Мы уже говорили о том, что математический подход к изучению тех или иных явлений реального мира начинается обычно с создания соответствующих общих понятий, т. е. с построения математических моделей, обладающих существенными для нас свойствами тех систем и процессов, которые мы изучаем. Мы упоминали и о тех трудностях, с которыми Связано построение таких моделей в биологии, трудностях, обусловленных чрезвычайной сложностью биологических систем. Однако, несмотря на эти трудности, "модельный" подход к биологическим проблемам сейчас успешно развивается и уже принес определенные результаты. Мы рассмотрим некоторые модели, относящиеся к различным биологическим процессам и системам.
Говоря о роли моделей в биологических исследованиях, важно заметить следующее. Хотя термин «модель» мы понимаем в абстрактном смысле - как некоторую систему логических понятий, а не как реальное физическое устройство, все же модель - это нечто существенно большее, чем простое описание явления или чисто качественная гипотеза, в которых еще остается достаточно места для разного рода неясностей и субъективных мнений. Напомним следующий пример, относящийся к довольно далекому прошлому. В свое время Гельмгольц, занимаясь изучением слуха, выдвинул так называемую резонансную теорию, выглядевшую правдоподобно с чисто качественной стороны. Однако проведенные позже количественные расчеты, учитывающие реальные значения масс, упругости и вязкости составляющих слуховую систему компонент, показали несостоятельность этой гипотезы. Иначе говоря, попытка превратить чисто качественную гипотезу в точную модель, допускающую ее исследование математическими методами, сразу же обнаружила несостоятельность исходных принципов. Конечно, если мы построили некоторую модель и даже получили хорошее согласие между этой моделью и результатами соответствующего биологического эксперимента, то это еще не доказывает правильности нашей модели. Вот если мы на основании изучения нашей модели сможем сделать какие-то предсказания о той биологической системе, которую мы моделируем, а затем подтвердим эти предсказания реальным экспериментом, то это будет гораздо более ценным свидетельством в пользу правильности модели.
Но перейдем к конкретным примерам.
Одной из первых, если не самой первой, работой по математическому моделированию биологических процессов следует считать работу Леонарда Эйлера, в которой он развил математическую теорию кровообращения, рассматривая в первом приближении всю кровеносную систему как состоящую из резервуара с упругими стенками, периферического сопротивления и насоса. Эти идеи Эйлера (как и некоторые другие его работы) были сперва основательно забыты, а затем возрождены в более поздних работах других авторов.
Достаточно давняя и хорошо известная, но тем не менее весьма замечательная модель в биологии - это менделевская теория наследственности. Эта модель, основанная на теоретико-вероятностных понятиях, состоит в том, что в хромосомах родительских клеток заложены определенные наборы признаков, которые при оплодотворении комбинируются между собой независимо и случайно. В дальнейшем эта основная идея подверглась весьма существенным уточнениям; так, например, было обнаружено, что разные признаки не всегда независимы друг от друга; если они связаны с одной и той же хромосомой, то они могут передаваться лишь в определенной комбинации. Далее, обнаружилось, что и разные хромосомы комбинируются не независимо, а имеет место свойство, названное сродством хромосом, нарушающее эту независимость и т. д. В настоящее время теоретико-вероятностные и статистические методы весьма широко проникли в генетические исследования и даже термин «математическая генетика» получил полные права гражданства. Сейчас в этой области ведется интенсивная работа, получено много результатов, интересных как с биологической, так и с чисто математической точки зрения. Однако в самой основе этих исследований лежит та модель, которая была создана Менделем более 100 лет назад.
Одним из интереснейших объектов физиологического исследования является мышца. Этот объект весьма доступен, и многие исследования экспериментатор может проделать просто на себе, располагая лишь сравнительно несложным оборудованием. Достаточно ясны и определенны и те функции, которые выполняет мышца в живом организме. Несмотря на все это, многочисленные попытки построить удовлетворительную модель работы мышцы не дали окончательных результатов. Ясно, что хотя мышца может растягиваться и сокращаться, подобно пружине, их свойства совершенно различны, и даже в самом первом приближении пружину нельзя рассматривать как подобие мышцы. Для пружины существует строгая зависимость между ее удлинением и приложенной к ней нагрузкой. Для мышцы это не так: мышца может менять свою длину, сохраняя натяжение, и наоборот, менять силу тяги, не изменяя длины. Проще говоря, при одной и той же длине мышца может быть расслаблена, а может быть напряжена.
