Formula de eroare de măsurare sistematică absolută. Erori sistematice și aleatorii

4.1 Conceptul de eroare de măsurare

Sarcina imediată a măsurării este de a determina valorile mărimii măsurate. Ca urmare a măsurării unei mărimi fizice cu o valoare adevărată Chi, obținem o estimare a acestei mărimi Xiz. - rezultatul măsurării. În acest caz, două concepte ar trebui să fie clar distinse: valori adevărate mărimi fiziceși manifestările lor empirice - valori reale , care sunt rezultate de măsurare și într-o anumită sarcină de măsurare pot fi luate ca valori adevărate. Valoarea adevărată a unei mărimi este necunoscută și este utilizată doar în studii teoretice.Rezultatele măsurătorilor sunt produse ale cunoștințelor noastre și reprezintă estimări aproximative ale valorilor cantităților care sunt în proces de măsurare. Gradul de aproximare a estimărilor obținute la valorile adevărate (reale) ale mărimilor măsurate depinde de mulți factori: metoda de măsurare, instrumentele de măsurare utilizate și erorile acestora, proprietățile organelor senzoriale ale operatorilor care efectuează măsurătorile, condițiile în care se efectuează măsurătorile etc. Prin urmare, există întotdeauna o diferență între valoarea adevărată a unei mărimi fizice și rezultatul măsurătorilor, care este exprimat Eroare de măsurare (la fel ca eroarea rezultatului măsurării).
Eroare rezultatul măsurării — abaterea rezultatului măsurării de la valoarea reală (reală) a mărimii măsurate:

Deoarece valoarea adevărată a mărimii măsurate este întotdeauna necunoscută și, în practică, ne ocupăm de valorile reale ale cantităților XD, atunci formula de determinare a erorii în acest sens ia forma:

4.2 Modele de obiecte și erori de măsurare

Sarcina măsurătorilor este de a obține valorile unei mărimi fizice care caracterizează proprietățile corespunzătoare ale unui obiect de măsurare real. Cu toate acestea, din cauza faptului că adevărata valoare a mărimii măsurate ne este necunoscută, se pune întrebarea - atunci ce ar trebui să măsurăm? Pentru a răspunde la această întrebare, se introduce o anumită imagine idealizată a obiectului de măsurat - model de obiect de măsurare , ai căror parametri corespunzători pot fi reprezentați cel mai bine ca valoare adevărată a mărimii măsurate. Un model al unui obiect de măsurat real reprezintă de obicei o parte din el abstractizare iar definiția sa se formează pe baza unor concepte logice, fizice și matematice. Ca exemplu, să luăm în considerare soluția la cea mai simplă problemă de măsurare adesea considerată în literatură - determinarea diametrului unui disc. Adevăratul obiect al măsurării este un disc, se pare model matematic- de jur imprejur. În acest caz, se presupune că diametrul unui cerc reflectă în mod ideal acea proprietate a unui disc real, pe care o numim diametrul său. Prin definiție, diametrul unui cerc este același în toate direcțiile, așa că pentru a verifica dacă modelul nostru se potrivește cu obiectul real (discul), trebuie să luăm măsurători ale discului în mai multe direcții. Din rezultatele măsurătorilor obținute pot rezulta două concluzii.
Dacă răspândirea valorilor măsurate, adică diferențele dintre rezultatele măsurătorii între ele, nu depășește eroarea de măsurare a diametrului discului specificată în sarcina de măsurare, atunci oricare dintre valorile obținute poate fi acceptată ca măsurătoare. rezultat.
Dacă diferența dintre rezultatele măsurătorii depășește eroarea de măsurare specificată, aceasta înseamnă că modelul adoptat nu este potrivit pentru această sarcină de măsurare și este necesar să se introducă model nou obiect de măsurare. Un astfel de model, de exemplu, ar putea fi un cerc cu un diametru egal cu cea mai mare valoare măsurată (circumscriind cercul).
Un alt exemplu este măsurarea suprafeței unei camere. Imaginând podeaua unei camere ca un dreptunghi, aria sa poate fi găsită ca produsul dintre lungimea camerei și lățimea acesteia. Dar dacă se dovedește că lățimea camerei nu este aceeași pe lungimea sa, atunci este necesar să adoptați un model diferit - de exemplu, imaginați-vă podeaua camerei ca un trapez și determinați zona folosind o formulă diferită.
Similar modelului de măsurare, este introdus conceptul modele de eroare de măsurare . De exemplu, împărțirea erorilor în funcție de originea, proprietățile, metodele de exprimare etc. Astfel, modelele probabilistice sunt cel mai adesea folosite pentru a exprima erori aleatoare. În acest caz, eroarea aleatorie este caracterizată nu de o singură valoare, ci de intervalul de valori în care poate fi găsită cu o anumită probabilitate. Pentru modelul de eroare selectat se stabilesc legile distribuției sale și acei parametri ai acestor distribuții care sunt indicatori de eroare, precum și metode statistice de estimare a acestor parametri pe baza rezultatelor măsurătorilor. Modelele de eroare de măsurare vor fi discutate mai detaliat mai jos.

4.3 Surse de eroare de măsurare

Eroarea unui rezultat de măsurare are multe componente, fiecare dintre acestea fiind determinată diverși factoriși sursele. O abordare tipică pentru analizarea și evaluarea erorilor constă în izolarea acestor componente, studierea lor separată și însumarea lor conform regulilor acceptate. După determinarea parametrilor cantitativi ai tuturor componentelor erorii și știind cum să le rezumați, puteți estima corect eroarea rezultatului măsurării și, dacă este posibil, să o corectați introducând corecții.
Mai jos sunt câteva surse apariția erorilor de măsurare:

• conformitatea incompletă a obiectului de măsurat cu modelul său acceptat;
• cunoașterea incompletă a mărimii măsurate;
• cunoaşterea incompletă a influenţei condiţiilor mediu inconjurator pentru măsurare;
• măsurarea imperfectă a parametrilor de mediu;
• rezoluția finală a dispozitivului sau pragul de sensibilitate al acestuia;
• inexactitate în transferul valorii unei unități de cantitate de la standarde la instrumentele de măsurare de lucru;
• cunoașterea inexactă a constantelor și a altor parametri utilizați în algoritmul pentru procesarea rezultatelor măsurătorilor;
• aproximări și ipoteze implementate în metoda de măsurare;
• eroarea subiectivă a operatorului la efectuarea măsurătorilor;
• modificări ale observațiilor repetate ale mărimii măsurate în condiții aparent identice și altele.

Grupând cele de mai sus și alte cauze ale erorilor de măsurare, acestea pot fi împărțite în erori metodă de măsurare , instrumente de măsurare (instrumente ) Și operator, efectuarea măsurătorii. Imperfecțiunea fiecăreia dintre aceste componente de măsurare contribuie la eroarea de măsurare. Prin urmare în vedere generala eroarea poate fi exprimată prin următoarea formulă:

unde DM este eroarea metodologică (eroare de metodă); DI - eroare instrumentală (eroarea instrumentelor de măsură); DL - eroare personală (subiectivă).
Principalele cauze ale erorii instrumentale sunt prezentate în secțiunea privind instrumentele de măsură.
Eroare metodologică apare din cauza deficiențelor metodei de măsurare utilizate. Cel mai adesea aceasta este o consecință a diferitelor ipoteze atunci când se utilizează relații empirice între mărimile măsurate sau simplificări de proiectare în instrumentele utilizate în aceasta metoda măsurători.
Eroare subiectivă este asociat cu caracteristici individuale ale operatorilor precum atenția, concentrarea, viteza de reacție și gradul de pregătire profesională. Astfel de erori sunt mai frecvente atunci când există o mare proporție de muncă manuală la efectuarea măsurătorilor și sunt aproape absente atunci când se utilizează instrumente de măsurare automate.

