Vzorec absolútnej systematickej chyby merania. Systematické a náhodné chyby

4.1 Pojem chyby merania

Bezprostrednou úlohou merania je určiť hodnoty meranej veličiny. Výsledkom merania fyzikálnej veličiny so skutočnou hodnotou Chi získame odhad tejto veličiny Xiz. - výsledok merania. V tomto prípade by sa mali jasne rozlišovať dva pojmy: skutočné hodnoty fyzikálnych veličín a ich empirické prejavy - skutočné hodnoty , čo sú výsledky merania a v konkrétnej meracej úlohe môžu byť brané ako skutočné hodnoty. Skutočná hodnota veličiny nie je známa a používa sa iba v teoretických štúdiách. Výsledky meraní sú produktom našich vedomostí a predstavujú približné odhady hodnôt veličín, ktoré sú v procese merania. Stupeň priblíženia získaných odhadov skutočným (skutočným) hodnotám meraných veličín závisí od mnohých faktorov: metóda merania, použité meracie prístroje a ich chyby, vlastnosti zmyslových orgánov operátorov vykonávajúcich meranie. merania, podmienky, za ktorých sa merania vykonávajú atď. Preto je medzi skutočnou hodnotou fyzikálnej veličiny a výsledkom meraní vždy rozdiel, ktorý je vyjadrený chyba merania (rovnaká ako chyba výsledku merania).
Chyba výsledku merania — odchýlka výsledku merania od skutočnej (skutočnej) hodnoty meranej veličiny:

Keďže skutočná hodnota meranej veličiny je vždy neznáma a v praxi sa zaoberáme skutočnými hodnotami veličín XD, potom vzorec na určenie chyby v tomto ohľade má tvar:

4.2 Objektové modely a chyby merania

Úlohou meraní je získať hodnoty fyzikálnej veličiny, ktorá charakterizuje zodpovedajúce vlastnosti reálneho meraného objektu. Avšak vzhľadom na to, že skutočná hodnota meranej veličiny nám nie je známa, vyvstáva otázka - čo máme potom merať? Na zodpovedanie tejto otázky sa zavádza určitý idealizovaný obraz meraného objektu - model objektu merania , ktorého zodpovedajúce parametre možno najlepšie znázorniť ako skutočnú hodnotu meranej veličiny. Model skutočného meraného objektu zvyčajne predstavuje niečo z toho abstrakcie a jeho definícia je tvorená na základe logických, fyzikálnych a matematických pojmov. Ako príklad uvažujme riešenie najjednoduchšieho problému merania často zvažovaného v literatúre - určenie priemeru disku. Zdá sa, že skutočným predmetom merania je disk matematický model- všade okolo. V tomto prípade sa predpokladá, že priemer kruhu ideálne odráža tú vlastnosť skutočného disku, ktorú nazývame jeho priemer. Podľa definície je priemer kruhu rovnaký vo všetkých smeroch, takže aby sme skontrolovali, či sa náš model zhoduje so skutočným objektom (diskom), musíme vykonať merania disku v niekoľkých smeroch. Zo získaných výsledkov meraní možno vyvodiť dva závery.
Ak rozptyl nameraných hodnôt, to znamená rozdiely medzi výsledkami meraní medzi sebou, nepresiahne chybu merania priemeru disku špecifikovanú v úlohe merania, potom je možné ako meranie akceptovať ktorúkoľvek zo získaných hodnôt. výsledok.
Ak rozdiel vo výsledkoch merania prekročí stanovenú chybu merania, znamená to, že prijatý model nie je vhodný pre túto úlohu merania a je potrebné zaviesť nový model objekt merania. Takýmto modelom môže byť napríklad kruh s priemerom rovným najväčšej nameranej hodnote (opísanej kružnici).
Ďalším príkladom je meranie plochy miestnosti. Keď si podlahu miestnosti predstavíme ako obdĺžnik, jej plochu možno nájsť ako súčin dĺžky miestnosti a jej šírky. Ak sa však ukáže, že šírka miestnosti nie je po jej dĺžke rovnaká, potom je potrebné prijať iný model - napríklad si predstaviť podlahu miestnosti ako lichobežník a určiť plochu pomocou iného vzorca.
Podobne ako pri modeli merania je zavedený koncept modely chýb merania . Napríklad delenie chýb podľa ich pôvodu, vlastností, spôsobov vyjadrovania atď. Na vyjadrenie náhodných chýb sa teda najčastejšie používajú pravdepodobnostné modely. V tomto prípade je náhodná chyba charakterizovaná nie jednou hodnotou, ale rozsahom hodnôt, v ktorých sa dá s určitou pravdepodobnosťou nájsť. Pre vybraný chybový model sú stanovené zákonitosti jeho rozdelenia a tie parametre týchto rozdelení, ktoré sú indikátormi chyby, ako aj štatistické metódy odhadu týchto parametrov na základe výsledkov meraní. Modely chýb merania budú podrobnejšie diskutované nižšie.

4.3 Zdroje chýb merania

Chyba výsledku merania má mnoho zložiek, z ktorých každá je určená rôznych faktorov a zdrojov. Typický prístup k analýze a posudzovaniu chýb spočíva v izolácii týchto komponentov, ich oddelenom štúdiu a ich sčítaní podľa prijatých pravidiel. Po určení kvantitatívnych parametrov všetkých zložiek chyby a vedomí, ako ich zhrnúť, môžete správne odhadnúť chybu výsledku merania a ak je to možné, opraviť ju zavedením opráv.
Nižšie sú uvedené niektoré zdrojov výskyt chýb merania:

• neúplná zhoda meraného objektu s jeho akceptovaným modelom;
• neúplná znalosť meranej veličiny;
• neúplné znalosti o vplyve podmienok životné prostredie na meranie;
• nedokonalé meranie parametrov prostredia;
• konečné rozlíšenie zariadenia alebo jeho prah citlivosti;
• nepresnosť pri prenose hodnoty jednotky množstva z etalónov na pracovné meracie prístroje;
• nepresná znalosť konštánt a iných parametrov používaných v algoritme na spracovanie výsledkov meraní;
• aproximácie a predpoklady implementované v metóde merania;
• subjektívna chyba operátora pri meraní;
• zmeny v opakovaných pozorovaniach meranej veličiny za zjavne rovnakých podmienok a iné.

Zoskupením vyššie uvedených a iných príčin chýb merania ich možno rozdeliť na chyby metóda merania , meracie prístroje (nástroje ) A operátor, vykonávanie merania. Nedokonalosť každého z týchto komponentov merania prispieva k chybe merania. Preto v všeobecný pohľad chyba môže byť vyjadrená nasledujúcim vzorcom:

kde DM je metodologická chyba (chyba metódy); DI - chyba prístroja (chyba meracích prístrojov); DL - osobná (subjektívna) chyba.
Hlavné príčiny prístrojovej chyby sú uvedené v časti o meracích prístrojoch.
Metodologická chyba vzniká v dôsledku nedostatkov použitej metódy merania. Najčastejšie ide o dôsledok rôznych predpokladov pri použití empirických vzťahov medzi meranými veličinami alebo konštrukčných zjednodušení v prístrojoch používaných v túto metódu merania.
Subjektívna chyba je spojená s takými individuálnymi charakteristikami operátorov, ako je pozornosť, koncentrácia, rýchlosť reakcie a stupeň profesionálnej pripravenosti. Takéto chyby sú bežnejšie, keď je pri vykonávaní meraní veľký podiel ručnej práce a takmer chýbajú pri použití automatizovaných meracích prístrojov.

