Cтраница 1
Абсолютная ошибка определения не превышает 0 01 мкг фосфора. Этот метод был применен нами для определения фосфора в азотной, уксусной, соляной и серной кислотах и ацетоне с предварительным выпариванием их.
Абсолютная ошибка определения составляет 0 2 - 0 3 мг.
Абсолютная ошибка определения цинка в цинк-марганцевых ферритах предложенным методом не превышает 0 2 % отн.
Абсолютная ошибка определения углеводородов С2 - С4, при содержании их в газе 0 2 - 5 0 %, составляет 0 01 - 0 2 % соответственно.
Здесь Ау - - абсолютная ошибка определения г /, которая получается в результате ошибки Да в определении а. Например, относительная ошибка квадрата числа в два раза больше ошибки определения самого числа, а относительная ошибка числа, стоящего под кубическим корнем, составляет просто одну треть от ошибки определения числа.
Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки MV - Ms / Мв, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / re, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.
Более сложные соображения необходимы при выборе меры сравнений абсолютных ошибок определения времени начала аварии TV - Ts, где Tv и Ts - соответственно время восстановленной и реальной аварии. По аналогии здесь может использоваться среднее время добега-ния пика загрязнений от реального сброса до тех точек мониторинга, которые фиксировали аварию за время прохождения загрязнений Tsm. Вычисление достоверности определения мощности аварий основано на расчете относительной ошибки Mv - Ms / Ms, где Mv и Ms - соответственно восстановленная и реальная мощности. Наконец, относительная ошибка определения продолжительности аварийного выброса характеризуется величиной rv - rs / rs, где rv и rs - соответственно восстановленная и реальная продолжительности аварий.
При одной и той же абсолютной ошибке измерения ау абсолютная ошибка определения количества ах уменьшается с увеличением чувствительности метода.
Поскольку в основе ошибок лежат не случайные, а систематические погрешности, итоговая абсолютная ошибка определения присосов может достигать 10 % теоретически необходимого количества воздуха. Только при недопустимо неплотных топках (А а0 25) общепринятый метод дает более или менее удовлетворительные результаты. Описанное хорошо известно наладчикам, которые при сведении воздушного баланса плотных топок нередко получают отрицательные значения присосов.
Анализ погрешности определения величины пэт показал, что она складывается из 4 составляющих: абсолютной ошибки определения массы матрицы, емкости образца, взвешивания, относительной ошибки за счет флуктуации массы образца около равновесного значения.
При соблюдении всех правил отбора, отсчета объемов и анализа газов при помощи газоанализатора ГХП-3 общая абсолютная ошибка определения содержания С02 и О2 не должна превышать 0 2 - 0 4 % истинной их величины.
Из табл. 1 - 3 можно сделать заключение, что используемые нами данные для исходных веществ, взятые из разных источников, имеют сравнительно небольшие различия, которые лежат в пределах абсолютных ошибок определения этих величин.
Случайные ошибки могут быть абсолютными и относительными. Случайную ошибку, имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа.
Величина допустимого отклонения, или доверительный интервал, устанавливается не произвольно, а вычисляется из конкретных данных измерений и характеристик используемых приборов. Отклонение результата отдельного измерения от истинного значения величины называется абсолютной ошибкой определения или просто ошибкой. Отношение абсолютной ошибки к измеряемой величине называется относительной ошибкой, которую обычно выражают в процентах. Знание ошибки отдельного измерения не имеет самостоятельного значения, и во всяком серьезно поставленном эксперименте должно проводиться несколько параллельных измерений, по которым и вычисляют ошибку эксперимента. Ошибки измерений в зависимости от причин их возникновения делятся на три вида.
Ошибки измерений классифицируют по следующим видам:
Абсолютные и относительные.
Положительные и отрицательные.
Постоянные и пропорциональные.
Грубые, случайные и систематические.
Абсолютная ошибка единичного результата измерения (А y ) определяется как разность следующих величин:
А y = y i - y ист. » y i -`y .
Относительная ошибка единичного результата измерения (В y ) рассчитывается как отношение следующих величин:
Из этой формулы следует, что величина относительной ошибки зависит не только от величины абсолютной ошибки, но и от значения измеряемой величины. При неизменности измеряемой величины (y ) относительную ошибку измерения можно уменьшить только за счет снижения величины абсолютной ошибки (А y ). При постоянстве абсолютной ошибки измерения для уменьшения относительной ошибки измерения можно использовать прием увеличения значения измеряемой величины.
Пример. Допустим, что в магазине торговые весы имеют постоянную абсолютную ошибку измерения массы: A m = 10 г. Если Вы взвесите на таких весах 100 г конфет (m 1), то относительная ошибка измерения массы конфет составит:
.
При взвешивании на этих же весах 500 г конфет (m 2) относительная ошибка будет в пять раз меньше:
.
Таким образом, если Вы будете пять раз взвешивать по 100 г конфет, то вы из-за ошибки измерения массы, из 500 г недополучите суммарно 50 г продукта. При однократном взвешивании большей массы (500 г) Вы потеряете только 10 г конфет, т.е. в пять раз меньше.