Среди различных режимов работы, возможных для мышцы, наиболее существенны так называемое изотоническое сокращение (т. е. сокращение, при котором напряжение мышцы остается постоянным) и изометрическое напряжение, при котором не меняется длина мышцы (оба ее конца неподвижно закреплены). Исследование мышцы в этих режимах важно для понимания принципов ее работы, хотя в естественных условиях активность мышцы не бывает ни чисто изотонической, ни чисто изометрической.
Для описания соотношения между скоростью изотонического сокращения мышцы и величиной нагрузки были предложены различные математические формулы. Наиболее известная из них - так называемое характеристическое уравнение Хилла. Оно имеет вид
(P+a)V=b(P 0 -P) ,
- скорость сокращения, а, b и Р 0 - постоянные.Другие хорошо известные формулы для описания этой же связи - это уравнение Обера
P = Р 0 e- V⁄P ±F
и уравнение Полиссара
V=const (А 1-P/P 0 - B 1-P/P 0) .
Уравнение Хилла получило широкое распространение в физиологии; оно дает достаточно хорошее совпадение с экспериментом для мышц самых разных животных, хотя на самом деле оно представляет собой результат «подбора», а не вывод из некоторой модели. Два других уравнения, дающих в довольно широком диапазоне нагрузок примерно ту же зависимость, что и уравнение Хилла, получены их авторами из определенных представлений о физико-химическом механизме мышечного сокращения. Существует ряд попыток построить модель работы мышцы, рассматривая последнюю как некоторую комбинацию упругих и вязких элементов. Однако до сих пор достаточно удовлетворительной модели, отражающей все основные черты работы мышцы в различных режимах, не существует.
Нервные клетки, или нейроны, это те «рабочие единицы», из которых состоит нервная система и которым организм животного или человека обязан всеми своими способностями воспринимать внешние сигналы и управлять различными частями тела. Характерная черта нервных клеток состоит в том, что такая клетка может находиться в двух состояниях - покоя и возбуждения. В этом нервные клетки сходны с такими элементами, как радиолампы или полупроводниковые триггеры, из которых собираются логические схемы вычислительных машин. За последние 15-20 лет было предпринято много попыток моделировать деятельность нервной системы, исходя из тех же принципов, на которых основана работа универсальных вычислительных машин. Еще в 40-х годах американские исследователи Мак-Каллок и Питтс ввели понятие «формального нейрона», определив его как элемент (физическая природа которого не играет роли), снабженный некоторым количеством «возбуждающих» и некоторым количеством «тормозящих» входов. Сам этот элемент может находиться в двух состояниях - «покой» или «возбуждение». Возбужденное состояние наступает в том случае, если на нейрон пришло достаточное число возбуждающих сигналов и нет тормозящих сигналов. Мак-Каллок и Питтс показали, что с помощью схем, составленных из таких элементов, можно, в принципе, реализовать любой из типов обработки информации, происходящих в живом организме. Это, однако, вовсе не означает, что мы тем самым познали действительные принципы работы нервной системы. Прежде всего, хотя для нервных клеток характерен принцип «все или ничего», т. е. наличие двух четко выраженных состояний - покой и возбуждение, отсюда вовсе не следует, что наша нервная система, подобно универсальной вычислительной машине, пользуется двоичным цифровым кодом, состоящим из нулей и единиц. Например, в нервной системе существенную роль играет, видимо, частотная модуляция, т. е. передача информации с помощью длин временных интервалов между импульсами. Вообще в нервной системе нет, видимо, такого разделения способов кодирования информации на «цифровые» дискретные) и «аналоговые» (непрерывные), какое имеется в современной вычислительной технике.