4.4 Klasifikácia chýb merania

Vyššie uvedená klasifikácia chýb merania súvisí s dôvodov ich výskyt. Okrem toho existujú ďalšie znaky, podľa ktorých sa klasifikujú chyby.
Autor: povaha prejavu (vlastnosti chýb) sa delia na systematické a náhodné, podľa spôsoby vyjadrovania - na absolútne a relatívne.
Absolútna chyba vyjadrené v jednotkách meranej veličiny, a relatívna chyba predstavuje vzťah absolútna chyba k nameranej (reálnej) hodnote veličiny a jej číselná hodnota je vyjadrená buď v percentách alebo ako zlomok jednotky.
Skúsenosti s vykonávaním meraní ukazujú, že pri opakovaných meraniach tej istej nezmenenej fyzikálnej veličiny za konštantných podmienok môže byť chyba merania reprezentovaná vo forme dvoch pojmov, ktoré sa prejavujú rôzne od merania k meraniu. Existujú faktory, ktoré sa počas procesu merania neustále alebo prirodzene menia a ovplyvňujú výsledok merania a jeho chybu. Chyby spôsobené takýmito faktormi sa nazývajú systematický.
Systematická chyba - zložka chyby merania, ktorá zostáva konštantná alebo sa prirodzene mení pri opakovaných meraniach tej istej veličiny. V závislosti od charakteru zmeny sa systematické chyby delia na konštantný, progresívny, periodický, meniaci sa podľa zložitého zákona.
Odráža sa blízkosť nuly systematickej chyby správnosť meraní .
Systematické chyby zvyčajne sa posudzuje buď teoreticky analýza podmienok merania , na základe známych vlastností meracích prístrojov, alebo pomocou presnejšie prostriedky merania . Spravidla sa vynakladá úsilie na odstránenie systematických chýb pomocou opráv. novela predstavuje hodnotu veličiny zadanú do nekorigovaného výsledku merania za účelom odstránenia systematickej chyby. Znamienko korekcie je opačné ako znamienko veľkosti. Na vznik chýb vplývajú aj faktory, ktoré sa objavujú nepravidelne a nečakane miznú. Navyše ich intenzita tiež nezostáva konštantná. Výsledky meraní za takýchto podmienok majú rozdiely, ktoré sú individuálne nepredvídateľné a ich vlastné vzorce sa objavia iba vtedy významné číslo merania. Chyby vyplývajúce z pôsobenia takýchto faktorov sa nazývajú náhodné chyby .
Náhodná chyba - zložka chyby merania, ktorá sa náhodne mení (znamienko a hodnota) počas opakovaných meraní tej istej veličiny, vykonávaných s rovnakou starostlivosťou.
Bezvýznamnosť náhodných chýb naznačuje dobro konvergencie miery, tj vzájomná blízkosť výsledkov meraní vykonaných opakovane tými istými prostriedkami, rovnakou metódou, za rovnakých podmienok a s rovnakou starostlivosťou.
Náhodné chyby sa zisťujú pomocou opakované merania rovnakej veľkosti za rovnakých podmienok. Nedajú sa empiricky vylúčiť, ale možno ich posúdiť pri spracovaní výsledkov pozorovania. Rozdelenie chýb merania na náhodné a systematické je veľmi dôležité, pretože zohľadnenie a posúdenie týchto zložiek chýb si vyžaduje rôzne prístupy.
Faktory spôsobujúce chyby možno vo všeobecnosti zhrnúť takto: všeobecná úroveň, kedy ich vplyv na vznik chyby je viac-menej rovnaký. Niektoré faktory však môžu byť neočakávane silné, napríklad prudký pokles sieťového napätia. V tomto prípade môžu vzniknúť chyby, ktoré výrazne presahujú chyby odôvodnené podmienkami merania, vlastnosťami meracích prístrojov a metódou merania a kvalifikáciou operátora. Takéto chyby sú tzv hrubé alebo hrubé chyby .
Hrubá chyba (slečna ) je chyba výsledku jednotlivého merania zaradeného do série meraní, ktorá sa pre dané podmienky výrazne líši od ostatných hodnôt chyby. Hrubé chyby by sa mali vždy vylúčiť z úvahy, ak je známe, že sú výsledkom zjavných chýb merania. Ak nie je možné zistiť dôvody výskytu odľahlých pozorovaní, potom sa na vyriešenie problému ich vylúčenia použijú štatistické metódy. Existuje niekoľko kritérií, ktoré vám umožňujú identifikovať hrubé chyby. Niektoré z nich sú popísané nižšie v časti o spracovaní výsledkov meraní.

4.5 Náhodné chyby
4.5.1 Štatistická stabilita rozdelenia pozorovaní

Ak dôjde k náhodným chybám merania, uchýlia sa k viacnásobnému pozorovaniu a následnému štatistickému spracovaniu ich výsledkov. V tomto prípade sa výsledky pozorovaní a meraní a náhodné chyby považujú za náhodné premenné teda veličiny, ktoré charakterizujú náhodný jav a v dôsledku meraní nadobúdajú jednu alebo druhú hodnotu. Spracovanie výsledkov takýchto pozorovaní je možné, ak ich rozptyl odhalí isté štatistické vzory . Ak sú výsledky pozorovania rozptýlené náhodne, potom nie je možné použiť žiadne metódy spracovania takýchto pozorovaní a získania výsledku merania.
Preto pri formulovaní konkrétneho problému merania a získavaní výsledkov pozorovania je potrebné v prvom rade skontrolovať vzorce v rozložení pozorovaní. Ak sa takéto vzory zistia, potom sa rozloženie pozorovaní má štatistická stabilita a na ich spracovanie je možné použiť metódy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Treba poznamenať, že zisťovanie štatistických vzorov v distribúcii výsledkov pozorovania sa vykonáva po odstránení všetkých známych systematických chýb z nich.

4.5.2 Diferenciál a integrálne zákony rozdelenia náhodných premenných

Náhodnú premennú najlepšie a najkomplexnejšie charakterizuje teória pravdepodobnosti zákon o jeho distribúcii . Tento zákon vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a pravdepodobnosťou ich výskytu zodpovedajúcou týmto hodnotám. Existujú dve formy opisu zákona rozdelenia náhodnej premennej - diferenciálny a integrálny . Okrem toho sa používa hlavne v metrológii diferenciálnu formu- distribučný zákon hustoty pravdepodobnosti náhodná premenná.
Zákon diferenciálneho rozdelenia charakterizovaný hustota rozdelenia pravdepodobnosti f ( X ) náhodná premenná X. Pravdepodobnosť R náhodná premenná spadajúca do intervalu od x1 predtým x2 daný vzorcom:

Graficky je táto pravdepodobnosť pomerom plochy pod krivkou f(X) v rozmedzí od x1 predtým x2 na celkovú plochu ohraničenú celou distribučnou krivkou. Plocha pod celou krivkou rozdelenia pravdepodobnosti sa spravidla normalizuje na jednotku.
IN v tomto prípade prezentovaná distribúcia nepretržitý náhodná premenná. Okrem nich existujú diskrétne náhodné premenné, ktoré nadobúdajú množstvo špecifických hodnôt, ktoré možno očíslovať.
Integrálny zákon rozdelenia náhodnej premennej predstavuje funkciu F(X), definovaný vzorcom

Pravdepodobnosť, že náhodná premenná bude menšia x1 daný hodnotou funkcie F(X) pri x = x1:


Hoci zákon rozdelenia náhodných veličín je ich úplnou pravdepodobnostnou charakteristikou, nájdenie tohto zákona je pomerne náročná úloha a vyžaduje si množstvo meraní. Preto v praxi na opis vlastností náhodnej premennej rôzne číselné charakteristiky rozdelenia . Tie obsahujú momenty náhodné premenné: primárne a centrálne , ktoré predstavujú niektoré priemerné hodnoty . Navyše, ak sa spriemerujú veličiny namerané od začiatku súradníc, potom sa volajú momenty počiatočné , a ak z distribučného centra - potom centrálny .
Počiatočný moment k - poradie sa určuje podľa vzorca:

Najväčší praktický záujem je o počiatočný moment prvej objednávky - matematické očakávanie náhodnej premennej m1 (k=1 ):

Matematické očakávanie určuje pozíciu zoskupovacie centrum náhodná premenná, okolo ktorej sa pozoruje jej rozptyl. Experimentálny odhad matematického očakávania pre viacnásobné merania je aritmetický priemer merané množstvo.
Centrálny moment k - poradie sa určuje podľa vzorca:

Osobitnú úlohu zohráva ústredný moment druhého rádu. To sa nazýva disperzia D náhodná premenná a charakterizuje rozptyl jeho jednotlivé významy:

V praxi sa používa častejšie smerodajná odchýlka σ (RMS) náhodná premenná definovaná vzorcom:

Pri podrobnejšom štúdiu rozdelení náhodnej veličiny sa využívajú momenty vyšších rádov. Charakterizuje teda každý nepárny centrálny moment asymetria distribúcie. Napríklad tretí moment slúži na nájdenie koeficient asymetrie distribučná krivka vo vzťahu k matematickému očakávaniu. Štvrtý ústredný moment charakterizuje ostrosť vrcholu distribučnej krivky.