Учитывая вышесказанное, можно отметить, что в первую очередь необходимо стремиться к уменьшению относительных ошибок измерения. Абсолютные и относительные ошибки можно рассчитать только после определения среднего арифметического значения результата измерения.
Знак ошибки (положительный или отрицательный) определяется разницей между единичным и фактическим результатом измерения:
y i -`y > 0 (ошибка положительная );
y i -`y < 0 (ошибка отрицательная ).
Если абсолютная ошибка измерения не зависит от значения измеряемой величины, то такая ошибка называется постоянной . В противном случае ошибка будет пропорциональной . Характер ошибки измерения (постоянная или пропорциональная) определяется после проведения специальных исследований.
Грубая ошибка измерения (промах) - это значительно отличающийся от других результат измерения, который обычно возникает при нарушении методики измерения. Наличие грубых ошибок измерения в выборке устанавливается только методами математической статистики (при n>2). С методами обнаружения грубых ошибок познакомьтесь самостоятельно в .
Деление ошибок на случайные и систематические достаточно условно.
К случайным ошибкам относят ошибки, которые не имеют постоянной величины и знака. Такие ошибки возникают под действием следующих факторов: неизвестных исследователю; известных, но нерегулируемых; постоянно изменяющихся.
Случайные ошибки можно оценить только после проведения измерений.
Количественной оценкой модуля величины случайной ошибки измерения могут являться следующие параметры: и др.
Случайные ошибки измерения невозможно исключить, их можно только уменьшить. Один из основных способов уменьшения величины случайной ошибки измерения - это увеличение числа единичных измерений (увеличение величины n). Объясняется это тем, что величина случайных ошибок обратно пропорциональна величине n, например:
Систематические ошибки - это ошибки с неизменными величиной и знаком или изменяющиеся по известному закону. Эти ошибки вызываются постоянными факторами. Систематические ошибки можно количественно оценивать, уменьшать и даже исключать.
Систематические ошибки классифицируют на ошибки I, II и III типов.
К систематическим ошибкам I типа относят ошибки известного происхождения, которые могут быть до проведения измерения оценены путем расчета. Эти ошибки можно исключить, вводя их в результат измерения в виде поправок. Примером ошибки такого типа является ошибка при титрометрическом определении объемной концентрации раствора, если титрант был приготовлен при одной температуре, а измерение концентрации проводилось при другой. Зная зависимость плотности титранта от температуры, можно до проведения измерения рассчитать изменение объемной концентрации титранта, связанное с изменением его температуры, и эту разницу учесть в виде поправки в результате измерения.
Систематические ошибки II типа - это ошибки известного происхождения, которые можно оценить только в ходе эксперимента или в результате проведения специальных исследований. К этому типу ошибок относят инструментальные (приборные), реактивные, эталонные и др. ошибки. Познакомьтесь с особенностями таких ошибок самостоятельно в .
Любой прибор при его применении в процедуре измерения вносит в результат измерения свои приборные ошибки. При этом часть этих ошибок случайная, а другая часть - систематическая. Случайные ошибки приборов отдельно не оценивают, их оценивают в общей совокупности со всеми другими случайными ошибками измерения.
Каждый экземпляр любого прибора имеет свою персональную систематическую ошибку. Для того чтобы оценить эту ошибку, необходимо проводить специальные исследования.
Наиболее надежный способ оценки приборной систематической ошибки II типа - это сверка работы приборов по эталонам. Для мерной посуды (пипеток, бюреток, цилиндров и др.) проводят специальную процедуру - калибровку.
На практике наиболее часто требуется не оценить, а уменьшить или исключить систематическую ошибку II типа. Самыми распространенными методами уменьшения систематических ошибок являются методы релятивизации и рандомизации .Познакомьтесь с этими методами самостоятельно в .
К ошибкам III типа относят ошибки неизвестного происхождения. Эти ошибки можно обнаружить только после устранения всех систематических ошибок I и II типов.
К прочим ошибкам отнесем все другие виды ошибок, не рассмотренные выше (допустимые, возможные предельные ошибки и др.). Понятие возможных предельных ошибок применяется в случаях использования средств измерения и предполагает максимально возможную по величине инструментальную ошибку измерения (реальное же значение ошибки может быть меньше величины возможной предельной ошибки).
При использовании средств измерения можно рассчитать возможные предельные абсолютную (П`y ,пр.) или относительную (Е`y ,пр.) погрешности измерения. Так, например, возможная предельная абсолютная погрешность измерения находится как сумма возможных предельных случайных (x ` y , случ., пр.) и неисключенных систематических (d`y , пр.) ошибок:
П`y ,пр.= x ` y , случ., пр. + d`y , пр.
При выборках малого объема (n £ 20) неизвестной генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения, случайные возможные предельные ошибки измерений можно оценить следующим образом:
x ` y
, случ., пр. = D`y
= S `y
½t P, n ½,
где t P,n - квантиль распределения (критерий) Стьюдента для вероятности Р и выборки объемом n. Абсолютная возможная предельная погрешность измерения в этом случае будет равна:
П`y ,пр.= S ` y ½t P, n ½+ d ` y , пр.