4.4 Clasificarea erorilor de măsurare

Clasificarea de mai sus a erorilor de măsurare este legată de motive apariția lor. În plus, există și alte semne după care sunt clasificate erorile.
De natura manifestării (proprietățile erorilor) se împart în sistematice și aleatorii, conform moduri de exprimare - în absolut și relativ.
Eroare absolută exprimată în unități ale mărimii măsurate și eroare relativă reprezintă relația eroare absolută la valoarea măsurată (reala) a unei mărimi și valoarea sa numerică este exprimată fie ca procent, fie ca fracțiune de unitate.
Experiența în efectuarea măsurătorilor arată că cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi fizice neschimbate în condiții constante, eroarea de măsurare poate fi reprezentată sub forma a doi termeni, care se manifestă diferit de la măsură la măsură. Există factori care se modifică constant sau natural în timpul procesului de măsurare și afectează rezultatul măsurării și eroarea acesteia. Se numesc erori cauzate de astfel de factori sistematic.
Eroare sistematică - componentă a erorii de măsurare care rămâne constantă sau se modifică în mod natural cu măsurători repetate ale aceleiași mărimi. În funcție de natura schimbării, erorile sistematice sunt împărțite în constantă, progresivă, periodică, schimbătoare după o lege complexă.
Apropierea de eroarea sistematică zero reflectă corectitudinea măsurătorilor .
Erori sistematice de obicei evaluate fie teoretice analiza conditiilor de masurare , pe baza proprietăților cunoscute ale instrumentelor de măsură, sau folosind mijloace mai precise măsurători . De regulă, se depun eforturi pentru a elimina erorile sistematice folosind corecții. Amendament reprezintă valoarea mărimii introduse în rezultatul măsurării necorectate pentru a elimina eroarea sistematică. Semnul corecției este opus semnului mărimii. Apariția erorilor este influențată și de factori care apar neregulat și dispar pe neașteptate. În plus, intensitatea lor nu rămâne constantă. Rezultatele măsurătorilor în astfel de condiții au diferențe care sunt individual imprevizibile, iar modelele lor inerente apar numai atunci când număr semnificativ măsurători. Se numesc erori rezultate din acțiunea unor astfel de factori erori aleatorii .
Eroare aleatorie - o componentă a erorii de măsurare care se modifică aleatoriu (în semn și valoare) în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi, efectuate cu aceeași grijă.
Nesemnificația erorilor aleatorii indică bine convergenţă măsurători, adică apropierea între ele a rezultatelor măsurătorilor efectuate în mod repetat prin aceleași mijloace, prin aceeași metodă, în aceleași condiții și cu aceeași grijă.
Erorile aleatorii sunt detectate de măsurători repetate aceeasi magnitudine in aceleasi conditii. Ele nu pot fi excluse empiric, dar pot fi evaluate la procesarea rezultatelor observaționale. Împărțirea erorilor de măsurare în aleatoare și sistematice este foarte importantă, deoarece luarea în considerare și evaluarea acestor componente de eroare necesită abordări diferite.
Factorii care cauzează erori pot fi, în general, rezumați astfel: nivel general, când influența lor asupra formării erorii este mai mult sau mai puțin aceeași. Cu toate acestea, unii factori pot fi neașteptat de puternici, de exemplu, o scădere bruscă a tensiunii rețelei. În acest caz, pot apărea erori care depășesc semnificativ erorile justificate de condițiile de măsurare, proprietățile instrumentelor de măsurare și metoda de măsurare și calificările operatorului. Se numesc astfel de erori nepoliticos sau gafe .
Eroare grosolană (rată ) este eroarea rezultatului unei măsurători individuale inclusă într-o serie de măsurători, care pentru condiții date diferă brusc de celelalte valori de eroare. Erorile grosolane trebuie întotdeauna excluse din luare în considerare dacă se știe că sunt rezultatul unor erori evidente de măsurare. Dacă motivele apariției observațiilor aberante nu pot fi stabilite, atunci se folosesc metode statistice pentru a rezolva problema excluderii lor. Există mai multe criterii care vă permit să identificați erorile grave. Unele dintre ele sunt discutate mai jos în secțiunea privind procesarea rezultatelor măsurătorilor.

4.5 Erori aleatorii
4.5.1 Stabilitatea statistică a distribuției observațiilor

Dacă există erori aleatorii de măsurare, acestea recurg la observații multiple și la prelucrarea statistică ulterioară a rezultatelor lor. În acest caz, rezultatele observațiilor și măsurătorilor și erorile aleatorii sunt considerate ca variabile aleatoare adică cantităţi care caracterizează un fenomen aleatoriu şi, ca urmare a măsurătorilor, capătă una sau alta valoare. Prelucrarea rezultatelor unor astfel de observații este posibilă dacă dispersia lor dezvăluie anumite statistic modele . Dacă rezultatele observației sunt împrăștiate aleatoriu, atunci nu este posibil să se utilizeze nicio metodă de procesare a unor astfel de observații și de obținere a rezultatului măsurării.
Prin urmare, atunci când se formulează o problemă de măsurare specifică și se obține rezultate observaționale, este necesar în primul rând să se verifice modelele în distribuția observațiilor. Dacă astfel de modele sunt detectate, atunci distribuția observațiilor are stabilitate statistică iar pentru prelucrarea lor se pot folosi metode de teoria probabilităţilor şi statistici matematice. Trebuie remarcat faptul că detectarea modelelor statistice în distribuția rezultatelor observațiilor se realizează după eliminarea tuturor erorilor sistematice cunoscute din acestea.

4.5.2 Diferenţial și legile integrale de distribuție a variabilelor aleatoare

O variabilă aleatorie este cea mai bună și mai cuprinzătoare caracterizată în teoria probabilității legea distribuirii sale . Această lege stabilește o legătură între posibilele valori ale unei variabile aleatoare și probabilitățile de apariție a acestora corespunzătoare acestor valori. Există două forme de descriere a legii de distribuție a unei variabile aleatoare - diferential si integral . Mai mult, în metrologie este utilizat în principal formă diferențială- legea distributiei densități de probabilitate variabilă aleatorie.
Legea distribuției diferențiale caracterizat densitatea distribuției de probabilitate f ( X ) variabilă aleatorie X. Probabilitate R variabilă aleatoare care se încadrează în intervalul de la x1 inainte de x2 dat de formula:

Grafic, această probabilitate este raportul dintre aria de sub curbă f(X) în intervalul de la x1 inainte de x2 la aria totală delimitată de întreaga curbă de distribuție. De regulă, aria de sub întreaga curbă de distribuție a probabilității este normalizată la unitate.
ÎN în acest caz, distribuția prezentată continuu variabilă aleatorie. Pe lângă ei, există discret variabile aleatoare care iau un număr de valori specifice care pot fi numerotate.
Legea integrală a distribuției unei variabile aleatoare reprezinta o functie F(X), definite prin formula

Probabilitatea ca variabila aleatoare să fie mai mică x1 dat de valoarea funcţiei F(X) la x = x1:


Deși legea distribuției variabilelor aleatoare este caracteristica probabilistică completă a acestora, găsirea acestei legi este o sarcină destul de dificilă și necesită numeroase măsurători. Prin urmare, în practică, pentru a descrie proprietățile unei variabile aleatoare, diverse caracteristicile numerice ale distribuţiilor . Acestea includ momente variabile aleatoare: primară și centrală , care reprezintă unele valori medii . Mai mult, dacă se face media cantităților măsurate de la originea coordonatelor, atunci se numesc momentele iniţială , iar dacă din centrul de distribuție - atunci central .
Moment de pornire k -a ordine este determinată de formula:

De cel mai mare interes practic este momentul inițial al primului ordin - așteptarea matematică a unei variabile aleatoare m1 (k=1 ):

Aşteptarea matematică determină poziţia centru de grupare variabilă aleatorie în jurul căreia se observă împrăștierea acesteia. O estimare experimentală a așteptărilor matematice pentru măsurători multiple este medie aritmetică cantitatea măsurată.
Moment central k -a ordine este determinată de formula:

Momentul central al ordinului doi joacă un rol deosebit. Se numeste dispersie D variabilă aleatoare şi caracterizează împrăștiere semnificațiile sale individuale:

În practică este folosit mai des abaterea standard σ (RMS) variabilă aleatoare definită prin formula:

Când se studiază mai detaliat distribuțiile unei variabile aleatoare, se folosesc momente de ordine superioară. Astfel, orice moment central ciudat caracterizează asimetrie distribuţiile. De exemplu, al treilea moment este folosit pentru a găsi coeficient de asimetrie curba de distribuție relativă la așteptarea matematică. Al patrulea moment central caracterizează claritatea vârfului curbei de distribuție.