4.5.3 Charakteristika hodnotenia meranej veličiny

Úlohou merania je nájsť najlepší odhad meranej veličiny zo získaných pozorovaní - výsledok merania a posúdenie správnosti tohto výsledku, t.j. stupeň jeho blízkosti k skutočnej hodnote množstva - chyby merania . V tomto prípade sa predpokladá, že zákon rozdelenia pozorovaní a chýb je známy. Pod hodnotenie v tomto prípade máme na mysli zistenie hodnôt parametrov týchto rozdelení náhodných premenných na základe obmedzeného počtu pozorovaní. Získané odhady parametrov rozdelenia sú len približné k skutočným hodnotám týchto parametrov a používajú sa ako výsledok merania a jeho chyba. Aby sa odhad získaný z výsledkov viacnásobných pozorovaní dal použiť ako parameter distribučnej funkcie náhodnej premennej, musí spĺňať množstvo požiadaviek – byť konzistentný, nezaujatý a efektívny.
Dôsledné hodnotenie - Toto je odhad, ktorý so zvyšujúcim sa počtom pozorovaní smeruje k skutočnej hodnote odhadovaného parametra.
Nestranný odhad - odhad, ktorého matematické očakávanie sa rovná skutočnej hodnote odhadovaného parametra.
Efektívne hodnotenie - odhad, ktorý má najmenší rozptyl v porovnaní s akýmkoľvek iným odhadom daného parametra.
Metódy zisťovania odhadov distribučných parametrov a z nich výsledky meraní a ich chyby závisia od typu distribučnej funkcie a od dohody o spracovaní výsledkov meraní , ktoré sú normalizované v rámci legálnej metrológie v regulačnej dokumentácii.

4.5.4 Príklady rozdelenia náhodných premenných

Metódy hľadania hodnôt náhodnej premennej závisia od typu jej distribučnej funkcie. V praxi sú však takéto funkcie zvyčajne neznáme. Ak je náhodný charakter výsledkov pozorovania spôsobený chybami merania, potom sa predpokladá, že pozorovania áno normálne rozdelenie . Je to spôsobené tým, že chyby merania pozostávajú z veľké číslo malé poruchy, z ktorých žiadne nie je dominantné. Podľa centrálna limitná veta súčet nekonečne veľkého počtu vzájomne nezávislých nekonečne malých náhodných premenných s ľubovoľnými rozdeleniami má normálne rozdelenie . Normálne rozdelenie pre
náhodná premenná X s matematickým očakávaním a rozptylom s má tvar:
V skutočnosti aj vplyv obmedzeného počtu porúch vedie k normálnemu rozdeleniu výsledkov meraní a ich chýb. V súčasnosti je matematický aparát najdokonalejšie vyvinutý špeciálne pre náhodné veličiny, ktoré majú normálne rozdelenie. Ak sa zamietne predpoklad normálneho rozdelenia, potom sa štatistické spracovanie pozorovaní výrazne skomplikuje a v tomto prípade nie je možné odporučiť všeobecnú metodiku štatistického spracovania pozorovaní. Často sa ani nevie, ktorá charakteristika rozdelenia môže slúžiť ako odhad skutočnej hodnoty nameranej hodnoty.
Vyššie je analytické vyjadrenie normálneho rozdelenia pre náhodnú merateľnú premennú X. Prechod na normálne rozdelenie náhodných chýb sa vykonáva prenesením stredu rozdelenia a vynesením pozdĺž osi x chyby .
Normálne rozdelenie je charakterizované dvoma parametrami: matematickým očakávaním m1 a štandardná odchýlka σ.
Pri opakovaných meraniach objektívny, konzistentný a efektívny odhad m1 pre skupinu n pozorovania sú aritmetický priemer:
.
Je potrebné povedať, že aritmetický priemer poskytuje odhad matematického očakávania výsledku pozorovania a môže byť posúdenie skutočnej (skutočnej) hodnoty iba merané množstvo po eliminácii systematické chyby.
stupňa S Smerodajná odchýlka (MSD) je daná vzorcom:

Toto hodnotenie charakterizuje rozptyl výsledkom jedného merania je séria rovnako presných meraní rovnakej veličiny okolo ich priemernej hodnoty.
Ďalšie odhady rozptylu výsledkov v sérii meraní sú rozsah (rozdiel medzi najväčším a najnižšia hodnota), modul chyba aritmetického priemeru (aritmetický súčet chýb vydelený počtom meraní) a medza spoľahlivosti chyby (podrobne diskutovaná nižšie).
Smerodajná odchýlka je najvýhodnejšou charakteristikou chyby v prípade jej ďalšej transformácie. Napríklad pre niekoľko nekorelovaných výrazov je štandardná odchýlka súčtu určená vzorcom:
.
Odhad S charakterizuje rozptyl výsledkov jednotlivých pozorovaní vzhľadom na priemernú hodnotu, teda ak za výsledok merania berieme samostatný korigovaný výsledok pozorovania. Ak sa za výsledok merania berie aritmetický priemer, potom sa štandardná odchýlka tohto priemeru určí podľa vzorca:

Normálne rozdelenie chýb má nasledovné vlastnosti :

• symetria , tie. chyby rovnakej veľkosti, ale opačného znamienka, sa vyskytujú rovnako často;
• matematické očakávanie náhodnej chyby je nulové ;
• malé chyby sú pravdepodobnejšie ako veľké;
• čím menšie s, tým menší je rozptyl výsledkov pozorovania a tým väčšia je pravdepodobnosť malých chýb.

Ďalšie bežné rozdelenie náhodnej premennej v metrológii je Rovnomerné rozdelenie - rozdelenie, v ktorom náhodná premenná nadobúda hodnoty v rámci konečného intervalu x1 predtým x2 s konštantnou hustotou pravdepodobnosti.
Funkcia diferenciálneho rovnomerného rozdelenia má tvar:
f(X) = s pri x1£ X£ x2
f(X) = 0 pri x2< X< x1
Keď normalizujeme oblasť distribučnej krivky na jednotu, získame to c(x2 – x1)= 1 a c = 1/ (x2 - x1).
Rovnomerné rozdelenie je charakterizované matematickým očakávaním, rozptylom alebo štandardnou odchýlkou.
Okrem uvažovaných príkladov rozdelení náhodných veličín existujú aj ďalšie rozdelenia diskrétnych náhodných premenných, ktoré sú dôležité pre praktické využitie, napr. binomické a Poissonovo rozdelenie . Nie sú zahrnuté v tomto kurze.

4.5.5 Intervaly spoľahlivosti

Vyššie uvedené odhady distribučných parametrov náhodných premenných vo forme aritmetického priemeru pre odhad matematického očakávania a štandardnej odchýlky pre odhad rozptylu sú tzv. bodové odhady , keďže sú vyjadrené ako jedno číslo. V niektorých prípadoch však znalosť bodového odhadu nestačí. Najsprávnejšie a najnázornejšie posúdenie chyby náhodného merania je posúdenie pomocou intervaly spoľahlivosti.
Symetrický interval v rámci ± Δx(P) volal interval spoľahlivosti náhodná chyba s pravdepodobnosťou spoľahlivosti R, ak je oblasť distribučnej krivky medzi úsečkami Δх a + Δх rovná sa R-tá časť celkovej plochy pod krivkou hustoty pravdepodobnosti. Pri normalizácii celej oblasti na jednotku R predstavuje časť tejto oblasti v zlomkoch jednotky (alebo percent). Inými slovami, v rozmedzí od - Dx(P) predtým + Dx(P) s danou pravdepodobnosťou R stretnúť sa R×100 % všetkých možných hodnôt náhodnej chyby.
Interval spoľahlivosti pre normálne rozdelenie nájdeme podľa vzorca:

kde je koeficient t závisí od pravdepodobnosti spoľahlivosti R.
Pre normálne rozdelenie existujú tieto vzťahy medzi intervalmi spoľahlivosti a pravdepodobnosťou spoľahlivosti: 1 s (P = 0,68), 2 s (P = 0,95), 3 s (P = 0,997), 4 s (P = 0,999).

Predpokladá sa, že pravdepodobnosti spoľahlivosti vyjadrenia výsledkov meraní a chýb v rôznych oblastiach vedy a techniky sú rovnaké. Takže v technické merania akceptovaná bola hladina spoľahlivosti 0,95. Len pre obzvlášť presné a kritické merania sú akceptované vyššie pravdepodobnosti spoľahlivosti. V metrológii sa spravidla používajú pravdepodobnosti spoľahlivosti 0,97, vo výnimočných prípadoch 0,99. Treba si uvedomiť, že presnosť merania musí zodpovedať zadanej meracej úlohe. Prílišná presnosť vedie k zbytočnému plytvaniu finančnými prostriedkami. Nedostatočná presnosť meraní môže viesť k chybným rozhodnutiam na základe jej výsledkov s najnepredvídateľnejšími, dokonca aj vážnymi následkami. materiálne straty alebo katastrofy.