Если результаты измерений не подчиняются нормальному закону распределения, то оценка погрешностей проводится по другим формулам.
Определение величины d ` y ,пр. зависит от наличия у средства измерения класса точности. Если средство измерения не имеет класса точности, то за величину d ` y ,пр. можно принять минимальную цену деления шкалы средства измерения . Для средства измерения с известным классом точности за величину d ` y ,пр.можно принять абсолютную допустимую систематическую ошибку средства измерения (d y , доп.):
d ` y ,пр.» .
Величина d y , доп. рассчитывается исходя из формул, приведенных в табл.5.
Для многих средств измерения класс точности указывается в виде чисел а×10 n , где а равно 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 и n равно 1; 0; -1; -2 и т.д., которые показывают величину возможной предельной допускаемой систематической ошибки (Е y , доп.) и специальных знаков, свидетельствующих о ее типе (относительная, приведенная, постоянная, пропорциональная).
Таблица 5
Примеры обозначения классов точности средств измерения
Продолжение табл.5
Окончание табл.5
Систематическими ошибками можно пренебрегать, если выполняется неравенство
В этом случае принимают, что:
П`y , пр.» x `y , случ. , пр. » D`y » S `y ½t P, n ½.
Случайными ошибками можно пренебречь при условии
Для этого случая П`y , пр.» d`y ,пр. .
Увеличение числа единичных измерений является наиболее распространенным методом уменьшения случайных ошибок (что тоже приводит к удорожанию измерений). Увеличивать n целесообразно до тех пор, пока общая погрешность измерения не будет определяться только систематической ошибкой. Минимально необходимое для этого число параллельных измерений (n min) можно рассчитать только при известном значении генеральной совокупности единичных результатов по формуле
.
Если известны составляющие (m - число составляющих) абсолютной систематической ошибки среднего арифметического результата измерения (), то ее можно оценить по формуле
,
где k - коэффициент, определяемый вероятностью Р и числом m.
Оценка погрешностей измерения зависит не только от средства измерения и объема выборки, но и от типа измерения (прямое это измерение или косвенное).
Деление измерений на прямые и косвенные достаточно условно. В дальнейшем под прямыми измерениями будем понимать такие, когда результат измерения получается непосредственно, например считывается со шкалы прибора. К косвенным измерениям будем относить такие, когда результат измерения рассчитывается как функция (j) результатов одного или нескольких прямых измерений (x 1 , x 2 , …, x j,. …, x k).
Необходимо знать, что ошибки косвенных измерений всегда больше, чем ошибки отдельных прямых измерений. Ошибки косвенных измерений оцениваются по соответствующим законам.
Измерением какой-либо величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за эталон (единицу измерения). Все измерения можно разбить на два типа: прямые и косвенные.
ПРЯМЫЕ это такие измерения, при которых измеряется непосредственно интересующая нас физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.).
КОСВЕННЫЕ это такие измерения, при которых интересующая нас величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью. Например, определение скорости равномерного движения по измерениям пройденного пути промежутка времени, измерение плотности тела по измерениям массы и объема тела и т.д.
Общая черта измерений невозможность получения истинного значения измеряемой величины, результат измерения всегда содержит какую-то ошибку (погрешность). Объясняется это как принципиально ограниченной точностью измерения, так и природой самих измеряемых объектов. Поэтому, чтобы указать, насколько полученный результат близок к истинному значению, вместе с полученным результатом указывают ошибку измерения.
Например, мы измерили фокусное расстояние линзы f и написали, что
f = (256 ± 2) мм (1)
Это означает, что фокусное расстояние лежит в пределах от 254 до 258 мм . Но на самом деле это равенство (1) имеет вероятностный смысл. Мы не можем с полной уверенностью сказать, что величина лежит в указанных пределах, имеется лишь некоторая вероятность этого, поэтому равенство (1) нужно дополнить еще указанием вероятности, с которой это соотношение имеет смысл (ниже мы сформулируем это утверждение точнее).
Оценка ошибок необходима, т.к., не зная, каковы они, нельзя сделать определенных выводов из эксперимента.
Обычно рассчитывают абсолютную и относительную ошибку. Абсолютной ошибкой Δx называется разность между истинным значением измеряемой величины μ и результатом измерения x, т.е. Δx = μ - x
Отношение абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины ε = (μ - x)/μ и называется относительной ошибкой.
Абсолютная ошибка характеризует погрешность метода, который был выбран для измерения.
Относительная ошибка характеризует качество измерений. Точностью измерения называют величину, обратную относительной ошибке, т.е. 1/ε.
Все ошибки измерения делятся на три класса: промахи (грубые ошибки), систематические и случайные ошибки.