Для того чтобы система нейронов работала как некоторое целое, необходимо, чтобы между этими нейронами были определенные связи: импульсы, генерируемые одним нейроном, должны поступать на входы других нейронов. Эти связи могут иметь правильную, регулярную структуру, а могут определяться лишь статистическими закономерностями и подвергаться тем или иным случайным изменениям. В существующих сейчас вычислительных устройствах никакой случайности в соединениях между элементами не допускается, однако имеется ряд теоретических исследований по поводу возможности построения вычислительных устройств, основанных на принципах случайных связей между элементами. Есть достаточно серьезные доводы в пользу того, что связи между реальными нейронами в нервной системе тоже носят в значительной мере статистический, а не строго регулярный характер. Однако мнения по этому поводу расходятся.
В целом, по поводу проблемы моделирования нервной системы можно сказать следующее. Мы уже довольно много внаем об особенностях работы нейронов, т. е. тех элементов, из которых состоит нервная система. Более того, с помощью систем формальных нейронов (понимаемых в смысле Мак- Каллока и Питтса или в каком-либо ином), имитирующих основные свойства реальных нервных клеток, можно моделировать, как уже говорилось, весьма разнообразные способы обработки информации. Тем не менее мы еще довольно далеки от четкого понимания основных принципов работы нервной системы и отдельных ее частей, а следовательно, и от создания ее удовлетворительной модели * .
* (Если мы можем создать какую-то систему, умеющую решать такие же задачи, что и какая-то другая система, то это еще не значит, что обе системы работают по одним и тем же принципам. Например, можно численно решать дифференциальное уравнение на цифровой вычислительной машине, задав ей соответствующую программу, а можно то же уравнение решать на аналоговой машине. Мы получим одинаковые или почти одинаковые результаты, но принципы обработки информации в этих двух типах машин совершенно различные. )
Зрение - один из основных каналов, по которому к нам поступают сведения о внешнем мире. Известное выражение - лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать - справедливо, между прочим, и с чисто информационной точки зрения: количество информации, которое мы воспринимаем с помощью зрения, несравненно больше, чем воспринимаемое другими органами чувств. Эта важность зрительной системы для живого организма наряду с другими соображениями (специфичность функций, возможность проведения разнообразных исследований без каких-либо повреждений системы и т. д.) стимулировала ее изучение и, в частности, попытки модельного подхода к этой проблеме.
Глаз представляет собой орган, служащий одновременно и оптической системой и устройством для обработки информации. И с той и с другой точки зрения эта система обладает рядом удивительных свойств. Замечательна способность глаза приспосабливаться к очень широкому диапазону интенсивностей освещения и правильно воспринимать при этом все цвета. Например, находящийся в плохо освещенной комнате кусок мела отражает меньше света, чем кусок угля, вынесенный на яркий солнечный свет, тем не менее мы в каждом из этих случаев воспринимаем цвета соответствующих предметов правильно. Глаз хорошо передает относительные различия в интенсивностях освещения и даже их несколько «утрирует». Так, серая линия на ярко-белом фоне кажется нам более темной, чем сплошное поле того же серого цвета. Эта способность глаза подчеркивать контрасты освещенности связана с тем, что зрительные нейроны оказывают друг на друга тормозящее действие: если из двух соседних нейронов первый получает более сильный сигнал, чем второй, то он оказывает на второй интенсивное тормозящее действие, и на выходе этих нейронов разница в интенсивности получается больше, чем была разница в интенсивности входных сигналов. Модели, состоящие из формальных нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями, привлекают внимание как физиологов, так и математиков. Здесь имеются и интересные результаты и нерешенные вопросы.
Большой интерес представляет механизм восприятия глазом различных цветов. Как известно, все оттенки цветов, воспринимаемых нашим глазом, могут быть представлены как комбинации трех основных цветов. Обычно в качестве таких основных цветов берут красный, синий и желтый цвета, отвечающие длинам волн 700, 540 и 450 Å, но этот выбор не однозначен.
«Трехцветность» нашего зрения связана с тем, что в глазу человека имеются рецепторы трех типов, с максимумами чувствительности в желтой, синей и красной зонах соответственно. Вопрос о том, как мы с помощью этих трех рецепторов различаем большое количество цветовых оттенков, весьма не прост. Например, недостаточно ясно еще - чем именно кодируется тот или иной цвет в нашем глазу: частотой нервных импульсов, локализацией того нейрона, который преимущественно реагирует на данный оттенок цвета, или чем-либо еще. Существуют некоторые модельные представления об этом процессе восприятия оттенков, однако они еще носят довольно предварительный характер. Несомненно, впрочем, что и здесь существенную роль должны играть системы нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями.
