначим через количества продукции видов , и соответственно, которые предполагается производить. Тогда целевую функцию и ограничения задачи можно записать в виде
Как видим, математическая модель задачи сводится к минимизации некоторой линейной функции при ограничениях. Записанных в виде равенств и неравенств.
Задача о максимальном доходе производственного предприятия .
При производстве трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Запасы каждого вида сырья составляют 32 т, 40 т и 50 т соответственно. Количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида приведены в таблице.
|
Запасы (т) |
Виды продукции |
|||
|
Прибыль (руб.) | ||||
Требуется составить план выпуска продукции , и, при котором прибыль от реализации всей продукций была бы максимальной.
Обозначим через количества единиц продукции видов , и, которую необходимо производить.
Математическая модель данной задачи имеет вид
Таким образом, надлежит найти такой набор неотрицательных чисел , удовлетворяющий полученной системе ограничений-неравенств, который доставляет максимальное значение целевой функции .
Задача о рационе питания .
Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употребить в пищу в течение суток определённое количество белков, жиров, углеводов, витаминов, микроэлементов и др.
Пусть имеется три вида продуктов ,и и перечень из необходимых питательных веществ и. Количество питательных веществ, содержащегося в единице продукта, а также стоимости единиц продуктов приведены в таблице.
|
Питательные вещества |
Суточная Потребность 1 человека |
Виды продукции |
||
|
Стоимость 1 единицы продукта (руб.) | ||||
Требуется организовать питание так, чтобы удовлетворялась норма потребности в питательных веществах и чтобы стоимость использованных продуктов была минимальной.
Обозначим через количества единиц продуктов видов , и.
Математическая модель данной задачи будет иметь вид
Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями . При построении экономических моделей выбудут существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.
Модель — ϶ᴛᴏ логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные ϲʙᴏйства моделируемого объекта или процесса.
Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.
Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.
В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.
Основные типы моделейЭкономико-математическая модель (ЭММ) — ϶ᴛᴏ математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.
В настоящие время в анализе хозяйственной деятельности организаций все большее применение находят математические методы исследования. Это способствует совершенствованию экономического анализа, его углублению и повышению его действенности.
В результате использования математических методов достигается более полное изучение влияния отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций, уменьшение сроков осуществления анализа, повышается точность осуществления экономических расчетов, решаются многомерные аналитические задачи, кᴏᴛᴏᴩые не могут быть выполнены традиционными методами. В процессе использования экономико-математических методов в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономико-математических моделей, описывающих влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций.
Различают четыре основных вида экономико-математических моделей, используемых при анализе влияния отдельных факторов:
Аддитивные модели могут быть определены как алгебраическая сумма отдельных показателей. Нужно помнить, такие модели могут быть охарактеризованы с помощью следующей формулы:
Примером аддитивной модели будет баланс товарной продукции.
Мультипликативные модели могут быть определены как произведение отдельных факторов.
Важно заметить, что одним из примеров подобной модели может быть двухфакторная модель, выражающая зависимость между объемом выпуска продукции, количеством единиц используемого оборудования и выработкой продукции в расчете на одну единицу оборудования:
П = К В ,
Кратные модели — ϶ᴛᴏ соотношение отдельных факторов. Стоит заметить, что они характеризуются такой формулой:
ОП = x/y
Здесь ОП представляет собой обобщающий экономический показатель, кᴏᴛᴏᴩый находится под влиянием отдельных факторов x и y . Примером кратной модели может служить формула, выражающая зависимость между продолжительностью оборота оборотных активов в днях, средней величиной данных активов за данный период и однодневным объемом продаж:
П = ОА/ОП ,
Наконец, смешанные модели — ϶ᴛᴏ сочетание уже рассмотренных нами видов моделей. Вот к примеру, такой моделью может быть описан показатель рентабельности активов, на уровень кᴏᴛᴏᴩого влияют три фактора: чистая прибыль (ЧП), величина внеоборотных активов (ВА), величина оборотных активов (ОА):
R a = ЧП / ВА + ОА ,
В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:
Таким образом, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Важно знать, что большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.
После ϶ᴛᴏго нужно выбрать способ решения ϶ᴛᴏй модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с данными способами и методами в экономическом анализе могут быть использованы и специфически математические способы и методы.
Важно заметить, что одним из таких способов (методов) будет интегральный. Стоит заметить, что он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.
В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода ϶ᴛᴏт прирост делится поровну между всеми факторами.
Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, кᴏᴛᴏᴩые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между данными элементами.
Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в ϲʙᴏей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.
В процессе применения интегрального метода крайне важно соблюдение нескольких условий. В первую очередь, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов
d y / d x = const
При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.
В случае если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:
ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y
Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y
При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:
Z=x /y ;
Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0
Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)
Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К ϶ᴛᴏму типу задач ᴏᴛʜᴏϲᴙтся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.
Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.
Кроме ϶ᴛᴏго метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Стоит заметить, что он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода состоит по сути в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. По϶ᴛᴏму метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.
В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как ϶ᴛᴏ имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения данных показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .
Найдем влияние каждого из данных факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:
Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)
Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:
Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)
Наконец, для того, ɥᴛᴏбы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:
Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)
Исходя из всего выше сказанного, мы приходим к выводу, что общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.
При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.
При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из кᴏᴛᴏᴩых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по кᴏᴛᴏᴩой определена эта производная. Уместно отметить, что определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.
Задана функция Z = f(x,y) . В случае если эта функция будет дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:
Поясним отдельные элементы ϶ᴛᴏй формулы:
ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;
Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;
Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;
- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем
В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:
ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.
Сумма влияния обоих данных факторов — ϶ᴛᴏ главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.
В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит по сути в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.
Будем исходить из предположения того, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:
Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy
Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:
Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy
Наконец, для фактора с имеем:
Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy
Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.
Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Отметим, что теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда ᴏᴛʜᴏϲᴙтся такие ситуации, кᴏᴛᴏᴩые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.
Для решения подобных задач в теории игр могут быть использованы алгебраические методы, кᴏᴛᴏᴩые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.
Важно заметить, что одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, будет так называемый анализ чувствительности. Материал опубликован на http://сайт
Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.
Для оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации крайне важно заранее предусматривать те изменения, кᴏᴛᴏᴩые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.
К примеру, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, кᴏᴛᴏᴩые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.
Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель, изменится.
Вот к примеру, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж.
Стоит отметить, что остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, будут при ϶ᴛᴏм неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель.
Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.
Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Стоит заметить, что он содержит в себе рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик ϶ᴛᴏй системы на будущие периоды. В процессе осуществления ϶ᴛᴏго вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров данных функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.
В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Стоит заметить, что они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, кᴏᴛᴏᴩые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.
Пользовательское соглашение:
Интеллектуальные права на материал - Математические методы в экономике принадлежат её автору. Данное пособие/книга размещена исключительно для ознакомительных целей без вовлечения в коммерческий оборот. Вся информация (в том числе и "Экономико-математические методы и модели анализа") собрана из открытых источников, либо добавлена пользователями на безвозмездной основе.
Для полноценного использования размещённой информации Администрация проекта сайт настоятельно рекомендует приобрести книгу / пособие Математические методы в экономике в любом онлайн-магазине.
Тег-блок: Математические методы в экономике, 2015. Экономико-математические методы и модели анализа.
(С) Юридический репозиторий сайт 2011-2016
Модель – это, прежде всего, упрощенное представление реального объекта или явления, сохраняющее его основные, существенные черты. Сам процесс разработки модели, т.е. моделирование, может быть осуществлен различными способами, из которых наиболее распространено физическое и математическое моделирование. Однако каждым из этих способов могут быть получены различные модели, поскольку их конкретная реализация зависит от того, какие именно черты реального объекта создатель модели считает основными, главными. Поэтому в инженерной практике и в научных исследованиях могут применяться различные модели одного и того же объекта, поскольку их многообразие позволяет тщательнее изучать самые различные стороны реального объекта или явления.
В инженерной практике и естественных науках широко распространены физические модели, которые отличаются от изучаемого объекта, как правило, меньшими размерами, и служат для проведения экспериментов, результаты которых используются для изучения исходного объекта и для выводов о выборе того или иного варианта его развития либо конструкции, если речь идет о проекте инженерного сооружения. Путь физического моделирования оказывается малопродуктивным для анализа экономических объектов и явлений. В связи с этим основным способом моделирования в экономике является метод математического моделирования , т.е. описание основных особенностей реального процесса с помощью системы математических формул.
Как мы действуем, создавая математическую модель? Какими бывают математические модели? Какие особенности возникают при моделировании экономических явлений? Попытаемся прояснить эти вопросы.