ПРОМАХ вызван резким нарушением условий измерения при отдельных наблюдениях. Это ошибка, связанная с толчком или поломкой прибора, грубым просчетом экспериментатора, непредвиденным вмешательством и т.д. грубая ошибка появляется обычно не более чем в одномдвух измерениях и резко отличается по величине от прочих ошибок. Наличие промаха может сильно исказить результат, содержащий промах. Проще всего, установив причину промаха, устранить его в процессе измерения. Если в процессе измерения промах не был исключен, то это следует сделать при обработке результатов измерений, использовав специальные критерии, позволяющие объективно выделить в каждой серии наблюдений грубую ошибку, если она имеется.
СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ называют составляющую погрешности измерений, остающуюся постоянной и закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические ошибки возникают, если не учитывать, например, теплового расширения при измерениях объема жидкости или газа, производимых при медленно меняющейся температуре; если при измерении массы не принять во внимание действие выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесы и т.д.
Систематические ошибки наблюдаются, если шкала линейки нанесена неточно (неравномерно); капилляр термометра в разных участках имеет разное сечение; при отсутствии электрического тока через амперметр стрелка прибора стоит не на нуле и т.д.
Как видно из примеров, систематическая ошибка вызывается определенными причинами, величина ее остается постоянной (смещение нуля шкалы прибора, неравноплечность весов), либо изменяется по определенному (иногда довольно сложному) закону (неравномерность шкалы, неравномерность сечения капилляра термометра и т.д.).
Можно сказать, что систематическая ошибка это смягченное выражение, заменяющее слова «ошибка экспериментатора».
Такие ошибки возникают из-за того, что:
Как поступать в первом случае, мы знаем, нужна калибровка или градуировка. В двух других случаях готового рецепта не существует. Чем лучше вы знаете физику, чем больше у вас опыта, тем больше вероятность, что вы обнаружите подобные эффекты, а значит, и устраните их. Общих правил, рецептов для выявления и устранения систематических ошибок нет, но некоторую классификацию можно провести. Выделим четыре типа систематических ошибок.
Часто максимальная абсолютная ошибка, даваемая данным прибором, указывается с помощью класса точности прибора, который изображается на шкале прибора соответствующим числом, чаще всего взятым в кружок.
Число, обозначающее класс точности, показывает максимальную абсолютную ошибку прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения измеряемой величины на верхнем пределе шкалы.
Пусть в измерениях использован вольтметр, имеющий шкалу от 0 до 250 В , класс точности его 1. Это значит, что максимальная абсолютная ошибка, которая может быть допущена при измерении этим вольтметром, будет не больше 1% от наибольшего значения напряжения, которое можно измерить на этой шкале прибора, иначе говоря:
δ = ±0.01·250В = ±2.5В .
Класс точности электроизмерительных приборов определяет максимальную погрешность, величина которой не меняется при переходе от начала к концу шкалы. Относительная ошибка при этом резко меняется, потому приборы обеспечивают хорошую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу и не дают ее при измерениях в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбрать прибор (или шкалу многопредельного прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы.
Если класс точности прибора не указан и нет паспортных данных, то в качестве максимальной ошибки прибора берется половина цены наименьшего деления шкалы прибора.
Несколько слов о точности линеек. Металлические линейки очень точны: миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ±0.05 мм , а сантиметровые не хуже, чем с точностью 0.1 мм . Погрешность измерений, производимых с точностью таких линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз (≤0.5 мм ). Деревянными и пластиковыми линейками лучше не пользоваться, их погрешности могут оказаться неожиданно большими.
Исправный микрометр обеспечивает точность 0.01 мм , а погрешность измерений штангенциркулем определяется точностью, с которой может быть сделан отсчет, т.е. точностью нониуса (обычно 0.1 мм или 0.05 мм ).
СЛУЧАЙНОЙ называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.
При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности.
Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.
Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения (рис.14 ).
Если, кроме того, имеется и систематическая ошибка, то результаты измерений будут разбросаны относительно не истинного, а смещенного значения (рис.15 ).
Рис. 14 Рис. 15
Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок.
Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка.
Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке.
Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п.
Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.
Следует иметь в виду, что если случайная погрешность, полученная из данных измерений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой точностью прибора, то, очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной погрешности все равно результаты измерений не станут от этого точнее.
Наоборот, если случайная погрешность больше приборной (систематической), то измерение следует провести несколько раз, чтобы уменьшить значение погрешности для данной серии измерений и сделать эту погрешность меньше или одного порядка с погрешностью прибора.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОШИБОК
Абсолютная и относительная ошибки
Никакую физическую величину невозможно измерить абсолютно точно: как бы тщательно не был поставлен опыт, измеренное значение величины х будет отличаться от ее истинного значения Х . Разница между этими значениями представляет собой абсолютную ошибку (или абсолютную погрешность * ) измерения х :
х = х – Х . (1)
Абсолютная погрешность является размерной величиной: она выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина (например, абсолютная погрешность измерения длины выражается в метрах, силы тока – в амперах и т.д.). Как следует из выражения (1), х может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Хотя величина х показывает, насколько измеренное значение отличается от истинного, одной лишь абсолютной ошибкой нельзя полностью характеризовать точность проделанного измерения. Пусть, например, известно, что абсолютная погрешность измерения расстояния равна 1 м . Если измерялось расстояние между географическими пунктами (порядка нескольких километров), то точность такого измерения следует признать весьма высокой; если же измерялись размеры помещения (не превышающие десятка метров), то измерение проведено очень грубо. Для характеристики точности существует понятие относительной ошибки (или относительной погрешности ) Е , представляющей собой отношение модуля абсолютной ошибки к измеряемой величине:
Очевидно, что относительная погрешность – величина безразмерная; чаще всего ее выражают в процентах.