Наконец, глаз весьма интересен и как кинематическая система. Рядом остроумных опытов (многие из них были выполнены в лаборатории физиологии зрения Института проблем передачи информации в Москве) был установлен следующий на первый взгляд неожиданный факт: если некоторое изображение неподвижно относительно глаза, то глаз его не воспринимает. Наш глаз, осматривая какой-либо предмет, буквально «ощупывает» его (эти движения глаза можно при помощи соответствующей аппаратуры точно зарегистрировать). Изучение двигательного аппарата глаза и разработка соответствующих модельных представлений достаточно интересны как сами по себе, так и в связи с другими (оптическими, информационными и т. п.) свойствами нашей зрительной системы.
Резюмируя, можно сказать, что мы еще далеки от создания вполне удовлетворительных моделей зрительной системы, хорошо описывающих все ее основные свойства. Однако ряд важных аспектов и (принципов ее работы уже достаточно ясен и может быть смоделирован в виде вычислительных программ для УЦВМ или даже в виде технических устройств.
Одно из весьма характерных свойств многих живых тканей, в первую очередь нервной ткани, это их способность к возбуждению и к передаче возбуждения от одних участков к соседним с ними. Примерно раз в секунду волна возбуждения пробегает по нашей сердечной мышце, заставляя ее сокращаться и гнать кровь по всему телу. По нервным волокнам возбуждение, распространяясь от периферии (органов чувств) к спинному и головному мозгу, информирует нас о внешнем мире, а в обратном направлении идут возбуждения-команды, предписывающие мышцам те или иные действия.
Возбуждение в нервной клетке может возникнуть само по себе (как говорят, «спонтанно»), под действием возбужденной соседней клетки или же под влиянием какого-либо внешнего сигнала, скажем, электрического раздражения, идущего от некоторого источника тока. Перейдя в возбужденное состояние, клетка пребывает в нем некоторое время, а затем возбуждение исчезает, после чего наступает определенный период невосприимчивости клетки к новым раздражениям - так называемый рефрактерный период. В течение этого периода клетка не реагирует на поступающие к ней сигналы. Затем клетка снова переходит в первоначальное состояние, из которого возможен переход в состояние возбуждения. Таким образом, возбуждение нервных клеток обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить аксиоматическую модель этого явления. Далее для исследования этой модели могут быть применены чисто математические методы.
Представления о такой модели были развиты несколько лет тому назад в работах И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина, продолженных затем рядом других авторов. Сформулируем аксиоматическое описание модели, о которой идет речь.
Будем под «возбудимой средой» понимать некоторое множество X элементов («клеток»), обладающих следующими свойствами:
1.Каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: покой, возбуждение и рефрактерность;
2.От каждого возбужденного элемента возбуждение распространяется по множеству элементов, находящихся в покое, с некоторой скоростью v ;
3.Если элемент х не был возбужден в течение некоторого определенного времени Т(х) , то по прошествии этого времени он самопроизвольно переходит в возбужденное состояние. Время Т(х) называется периодом спонтанной активности элемента х . При этом не исключается и тот случай, когда Т(х)= ∞ , т. е. когда спонтанная активность на самом деле отсутствует;
4.Состояние возбуждения длится некоторое время τ (которое может зависеть от х ), потом элемент переходит на время R(x) в рефрактерное состояние, после чего наступает состояние покоя.
Похожие математические модели возникают и в совсем других областях, например в теории горения, или в задачах о распространении света в неоднородной среде. Однако наличие «периода рефрактерности» является характерной чертой именно биологических процессов.