4.5.3 Caracteristicile evaluării măsurandului

Sarcina măsurării este de a găsi cea mai bună estimare a mărimii măsurate din observațiile obținute - rezultatul măsurării și evaluarea acurateței acestui rezultat, de ex. gradul de apropiere a lui de valoarea reală a cantității - erori de măsurare . În acest caz, se presupune că legea distribuției observațiilor și a erorilor este cunoscută. Sub evaluare în acest caz ne referim la găsirea valorilor parametrilor acestor distribuții de variabile aleatoare pe baza unui număr limitat de observații. Estimările obținute ale parametrilor de distribuție sunt doar aproximări ale valorilor adevărate ale acestor parametri și sunt utilizate ca rezultat al măsurării și eroarea acesteia. Pentru ca o estimare obținută din rezultatele observațiilor multiple să fie utilizată ca parametru al funcției de distribuție a unei variabile aleatoare, aceasta trebuie să îndeplinească o serie de cerințe - să fie consecventă, imparțială și eficientă.
Evaluare consistentă - Aceasta este o estimare care, pe măsură ce numărul de observații crește, tinde către valoarea reală a parametrului estimat.
Estimare imparțială - o estimare a cărei așteptare matematică este egală cu valoarea adevărată a parametrului estimat.
Evaluare eficientă - o estimare care are cea mai mică varianță în comparație cu orice altă estimare a unui parametru dat.
Metodele de găsire a estimărilor parametrilor de distribuție, iar din aceștia rezultatele măsurătorilor și erorile acestora depind de tipul funcției de distribuție și de acelea. acorduri pentru prelucrarea rezultatelor măsurătorilor , care sunt standardizate în cadrul metrologiei legale în documentația de reglementare.

4.5.4 Exemple de distribuție a variabilelor aleatoare

Metodele de găsire a valorilor unei variabile aleatoare depind de tipul funcției sale de distribuție. Cu toate acestea, în practică, astfel de funcții sunt de obicei necunoscute. Dacă natura aleatorie a rezultatelor observației se datorează erorilor de măsurare, atunci se crede că observațiile au distributie normala . Acest lucru se datorează faptului că erorile de măsurare constau în un numar mare mici tulburări, dintre care niciuna nu este dominantă. Conform teorema limitei centrale suma unui număr infinit de variabile aleatoare infinitezimale independente reciproc cu orice distribuție are distributie normala . Distributie normala pentru
variabilă aleatorie X cu așteptări și variații matematice s are forma:
În realitate, chiar și impactul unui număr limitat de perturbații duce la o distribuție normală a rezultatelor măsurătorilor și a erorilor acestora. În prezent, aparatul matematic a fost dezvoltat pe deplin special pentru variabile aleatoare care au o distribuție normală. Dacă ipoteza distribuției normale este respinsă, atunci procesarea statistică a observațiilor devine semnificativ mai complicată și în acest caz este imposibil să se recomande o metodologie generală pentru prelucrarea statistică a observațiilor. Adesea nici măcar nu se știe care caracteristică de distribuție poate servi ca o estimare a valorii adevărate a valorii măsurate.
Mai sus este expresia analitică a distribuției normale pentru o variabilă măsurabilă aleatorie X. Trecerea la distribuția normală a erorilor aleatoare se efectuează prin transferarea centrului distribuțiilor pe și trasarea de-a lungul axei absciselor erorii .
Distribuția normală este caracterizată de doi parametri: așteptarea matematică m1 și abaterea standard σ.
Cu măsurători repetate, o estimare imparțială, consecventă și eficientă m1 pentru un grup de n observațiile este media aritmetică:
.
Trebuie spus că media aritmetică oferă o estimare a așteptării matematice a rezultatului observației și poate fi evaluarea valorii adevărate (actuale). numai cantitatea măsurată după eliminare erori sistematice.
Nota S Abaterea standard (MSD) este dată de formula:

Această evaluare caracterizează împrăștiere o singură măsurătoare are ca rezultat o serie de măsurători la fel de precise ale aceleiași cantități în jurul valorii lor medii.
Alte estimări ale dispersării rezultatelor într-o serie de măsurători sunt domeniul de aplicare (diferența dintre cel mai mare și cea mai mică valoare), modul eroare medie aritmetică (suma aritmetică a erorilor împărțită la numărul de măsurători) și limita de încredere a erorii (discută în detaliu mai jos).
Abaterea standard este cea mai convenabilă caracteristică a erorii în cazul transformării sale ulterioare. De exemplu, pentru mai mulți termeni necorelați, abaterea standard a sumei este determinată de formula:
.
Estimarea S caracterizează dispersia rezultatelor observației individuale în raport cu valoarea medie, adică dacă luăm un rezultat al observației corectat separat ca rezultat al măsurării. Dacă media aritmetică este luată ca rezultat al măsurării, atunci abaterea standard a acestei medii este determinată de formula:

Distribuția normală a erorilor are următoarele proprietăți :

• simetrie , acestea. erori de aceeași amploare, dar cu semn opus, apar la fel de des;
• așteptarea matematică a erorii aleatoare este zero ;
• erorile mici sunt mai probabile decât cele mari;
• cu cât s este mai mic, cu atât împrăștierea rezultatelor observaționale este mai mică și probabilitatea unor erori mici este mai mare.

O altă distribuție comună a unei variabile aleatoare în metrologie este distributie uniforma - distribuție în care variabila aleatoare ia valori într-un interval finit de la x1 inainte de x2 cu o densitate de probabilitate constantă.
Funcția de distribuție uniformă diferențială are forma:
f(X) = s la x1£ X£ x2
f(X) = 0 la x2< X< x1
Când normalizăm aria curbei de distribuție la unitate, obținem asta c(x2 - x1)= 1 și c = 1/ (x2 - x1).
O distribuție uniformă este caracterizată de așteptări matematice, varianță sau abatere standard.
Pe lângă exemplele considerate de distribuții ale variabilelor aleatoare, există și alte distribuții ale variabilelor aleatoare discrete care sunt importante pentru utilizare practică, de exemplu, binom și distribuție Poisson . Ele nu sunt acoperite în acest curs.

4.5.5 Intervale de încredere

Estimările de mai sus ale parametrilor de distribuție ai variabilelor aleatoare sub forma unei medii aritmetice pentru estimarea așteptării matematice și a abaterii standard pentru estimarea dispersiei se numesc estimări punctuale , deoarece sunt exprimate ca un număr. Cu toate acestea, în unele cazuri, cunoașterea estimării punctuale nu este suficientă. Cea mai corectă și vizuală evaluare a erorii de măsurare aleatoare este evaluarea folosind intervale de încredere.
Interval simetric în intervalul ± Δx(P) numit interval de încredere eroare aleatorie cu probabilitate de încredere R, dacă aria curbei de distribuție dintre abscise este Δхși + Δх se ridică la R-a parte a suprafeței totale sub curba densității probabilității. Când normalizați întreaga zonă la unitate R reprezintă o porțiune din această zonă în fracțiuni de unitate (sau procent). Cu alte cuvinte, în intervalul de la - Dx(P) inainte de + Dx(P) cu o probabilitate dată Rîntâlni R×100% din toate valorile posibile ale erorii aleatorii.
Intervalul de încredere pentru o distribuție normală se găsește prin formula:

unde este coeficientul t depinde de probabilitatea de încredere R.
Pentru o distribuție normală, există următoarele relații între intervalele de încredere și probabilitatea de încredere: 1s (P = 0,68), 2s (P = 0,95), 3s (P = 0,997), 4s (P = 0,999).

Se presupune că probabilitățile de încredere pentru exprimarea rezultatelor măsurătorilor și a erorilor în diferite domenii ale științei și tehnologiei sunt egale. Deci, în măsurători tehnice a fost acceptat un nivel de încredere de 0,95. Numai pentru măsurători deosebit de precise și critice sunt acceptate probabilități de încredere mai mari. În metrologie, de regulă, se folosesc probabilități de încredere de 0,97, în cazuri excepționale 0,99. Trebuie remarcat faptul că precizia măsurării trebuie să corespundă sarcinii de măsurare atribuite. Precizia excesivă duce la risipa inutilă de fonduri. Precizia insuficientă a măsurătorilor poate duce la luarea unor decizii eronate pe baza rezultatelor sale cu consecințe cele mai imprevizibile, chiar și grave. pierderi materiale sau dezastre.