При определении ошибок измерений важно иметь в виду следующее. Выражения (1) и (2) содержат истинное значение измеряемой величины Х
, которое точно знать невозможно – поэтому значения х
и Е
в принципе не могут быть рассчитаны точно. Можно лишь оценить
эти значения, т.е. найти их приближенно с той или иной степенью достоверности. Поэтому все расчеты, связанные с определением погрешностей, должны носить приближенный (оценочный) характер.
Случайная и приборная погрешности
Разнообразные ошибки, возникающие при измерениях, можно классифицировать как по их происхождению, так и по характеру их проявления.
По своему происхождению ошибки делятся на инструментальные и методические.
Инструментальные погрешности обусловлены несовершенством применяемых измерительных приборов и приспособлений. Эти погрешности могут быть уменьшены за счет применения более точных приборов. Так, размер детали можно измерить линейкой или штанген-циркулем. Очевидно, что во втором случае ошибка измерения меньше, чем в первом.
Методические погрешности возникают из-за того, что реальные физические процессы всегда в той или иной степени отличаются от их теоретических моделей. Например, формула для периода колебаний математического маятника в точности верна лишь при бесконечно малой амплитуде колебаний; формула Стокса, определяющая силу трения при движении шарика в вязкой жидкости, справедлива только в случае идеально сферической формы, и т.д. Обнаружить и учесть методическую погрешность можно путем измерения той же величины совершенно иным независимым методом.
По характеру проявления ошибки бывают систематические и случайные.
Систематическая погрешность может быть обусловлена как приборами, так и методикой измерения. Она имеет две характерные особенности. Во-первых, систематическая погрешность всегда либо положительна, либо отрицательна, и не меняет своего знака от опыта к опыту. Во-вторых, систематическую погрешность нельзя уменьшить за счет увеличения числа измерений. Например, если в отсутствие внешних воздействий стрелка измерительного прибора показывает величину х 0 , отличную от нуля, то во всех дальнейших измерениях будет присутствовать систематическая ошибка, равная х 0 .
Случайная ошибка также может быть как инструментальной, так и методической. Причину ее появления установить трудно, а чаще всего – невозможно (это могут быть различные помехи, случайные толчки, вибрации, неверно взятый отсчет по прибору и т.д.). Случайная погрешность бывает и положительной и отрицательной, причем непредсказуемо изменяет свой знак от опыта к опыту. Значение ее можно уменьшить путем увеличения числа измерений.
Детальный анализ погрешностей измерения представляет собой сложную задачу, для решения которой не существует единого рецепта. Поэтому в каждом конкретном случае этот анализ проводят по-разному. Однако, в первом приближении, если исключена систематическая ошибка, то остальные можно условно свести к следующим двум видам: приборная и случайная.
Приборной
погрешностью в дальнейшем будем называть случайную ошибку, обусловленную измерительными приборами и приспособлениями, а случайной
– ошибку, причина появления которой неизвестна. Приборную погрешность измерения величины х
будем обозначать как
х
, случайную – как s
x
.
Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал
Методика оценки случайной погрешности основана на положениях теории вероятностей и математической статистики. Оценить случайную ошибку можно только в том случае, когда проведено неоднократное измерение одной и той же величины.
Пусть в результате проделанных измерений получено п
значений величины х
: х
1 , х
2 , …, х
п
. Обозначим через 
среднеарифметическое значение
. (3)
В теории вероятностей доказано, что при увеличении числа измерений п среднеарифметическое значение измеряемой величины приближается к истинному:
При небольшом числе измерений (п 10) среднее значение может существенно отличаться от истинного. Для того, чтобы знать, насколько точно значение характеризует измеряемую величину, необходимо определить так называемый доверительный интервал полученного результата.
Поскольку абсолютно точное измерение невозможно, то вероятность правильности утверждения “величина х имеет значение, в точности равное
” равна нулю. Вероятность же утверждения “величина х имеет какое-либо значение
” равна единице (100%). Таким образом, вероятность правильности любого промежуточного утверждения лежит в пределах от 0 до 1. Цель измерения – найти такой интервал, в котором с наперед заданной вероятностью
(0 доверительным интервалом
, а неразрывно связанная с ним величина
– доверительной вероятностью
(или коэффициентом надежности
). За середину интервала принимается среднее значение, рассчитанное по формуле (3). Половина ширины доверительного интервала представляет собой случайную погрешность s
x
(рис. 1).