При создании математической модели исходят из реальной задачи. Вначале уясняется ситуация, выявляются важные и второстепенные характеристики, параметры, свойства, качества, связи и т.д. Затем выбирается одна из существующих математических моделей либо создается новая математическая модель для описания изучаемого объекта.
Вводятся обозначения. Записываются ограничения, которым должны удовлетворять переменные величины. Определяется цель – выбирается целевая функция (если это возможно). Не всегда выбор целевой функции однозначен. Возможны ситуации, когда хочется и того, и этого, и еще многого другого… Но различные цели приводят к различным решениям. В этом случае задача относится к классу многокритериальных задач.
Экономика – одна из сложнейших областей деятельности. Экономические объекты могут описываться сотнями, тысячами параметров, многие из которых носят случайный характер. Кроме того, в экономике действует человеческий фактор.
Сложность системы любой природы (технической, биологической, социальной, экономической) определяется количеством входящих в нее элементов, связями между
этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природной средой, экономической деятельностью других субъектов, социальными отношениями и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Экономика зависит от социального устройства общества, от политики и еще от многих и многих факторов.
Сложностью экономических отношений нередко обосновывали невозможность моделирования экономики, изучения ее средствами математики. И все же моделирование экономических явлений, объектов, процессов возможно. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. Для моделирования экономики применяют не одну модель, а систему моделей. В этой системе есть модели, описывающие разные стороны экономики. Есть модели экономики страны (их называют макроэкономическими), есть модели экономических моделей на отдельно предприятии или даже модель одного экономического события (их называют микроэкономическими). При составлении модели экономики сложного объекта производят так называемое агрегирование. При этом ряд родственных параметров объединяют в один параметр, тем самым общее количество параметров уменьшается. На этом этапе важную роль играют опыт и интуиция. В качестве параметров можно выбрать не все характеристики, а наиболее важные.
После того, как составлена математическая задача, выбирается способ ее решения. На этом этапе, как правило, применяют ЭВМ. После получения решения происходит его сопоставление с реальностью. Если полученные результаты подтверждаются практикой, то модель можно применять и с ее помощью строить прогнозы. Если же ответы, полученные на основе модели, не соответствуют действительности, то модель не годится. Нужно создавать более сложную модель, которая лучше соответствует изучаемому объекту.
Какая модель лучше: простая или сложная? Ответ на этот вопрос не может быть однозначным.
Если модель слишком простая, то она плохо соответствует реальному объекту. Если же модель слишком сложная, то может оказаться так, что при существовании хорошей модели мы не в состоянии на ее основе получить ответ. Может существовать хорошая модель и иметься алгоритм решения соответствующей задачи. Но время решения окажется настолько большим, что все остальные достоинства модели этим будут перечеркнуты. Поэтому при выборе модели нужна «золотая середина».
Математические методы в экономике являются важным инструментом проведения анализа. Их используют в построении теоретических моделей, которые позволяют отобразить имеющиеся связи в повседневной жизни. Также с помощью данных методов достаточно точно прогнозируется поведение субъектов хозяйствования и динамика экономических показателей в стране.
Более подробно хотелось бы остановиться на прогнозировании показателей экономических объектов, которое является инструментом теории принятия решений. Прогнозы социально-экономического развития любой страны основываются на определенных показателей (динамика инфляции, валовый внутренний продукт и т.д.). Формирование ожидаемых показателей осуществляется с применением таких методов прикладной статистики и эконометрики, как регрессионный и корреляционный анализ.
Отрасль исследования «Экономика и математические методы» всегда являлась достаточно интересной для ученых этой сферы. Так, академиком Немчиновым было выделено пять математических при планировании и прогнозировании:
Метод математического моделирования;
Векторно-матричный метод;
Метод последовательного приближения;
Метод оптимальных общественных оценок.
Другой же академик, Канторович, математические методы распределил на четыре группы:
Модели взаимодействия экономических подразделений;
Макроэкономические модели, включающие модели спроса и балансовый метод;
Модели оптимизации;
Линейное моделирование.
Систем применяется с целью принятия эффективного и правильного решения в экономической сфере. При этом в основном используется современная вычислительная техника.
Сам процесс моделирования должен осуществляться в таком порядке:
1. Постановка задачи. Необходимо четко сформулировать задачу, определить объекты, относящиеся к решаемой задаче, и ситуацию, реализуемую в результате ее решения. Именно на этом этапе производится количественный и субъектов, объектов и имеющих отношение к ним ситуаций.