La efectuarea măsurătorilor repetate ale valorii X, sub rezerva unei distribuții normale, se poate construi un interval de încredere pentru orice probabilitate de încredere folosind formula:

Unde tq- Coeficientul elevului, în funcție de numărul de observații nși probabilitatea de încredere selectată R. Se determină cu ajutorul unui tabel q- puncte procentuale ale distribuției Student, care are doi parametri: k = n- 1 și q= 1 - P; - estimarea abaterii standard a mediei aritmetice.
Interval de încredere pentru eroare Dx(P) vă permite să construiți interval de încredere pentru valoarea adevărată (reală) a mărimii măsurate , a cărei estimare este media aritmetică. Valoarea adevărată a valorii măsurate se găsește cu probabilitatea de încredere P în intervalul: . Intervalul de încredere vă permite să aflați cât de mult se poate schimba estimarea mărimii măsurate obținute ca urmare a unei serii date de măsurători atunci când o serie repetată de măsurători este efectuată în aceleași condiții. Trebuie remarcat faptul că intervalele de încredere sunt construite pentru cantități nealeatoare , ale căror valori sunt necunoscute. Acestea sunt valoarea reală a valorii măsurate și abaterile standard. În același timp, estimările acestor cantități obținute ca urmare a prelucrării datelor observaționale sunt variabile aleatorii.
Dezavantajul intervalelor de încredere la estimarea erorilor aleatoare este că, cu probabilități de încredere alese arbitrar, este imposibil să însumăm mai multe erori, deoarece intervalul de încredere al sumei nu este egal cu suma intervalelor de încredere . Variantele variabilelor aleatoare independente sunt însumate : Då = åDi . Adică, pentru ca însumarea să fie posibilă, componentele erorii aleatoare trebuie să fie reprezentate prin abaterile lor standard, și nu prin erori maxime sau de încredere.

4.6 Erori sistematice

Detectarea și eliminarea erorilor sistematice este o sarcină complexă care necesită o analiză aprofundată a întregului set de rezultate ale observației, a mijloacelor folosite, a metodelor și a condițiilor de măsurare. Trebuie remarcat faptul că eliminarea erorilor sistematice nu se realizează prin prelucrarea matematică a rezultatelor observaționale, ci prin utilizarea adecvată. metode de măsurare . În special, luând măsurători de diverse metode independente sau efectuarea de măsurători cu aplicare paralelă instrumente de măsurare mai precise.
Sunt unele speciale tehnici de măsurare , care ne permit să excludem părți ale erorilor sistematice:

• Excepție însăși sursa erorii.
• Substituţie mărime măsurată cu o mărime cunoscută egală cu aceasta, astfel încât să nu apară modificări în starea și funcționarea tuturor instrumentelor de măsură utilizate. În acest fel, eroarea comparatorului poate fi eliminată.
• Compensare erori prin semn prin efectuarea de măsurători în direcția înainte și înapoi cu același instrument. De exemplu, prin determinarea valorii mărimii măsurate atunci când se apropie de un anumit punct de pe scară din stânga și dreapta acestuia și calculând valoarea medie.
• Observatii printr-o perioadă modificări ale cantității de influență. Acest lucru ne permite să eliminăm erorile care variază conform unei legi periodice.
• Măsurătorile unei cantități cu mai multe metode independente urmată de calculul valorii medii ponderate a valorii măsurate.
• Măsurătorile unei cantități mai multe dispozitive urmat de calcularea mediei aritmetice din citirile tuturor instrumentelor.

Erorile sistematice sunt eliminate prin introducere amendamente care se găsesc în moduri diferite și reprezintă valorile erorilor absolute care se scad din rezultatul măsurării. Astfel, componentele instrumentale ale erorii sistematice se regăsesc din rezultate verificare instrumente de masura.
Ajustări contabile influențând cantitățile calculate folosind cunoscute funcţii sau coeficienţi de influenţă pe baza rezultatelor măsurătorilor auxiliare ale acestor mărimi. Dar introducerea amendamentelor nu elimină complet erorile sistematice, deoarece, de exemplu, rămân erori în stabilirea modificărilor. Aceste piese neexcluse sunt reziduuri de eroare sistematică neexcluse (SER).
Deoarece este imposibil să se elimine complet erorile sistematice, este sarcina de a estima limitele sau alți parametri ai acestor erori. De regulă, eroarea sistematică a unui rezultat de măsurare este estimată de acesta constituind . Aceste componente fie sunt cunoscute în prealabil, fie pot fi determinate folosind date auxiliare, de exemplu, calculate pentru fiecare dintre mărimile de influență. Ele pot fi, de asemenea, erori în determinarea corecțiilor. Eroarea sistematică neexclusă se caracterizează prin frontieră fiecare dintre componentele sale.
În acest sens, se pune sarcina însumare componente ale erorii sistematice. În acest caz, componentele trebuie considerate ca variabile aleatoare și însumate folosind metodele teoriei probabilităților, care presupune cunoașterea funcției de distribuție a acestor componente. Totuși, legea de distribuție a componentelor elementare ale erorii este, de regulă, necunoscută. Prin urmare, atunci când însumăm, ne ghidăm după următoarele regula generală bazat pe bun simț și intuiție:

• dacă estimarea limitelor de eroare este cunoscută, atunci distribuția acesteia trebuie luată în considerare uniformă;
• dacă se cunoaște estimarea abaterii standard a erorii, trebuie luată în considerare distribuția normal .

Aplicarea acestei reguli ne permite rezumarea statistică a componentelor erorii sistematice. În conformitate cu acesta, în lipsa unor informații suplimentare, reziduurile neexcluse ale erorii sistematice sunt considerate variabile aleatoare având distributie uniforma .
Limitele erorii sistematice neexcluse Q când numărul de termeni este mai mare sau egal cu 4, se calculează folosind formula:

unde este granita i-a componenta a erorii; k- coeficient determinat de probabilitatea de încredere. La R= 0,95 k= 1,1, la R= 0,99 k = 1,4.
Dacă numărul de termeni este mai mic sau egal cu 3, valorile se însumează aritmetic modulo. Dacă însumăm aritmetic NSP pentru orice număr de termeni, atunci estimarea rezultată, deși de încredere, va fi supraestimată.
Probabilitatea de încredere pentru calcularea limitelor unei erori sistematice neexcluse este considerată aceeași ca și atunci când se calculează limitele de încredere ale unei erori aleatoare.

4.7 Metode de prelucrare a rezultatelor măsurătorilor directe

Principiile de bază ale metodelor de procesare a rezultatelor măsurătorilor directe cu observații multiple sunt definite în GOST 8.207-76.
Se ia rezultatul măsurătorii in medie date n observaţii din care sunt excluse erorile sistematice. Se presupune că rezultatele observației, după excluderea erorilor sistematice din ele, aparțin unei distribuții normale. Pentru a calcula rezultatul măsurării, o eroare sistematică ar trebui să fie exclusă din fiecare observație și, în final, să se obțină un rezultat corectat. i a-a observație. Media aritmetică a acestor rezultate corectate este apoi calculată și luată ca rezultat al măsurării. Media aritmetică este o estimare consistentă, imparțială și eficientă a mărimii măsurate în cadrul unei distribuții normale a datelor observaționale.
De remarcat că uneori în literatură, în locul termenului rezultat observatii uneori se folosește termenul rezultatul unei singure măsurări, din care sunt excluse erorile sistematice. În acest caz, valoarea medie aritmetică este înțeleasă ca rezultat al unei măsurători într-o serie dată de mai multe măsurători. Acest lucru nu schimbă esența procedurilor de procesare a rezultatelor prezentate mai jos.
La procesarea statistică a grupurilor de rezultate de observare, ar trebui să se facă următoarele: operațiuni :

• Eliminați eroarea sistematică cunoscută din fiecare observație și obțineți rezultatul corectat al unei observații individuale X.
• Calculați media aritmetică a rezultatelor observației corectate, luate ca rezultat al măsurării:

grupuri de observare:

Verifică disponibilitatea erori grosolane - există valori care depășesc ±3 S. Cu o lege de distribuție normală cu o probabilitate aproape egală cu 1 (0,997), niciuna dintre valorile acestei diferențe nu ar trebui să depășească limitele specificate. Dacă sunt prezente, atunci valorile corespunzătoare ar trebui excluse din considerare, iar calculele și evaluarea ar trebui repetate din nou S.

aritmetic)

• Testați ipoteza despre distribuția normală a rezultatelor observației.

Există diverse metode aproximative de verificare a normalității distribuției rezultatelor observaționale. Unele dintre ele sunt date în GOST 8.207-76. Dacă numărul de observații este mai mic de 15, în conformitate cu acest GOST, apartenența lor la distribuția normală nu este verificată. Limitele de încredere ale erorii aleatoare sunt determinate numai dacă se știe dinainte că rezultatele observației aparțin acestei distribuții. Natura distribuției poate fi judecată aproximativ prin construirea unei histograme a rezultatelor observației. Metodele matematice de verificare a normalității distribuției sunt discutate în literatura de specialitate.