Описанную модель можно исследовать или аналитическими методами, или с помощью реализации ее на вычислительной машине. В последнем случае мы, понятно, вынуждены считать, что множество X (возбудимая среда) состоит из некоторого конечного числа элементов (в соответствии с возможностями существующей вычислительной техники - порядка нескольких тысяч). Для аналитического исследования естественно предполагать X некоторым непрерывным многообразием (например, считать, что X - это кусок плоскости). Простейший случай такой модели получается, если принять за X некоторый отрезок (прототип нервного волокна) и предположить, что время, в течение которого каждый элемент находится в возбужденном состоянии, очень мало. Тогда процесс последовательного распространения импульсов по такому «нервному волокну» может быть описан цепочкой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Уже в этой упрощенной модели воспроизводится ряд особенностей процесса распространения, обнаруживаемых и в реальных биологических экспериментах.
Весьма интересен как с теоретической, так и с прикладной медицинской точки зрения вопрос об условиях возникновения в такой модельной активной среде так называемой фибрилляции. Это явление, наблюдаемое экспериментально, например на сердечной мышце, состоит в том, что вместо ритмических согласованных сокращений в сердце возникают беспорядочные локальные возбуждения, лишенные периодичности и нарушающие его функционирование. Впервые теоретическое исследование этой проблемы было предпринято в работе Н. Винера и А. Розенблюта в 50-х годах. В настоящее время работы в этом направлении интенсивно ведутся у нас и дали уже ряд интересных результатов.
Книга представляет собой лекции по математическому моделированию биологических процессов и написана на основании материала курсов, читаемых на биологическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
В 24 лекциях изложены классификация и особенности моделирования живых систем, основы математического аппарата, применяемого для построения динамических моделей в биологии, базовые модели роста популяций и взаимодействия видов, модели мультистационарных, колебательных и квазистохастических процессов в биологии. Рассматриваются методы изучения пространственно-временного поведения биологических систем, модели автоволновых биохимических реакций, распространения нервного импульса, модели раскраски шкур животных и другие. Особое внимание уделено важному для моделирования в биологии понятию иерархии времен, современным представлениям о фракталах и динамическом хаосе. Последние лекции посвящены современным методам математического и компьютерного моделирования процессов фотосинтеза. Лекции предназначены для студентов, аспирантов и специалистов, желающих ознакомиться с современными основами математического моделирования в биологии.
Молекулярная динамика.
На протяжении всей истории западной науки стоял вопрос о том, можно ли, зная координаты всех атомов и законы их взаимодействия, описать все процессы, происходящие во Вселенной. Вопрос не нашел своего однозначного ответа. Квантовая механика утвердила понятие неопределенности на микроуровне. В лекциях 10-12 мы увидим, что существование квазистохастических типов поведения в детерминированных системах делает практически невозможным предсказание поведения некоторых детерминированных систем и на макроуровне.
Следствием первого вопроса является второй: вопрос «сводимости». Можно ли, зная законы физики, т. е. законы движения всех атомов, входящих в состав биологических систем, и законы их взаимодействия, описать поведение живых систем. В принципе, на этот вопрос можно ответить с помощью имитационной модели, в которую заложены координаты и скорости движения всех атомов какой-либо живой системы и законы их взаимодействия. Для любой живой системы такая модель должна содержать огромное количество переменных и параметров. Попытки моделировать с помощью такого подхода функционирование элементов живых систем - биомакромолекул - делаются, начиная с 70-х годов.