Pri opakovanom meraní hodnoty X, pri normálnom rozdelení možno interval spoľahlivosti zostrojiť pre akúkoľvek pravdepodobnosť spoľahlivosti pomocou vzorca:

Kde tq- Študentský koeficient v závislosti od počtu pozorovaní n a zvolená pravdepodobnosť spoľahlivosti R. Určuje sa pomocou tabuľky q- percentuálne body študentského rozdelenia, ktoré má dva parametre: k = n- 1 a q= 1 - P; - odhad štandardnej odchýlky aritmetického priemeru.
Interval spoľahlivosti pre chybu Dx(P) vám umožňuje stavať interval spoľahlivosti pre skutočnú (skutočnú) hodnotu meranej veličiny , ktorej odhad je aritmetický priemer. Skutočná hodnota nameranej hodnoty sa zistí s pravdepodobnosťou P v intervale: . Interval spoľahlivosti umožňuje zistiť, ako veľmi sa môže zmeniť odhad meranej veličiny získaný ako výsledok danej série meraní, keď sa opakovaná séria meraní vykonáva za rovnakých podmienok. Treba poznamenať, že intervaly spoľahlivosti sú konštruované pre nenáhodné množstvá , ktorého hodnoty nie sú známe. Ide o skutočnú hodnotu nameranej hodnoty a štandardné odchýlky. Zároveň sú odhady týchto veličín získané ako výsledok spracovania pozorovacích údajov náhodnými premennými.
Nevýhodou intervalov spoľahlivosti pri odhadovaní náhodných chýb je, že pri ľubovoľne zvolených pravdepodobnostiach spoľahlivosti nie je možné sčítať niekoľko chýb, pretože interval spoľahlivosti súčtu sa nerovná súčtu intervalov spoľahlivosti . Odchýlky nezávislých náhodných premenných sú sčítané : Då = åDi . To znamená, že aby bola sumacia možná, zložky náhodnej chyby musia byť reprezentované ich štandardnými odchýlkami, a nie maximálnymi chybami alebo chybami spoľahlivosti.

4.6 Systematické chyby

Detekcia a odstraňovanie systematických chýb je komplexná úloha, ktorá si vyžaduje hĺbkovú analýzu celého súboru výsledkov pozorovania, použitých prostriedkov, metód a podmienok merania. Treba poznamenať, že odstraňovanie systematických chýb sa vykonáva nie matematickým spracovaním výsledkov pozorovania, ale pomocou vhodných metódy merania . Najmä meraním rôznych nezávislé metódy alebo vykonávanie meraní s paralelnou aplikáciou presnejšie meracie prístroje.
Existujú nejaké špeciálne techniky merania , ktoré nám umožňujú vylúčiť časti systematických chýb:

• Výnimka samotný zdroj chýb.
• Substitúcia meraná veličina so známou veličinou, ktorá sa jej rovná, aby nedošlo k zmenám stavu a činnosti všetkých používaných meracích prístrojov. Týmto spôsobom je možné eliminovať chybu komparátora.
• Odškodnenie chyby znamienkom meraním v smere dopredu a dozadu tým istým prístrojom. Napríklad určením hodnoty meranej veličiny pri priblížení sa k určitému bodu na stupnici vľavo a vpravo od nej a výpočtom priemernej hodnoty.
• Pozorovania cez obdobie zmeny ovplyvňujúcej veličiny. To nám umožňuje eliminovať chyby, ktoré sa menia podľa periodického zákona.
• Merania jednej veličiny viacerými nezávislé metódy nasleduje výpočet váženej priemernej hodnoty nameranej hodnoty.
• Merania jednej veličiny niekoľko zariadení nasleduje výpočet aritmetického priemeru z hodnôt všetkých prístrojov.

Systematické chyby sú eliminované zavedením zmeny a doplnenia ktoré sa nachádzajú rôznymi spôsobmi a predstavujú hodnoty absolútnych chýb, ktoré sa odpočítavajú od výsledku merania. Z výsledkov sa teda zistia inštrumentálne zložky systematickej chyby overenie meracie prístroje.
Účtovné úpravy ovplyvňujúce veličiny vypočítané pomocou známeho funkcie alebo koeficienty vplyvu na základe výsledkov pomocných meraní týchto veličín. Zavedenie pozmeňujúcich a doplňujúcich návrhov však úplne neodstráni systematické chyby, pretože napríklad chyby pri určovaní zmien a doplnení pretrvávajú. Tieto nevylúčené časti sú nevylúčené zvyšky systematických chýb (SER).
Keďže nie je možné úplne odstrániť systematické chyby, vyvstáva úloha odhadnúť hranice alebo iné parametre týchto chýb. Systematická chyba výsledku merania sa spravidla odhaduje podľa jeho tvoriace . Tieto zložky sú buď vopred známe, alebo sa dajú určiť pomocou pomocných údajov, napríklad vypočítaných pre každú z ovplyvňujúcich veličín. Môžu to byť aj chyby pri určovaní dodatkov. Nevylúčená systematická chyba sa vyznačuje hranica každú jeho zložku.
V tomto smere nastáva problém zhrnutie zložky systematickej chyby. V tomto prípade treba zložky považovať za náhodné veličiny a sčítať ich pomocou metód teórie pravdepodobnosti, čo predpokladá znalosť distribučnej funkcie týchto zložiek. Zákon rozdelenia elementárnych zložiek chyby je však spravidla neznámy. Preto sa pri sčítaní riadime nasledujúcim pravidlo palca na základe zdravého rozumu a intuície:

• ak je známy odhad limitov chýb, malo by sa zvážiť jeho rozdelenie uniforma;
• ak je známy odhad štandardnej odchýlky chyby, malo by sa zvážiť rozdelenie normálne .

Aplikácia tohto pravidla nám umožňuje štatisticky zhrnúť zložky systematickej chyby. V súlade s ním sa pri absencii dodatočných informácií nevylúčené zvyšky systematickej chyby považujú za náhodné premenné, ktoré majú Rovnomerné rozdelenie .
Hranice nevylúčenej systematickej chyby Q ak je počet členov väčší alebo rovný 4, vypočítajú sa pomocou vzorca:

kde je hranica i-tá zložka chyby; k- koeficient určený pravdepodobnosťou spoľahlivosti. O R= 0,95 k= 1,1, at R= 0,99 k = 1,4.
Ak je počet členov menší alebo rovný 3, hodnoty sa spočítajú aritmeticky modulo. Ak aritmeticky spočítame NSP pre ľubovoľný počet termínov, potom bude výsledný odhad, hoci spoľahlivý, nadhodnotený.
Pravdepodobnosť spoľahlivosti pre výpočet hraníc nevylúčenej systematickej chyby sa považuje za rovnakú ako pri výpočte hraníc spoľahlivosti náhodnej chyby.

4.7 Metódy spracovania výsledkov priameho merania

Základné princípy metód spracovania výsledkov priamych meraní s viacnásobnými pozorovaniami sú definované v GOST 8.207-76.
Zoberie sa výsledok merania priemer údajov n pozorovania, z ktorých sú vylúčené systematické chyby. Predpokladá sa, že výsledky pozorovania po vylúčení systematických chýb z nich patria do normálneho rozdelenia. Na výpočet výsledku merania je potrebné vylúčiť systematickú chybu z každého pozorovania a nakoniec získať opravený výsledok i pozorovanie. Potom sa vypočíta aritmetický priemer týchto opravených výsledkov a berie sa ako výsledok merania. Aritmetický priemer je konzistentný, nezaujatý a efektívny odhad meranej veličiny pri normálnom rozdelení pozorovaných údajov.
Treba poznamenať, že niekedy sa v literatúre namiesto termínu výsledok pozorovania niekedy sa tento výraz používa výsledok jedného merania, z ktorých sú vylúčené systematické chyby. V tomto prípade sa aritmetický priemer chápe ako výsledok merania v danej sérii niekoľkých meraní. To nemení podstatu postupov spracovania výsledkov uvedených nižšie.
Pri štatistickom spracovaní skupín výsledkov pozorovania by sa malo vykonať nasledovné: operácií :

• Odstráňte známu systematickú chybu z každého pozorovania a získajte opravený výsledok jednotlivého pozorovania X.
• Vypočítajte aritmetický priemer korigovaných výsledkov pozorovania, ktoré sa považujú za výsledok merania:

pozorovacie skupiny:

Skontrolovať dostupnosť hrubé chyby - existujú nejaké hodnoty, ktoré presahujú ±3 S. Pri normálnom distribučnom zákone s pravdepodobnosťou takmer rovnou 1 (0,997) by žiadna z hodnôt tohto rozdielu nemala presiahnuť stanovené limity. Ak sú prítomné, príslušné hodnoty by sa mali vylúčiť z úvahy a výpočty a hodnotenie by sa mali znova zopakovať S.

aritmetika)

• Otestujte hypotézu o normálnom rozdelení výsledkov pozorovania.