• Calculați limitele de încredere e ale erorii aleatoare (componenta aleatorie a erorii) a rezultatului măsurării

Unde tq- Coeficientul elevului, în funcție de numărul de observații și nivelul de încredere. De exemplu, când n= 14, P= 0,95 tq= 2,16. Valorile acestui coeficient sunt date în anexa la standardul specificat.

Dacă , atunci NSP este neglijat în comparație cu erorile aleatoare și limita de eroare a rezultatului D = e.. Dacă > 8, atunci eroarea aleatoare poate fi neglijată și limita de eroare a rezultatului este D = Θ . Dacă ambele inegalități nu sunt satisfăcute, atunci limita de eroare a rezultatului este găsită prin construirea unei compoziții de distribuții de erori aleatoare și NSP folosind formula: , unde LA- coeficient în funcție de raportul dintre eroarea aleatorie și eroarea non-standard; Så - evaluarea abaterii standard totale a rezultatului măsurătorii. Estimarea abaterii standard totale se calculează folosind formula:
.
Coeficientul K se calculează folosind formula empirică:
.
Probabilitatea de încredere pentru calcul și trebuie să fie aceeași.
Eroarea de la aplicarea ultimei formule pentru compoziția distribuțiilor uniforme (pentru NSP) și normală (pentru eroare aleatorie) atinge 12% cu un nivel de încredere de 0,99.
9. Notați rezultatul măsurării. Scrierea rezultatului măsurării este oferită în două versiuni, deoarece este necesar să se facă distincția între măsurători atunci când obținerea valorii cantității măsurate este scopul final și măsurători, ale căror rezultate vor fi utilizate pentru calcule sau analize ulterioare.
În primul caz, este suficient să cunoaștem eroarea generală a rezultatului măsurării și cu o eroare de încredere simetrică, rezultatele măsurătorii sunt prezentate sub forma: , unde
unde este rezultatul măsurării.
În al doilea caz, trebuie cunoscute caracteristicile componentelor erorii de măsurare - o estimare a abaterii standard a rezultatului măsurării, limitele NSP, numărul de observații efectuate. În absența datelor privind forma funcțiilor de distribuție a componentelor erorii rezultatului și necesitatea prelucrării ulterioare a rezultatelor sau a analizei erorilor, rezultatele măsurătorilor sunt prezentate sub forma:

Dacă limitele NSP sunt calculate în conformitate cu clauza 4.6, atunci probabilitatea de încredere P este indicată suplimentar.
Estimările și derivatele valorii lor pot fi exprimate atât în ​​formă absolută, adică în unități ale valorii măsurate, cât și relativ, adică ca raport dintre valoarea absolută a unei valori date și rezultatul măsurării. În acest caz, calculele folosind formulele din această secțiune ar trebui efectuate folosind cantități exprimate numai în formă absolută sau relativă.

4.8 Măsurători unice

În inginerie, majoritatea măsurătorilor sunt o dată , adică Pentru a obține rezultatul măsurării, se folosește o citire a dispozitivului. Acest tip include, de exemplu, măsurători în timpul monitorizării personale a radiațiilor, care folosesc adesea un singur detector. Rezultatul unei singure măsurări include toate erorile sale inerente (instrumentale, metodologice, subiective), fiecare dintre acestea putând avea atât componente sistematice, cât și aleatorii. Daca este necesar exact Pentru a estima eroarea rezultatului măsurării, atunci toate componentele erorilor trebuie identificate și evaluate și însumate.
Componenta aleatorie a erorii nu poate fi calculată din rezultatele măsurătorilor, deși este implicit prezentă în ea. La fel de estimări ale componentei aleatorii a erorii poate fi folosit, de exemplu, coeficientul de variație , determinată anterior în procesul de măsurători repetate la studierea reproductibilității citirilor unui dispozitiv dat. Coeficientul de variație se găsește ca raportul dintre estimarea abaterii standard și media aritmetică a citirilor instrumentului în timpul măsurătorilor repetate. În unele cazuri, eroarea aleatorie poate fi determinată de limitele de încredere.
Estimarea erorilor sistematice poate fi obținută din caracteristicile aparatului utilizat (din datele pașaportului sau dintr-un certificat de calibrare) și metoda de măsurare (prin analizarea acestuia). Din documentația pentru dispozitiv, erorile sistematice suplimentare pot fi evaluate și luate în considerare.
Etape principale estimările de eroare pentru măsurători individuale cu o estimare exactă a erorii sunt după cum urmează:

• Se ține cont de eroarea sistematică a dispozitivului.
• Se evaluează eroarea sistematică a metodei de măsurare.
• Erorile sistematice suplimentare cauzate de cantitățile influențate sunt estimate din documentația pentru dispozitiv.
• Toate erorile sistematice cunoscute sunt excluse din citirea instrumentului (în conformitate cu paragrafele 1, 2, 3) și se determină rezultatul corectat al măsurării, care conține componentele NSP și ale erorilor aleatorii.
• Sunt estimate limitele componentelor Qi ale NSP, a căror distribuție se presupune a fi uniformă. Pot fi, de exemplu, erori ale standardelor în timpul verificării instrumentelor de măsurare, erori de corecție etc. După aceasta, limitele Q ale NSP total sunt determinate folosind formulele de mai sus.
• Înainte de a utiliza dispozitivul, se determină coeficientul de variație - o estimare a erorii aleatoare, care este utilizată în măsurătorile unice ulterioare cu dispozitivul.
• Estimările NSP și ale erorii aleatoare sunt comparate conform criteriilor din secțiunea anterioară și, dacă este posibil să se neglijeze vreuna dintre ele, se determină limitele erorii rezultatului. D.

Dacă este necesar să se ia în considerare ambele componente, atunci ca limită de eroare a rezultatului măsurării D se ia media totală eroare pătrată Så , , calculată conform formulei din Secțiunea 4.7 cu determinarea abaterii standard a rezultatului măsurării și a coeficientului semiempiric K. Pentru a elimina erorile brute, o singură măsurătoare trebuie repetată de 2-3 ori și media aritmetică trebuie luată ca Rezultatul.
În practică, există adesea măsurători pentru care nu este nevoie să se estimeze cu precizie eroarea. În astfel de măsurători, valoarea de referință este luată ca rezultat X, iar pentru estimarea erorii de măsurare se utilizează limita erorii de bază admisibile a dispozitivului Detcși erori suplimentare de instrument Yi din influenţarea cantităţilor. Erorile subiective sunt considerate mici și sunt neglijate.
Estimarea erorii rezultatului măsurării Då este definit ca suma valori absolute eroare principală și eroare sistematică totală conform formulei:
Då = | Detc| + å | Yi| .
O estimare mai precisă a erorii poate fi obținută prin adăugarea statistică a componentelor conform formulei din Secțiunea 4.7, presupunând distribuția lor uniformă.

4.9 Determinarea rezultatelor măsurătorilor indirecte și estimarea erorilor acestora

Metodele de procesare a rezultatelor măsurătorilor indirecte sunt descrise în Instrucțiuni RD 50-555-85 „Măsurători indirecte. Determinarea rezultatelor măsurătorilor și evaluarea erorilor acestora.”
Principalele etape ale procesării rezultatelor măsurătorilor indirecte sunt următoarele.
1. Valoarea dorită a cantității Y găsit pe baza rezultatelor măsurătorilor de argumente X1 , …, xi, …, xm, asociat cu valoarea dorită printr-o dependență neliniară. . Tipul funcției f trebuie cunoscute din premise teoretice sau stabilite experimental. Eroare necunoscută Y depinde de erorile de măsurare ale argumentelor. Mai jos luăm în considerare cazul când argumentele sunt independente unele de altele.
2. Estimarea abaterii standard a erorii aleatoare S(Y) se calculează folosind formula:

Unde xi- rezultatul măsurării argumentului ai-lea; S(xi) - evaluarea abaterii standard a rezultatului măsurătorii xi al-lea argument (determinat folosind formulele din Secțiunea 4.6.7).
3. Limitele de încredere ale erorii aleatoare e, cu condiția ca distribuția erorilor în rezultatele măsurătorilor argumentelor să nu contrazică distribuția normală, se determină prin formula:
4. Limita erorii sistematice neexcluse a rezultatului măsurării se calculează folosind formula

unde k este factorul de corecție pentru probabilitatea și numărul de încredere acceptate m componente ale NSP, pentru P = 0,95 coeficient k = 1,1.
5. Eroarea rezultatului măsurării este calculată în funcție de raportul dintre limitele NSP și eroarea aleatorie. La limita de încredere a rezultatului măsurării indirecte D calculate prin formula , Unde LA- coeficient în funcție de raport și probabilitatea de încredere (valori LA sunt date în RD specificat).
6. Rezultatul măsurării este calculat folosind formula de mai sus. Dacă se intenționează cercetarea și compararea rezultatelor măsurătorii sau analiza erorilor, atunci rezultatul măsurării și eroarea acesteia sunt prezentate sub forma
.
Dacă limitele de eroare ale rezultatului măsurării sunt simetrice, atunci rezultatul măsurării și eroarea acesteia sunt prezentate sub forma U± D.
7. Cu distribuții necunoscute ale erorilor de măsurare ale argumentelor și dacă există o corelație între ele, rezultatul măsurare indirectă iar eroarea acesteia este determinată de metoda reducerii, bazată pe reducerea unui număr de valori individuale ale unei mărimi măsurate indirect la un număr de măsurători directe. Această metodă este descrisă în detaliu în RD menționat mai sus.