Содержание
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию
Лекция 1. Введение. Математические модели в биологии
Лекция 2. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
Лекция 3. Модели роста популяций
Лекция 4. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений
Лекция 5. Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка
Лекция 6. Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова. Типы бифуркаций. Катастрофы
Лекция 7. Мультистационарные системы
Лекция 8. Колебания в биологических системах
Лекция 9. Модели взаимодействия двух видов
Лекция 10. Динамический хаос. Модели биологических сообществ
Примеры фрактальных множеств
Лекция 11. Моделирование микробных популяций
Лекция 12. Модель воздействия слабого электрического поля на нелинейную систему трансмембранного переноса ионов
Лекция 13. Распределенные биологические системы. Уравнение реакция-диффузия
Лекция 14. Решение уравнения диффузии. Устойчивость гомогенных стационарных состояний
Лекция 15. Распространение концентрационной волны в системах с диффузией
Лекция 16. Устойчивость однородных стационарных решений системы двух уравнений типа реакция-диффузия. Диссипативные структуры
Лекция 17. Реакция Белоусова-Жаботинского
Лекция 18. Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии
Лекция 19. Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных
Лекция 20. Пространственно-временные модели взаимодействия видов
Лекция 21. Колебания и периодические пространственные распределения величины РН и электрического потенциала вдоль клеточной мембраны гигантских водорослей Chara corallina
Лекция 22. Модели фотосинтетического электронного транспорта. Перенос электрона в мультиферментном комплексе
Лекция 23. Кинетические модели процессов фотосинтетического электронного транспорта
Лекция 24. Прямые компьютерные модели процессов в фотосинтетической мембране
Нелинейное естественно-научное мышление и экологическое сознание
Стадии эволюции сложных систем.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Лекции по математическим моделям в биологии, Ризниченко Г.Ю., 2011 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Едва ли кто из биологов отрицает необходимость использования математических методов в биологических исследованиях, в частности для по пул яцио иного анализа. Однако в понимании того, какое место занимает математический анализ в биологии, существуют разные, иногда противоположные точки зрения. Одни считают, что важнейшая задача - это "познание поведения популяции как статистического агрегата" (Beverton a. Holt, 1957; Graham, 1956). Согласно этой точке зрения, задача биолога сводится к статистическому анализу и ограничивается установлением различных коррелятивных связей. Теоретической основой такой точки зрения служит высказывание Бертрана Рассела, что "биологические законы... подобно законам квантовой теории являются законами дискретными и статистическими" (Рассел, 1957, с. 69).
Другие исходят из того, что математический анализ в биологии, включая и популяционные исследования, необходим, но только как промежуточный, а не конечный этап исследования. Эта вторая точка зрения базируется на представлении о специфичности форм движения материи. В популяционном анализе это направление конечную задачу исследования видит в выявлении приспособительной сущности, познании причин биологического явления. С этих позиций мы и подходим к использованию математических моделей при изучении закономерностей динамики популяций.
Математическое моделирование - это метод, при помощи которого возможно выявить механизм процесса и понять его структурные особенности - установить параметры анализируемой совокупности. Математическое моделирование при наличии большого цифрового материала позволяет использовать счетно-решающие и моделирующие устройства для более быстрой и надежной обработки материала и для более разностороннего и объективного анализа собранных данных.
Очень важная задача, которая позволяет широко применять математические модели, - это разработка методики и составление прогнозов колебаний численности и возможных уловов промысловых рыб, а также расчет оптимальных режимов эксплуатации промысловых рыб, таких режимов, которые обеспечивали бы регулярное из года в год получение наибольшего количества рыбной продукции наиболее высокого качества. В настоящее время на выполнение этих задач, особенно на составление прогнозов возможных уловов отдельных промысловых рыб, расходуется огромное количество сил и времени, а результаты далеко не всегда оказываются достаточно точными. Поэтому крайне важно максимально упростить и механизировать процессы составления прогнозов и расчет режима эксплуатации стад промысловых рыб, обеспечив при этом высокую точность этих расчетов.
Использование в исследовательских целях быстродействующих электронных вычислительных машин позволяет значительно расширить объем исследований и подойти к разработке таких вопросов популяционной экологии, решение которых до появления ЭВМ было невозможным.
Широкое использование ЭВМ во всех областях исследований, включая ихтиологические, позволяет сильно их ускорить и достигнуть высокой точности получаемых результатов.
Однако, чтобы в популяционном анализе можно было использовать ЭВМ, необходимо составить программы, правильно отражающие ход интересующего нас процесса. Это в первую очередь совокупность правил и указаний для преобразования интересующих нас величин (алгоритм процесса), которая может включать зависимости как в виде уравнений, так и непосредственно в виде таблиц и графиков. Однако для получения "работающей" математической модели процесса необходимо, чтобы она была основана на тех причинных связях, на тех внутренних противоречиях, которые отражают действительную сущность развития биологического явления, а не на внешних случайных связях, подчиняющихся только статистическим закономерностям и не отражающих сущности явления. И естественно, что как у нас, так и за рубежом (Regier, 1970) при популяционном анализе все шире применяются модели, в основу которых положено представление о популяции как саморегулирующейся открытой системе, построенной по принципу обратных связей - плюс-минус взаимодействия.