Рис.1 (см. конец файла)
На рис. 1, а, б
наглядно показано, что при прочих равных условиях для увеличения вероятности попадания истинного значения в доверительный интервал необходимо увеличить ширину последнего (вероятность “накрывания” значения Х
более широким интервалом выше). Следовательно, величина t
n
,
должна быть тем больше, чем выше доверительная вероятность
.
Очевидно, что ширина доверительного интервала (а следовательно, и ошибка s x ) зависит от того, насколько сильно отличаются отдельные измерения величины х i от среднего значения . “Разброс” результатов измерений относительно среднего характеризуется среднеквадратичной ошибкой , которую находят по формуле
, (4)
где 
.
Ширина искомого доверительного интервала прямо пропорциональна среднеквадратичной ошибке:
. (5)
Коэффициент пропорциональности t n , называется коэффициентом Стьюдента ; он зависит от числа опытов п и доверительной вероятности .
С увеличением количества опытов среднее значение становится ближе к истинному; поэтому при той же вероятности доверительный интервал можно взять более узким (см. рис. 1, а,в ) – таким образом, с ростом п коэффициент Сьюдента должен уменьшаться.
Таблица значений коэффициента Стьюдента в зависимости от п и дана в приложении к настоящему пособию.
Следует отметить, что доверительная вероятность никак не связана с точностью результата измерений. Величиной
задаются заранее, исходя из требований к их надежности. В большинстве технических экспериментов и в лабораторном практикуме значение
принимается равным 0,95.
Расчет случайной погрешности измерения величины х
проводится в следующем порядке:
1) вычисляется сумма измеренных значений, а затем – среднее значение величины по формуле (3);
2) для каждого i -го опыта рассчитываются разность между измеренным и средним значениями , а также квадрат этой разности (отклонения) ( х i ) 2 ;
3) находится сумма квадратов отклонений, а затем – средне-квадратичная ошибка по формуле (4);
4) по заданной доверительной вероятности и числу проведенных опытов п из табл. П-1 приложения выбирается соответствующее значение коэффициента Стьюдента t n , и определяется случайная погрешность s x по формуле (5).
Для удобства расчетов и проверки промежуточных результатов данные заносятся в таблицу, образец которой дан ниже.
Таблица 1
| Номер опыта | … | х | х | ( х ) 2 |
| 1 | … | |||
| 2 | … | |||
| … | … | |||
| П | … | |||
| = | = |
В каждом конкретном случае величина х
имеет определенный физический смысл и соответствующие единицы измерения. Это может быть, например, ускорение свободного падения g
(м/с
2), коэффициент вязкости жидкости
(Па
с
) и т.д. Пропущенные столбцы табл. 1 могут содержать промежуточные измеряемые величины, необходимые для расчета соответствующих значений х
.
Пример 1.
Для определения ускорения а
движения тела измерялось время t
прохождения им пути S
без начальной скорости. Используя известное соотношение 
, получим расчетную формулу
. (6)
Результаты измерений пути S и времени t приведены во втором и третьем столбцах табл. 2. Проведя вычисления по формуле (6), заполним
четвертый столбец значениями ускорения a
i
и найдем их сумму, которую запишем под этим столбцом в ячейку “ = ”. Затем рассчитаем среднее значение 
по формуле (3):
.
Таблица 2
| Номер опыта | S, м
| t, c
| а, м/с
2 | а, м/с
2 | (а ) 2 , (м/с
2) 2 |
| 1 | 5 | 2,20 | 2,07 | 0,04 | 0,0016 |
| 2 | 7 | 2,68 | 1,95 | -0,08 | 0,0064 |
| 3 | 9 | 2,91 | 2,13 | 0,10 | 0,0100 |
| 4 | 11 | 3,35 | 1,96 | -0,07 | 0,0049 |
| = | 8,11 | = | 0,0229 |
Вычитая из каждого значения a i среднее, найдем разности a i и занесем их в пятый столбец таблицы. Возводя эти разности в квадрат, заполним последний столбец. Затем рассчитаем сумму квадратов отклонений и запишем ее во вторую ячейку “ = ”. По формуле (4) определим среднеквадратичную погрешность:
.
Задавшись величиной доверительной вероятности = 0,95, для числа опытов п = 4 из табл. П-1 приложения выбираем значение коэффициента Стьюдента t n , = 3,18; наконец, с помощью формулы (5) оценим случайную погрешность измерения ускорения
s а = 3,180,0437 0,139 (м/с 2 ) .
Способы определения приборных ошибок
Основными характеристиками измерительных приборов являются предел измерения и цена деления, а также – главным образом, для электро-измерительных приборов – класс точности.
Предел измерения П
– это максимальное значение величины, которое может быть измерено с помощью данной шкалы прибора. Если предел измерения не указан отдельно, то его определеяют по оцифровке шкалы. Так, если рис. 2 изображает шкалу миллиамперметра, то его предел измерения равен 100 мА
.
Рис.2
Цена деления Ц
– значение измеряемой величины, соответствующее самому малому делению шкалы. Если шкала начинается с нуля, то
,
где N – общее количество делений. Например, на рис. 2 N = 50. Если эта шкала принадлежит амперметру с пределом измерения 5 А , то цена деления равна 5/50 = 0,1 (А ). Если шкала принадлежит термометру и проградуирована в С , то цена деления Ц = 100/50 = 2 (С ). Многие электроизмерительные приборы имеют несколько пределов измерения. При переключении их с одного предела на другой изменяется и цена деления шкалы.