4.10 Înregistrări de erori și reguli de rotunjire

Pentru a asigura exprimarea uniformă a rezultatelor măsurătorilor și a erorilor, formele de prezentare a acestora sunt standardizate. Regulile de bază sunt următoarele.
Deoarece erorile determină doar zona de nesiguranță a rezultatului măsurării, nu este necesar să le cunoaștem foarte precis. Prin urmare, în înregistrarea finală se exprimă eroarea una sau două cifre semnificative. Cifrele semnificative ale unui număr sunt cifrele rămase după eliminarea zerourilor de început. Deci, numerele 0,12 și 0,012 au fiecare două cifre semnificative. Se acceptă ca cele mai mici cifre ale valorilor numerice ale rezultatului măsurării și eroarea să fie aceleași: 20,56±0,25 sau 2,1±0,1. Una dintre cele mai frecvente greșeli la estimarea rezultatelor măsurătorilor și a erorilor este calcularea acestora cu prea multe cifre semnificative. De regulă, acest lucru nu este necesar și numai când calcule intermediare Puteți păstra 3-4 cifre semnificative.
Doar cu cele mai precise calcule au rămas două numere. Rezultatul măsurării trebuie scris astfel încât să se termine cu o zecimală în același loc cu valoarea erorii. Nu este necesar un număr mai mare de cifre, deoarece acest lucru nu va reduce incertitudinea rezultatului caracterizat de această eroare. Reducerea numărului de cifre prin rotunjire crește incertitudinea rezultatului măsurării și reduce acuratețea acestuia. De exemplu, eroarea de rotunjire a erorii la două cifre semnificative este de 5%, iar la o cifră semnificativă nu este mai mare de 50%.
Sunt instalate următoarele reguli de rotunjire rezultate și erori de măsurare:
1. Rezultatul măsurării este rotunjit astfel încât să se încheie cu o cifră de aceeași cifră cu valoarea erorii sale. Dacă fracția zecimală din valoarea numerică a rezultatului măsurării se termină cu zerouri, atunci acestea sunt eliminate numai cifrei care corespunde cifrei valorii numerice a erorii. De exemplu, rezultatul este 3, 2800 cu o eroare de 0,001, rotunjită la 3,280.
2. Dacă cifra celei mai semnificative dintre cifrele aruncate este mai mică de 5, atunci cifrele rămase ale numărului nu sunt modificate, cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în fracții zecimale sunt aruncate. De exemplu, numărul 267245, dacă este păstrat la patru cifre semnificative, ar trebui rotunjit la 267200; numărul 165.245 până la 165.2.
3. Dacă cifra celei mai semnificative cifre aruncate este mai mare sau egală cu 5, dar este urmată de cifre diferite de zero, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu: 14597®14600; 123,58®124;

4. Dacă cifra aruncată este 5, iar următoarele cifre sunt necunoscute sau egale cu zero, atunci ultima cifră reținută nu se modifică dacă este pară și crește dacă este impară: 10,5®10; 11,5®12.

Rezultatele observaționale obținute în prezența unei erori sistematice sunt numite necorectat. Atunci când efectuăm măsurători, încercăm să excludem sau să luăm în considerare pe cât posibil influența erorilor sistematice. Acest lucru poate fi realizat în următoarele moduri:

Eliminarea surselor de eroare înainte de a începe măsurătorile. În majoritatea domeniilor de măsurare sunt cunoscute principalele surse de erori sistematice și s-au dezvoltat metode pentru a elimina apariția lor sau pentru a elimina influența lor asupra rezultatului măsurării. În acest sens, în practica de măsurare, ei încearcă să elimine erorile sistematice nu prin prelucrarea datelor experimentale, ci prin utilizarea instrumentelor de măsurare care implementează metode de măsurare adecvate;

Determinarea corectiilor si introducerea acestora in rezultatul masurarii;

Estimarea limitelor erorilor sistematice neexcluse.

O eroare sistematică constantă nu poate fi găsită prin metode de prelucrare în comun a rezultatelor măsurătorilor. Cu toate acestea, nu denaturează nici indicatorii de precizie a măsurării, care caracterizează eroarea aleatorie, nici rezultatul găsirii componentei variabile a erorii sistematice. Într-adevăr, rezultatul unei măsurători

unde x și este valoarea adevărată a valorii măsurate; D i - i-a aleator eroare; q i - i-a eroare sistematică.

După mediarea rezultatelor măsurătorilor multiple, obținem valoarea medie aritmetică a valorii măsurate

Dacă eroarea sistematică este constantă în toate măsurătorile, de ex.

Astfel, eroarea sistematică constantă nu este eliminată prin măsurători repetate.

Erorile sistematice permanente pot fi detectate doar prin compararea rezultatelor măsurătorilor cu altele obținute folosind metode și mijloace mai precise. Uneori, aceste erori pot fi eliminate prin tehnici speciale pentru efectuarea procesului de măsurare. Aceste metode sunt discutate mai jos.

Prezența unei erori sistematice variabile semnificative denaturează estimările caracteristicilor erorii aleatoare și aproximarea distribuției acesteia. Prin urmare, trebuie identificat și exclus din rezultatele măsurătorilor.

Pentru a elimina erorile sistematice constante, utilizați următoarele metode:

Metoda de înlocuire care este un tip de metodă de comparare, atunci când comparația se realizează prin înlocuirea valorii măsurate cu o valoare cunoscută și în așa fel încât să nu apară modificări în starea și funcționarea tuturor instrumentelor de măsurare utilizate. Această metodă oferă cea mai completă soluție la problemă. Pentru implementarea acestuia este necesar să existe o măsură reglementată, a cărei valoare să fie omogenă cu cea măsurată. De exemplu, cântărirea Borda, măsurarea rezistenței prin punte DC și măsurile de rezistență.

Metoda de opozitie care este un tip de metodă de comparație în care măsurarea este efectuată de două ori și efectuată astfel încât în ​​ambele cazuri cauza erorii constante să aibă efecte diferite, dar cunoscute prin regularitate, asupra rezultatelor observației. De exemplu, metoda de ponderare gaussiană.

Exemplul 5.1. Măsurați rezistența folosind o singură punte folosind metoda opoziției.

În primul rând, rezistența măsurată R x este echilibrată cu o rezistență cunoscută R 1 inclusă în brațul de comparație al punții. În acest caz, R x = R 1 R 3 / R 4, unde R 3, R 4 sunt rezistențele brațelor de punte. Apoi rezistențele Rx și R1 sunt schimbate și puntea este echilibrată din nou prin ajustarea rezistenței rezistenței R1. În acest caz, R x = R¢ 1 R 3 /R 4.

Raportul R3/R4 este exclus din ultimele două ecuații. Apoi

Metoda de compensare a erorilor de semnare(metoda de schimbare a semnului erorii sistematice), implicând o măsurătoare cu două observații efectuate astfel încât o eroare sistematică constantă să intre în rezultatul fiecăreia dintre ele cu semne diferite.

Când se efectuează o măsurătoare, obținem EMF E 1 . Apoi schimbăm polaritatea EMF măsurată și direcția curentului în potențiometru. O echilibrăm din nou - obținem valoarea E 2. Dacă thermoEMF dă o eroare DE și E 1 = E X + DE, atunci E 2 = E X - DE. Prin urmare, E x = (E 1 + E 2)/2 . În consecință, eroarea sistematică cauzată de acțiunea termoEMF este eliminată.