Na kontrolu normality rozdelenia výsledkov pozorovania existujú rôzne približné metódy. Niektoré z nich sú uvedené v GOST 8.207-76. Ak je počet pozorovaní menší ako 15, v súlade s týmto GOST sa ich príslušnosť k normálnemu rozdeleniu nekontroluje. Medze spoľahlivosti náhodnej chyby sa určujú iba vtedy, ak je vopred známe, že výsledky pozorovania patria do tohto rozdelenia. Charakter distribúcie možno približne posúdiť zostrojením histogramu výsledkov pozorovania. Matematické metódy na kontrolu normality rozdelenia sú diskutované v odbornej literatúre.

• Vypočítajte hranice spoľahlivosti e náhodnej chyby (náhodná zložka chyby) výsledku merania

Kde tq- Študentský koeficient v závislosti od počtu pozorovaní a úrovne spoľahlivosti. Napríklad kedy n= 14, P= 0,95 tq= 2,16. Hodnoty tohto koeficientu sú uvedené v prílohe špecifikovanej normy.

Ak , potom sa v porovnaní s náhodnými chybami zanedbá NSP a chybový limit výsledku D = e.. Ak je > 8, náhodná chyba sa môže zanedbať a medza chyby výsledku je D = Θ . Ak nie sú splnené obe nerovnosti, potom sa hranica chyby výsledku zistí zostrojením zloženia rozdelenia náhodných chýb a NSP pomocou vzorca: , kde TO- koeficient v závislosti od pomeru náhodnej chyby a neštandardnej chyby; Så - posúdenie celkovej smerodajnej odchýlky výsledku merania. Odhad celkovej smerodajnej odchýlky sa vypočíta podľa vzorca:
.
Koeficient K sa vypočíta pomocou empirického vzorca:
.
Pravdepodobnosť spoľahlivosti pre výpočet a musí byť rovnaká.
Chyba pri použití posledného vzorca na zloženie rovnomerného (pre NSP) a normálneho (pre náhodnú chybu) rozdelenia dosahuje 12 % s úrovňou spoľahlivosti 0,99.
9. Zapíšte si výsledok merania. Zápis výsledku merania sa poskytuje v dvoch verziách, keďže je potrebné rozlišovať medzi meraniami, kedy je získanie hodnoty meranej veličiny konečným cieľom, a meraniami, ktorých výsledky budú použité na ďalšie výpočty alebo analýzy.
V prvom prípade stačí poznať všeobecnú chybu výsledku merania a pri symetrickej chybe spoľahlivosti sú výsledky merania prezentované v tvare: , kde
kde je výsledok merania.
V druhom prípade musia byť známe charakteristiky zložiek chyby merania - odhad smerodajnej odchýlky výsledku merania, limity NSP, počet vykonaných pozorovaní. Pri absencii údajov o forme distribučných funkcií komponentov chyby výsledku a potrebe ďalšieho spracovania výsledkov alebo analýzy chýb sú výsledky merania prezentované vo forme:

Ak sa hranice NSP vypočítajú v súlade s článkom 4.6, potom sa dodatočne uvedie pravdepodobnosť P spoľahlivosti.
Odhady a deriváty ich hodnoty môžu byť vyjadrené ako v absolútnej forme, teda v jednotkách nameranej hodnoty, tak aj relatívne, teda ako pomer absolútnej hodnoty danej hodnoty k výsledku merania. V tomto prípade by sa výpočty pomocou vzorcov tohto oddielu mali vykonávať pomocou množstiev vyjadrených iba v absolútnej alebo relatívnej forme.

4.8 Jednotlivé merania

V strojárstve je väčšina meraní raz , t.j. Na získanie výsledku merania sa používa jedno odčítanie prístroja. Tento typ zahŕňa napríklad merania pri osobnom radiačnom monitoringu, ktoré často využívajú jeden detektor. Výsledok jediného merania zahŕňa všetky jeho vlastné chyby (inštrumentálne, metodologické, subjektívne), z ktorých každá môže mať systematickú aj náhodnú zložku. Ak je to nevyhnutné presne tak Aby sa odhadla chyba výsledku merania, mali by sa identifikovať a posúdiť a zhrnúť všetky zložky chýb.
Náhodnú zložku chyby nemožno vypočítať z výsledkov merania, hoci je v nich implicitne prítomná. Ako odhady náhodnej zložky chyby možno použiť napr. variačný koeficient , stanovené skôr v procese opakovaných meraní pri štúdiu reprodukovateľnosti údajov daného zariadenia. Variačný koeficient sa zistí ako pomer odhadu štandardnej odchýlky k aritmetickému priemeru údajov prístroja počas opakovaných meraní. V niektorých prípadoch môže byť náhodná chyba určená limitmi spoľahlivosti.
Odhad systematických chýb možno získať z charakteristík použitého zariadenia (z pasových údajov alebo z kalibračného certifikátu) a metódy merania (jeho analýzou). Z dokumentácie k zariadeniu možno posúdiť a zohľadniť ďalšie systematické chyby.
Hlavné etapy odhady chýb pre jednotlivé merania s presným odhadom chyby sú nasledovné:

• Zohľadňuje sa systematická chyba zariadenia.
• Posudzuje sa systematická chyba metódy merania.
• Ďalšie systematické chyby spôsobené ovplyvňujúcimi veličinami sa odhadujú z dokumentácie k zariadeniu.
• Z odčítania prístroja sa vylúčia všetky známe systematické chyby (v súlade s odsekmi 1, 2, 3) a určí sa opravený výsledok merania, ktorý obsahuje zložky NSP a náhodnú chybu.
• Odhadujú sa hranice zložiek Qi NSP, ktorých rozloženie sa predpokladá rovnomerné. Môžu to byť napríklad chyby noriem pri overovaní meradiel, chyby opráv a pod. Potom sa pomocou vyššie uvedených vzorcov určia hranice Q celkového NSP.
• Pred použitím prístroja sa určí variačný koeficient - odhad náhodnej chyby, ktorý sa používa pri následných jednotlivých meraniach prístrojom.
• Odhady NSP a náhodnej chyby sa porovnajú podľa kritérií predchádzajúcej časti a ak je možné niektoré z nich zanedbať, určia sa hranice chyby výsledku. D.

Ak je potrebné brať do úvahy obe zložky, tak ako hranicu chyby výsledku merania D berie sa celkový priemer štvorcová chyba Så , , vypočítané podľa vzorca v časti 4.7 s určením smerodajnej odchýlky výsledku merania a semiempirického koeficientu K. Na odstránenie hrubých chýb by sa malo jedno meranie opakovať 2-3 krát a aritmetický priemer by sa mal brať ako výsledok.
V praxi sa často vyskytujú merania, pri ktorých nie je potrebné presne odhadnúť chybu. Pri takýchto meraniach sa ako výsledok berie referenčná hodnota X, a na odhad chyby merania sa používa hranica dovolenej základnej chyby zariadenia Datď a ďalšie chyby prístroja Yi z ovplyvňovania veličín. Subjektívne chyby sa považujú za malé a zanedbávajú sa.
Odhad chyby výsledku merania Då je definovaná ako suma absolútne hodnoty hlavná chyba a celková systematická chyba podľa vzorca:
Då = | Datď| + å | Yi| .
Presnejší odhad chyby možno získať štatistickým sčítaním zložiek podľa vzorca v časti 4.7 za predpokladu ich rovnomerného rozdelenia.

4.9 Stanovenie výsledkov nepriamych meraní a odhad ich chýb

Metódy spracovania výsledkov nepriamych meraní sú popísané v Smernice RD 50-555-85 „Nepriame merania. Stanovenie výsledkov meraní a posúdenie ich chýb.“
Hlavné fázy spracovania výsledkov nepriamych meraní sú nasledovné.
1. Požadovaná hodnota množstva Y zistené na základe výsledkov meraní argumentov X1 , …, xi, …, xm, spojené s požadovanou hodnotou nelineárnou závislosťou. . Typ funkcie f musia byť známe z teoretických predpokladov alebo stanovené experimentálne. Neznáma chyba Y závisí od chýb merania argumentov. Nižšie uvažujeme o prípade, keď sú argumenty navzájom nezávislé.
2. Odhad štandardnej odchýlky náhodnej chyby S(Y) sa vypočíta podľa vzorca:

Kde xi- výsledok merania ai-tého argumentu; S(xi) - posúdenie smerodajnej odchýlky výsledku merania xi argument (určený pomocou vzorcov v časti 4.6.7).
3. Medze spoľahlivosti náhodnej chyby e za predpokladu, že rozdelenie chýb vo výsledkoch meraní argumentov nie je v rozpore s normálnym rozdelením, sú určené vzorcom:
4. Hranica nevylúčenej systematickej chyby výsledku merania sa vypočíta podľa vzorca

kde k je korekčný faktor pre akceptovanú pravdepodobnosť a počet spoľahlivosti m zložky NSP, pre P = 0,95 koeficient k = 1,1.
5. Chyba výsledku merania sa vypočíta v závislosti od pomeru hraníc NSP a náhodnej chyby. O medza spoľahlivosti výsledku nepriameho merania D vypočítané podľa vzorca , Kde TO- koeficient v závislosti od pomeru a pravdepodobnosti spoľahlivosti (hodnoty TO sú uvedené v určenom RD).
6. Výsledok merania sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. Ak je zamýšľaný výskum a porovnávanie výsledkov merania alebo analýza chýb, potom sa vo formulári uvádza výsledok merania a jeho chyba
.
Ak sú hranice chyby výsledku merania symetrické, potom sa výsledok merania a jeho chyba zobrazí vo formulári U± D.
7. Pri neznámych rozdeleniach chýb merania argumentov a ak medzi nimi existuje korelácia, výsledok nepriame meranie a jeho chyba sú určené redukčnou metódou založenou na redukcii počtu jednotlivých hodnôt nepriamo meranej veličiny na počet priamych meraní. Táto metóda je podrobne opísaná vo vyššie uvedenom RD.