Наличие в замкнутом контуре связей разного знака при определенных условиях обеспечивает относительную устойчивость системы (Меншуткин, 1971).
Под математической моделью я понимаю математическое выражение количественной стороны хода того или иного процесса или явления, в том числе динамики численности и биомассы популяций животных. Практически почти в каждом биологическом исследовании мы прямо или косвенно используем математические модели. Например, численное выражение среднего и амплитуды числа лучей в плавнике рыбы уже представляет собой простейшую математическую модель плавника. Применительно к математическим моделям динамики популяций, мне кажется, надо понимать уравнения или системы уравнений, которые отражают количественную сторону процесса динамики популяции и позволяют предвидеть дальнейший ход явления. Естественно, возникает вопрос, какое место в исследовании динамики популяций должно занимать математическое моделирование и как при помощи использования математических моделей способствовать успеху биологического исследования.
Процессы, .протекающие в органическом мире - те внутренние противоречия, которые движут развитие, носят в основном детерминированный характер и принадлежат как к группе процессов непрерывного действия с меняющейся интенсивностью (т. е. величиной и скоростью), так и к группе дискретных процессов. Это - процессы, определяющие ход явления. Но любое природное явление - это сложное переплетение внутренних и внешних противоречий; последние как бы создают ту обстановку, в которой протекает явление. Если процессы, отражающие внутреннее противоречие живого, относятся к категории детерминированных процессов дискретнего или непрерывного действия, то внешние воздействия носят, как правило, дискретный характер и не связаны с популяцией четкой обратной связью. Приступая к построению математической модели популяции, необходимо все это учитывать.
Как известно (Никольский, 1959), пользуясь математическим методом, можно выявить механизм протекания явления, но не вскрыть его приспособительную сущность. Однако знание механизма биологического явления для познания его сущности совершенно необходимо, и если метод математического моделирования может способствовать выяснению механизма хода явления - в нашем случае механизма динамики популяции, - то он должен быть максимально использован.
Варли (Varley, 1962), выступая в дискуссии по применимости математических моделей при популяционных исследованиях, изобразил место математической модели в популяционном исследовании следующим образом:
Однако теоретическая модель может быть использована в практических целях только после того, как она будет проверена на определении ее параметров в природе и превратится из теоретической модели в рабочую. Собственно теоретическая модель в понимании Варли - это скорее не математическая модель, отражающая ход явления, а рабочая гипотеза, основанная на предварительных биологических наблюдениях, которая дает возможность организовать исследование для определения исходных параметров. Последние позволяют создать уже рабочую модель пригодную для предсказания количественной стороны хода явления, т. е. "теоретическая модель" Варли - это те биологические принципы, которые должны быть положены в основу рабочей модели.
Ближе к процессу использования ЭВМ и математических моделей в разработке проблемы динамики популяций подходит схема, предложенная Д. И. Блохинцевым (1964) для работы современного физика: 1) измерение (набор фактов); 2) обработка полученной информации (на ЭВМ); 3) выводы (построение рабочих гипотез); 4) проверка их на счетных машинах; 5) построение теорий (предсказание на будущее).
Мне думается, что измерению (подбору фактов) также должна предшествовать гипотеза, основанная на общей методологии.
В этом отношении более правильно, как предлагает Д. Н. Хорафас (1967), начинать исследование с применением моделей и ЭВМ с постановки задачи. Этот автор предлагает следующую очередность операций: 1) определение задачи; 2) нахождение основных переменных величин; 3) определение соотношений между этими переменными и параметрами системы; 4) формулировка гипотезы относительно характера изучаемых условий; 5) построение математической или какой-либо иной модели; 6) проведение или планирование экспериментов; 7) проверка гипотезы; 8) оценка гипотезы в зависимости от исхода экспериментов; 9) принятие или отклонение гипотезы и формулировка выводов; 10) прогнозирование дальнейшего развития систем с учетом их взаимодействия; 11) выработка образа действия; 12) переход к этапу уточнения модели, выполнение необходимых корректив.
Схема Д. Н. Хорафаса, как мне представляется, близка к схеме, предлагаемой Д. И. Блохинцевым, но она вносит ряд уточнений, которые могут оказаться полезными и при популяционном анализе.