Metoda de randomizare- cea mai universală modalitate de a elimina erorile sistematice constante necunoscute. Esența sa este că aceeași cantitate este măsurată prin metode (instrumente) diferite. Erorile sistematice ale fiecăruia dintre ele pentru întreaga populație sunt variabile aleatoare diferite. Ca urmare, odată cu creșterea numărului de metode (instrumente) utilizate, erorile sistematice sunt compensate reciproc.

Pentru a elimina variabilele și erorile sistematice care se schimbă monoton, utilizați următoarele tehnici si metode.

Analiza semnelor erorilor aleatoare necorectate. Dacă semnele erorilor aleatoare necorectate alternează cu orice tipar, atunci se observă o eroare sistematică variabilă. Dacă secvența de semne „+” pentru erori aleatoare este înlocuită cu o secvență de semne „-” sau invers, atunci există o eroare sistematică care variază monoton. Dacă se alternează grupurile de semne „+” și „-” pentru erori aleatoare, atunci există o eroare sistematică periodică.

Metoda grafică. El este unul dintre cei mai mulți moduri simple detectarea erorii sistematice variabile într-o serie de rezultate observaționale și constă în construirea unui grafic al succesiunii valorilor necorectate ale rezultatelor observaționale. Pe grafic, este trasată o curbă netedă prin punctele trasate, care exprimă tendința rezultatului măsurării, dacă acesta există. Dacă o tendință nu este vizibilă, atunci variabila eroare sistematică este considerată practic absentă.

Metoda observațiilor simetrice. Să luăm în considerare esența acestei metode folosind exemplul unui traductor de măsurare, a cărui funcție de transfer are forma y = kx + y 0, unde x, y sunt mărimile de intrare și de ieșire ale traductorului; k - coeficient, a cărui eroare se modifică în timp după o lege liniară; 0 este constant.

Pentru a elimina eroarea sistematică, valoarea de ieșire y este măsurată de trei ori la intervale egale de timp Dt. În timpul primei și celei de-a treia măsurători, un semnal x 0 de la măsura de referință este furnizat la intrarea convertorului. În urma măsurătorilor, se obține un sistem de ecuații:

Soluția sa ne permite să obținem o valoare a lui x care este lipsită de eroare sistematică variabilă cauzată de modificările coeficientului k:

Metode statistice speciale. LA Acestea includ metoda diferențelor succesive, analiza variatiei, etc. Să aruncăm o privire mai atentă la unele dintre ele.

Metoda diferențelor succesive (criteriul Abbe). Este folosit pentru a detecta o eroare sistematică care variază în timp și constă în următoarele. Varianta rezultatelor observației poate fi estimată în două moduri: obișnuit

și prin calcularea sumei pătratelor diferențelor succesive (în ordinea măsurătorilor) (x i +1 - x i) 2

Dacă în timpul procesului de măsurare a existat o deplasare în centrul grupării rezultatelor observației, i.e. a existat o eroare sistematică variabilă, apoi s 2 [x] oferă o estimare exagerată a dispersiei rezultatelor observației. Acest lucru se datorează faptului că s 2 [x] este afectat de variațiile în x. În același timp, modificările în centrul grupării x au un efect foarte mic asupra valorilor diferențelor succesive d i = (x i +1 - x i), prin urmare, deplasările x̅ nu vor avea aproape niciun efect asupra valorii lui Q 2 [x ].

Raportul v = Q 2 [x]/s 2 [x] este un criteriu pentru detectarea deplasărilor sistematice în centrul grupării rezultatelor observaționale. Regiunea critică pentru acest criteriu (criteriul Abbe) este definită ca P(v < v q) = q, unde q = 1- P - nivelul de semnificație, P - probabilitatea de încredere. Valorile lui v q pentru diferite niveluri de semnificație q și numărul de observații n sunt date în tabel. 5.1. Dacă valoarea obținută a criteriului Abbe este mai mică decât v pentru q și n dat, atunci ipoteza despre constanța centrului de grupare a rezultatelor observației este respinsă, i.e. este detectată o eroare sistematică variabilă în rezultatele măsurătorilor.

Tabelul 5.1

Valorile criteriului Abbe v q

n	V q cu q egal cu	n	V q cu q egal cu
0.001	0.01	0,05	0,001	0.01	0,05
	0,295	0,313	0,390		0,295	0,431	0,578
	0.208	0,269	0,410		0,311	0,447	0,591
	0,182	0,281	0,445		0.327	0.461	0,603
	0,185	O.ZOT	0,468		0,341	0.474	0,614
	0,202	0,331	0.491		0,355	0,487	0,624
	0,221	0,354	0,512		0,368	0,499	0.633
	0,241	0,376	0,531		0,381	0.510	0,642
	0.260	0,396	0,548		0,393	0,520	0,650
	0,278	0,414	0,564

Exemplul 5.3. Folosind metoda diferențelor succesive, determinați dacă există o eroare sistematică în seria rezultatelor observaționale prezentate în coloana a doua a tabelului. 5.2.

Tabelul 5.2

Rezultatele observației

n	x i	d i = x i+1 - x i	d 2 i	v i = x i - x̅	v 2 i
	13,4	-	-	-0,6	0,36
	13,3	-0,1	0,01	-0,7	0,49
	14,5	+1,2	1,44	+0,5	0,25
	13,8	-0,7	0,49	-0,2	0,04
	14,5	+0,7	0,49	+0,5	0,25
	14,6	+0,1	0,01	+0,6	0,36
	14,1	-0,5	0,25	+0,1	0,01
	14,3	+0,2	0,04	+0,3	0,09
	14,0	+0,3	0,09	0,0	0,0
	14,3	+0,3	0,09	+0,3	0,09
	13,2	-1,1	1,21	-0,8	0,64
å 1154,0	-0,2	4,12	0,0	2,58

Pentru seria dată de rezultate, calculăm: media aritmetică x̅ = 154,0/11 = 14; estimarea varianței s 2 [x] = 2,58/10 = 0,258; valoarea Q 2 [x] = 4,12/(2×10) = 0,206; Criteriul Abbe v = 0,206/0,258 = 0,8.

După cum se vede din tabel. 5.1, pentru toate nivelurile de semnificație (q = 0,001, 0,01 și 0,05) cu n = 11 avem v > v q, adică. se confirmă ipoteza nulă despre constanţa centrului de grupare. În consecință, condițiile de măsurare pentru seria dată au rămas neschimbate și nu există discrepanțe sistematice între rezultatele observației.

Analiza varianței (testul Fisher). În practica de măsurare, este adesea necesar să se determine prezența unei erori sistematice în rezultatele observației datorită influenței unui factor care funcționează constant sau să se determine dacă modificările acestui factor provoacă o părtinire sistematică a rezultatelor măsurătorii. În acest caz, se efectuează măsurători multiple, constând dintr-un număr suficient de elemente, fiecare dintre acestea corespunzând anumitor valori (deși necunoscute, dar diferite) ale factorului de influență. Factorii de influență prin care rezultatele observațiilor sunt combinate pe serii pot fi conditii externe(temperatura, presiune, etc.), succesiunea de timp a măsurătorilor etc.

După ce sunt luate N măsurători, acestea sunt împărțite în s serii (s > 3) cu n j rezultate de observație (sn j = N) în fiecare serie și apoi se determină dacă există sau nu o discrepanță sistematică între rezultatele observațiilor din diferite serii. . În acest caz, trebuie stabilit că rezultatele din serie sunt distribuite normal. Dispersia rezultatelor observaționale în cadrul fiecărei serii reflectă doar influențe aleatorii și caracterizează numai erori aleatorii de măsurare din această serie.

Caracteristica totalității erorilor aleatoare intra-seriale va fi suma medie a variațiilor rezultatelor observației calculate separat pentru fiecare serie, i.e.

unde este rezultatul măsurătorii i-a din seria j-a.

Dispersia intra-serială s 2 c caracterizează erorile de măsurare aleatoare, deoarece numai influențele aleatorii determină diferențele (abaterile rezultatelor observației) pe care se bazează. În același timp, împrăștierea lui Xj de diferite serii este determinată nu numai de erori aleatorii de măsurare, ci și de diferențe sistematice (dacă există) între rezultatele observației grupate pe serii. Prin urmare, variația medie între curse

Unde , exprimă puterea factorului care provoacă diferențe sistematice între serii.