2. Системный анализ задачи. Все объекты необходимо разбить на элементы с определением связи между ними. Именно на этом этапе лучше всего использовать математические методы в экономике, с помощью которых проводится количественный и качественный анализ свойств вновь образованных элементов и в результате которых выводятся определенные неравенства и уравнения. Другими словами, получается система показателей.
3. Системный синтез представляет собой математическую постановку задачи, во время организации которой формируется математическая модель объекта и определяются алгоритмы решения задачи. На этом этапе существует вероятность того, что принятые модели предыдущих этапов могут оказаться неверными, и для получения верного результата придется вернуться на один, а то и два шага назад.
Как только математическая модель сформирована, можно переходить к разработке программы для решения поставленной задачи на ЭВМ. При наличии достаточно сложного объекта, который состоит из большого количества элементов, потребуется создание базы данных и подручных средств для работы с ней.
Если же задача принимает стандартный вид, то используются любые подходящие математические методы в экономике и готовый программный продукт.
Заключительным этапом является непосредственная эксплуатация сформированной модели и получение правильных результатов.
Математические методы в экономике должны использоваться именно в определенной последовательности и с применением современных информационно-вычислительных технологий. Только в таком порядке появляется возможность исключить субъективные волевые решения, основанные на личной заинтересованности и эмоциях.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.
Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.
Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.
Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.
Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.
Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.
Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.
Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.
На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.
На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.
Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.
Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.
Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.
1. Особенности применения метода математиче ского моделирования в экономике
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.
Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.
Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.
Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.
2. Классификация э кономико-математических моделей
Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.
По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).
Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.
Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.
В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа". Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.
Выше уже показывались различия между моделями дескриптивными и нормативными. Дискриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.
Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.
Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат.
Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.
По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.
По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.
Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.
По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).
Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.
В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.
Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.
3 . Этапы экономик о-математического моделирования
Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.
Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).
Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.
В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.
3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.
Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.
В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью эконномических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.
Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.
Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.
Взаимосвязи этапов. Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.
Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.
Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной инфориации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.
Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.
Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.
По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дефференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.
Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики - математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.
Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.
экономический математический моделирование
Список использованной литературы
1.Федосеев, Экономические методы
2. И.Л.Акулич, Математическое программирование в примерах и задачах, Москва, «Высшая школа», 1986;
3. С.А.Абрамов, Математические построения и программирование, Москва, «Наука», 1978;
4. Дж.Литлвуд, Математическая смесь, Москва, «Наука», 1978;
5.Известия Академии наук. Теория и системы управления, 1999, № 5, стр. 127-134.
7. http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html
Размещено на Allbest.ru
Открытие и историческое развитие методов математического моделирования, их практическое применение в современной экономике. Использование экономико-математического моделирования на всей уровнях управления по мере внедрения информационных технологий.
контрольная работа , добавлен 10.06.2009
Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.
реферат , добавлен 16.05.2012
Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.
реферат , добавлен 11.02.2011
Применение методов оптимизации для решения конкретных производственных, экономических и управленческих задач с использованием количественного экономико-математического моделирования. Решение математической модели изучаемого объекта средствами Excel.
курсовая работа , добавлен 29.07.2013
История развития экономико-математических методов. Математическая статистика – раздел прикладной математики, основанный на выборке изучаемых явлений. Анализ этапов экономико-математического моделирования. Вербально-информационное описание моделирования.
курс лекций , добавлен 12.01.2009
Применение математических методов в решении экономических задач. Понятие производственной функции, изокванты, взаимозаменяемость ресурсов. Определение малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Принципы оптимального управления запасами.
контрольная работа , добавлен 13.03.2010
Классификация экономико-математических моделей. Использование алгоритма последовательных приближений при постановке экономических задач в АПК. Методики моделирования программы развития сельскохозяйственного предприятия. Обоснование программы развития.
курсовая работа , добавлен 05.01.2011
Разделение моделирования на два основных класса - материальный и идеальный. Два основных уровня экономических процессов во всех экономических системах. Идеальные математические модели в экономике, применение оптимизационных и имитационных методов.
реферат , добавлен 11.06.2010
Основные понятия математических моделей и их применение в экономике. Общая характеристика элементов экономики как объекта моделирования. Рынок и его виды. Динамическая модель Леонтьева и Кейнса. Модель Солоу с дискретным и непрерывным временем.
курсовая работа , добавлен 30.04.2012
Определение этапа разработки экономико-математического моделирования и обоснование способа получения результата моделирования. Теория игр и принятие решений в условиях неопределенности. Анализ коммерческой стратегии при неопределенной конъюнктуре.