Класс точности К представляет собой отношение абсолютной приборной погрешности к пределу измерения шкалы, выраженное в процентах:
. (7)
Значение класса точности (без символа “%”) указывается, как правило, на электроизмерительных приборах.
В зависимости от вида измерительного устройства абсолютная приборная погрешность определяется одним из нижеперечисленных способов.
1. Погрешность указана непосредственно на приборе. Так, на микрометре есть надпись “0,01 мм”. Если с помощью этого прибора измеряется, например, диаметр шарика D (лабораторная работа 1.2), то погрешность его измерения D = 0,01 мм . Абсолютная ошибка указывается обычно на жидкостных (ртутных, спиртовых) термометрах, штангенциркулях и др.
2. На приборе указан класс точности. Согласно определению этой величины, из формулы (7) имеем:
. (8)
Например, для вольтметра с классом точности 2,5 и пределом измерения 600 В абсолютная приборная ошибка измерения напряжения
.
3. Если на приборе не указаны ни абсолютная погрешность, ни класс точности, то в зависимости от характера работы прибора возможны два способа определения величины х :
а) указатель значения измеряемой величины может занимать только определенные (дискретные) положения, соответствующие делениям шкалы (например, электронные часы, секундомеры, счетчики импульсов и т.п.). Такие приборы являются приборами дискретного действия , и их абсолютная погрешность равна цене деления шкалы: х = Ц . Так, при измерении промежутка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с погрешность t = 0,2 с ;
б)
указатель значения измеряемой величины может занимать любое положение на шкале (линейки, рулетки, стрелочные весы, термометры и т.п.). В этом случае абсолютная приборная погрешность равна половине цены деления:
х
= Ц
/2. Точность снимаемых показаний прибора не должна превышать его возможностей. Например, при показанном на рис. 3 положении стрелки прибора следует записать либо 62,5 либо 63,0 – в обоих случаях ошибка не превысит половины цены деления. Записи же типа 62,7 или 62,8 не имеют смысла.
Рис.3
4. Если какая-либо величина не измеряется в данном оыте, а была измерена независимо и известно лишь ее значение, то она является заданным параметром
. Так, в работе 2.1 по определению коэффициента вязкости воздуха такими параметрами являются размеры капилляра, в опыте Юнга по интерференции света (работа 5.1) – расстояние между щелями и т.д. Погрешность заданного параметра принимается равной половине единицы последнего разряда числа, которым задано значение этого параметра. Например, если радиус капилляра r
задан с точностью до сотых долей миллиметра, то его погрешность
r
= 0,005 мм
.
Погрешности косвенных измерений
В большинстве физических экспериментов искомая величина и
не измеряется непосредственно каким-либо одним прибором, а рассчитывается на основе измерения ряда промежуточных величин x
,
y
,
z
,…
Расчет проводится по определенной формуле, которую в общем виде можно записать как
и = и (x , y , z ,… ). (9)
В этом случае говорят, что величина и представляет собой результат косвенного измерения в отличие от x , y , z ,… , являющихся результатами прямых измерений . Например, в работе 1.2 коэффициент вязкости жидкости рассчитывается по формуле
, (10)
где ш – плотность материала шарика; ж – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; D – диаметр шарика; t – время его падения в жидкости; l – расстояние между метками на сосуде. В данном случае результатами прямых измерений являются величины l , D и t , а коэффициент вязкости – результат косвенного измерения. Величины ш , ж и g представляют собой заданные параметры.
Абсолютная погрешность косвенного измерения и зависит от погрешностей прямых измерений x , y , z … и от вида функции (9). Как правило, величину и можно оценить по формуле вида
где коэффициенты k x , k y , k z ,… определяются видом зависимостей величины и от x , y , z ,… Приведенная ниже табл. 3 позволяет найти эти коэффициенты для наиболее распространенных элементарных функций (a , b , c , n – заданные константы).
Таблица 3
| и (х ) | k x |
|
|  |
 |  |
 |  |
|
|  |
 |  |
|
| |
показатели степеней которой k , m , n ,… – вещественные (положительные или отрицательные, целые или дробные) числа; С – постоянный коэффициент. В этом случае абсолютная приборная погрешность и оценивается по формуле
где 
– среднее значение величины и
; 
– относительные приборные погрешности прямых измерений величин x
, y
, z
,… Для подстановки в формулу (12) выбираются наиболее представительные
, т.е. близкие к средним значения x
, y
, z
,…
При расчетах по формулам типа (12) необходимо помнить следующее.
1. Измеряемые величины и их абсолютные погрешности (например, х и х ) должны быть выражены в одних и тех же единицах.