Prin urmare, caracterizează proporția de varianță în toate rezultatele observației datorită prezenței erorilor de măsurare aleatoare și - proporția de varianță datorată diferențelor între serii în rezultatele observației.

Primul dintre ei se numește rata de eroare, al doilea - indicator de diferențiere. Cu cât raportul dintre indicele de diferențiere și coeficientul de eroare este mai mare, cu atât este mai puternic efectul factorului prin care au fost grupate seriile și cu atât diferența sistematică dintre ele este mai mare.

Criteriul de evaluare a prezenței erorilor sistematice în acest caz este criteriul de dispersie Fisher . Regiunea critică pentru criteriul Fisher corespunde cu P(F > F q) = q.

Valorile lui F q pentru diferite niveluri de semnificație q, numărul de măsurători N și numărul de serii s sunt date în Anexa 1, unde k 2 = N-s, k ​​​​1 = s - 1. Dacă valoarea obținută a criteriul Fisher este mai mare decât F q (pentru q, N și s dat), atunci ipoteza despre absența unor prejudecăți sistematice în rezultatele observațiilor pe serii este respinsă, i.e. este detectată o eroare sistematică, cauzată de factorul prin care au fost grupate rezultatele observației.

Exemplul 5.4. Treizeci și opt de măsurători ale diametrului piesei au fost efectuate cu opt șublere diferite. Fiecare dintre ei a făcut cinci măsurători. Dispersia intra-serială este de 0,054 mm2, dispersia inter-serială este de 0,2052 mm2. Determinați prezența unei erori sistematice în măsurarea diametrului piesei.

Valoarea calculată a testului Fisher F = 0,2052/0,054 = 3,8. Pentru s-1 =

7, N-s = 30 conform tabelului. P1.3 din Anexa 1 avem la q = 0,05 F 0,05 = 2,3 și la q = 0,01 F 0,01 = 3,3. Valoarea F obținută este mai mare decât 2,2 și 2,9. În consecință, rezultatele observației relevă prezența unor erori sistematice.

Dintre toate metodele luate în considerare pentru detectarea erorilor sistematice, analiza varianței este cea mai eficientă și fiabilă, deoarece permite nu numai stabilirea prezenței unei erori, ci și analizarea surselor apariției acesteia.

testul Wilcoxon. Dacă legea distribuției rezultatelor măsurătorilor este necunoscută, atunci testul statistic Wilcoxon este utilizat pentru a detecta eroarea sistematică.

Din două grupuri de rezultate de măsurare x 1, x 2,..., x n și y 1, y 2,..., y m, unde n ³ m ³ 5, este compilată o serie de variații în care toate valorile n + m ​din x 1, x 2,..., x n; y 1, y 2,...y m sunt așezate în ordine crescătoare și sunt atribuite ranguri - numere de serie ale membrilor seriei de variații. Diferența dintre valorile medii ale fiecărei serii poate fi considerată acceptabilă dacă inegalitatea este satisfăcută

unde R; - rangul (numărul) membrului x i, egal cu numărul acestuia din seria de variații; T q - și T q + sunt valorile critice inferioare și superioare pentru nivelul de semnificație q selectat. Când m< 15 эти критические значения определяются по табл. 5.3. При m >15 se calculează folosind formulele:

unde z p este cuantila funcției Laplace normalizate.

Tabelul 5.3

Valorile critice ale T q - și T q + la q = 0,005 și 0,01

n	m	q = 0,05	q = 0,01
Tq -	T q +	Tq -	T q +
	9 15

Un tabel mai complet al valorilor valorilor critice T q - și T q + este dat în recomandarea MI 2091-90 "GSI. Măsurători ale mărimilor fizice. Cerințe generale".

Eliminarea erorilor sistematice prin introducerea de corecții. În unele cazuri, erorile sistematice pot fi calculate și excluse din rezultatul măsurării. Pentru aceasta se folosesc amendamente. Amendament C j este o mărime cu același nume cu cea măsurată, care se introduce în rezultatul măsurării x i = x¢ i + q j + C j pentru a elimina componentele erorii sistematice q j. Când C j = - q j j-a componentă a erorii sistematice este complet eliminată din rezultatul măsurării. Corecțiile sunt determinate experimental sau ca urmare a unor studii teoretice speciale. Ele sunt date sub formă de tabele, grafice sau formule. Prin introducerea unei corectii se elimina influenta unei singure componente a erorii sistematice. Pentru a elimina toate componentele, în rezultatul măsurării trebuie introduse multe corecții. În acest caz, din cauza acurateței limitate a determinării corecțiilor, se acumulează erori aleatorii în rezultatul măsurării, iar dispersia acestuia crește. Deoarece corecția este cunoscută cu o anumită acuratețe, ea se caracterizează prin valoarea medie statistică a corecției C și abaterea standard S c . La corectarea rezultatului x¢ j prin introducerea corecțiilor C j, unde j=l, 2,..., m, după formula

varianta corectata

unde S 2 n - estimarea varianței rezultatului necorectat; S cj 2 - estimarea varianței al j-lea amendament. După cum puteți vedea, pe de o parte, rezultatul măsurării este rafinat, iar pe de altă parte, împrăștierea crește datorită creșterii dispersiei. Prin urmare, este necesar să găsiți optimul.

Să presupunem că la măsurarea unei valori constante Q s-a obţinut valoarea Q = x̅" ± t p S (Fig. 5.1), unde x̅" este o estimare a mediei aritmetice a rezultatului măsurării necorectate; t p - Coeficientul studentului.

Fig.5.1. Eliminarea erorii sistematice prin

introducerea unui amendament

După introducerea corecției С ± t p S c rezultatul măsurării

Unde

Valorile maxime de încredere ale erorii rezultatului măsurării înainte și după introducerea corecției sunt egale, respectiv

Este logic să introducem amendamentul până la D 1< D 2 . Отсюда следует, что

Dacă S C /S<< 1, то, раскладывая уравнение в степенной ряд, получим С >0,5 S2c/S2. Din această inegalitate este clar că, dacă estimarea abaterii standard a corecției este S c ® 0, atunci este întotdeauna logic să se introducă o corecție.

În calculele practice, eroarea rezultatului este de obicei exprimată prin cel mult două cifre semnificative, deci corecția, dacă este mai mică de cinci unități ale cifrei cel mai puțin semnificative după ultima zecimală eroarea în rezultat se va pierde în continuare în timpul rotunjirii și nu are rost să o introducem.

Exemplul 5.5. Tensiunea sursei EMF U x cu rezistența internă rj = 60±10 Ohmi a fost măsurată cu un voltmetru de clasa de precizie 0,5. Rezistența voltmetrului este R v =5 kOhm și este cunoscută cu o eroare de ±0,5%. Citirea voltmetrului U v = 12,35 V. Găsiți corecția care trebuie făcută citirii dispozitivului pentru a determina valoarea reală Tensiunea sursei EMF.

Citirile voltmetrului corespund căderii de tensiune pe acesta:

Eroare metodologică sistematică relativă datorită valorii limitate a rezistenței R v,

Corecția este egală cu eroarea absolută luată cu semnul opus:

D c = 0,012×12,35 = 0,146 V. Eroarea valorii de corecţie obţinută este determinată de eroarea cu care este cunoscută rezistenţa R i. Valoarea sa limită va fi 10/60 = 0,167. Eroarea datorată inexactității estimării R v, egală cu 0,005, poate fi neglijată. În consecință, eroarea în determinarea corecției D = ±0,167×0,146 » 0,03 V.

Astfel, corecția care trebuie introdusă în citirile voltmetrului ținând cont de rotunjire este DU = + 0,15 V. Apoi valoarea corectată

U¢ x = 12,35 + 0,15 = 12,50 V. Acest rezultat are o anumită eroare, inclusiv restul neexclus al erorii sistematice D = ± 0,03 V sau d = ± 0,24% din cauza consumului unei anumite puteri cu un voltmetru.

Întrebări de control

1. Ce este eroarea sistematică? Dă exemple.

2. Definiți un rezultat de măsurare corectat.

3. Cum sunt clasificate erorile sistematice?

4. Numiți modalități de identificare a erorilor sistematice permanente.

5. Numiți modalități de identificare a erorilor sistematice variabile.

6. Care este esența criteriului Abbe?

7. Ce este analiza varianței și cum este utilizată pentru a elimina erorile sistematice?

8. Cum se detectează o eroare sistematică folosind testul Wilcoxon?

9. Cum se evaluează fezabilitatea introducerii unei modificări pentru a elimina eroarea sistematică?