4.10 Evidencia chýb a pravidlá zaokrúhľovania

Pre zabezpečenie jednotného vyjadrenia výsledkov meraní a chýb sú formy ich prezentácie štandardizované. Základné pravidlá sú nasledovné.
Keďže chyby určujú len zónu nespoľahlivosti výsledku merania, nie je potrebné ich veľmi presne poznať. Preto je v konečnom zázname vyjadrená chyba jedna alebo dve významné číslice. Významné číslice čísla sú číslice zostávajúce po vyradení úvodných núl. Takže čísla 0,12 a 0,012 majú každé dve platné číslice. Je akceptované, že najmenšie číslice číselných hodnôt výsledku merania a chyby by mali byť rovnaké: 20,56±0,25 alebo 2,1±0,1. Jednou z najčastejších chýb pri odhadovaní výsledkov meraní a chýb je ich výpočet s príliš veľkým počtom platných číslic. Spravidla to nie je potrebné a iba vtedy medzivýpočty Môžete si ponechať 3-4 platné číslice.
Len pri najpresnejších výpočtoch zostávajú dve čísla. Výsledok merania je potrebné zapísať tak, aby končil desatinným miestom na rovnakom mieste ako hodnota chyby. Väčší počet číslic nie je potrebný, pretože to nezníži neistotu výsledku charakterizovaného touto chybou. Zníženie počtu číslic zaokrúhľovaním zvyšuje neistotu výsledku merania a znižuje jeho presnosť. Napríklad chyba pri zaokrúhľovaní chyby na dve platné číslice je 5 % a na jednu platnú číslicu nie je väčšia ako 50 %.
Nainštalované sú nasledovné pravidlá zaokrúhľovania výsledky a chyby merania:
1. Výsledok merania sa zaokrúhli tak, aby končil číslicou s rovnakou číslicou, ako je hodnota jeho chyby. Ak desatinný zlomok v číselnej hodnote výsledku merania končí nulami, potom sa vyradia iba na tú číslicu, ktorá zodpovedá číslici číselnej hodnoty chyby. Napríklad výsledok je 3 2800 s chybou 0,001, zaokrúhlená na 3,280.
2. Ak je číslica najvýznamnejšej z vyradených číslic menšia ako 5, zostávajúce číslice čísla sa nezmenia, ďalšie číslice v celých číslach sa nahradia nulami a v desatinných zlomkoch sa vyradia. Napríklad číslo 267245, ak je ponechané na štyri platné číslice, by sa malo zaokrúhliť na 267200; číslo 165.245 až 165.2.
3. Ak je číslica najvýznamnejšej vyradenej číslice väčšia alebo rovná 5, ale za ňou nasledujú nenulové číslice, posledná zostávajúca číslica sa zvýši o jednu: 14597®14600; 123,58®124;

4. Ak je vyradená číslica 5 a nasledujúce číslice sú neznáme alebo rovné nule, potom sa posledná zachovaná číslica nezmení, ak je párna, a zvýši sa, ak je nepárna: 10,5®10; 11,5®12.

Výsledky pozorovania získané v prítomnosti systematickej chyby sa nazývajú neopravené. Pri realizácii meraní sa snažíme čo najviac vylúčiť alebo zohľadniť vplyv systematických chýb. To možno dosiahnuť nasledujúcimi spôsobmi:

Eliminácia zdrojov chýb pred začatím meraní. Vo väčšine oblastí merania sú hlavné zdroje systematických chýb známe a boli vyvinuté metódy na elimináciu ich vzniku alebo elimináciu ich vplyvu na výsledok merania. V tomto smere sa v meracej praxi snažia eliminovať systematické chyby nie spracovaním experimentálnych údajov, ale používaním meracích prístrojov, ktoré implementujú vhodné metódy merania;

Stanovenie opráv a ich zavedenie do výsledku merania;

Odhad limitov nevylúčených systematických chýb.

Metódami spoločného spracovania výsledkov meraní nie je možné nájsť konštantnú systematickú chybu. Neskresľuje však ani ukazovatele presnosti merania, ktoré náhodnú chybu charakterizujú, ani výsledok hľadania variabilnej zložky systematickej chyby. Skutočne, výsledok jedného merania

kde x a je skutočná hodnota nameranej hodnoty; D i - i-tý náhodný chyba; q i - i-tá systematická chyba.

Po spriemerovaní výsledkov viacerých meraní získame aritmetický priemer nameranej hodnoty

Ak je systematická chyba konštantná vo všetkých meraniach, t.j.

Opakovaným meraním teda nie je eliminovaná stála systematická chyba.

Trvalé systematické chyby možno odhaliť len porovnaním výsledkov meraní s inými získanými použitím presnejších metód a prostriedkov. Niekedy môžu byť tieto chyby odstránené špeciálnymi technikami vykonávania procesu merania. Tieto metódy sú diskutované nižšie.

Prítomnosť významnej premennej systematickej chyby skresľuje odhady charakteristík náhodnej chyby a aproximáciu jej rozdelenia. Preto ho treba identifikovať a vylúčiť z výsledkov merania.

Na odstránenie neustálych systematických chýb použite nasledujúce metódy:

Substitučná metódačo je druh porovnávacej metódy, kedy sa porovnávanie vykonáva nahradením nameranej hodnoty známou hodnotou a to tak, aby nedošlo k zmenám stavu a činnosti všetkých používaných meracích prístrojov. Táto metóda poskytuje najkompletnejšie riešenie problému. Na jeho realizáciu je potrebné mať regulovanú mieru, ktorej hodnota je homogénna s meranou hodnotou. Napríklad váženie Borda, meranie odporu cez DC mostík a meranie odporu.

Metóda opozíciečo je typ porovnávacej metódy, pri ktorej sa meranie vykonáva dvakrát a vykonáva sa tak, že v oboch prípadoch má príčina konštantnej chyby rôzne, ale zákonite známe účinky na výsledky pozorovania. Napríklad Gaussova metóda váženia.

Príklad 5.1. Odmerajte odpor pomocou jediného mostíka pomocou opozičnej metódy.

Najprv sa nameraný odpor R x vyrovná so známym odporom R 1 zahrnutým v porovnávacom ramene mostíka. V tomto prípade R x = R 1 R 3 / R 4, kde R 3, R 4 sú odpory ramien mosta. Potom sa odpory R x a R 1 zamenia a mostík sa opäť vyrovná nastavením odporu odporu R 1 . V tomto prípade Rx = R¢1R3/R4.

Pomer R3/R4 je z posledných dvoch rovníc vylúčený. Potom

Metóda kompenzácie chyby znamienka(metóda zmeny znamienka systematickej chyby), zahŕňajúca meranie s dvoma pozorovaniami vykonanými tak, že konštantná systematická chyba vstupuje do výsledku každého z nich s rôznymi znamienkami.

Pri vykonaní jedného merania získame EMF E 1 . Potom zmeníme polaritu meraného EMF a smer prúdu v potenciometri. Opäť to vyvážime - dostaneme hodnotu E 2. Ak thermoEMF udáva chybu DE a E 1 = E X + DE, potom E 2 = E X - DE. Preto Ex = (E1 + E2)/2 . V dôsledku toho je eliminovaná systematická chyba spôsobená pôsobením termoEMF.