2. Расчеты не требуют высокой точности вычислений и должны иметь оценочный характер. Так, входящие в подкоренное выражение и возводимые в квадрат величины (kE
x
, mE
y
, nE
z
,…) обычно округляются с точностью до двух значащих цифр (напомним, что ноль является значащей цифрой только тогда, когда перед ним слева есть хотя бы одна цифра, отличная от нуля). Далее, если одна из этих величин (например, | kE
x
|) по модулю превышает наибольшую из остальных (| mE
y
| , | nE
z
| ,…) более чем в три раза, то можно, не прибегая к вычислениям по формуле (12), принять абсолютную ошибку равной 
. Если же одна из них более чем в три раза меньше наименьшей из остальных, то при расчете по формуле (12) ею можно пренебречь.
Пример 2.
Пусть при определении ускорения тела (см. пример 1) путь S
измерялся рулеткой с ценой деления 1 мм
, а время t
– электронным секундомером. Тогда, в соответствии с изложенными в п.3, а
, б
(с. 13) правилами, погрешности прямых измерений будут равны
S = 0,5 мм = 0,0005 м ;
t = 0,01 с .
Расчетную формулу (6) можно записать в виде степенной функции
a (S , t ) = 2S 1 t – 2 ;
тогда, на основании (12), погрешность косвенного измерения ускорения а определится выражением
В качестве наиболее представительных значений измеренных величин возьмем (см. табл. 2) S 8 м ; t 3 с и оценим по модулю относительные приборные ошибки прямых измерений с учетом их весовых коэффициентов:
;
.
Очевидно, что в данном случае величиной E S можно пренебречь и принять погрешность а равной
.
Пример 3.
Вернемся к определению коэффициента вязкости жидкости (работа 1.2). Расчетную формулу (10) можно представить в виде
где 
. Тогда для оценки приборной погрешности
, согласно (12), получим выражение
где 
.
Пусть расстояние между метками l
измерено сантиметровой лентой с ценой деления 0,5 см
, диаметр шарика – микрометром, время его падения – электронным секундомером. Тогда
l
= 0,25 см
;
D
= 0,01 мм
;
t
= 0,01 с
. Предположим, что измеренные значения равны: l
80 c
м
;
D
4 мм
;
t
10 с
; 
Па
с
. Оценим величины, входящие в формулу (13):
Пренебрегая величиной Е t , проведем расчет по формуле (13):
Полная ошибка. Окончательный результат измерений
В результате оценки случайной и приборной ошибок измерения величины х
получено два доверительных интервала, характеризуемые значениями s
x
и
х
. Результирующий доверительный интервал характеризуется полной абсолютной ошибкой
, которая, в зависимости от соотношения между величинами s
x
и
х
, находится следующим образом.
Если одна из погрешностей более чем в три раза превышает другую (например, s x > 3 х ), то полная ошибка принимается равной этой большей величине (в приведенном примере s x ). Если же величины s x и х близки между собой, то полная ошибка вычисляется как
. (14)
Запись окончательного результата измерений должна включать в себя следующие обязательные элементы.
1) Доверительный интервал вида
с указанием значения доверительной вероятности . Величины и выражаются в одних и тех же единицах измерения, которые выносятся за скобку.
2) Значение полной относительной погрешности
,
выраженное в процентах и округленное до десятых долей.
Полная ошибка округляется до двух значащих цифр. Если полученное после округления число оканчивается цифрами 4, 5 или 6, то дальнейшее округление не производится; если же вторая значащая цифра 1, 2, 3, 7, 8 или 9, то значение округляется до одной значащей цифры (примеры: а)
0,2642 0,26; б)
3,177 3,2 3; в)
7,8310 – 7 810 – 7 и т.д.). После этого среднее значение округляется с той же точностью.
Пример 4.
В результате определения ускорения движения тела (примеры 1 и 2) получено среднее значение ускорения = 2,03 м/с
2 , случайная ошибка s
а
=
0,139 м/с
2 с доверительной вероятностью
=
0,95 и приборная ошибка
а
= 0,0136 м/с
2 . Так как
а
более чем в десять раз меньше s
а
, то ею можно пренебречь и принять округленную полную абсолютную погрешность равной s
а
0,14 м/с
2 . Оценим относительную ошибку:
и запишем окончательный результат измерений:
Пример 5. Пусть при определении скорости звука и (лабораторная работа 4.2) получены следующие результаты: среднее значение = 343,3 м/с ; случайная погрешность s и = 8,27 м/с при = 0,90; абсолютная приборная погрешность и = 1,52 м/с . Очевидно, что и в данном случае величиной и можно пренебречь по сравнению с s и , и расчет по формуле (14) не требуется. Полная ошибка после округления равна s и 8 м/с ; округленное среднее значение 343 м/с . Полная относительная погрешность
.
Окончательный результат измерений имеет вид
Пример 6.
При определении длины волны
лазерного излучения (работа 5.1) получено: при
= 0,95;
= 1,8610 - 5 мм
. В данном случае значения приборной и случайной погрешностей близки между собой, поэтому полную ошибку найдем по формуле (14):
Округленное среднее будет равно 
мм
. Оценим полную относительную ошибку
и запишем окончательный результат:
Е = 4,4 %.
Л