Randomizačná metóda- najuniverzálnejší spôsob odstránenia neznámych neustálych systematických chýb. Jej podstatou je, že rovnaká veličina sa meria rôznymi metódami (prístrojmi). Systematické chyby každého z nich pre celú populáciu sú rôzne náhodné premenné. Výsledkom je, že s nárastom počtu používaných metód (nástrojov) sa systematické chyby vzájomne kompenzujú.

Na odstránenie premenných a monotónne sa meniacich systematických chýb použite nasledujúce techniky a metódy.

Analýza znakov neopravených náhodných chýb. Ak sa znaky neopravených náhodných chýb striedajú s akýmkoľvek vzorom, potom sa pozoruje premenlivá systematická chyba. Ak je postupnosť znakov „+“ pre náhodné chyby nahradená sekvenciou znakov „-“ alebo naopak, ide o monotónne sa meniacu systematickú chybu. Ak sa skupiny znakov „+“ a „-“ pre náhodné chyby striedajú, ide o periodickú systematickú chybu.

Grafická metóda. Je jedným z najviac jednoduchými spôsobmi detekciu premenlivej systematickej chyby v sérii výsledkov pozorovania a spočíva v zostrojení grafu postupnosti nekorigovaných hodnôt výsledkov pozorovania. Na grafe je cez vykreslené body nakreslená hladká krivka, ktorá vyjadruje trend výsledku merania, ak existuje. Ak trend nie je viditeľný, potom sa premenná systematická chyba považuje za prakticky chýbajúcu.

Metóda symetrických pozorovaní. Uvažujme o podstate tejto metódy na príklade meracieho prevodníka, ktorého prenosová funkcia má tvar y = kx + y 0, kde x, y sú vstupné a výstupné veličiny prevodníka; k - koeficient, ktorého chyba sa v čase mení podľa lineárneho zákona; 0 je konštantná.

Na odstránenie systematickej chyby sa výstupná hodnota y meria trikrát v rovnakých časových intervaloch Dt. Pri prvom a treťom meraní je na vstup prevodníka privedený signál x 0 z referenčnej miery. Ako výsledok meraní sa získa systém rovníc:

Jeho riešenie nám umožňuje získať hodnotu x, ktorá je bez premennej systematickej chyby spôsobenej zmenami koeficientu k:

Špeciálne štatistické metódy. TO Medzi ne patrí metóda postupných rozdielov, analýza rozptylu, atď. Pozrime sa bližšie na niektoré z nich.

Metóda postupných rozdielov (Abbeho kritérium). Používa sa na detekciu časovo premenlivej systematickej chyby a pozostáva z nasledujúceho. Rozptyl výsledkov pozorovania možno odhadnúť dvoma spôsobmi: obvyklým

a výpočtom súčtu druhých mocnín po sebe nasledujúcich (v poradí meraní) rozdielov (x i +1 - x i) 2

Ak počas procesu merania došlo k posunu stredu zoskupovania výsledkov pozorovania, t.j. došlo k premennej systematickej chybe, potom s 2 [x] poskytuje prehnaný odhad rozptylu výsledkov pozorovania. Je to preto, že s 2 [x] je ovplyvnené variáciami v x. Zároveň zmeny v strede zoskupenia x majú veľmi malý vplyv na hodnoty postupných rozdielov d i = (x i +1 - x i), preto posuny x̅ nebudú mať takmer žiadny vplyv na hodnotu Q 2 [x ].

Pomer v = Q 2 [x]/s 2 [x] je kritériom na zistenie systematických posunov v strede zoskupovania výsledkov pozorovania. Kritická oblasť pre toto kritérium (Abbeho kritérium) je definovaná ako P(v < v q) = q, kde q = 1- P - hladina významnosti, P - pravdepodobnosť spoľahlivosti. Hodnoty v q pre rôzne hladiny významnosti q a počet pozorovaní n sú uvedené v tabuľke. 5.1. Ak je získaná hodnota Abbeovho kritéria pre dané q an n menšia ako v, potom sa hypotéza o stálosti stredu pre zoskupenie výsledkov pozorovania zamieta, t.j. je zistená premenlivá systematická chyba vo výsledkoch merania.

Tabuľka 5.1

Hodnoty Abbeovho kritéria v q

n	V q s q rovným	n	V q s q rovným
0.001	0.01	0,05	0,001	0.01	0,05
	0,295	0,313	0,390		0,295	0,431	0,578
	0.208	0,269	0,410		0,311	0,447	0,591
	0,182	0,281	0,445		0.327	0.461	0,603
	0,185	O.ZOT	0,468		0,341	0.474	0,614
	0,202	0,331	0.491		0,355	0,487	0,624
	0,221	0,354	0,512		0,368	0,499	0.633
	0,241	0,376	0,531		0,381	0.510	0,642
	0.260	0,396	0,548		0,393	0,520	0,650
	0,278	0,414	0,564

Príklad 5.3. Pomocou metódy postupných rozdielov určite, či existuje systematická chyba v sérii výsledkov pozorovania uvedených v druhom stĺpci tabuľky. 5.2.

Tabuľka 5.2

Výsledky pozorovania

n	x i	d i = x i + 1 - x i	d 2 i	v i = x i - x̅	v 2 i
	13,4	-	-	-0,6	0,36
	13,3	-0,1	0,01	-0,7	0,49
	14,5	+1,2	1,44	+0,5	0,25
	13,8	-0,7	0,49	-0,2	0,04
	14,5	+0,7	0,49	+0,5	0,25
	14,6	+0,1	0,01	+0,6	0,36
	14,1	-0,5	0,25	+0,1	0,01
	14,3	+0,2	0,04	+0,3	0,09
	14,0	+0,3	0,09	0,0	0,0
	14,3	+0,3	0,09	+0,3	0,09
	13,2	-1,1	1,21	-0,8	0,64
å 1154,0	-0,2	4,12	0,0	2,58

Pre daný rad výsledkov vypočítame: aritmetický priemer x̅ = 154,0/11 = 14; odhad rozptylu s 2 [x] = 2,58/10 = 0,258; hodnota Q2 [x] = 4,12/(2x10) = 0,206; Abbeho kritérium v ​​= 0,206/0,258 = 0,8.

Ako je možné vidieť z tabuľky. 5.1, pre všetky hladiny významnosti (q = 0,001, 0,01 a 0,05) s n = 11 máme v > v q, t.j. je potvrdená nulová hypotéza o stálosti centra zoskupenia. V dôsledku toho zostali podmienky merania pre danú sériu nezmenené a medzi výsledkami pozorovania nie sú žiadne systematické nezrovnalosti.

Analýza rozptylu (Fisherov test). V meracej praxi je často potrebné určiť prítomnosť systematickej chyby vo výsledkoch pozorovania vplyvom nejakého neustále pôsobiaceho faktora, prípadne zistiť, či zmeny tohto faktora spôsobujú systematické skreslenie výsledkov merania. V tomto prípade sa vykonávajú viaceré merania pozostávajúce z dostatočného počtu prvkov, z ktorých každý zodpovedá určitým (aj keď neznámym, ale odlišným) hodnotám ovplyvňujúceho faktora. Ovplyvňujúce faktory, ktorými sa výsledky pozorovaní kombinujú do série, môžu byť vonkajších podmienok(teplota, tlak a pod.), časová postupnosť meraní a pod.

Po vykonaní N meraní sa tieto rozdelia na s série (s > 3) s n j výsledkami pozorovania (sn j = N) v každej sérii a potom sa určí, či medzi výsledkami pozorovaní v rôznych sériách existuje alebo nie je systematický nesúlad. . V tomto prípade sa musí stanoviť, že výsledky v sérii sú normálne rozdelené. Rozptyl výsledkov pozorovania v rámci každej série odráža iba náhodné vplyvy a charakterizuje iba náhodné chyby merania v rámci tejto série.

Charakteristickým znakom súhrnu náhodných vnútrosériových chýb bude priemerný súčet rozptylov výsledkov pozorovania vypočítaný samostatne pre každú sériu, t.j.

kde je výsledok i-teho merania v j-tom rade.

Vnútrosériová disperzia s 2 c charakterizuje náhodné chyby merania, pretože len náhodné vplyvy určujú rozdiely (odchýlky vo výsledkoch pozorovania), na ktorých je založená. Zároveň je rozptyl Xj rôznych sérií určený nielen náhodnými chybami merania, ale aj systematickými rozdielmi (ak existujú) medzi výsledkami pozorovania zoskupenými podľa sérií. Preto priemerný medzibehový rozptyl

Kde , vyjadruje silu faktora spôsobujúceho systematické rozdiely medzi sériami.

teda charakterizuje podiel rozptylu vo všetkých výsledkoch pozorovania v dôsledku prítomnosti náhodných chýb merania a - podiel rozptylu v dôsledku medzisériových rozdielov vo výsledkoch pozorovania.

Prvý z nich je tzv chybovosť, druhý - indikátor diferenciácie.Čím väčší je pomer indexu diferenciácie k chybovému koeficientu, tým silnejší je účinok faktora, podľa ktorého boli rady zoskupené, a tým väčší je systematický rozdiel medzi nimi.

Kritériom na posúdenie prítomnosti systematických chýb je v tomto prípade Fisherovo rozptylové kritérium . Kritická oblasť pre Fisherovo kritérium zodpovedá P(F > F q) = q.

Hodnoty F q pre rôzne hladiny významnosti q, počet meraní N a počet sérií s sú uvedené v prílohe 1, kde k 2 = N-s, k ​​1 = s - 1. Ak získaná hodnota Fisherovo kritérium je väčšie ako F q (pre dané q, N a s ), potom sa hypotéza o absencii systematických skreslení vo výsledkoch pozorovaní naprieč sériami zamieta, t.j. zistí sa systematická chyba spôsobená faktorom, podľa ktorého boli výsledky pozorovania zoskupené.

Príklad 5.4. Uskutočnilo sa 38 meraní priemeru dielu s ôsmimi rôznymi posuvnými meradlami. Každý z nich vykonal päť meraní. Vnútrosériová disperzia je 0,054 mm2, medzisériová disperzia je 0,2052 mm2. Určte prítomnosť systematickej chyby pri meraní priemeru dielu.

Vypočítaná hodnota Fisherovho testu F = 0,2052/0,054 = 3,8. Pre s-1 =

7, N-s = 30 podľa tabuľky. P1.3 z Dodatku 1 máme pri q = 0,05 F 0,05 = 2,3 a pri q = 0,01 F 0,01 = 3,3. Získaná hodnota F je väčšia ako 2,2 a 2,9. V dôsledku toho výsledky pozorovania odhaľujú prítomnosť systematických chýb.

Zo všetkých uvažovaných metód na zisťovanie systematických chýb je analýza rozptylu najúčinnejšia a najspoľahlivejšia, pretože umožňuje nielen zistiť prítomnosť chyby, ale umožňuje aj analyzovať zdroje jej výskytu.

Wilcoxonov test. Ak nie je známy zákon rozdelenia výsledkov merania, potom sa na zistenie systematickej chyby použije Wilcoxonov štatistický test.

Z dvoch skupín výsledkov meraní x 1, x 2,..., x n a y 1, y 2,..., y m, kde n ³ m ³ 5 je zostavený variačný rad, v ktorom sú všetky hodnoty n + m ​z x 1, x 2,..., x n; y 1, y 2,…y m sú zoradené vzostupne a priradené hodnosti - poradové čísla členov variačnej série. Rozdiel v priemerných hodnotách každej série možno považovať za prijateľný, ak je nerovnosť splnená

kde R; - poradie (počet) člena x i, rovné jeho číslu vo variačnom rade; T q - a T q + sú dolné a horné kritické hodnoty pre zvolenú hladinu významnosti q. Keď m< 15 эти критические значения определяются по табл. 5.3. При m >15 vypočítajú sa pomocou vzorcov:

kde z p je kvantil normalizovanej Laplaceovej funkcie.

Tabuľka 5.3

Kritické hodnoty T q - a T q + pri q = 0,005 a 0,01

n	m	q = 0,05	q = 0,01
Tq -	Tq+	Tq -	Tq+
	9 15

Kompletnejšia tabuľka hodnôt kritických hodnôt T q - a T q + je uvedená v odporúčaní MI 2091-90 "GSI. Merania fyzikálnych veličín. Všeobecné požiadavky".

Odstránenie systematických chýb zavedením opráv. V niektorých prípadoch je možné vypočítať systematické chyby a vylúčiť ich z výsledku merania. Na to slúžia pozmeňujúce a doplňujúce návrhy. novela C j je veličina rovnakého názvu ako meraná veličina, ktorá sa vloží do výsledku merania x i = x¢ i + q j + C j, aby sa eliminovali zložky systematickej chyby q j. Keď C j = - q j j-tá zložka systematickej chyby je z výsledku merania úplne vylúčená. Korekcie sa určujú experimentálne alebo ako výsledok špeciálnych teoretických štúdií. Uvádzajú sa vo forme tabuliek, grafov alebo vzorcov. Zavedením jednej korekcie sa eliminuje vplyv len jednej zložky systematickej chyby. Na elimináciu všetkých komponentov je potrebné do výsledku merania zaviesť mnoho korekcií. V tomto prípade sa v dôsledku obmedzenej presnosti určenia korekcií hromadia náhodné chyby vo výsledku merania a zvyšuje sa jeho rozptyl. Keďže korekcia je známa s určitou presnosťou, je charakterizovaná štatistickou priemernou hodnotou korekcie C a štandardnou odchýlkou ​​Sc. Pri oprave výsledku x¢ j zavedením opráv C j, kde j=l, 2,..., m, podľa vzorca

korigovaný rozptyl

kde S 2 n - odhad rozptylu nekorigovaného výsledku; S cj 2 - odhad rozptylu jth dodatok. Ako vidíte, na jednej strane je výsledok merania spresnený a na druhej strane sa rozptyl zvyšuje v dôsledku zvýšenia rozptylu. Preto je potrebné nájsť optimum.

Predpokladajme, že pri meraní konštantnej hodnoty Q bola získaná hodnota Q = x“ ± t p S (obr. 5.1), kde x“ je odhadom aritmetického priemeru nekorigovaného výsledku merania; t p - Študentov koeficient.

Obr.5.1. Odstránenie systematickej chyby tým

predložením pozmeňujúceho návrhu

Po zavedení korekcie С ± t p S c výsledok merania

Kde

Maximálne hodnoty spoľahlivosti chyby výsledku merania pred a po zavedení korekcie sú rovnaké, resp

Novelu má zmysel zaviesť do D 1< D 2 . Отсюда следует, что

Ak S C /S<< 1, то, раскладывая уравнение в степенной ряд, получим С >0,5 S2c/S2. Z tejto nerovnosti je zrejmé, že ak je odhad smerodajnej odchýlky korekcie S c ® 0, potom má vždy zmysel zaviesť korekciu.

V praktických výpočtoch sa chyba vo výsledku zvyčajne vyjadruje najviac dvoma platnými číslicami, takže oprava, ak je menšia ako päť jednotiek najmenej významnej číslice za poslednou číslicou desatinné miesto chyba vo vysledku sa aj tak strati pri zaokrúhľovaní a nemá zmysel ju zavádzať.

Príklad 5.5. Napätie zdroja EMF U x s vnútorným odporom rj = 60±10 Ohmov bolo namerané voltmetrom triedy presnosti 0,5. Odpor voltmetra je R v =5 kOhm a je známy s chybou ±0,5 %. Údaj voltmetra U v = 12,35 V. Nájdite korekciu, ktorú je potrebné vykonať na údaji prístroja, aby ste určili skutočná hodnota Zdrojové napätie EMF.

Hodnoty voltmetra zodpovedajú poklesu napätia na ňom:

Relatívna systematická metodologická chyba v dôsledku obmedzenej hodnoty odporu R v,

Oprava sa rovná absolútnej chybe s opačným znamienkom:

D c = 0,012×12,35 = 0,146 V. Chyba získanej korekčnej hodnoty je určená chybou, s ktorou je známy odpor R i. Jeho limitná hodnota bude 10/60 = 0,167. Chybu v dôsledku nepresnosti odhadu R v rovnú 0,005 je možné zanedbať. Následne chyba pri určovaní korekcie D = ±0,167×0,146 » 0,03 V.

Korekcia, ktorá sa musí zadať do údajov voltmetra s prihliadnutím na zaokrúhľovanie, je teda DU = + 0,15 V. Potom bude opravená hodnota

U¢ x = 12,35 + 0,15 = 12,50 V. Tento výsledok má určitú chybu, vrátane nevylúčeného zvyšku systematickej chyby D = ± 0,03 V alebo d = ± 0,24 % v dôsledku spotreby určitého výkonu voltmetrom.

Kontrolné otázky

1. Čo je systematická chyba? Uveďte príklady.

2. Definujte opravený výsledok merania.

3. Ako sa klasifikujú systematické chyby?

4. Vymenujte spôsoby identifikácie trvalých systematických chýb.

5. Vymenujte spôsoby identifikácie premenných systematických chýb.

6. Čo je podstatou Abbeovho kritéria?

7. Čo je to analýza rozptylu a ako sa používa na odstránenie systematických chýb?

8. Ako zistiť systematickú chybu pomocou Wilcoxonovho testu?

9. Ako sa posudzuje realizovateľnosť zavedenia novely na odstránenie systematickej chyby?