Таким образом, при исследованиях в области динамики популяций математическое моделирование должно обеспечивать более четкое представление о ходе процесса, главным образом о его количественной стороне. Математическое моделирование должно упростить процесс долгосрочного прогнозирования динамики популяций и, наконец, гарантировать надежный расчет режима эксплуатации популяций - режима, обеспечивающего наибольшую продуктивность популяции. Практическая задача, поставленная перед биологами и математиками в области построения математических моделей, - это создание такой модели, которая позволила бы автоматизировать службу долгосрочных прогнозов и использовать при расчетах оптимальных режимов эксплуатации промысловых животных вычислительную технику.
Мне представляется следующим ход биологического исследования динамики популяции и место в нем математического моделирования. На основе осмысливания имеющегося фактического материала создается рабочая гипотеза явления; на базе этой рабочей гипотезы строится программа исследования, обеспечивающая получение материалов, вскрывающих как причины, так и механизм хода явления. Эти материалы должны обеспечивать и возможность построения математической модели хода явления. Таким образом, в создании математической модели есть два этапа. Первый (теоретическая модель в схеме Варли) - рабочая гипотеза на основе собранных фактов оформляется в виде уравнения той или иной сложности; к этого рода моделям принадлежит подавляющее большинство математических моделей. Второй этап - на основе проверки рабочей гипотезы создается рабочая модель, пригодная для практических расчетов в прогностических и эксплуатационных целях. В основе как теоретической, так и рабочей моделей всегда лежит тот или иной комплекс теоретических представлений, и чем ближе эти теоретические представления к закономерностям, действующим в природе, тем правильнее и эффективнее будет созданная математическая модель.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ
Т.И. Волынкина
Д. Скрипникова студентка
ФГОУ ВПО «Орловский государственный аграрный университет»
Математическая биология - это теория математических моделей биологических процессов и явлений. Математическая биология относится к прикладной математике и активно использует её методы. Критерием истины в ней является математическое доказательство, важнейшую роль играет математическое моделирование с использованием компьютеров. В отличие от чисто математических наук, в математической биологии исследуются чисто биологические задачи и проблемы методами современной математики, а результаты имеют биологическую интерпретацию. Задачами математической биологии являются описание законов природы на уровне биологии и основной задачей - интерпретация результатов полученных в ходе исследований. Примером служит закон Харди-Вайнберга, который доказывает, что система популяции может быть предсказана на основе этого закона. Исходя из этого закона, популяция - это группа самоподдерживающихся аллелей, в которой основу дает естественный отбор. Сам по себе естественный отбор является, с точки зрения математики, независимой переменной, а популяция - зависимой переменной, причем под популяцией рассматривается некоторое число переменных, влияющих друг на друга. Это число особей, число аллелей, плотность аллелей, отношение плотности доминирующих аллелей к плотности рецессивных аллелей, и т.д. В течение последних десятилетий наметился значительный прогресс в количественном (математическом) описании функций различных биосистем на различных уровнях организации жизни: молекулярном, клеточном, органном, организменном, популяционном, биогеоценологическом. Жизнь определяется множеством различных характеристик этих биосистем и процессов, протекающих на соответствующих уровнях организации системы и интергированных в единое целое в процессе функционирования системы.
Построение математических моделей биологических систем стало возможным благодаря исключительно интенсивной аналитической работе экспериментаторов: морфологов, биохимиков, физиологов, специалистов по молекулярной биологии и др. В результате этой работы кристаллизованы морфофункциональные схемы различных клеток, в рамках которых упорядоченно в пространстве и времени протекают различные физико-химические и биохимические процессы, образующие весьма сложное переплетение.
Вторым обстоятельством, способствующим привлечению математического аппарата в биологию, является тщательное экспериментальное определение констант скоростей многочисленных внутриклеточных реакций, определяющих функции клетки и соответствующей биосистемы. Без знания таких констант невозможно формально-математическое описание внутриклеточных процессов.
Третьим условием, определившим успех математического моделирования в биологии, явилось развитие мощных вычислительных средств в виде персональных компьютеров и суперкомпьютеров. Это связано с тем, что обычно процессы, контролирующие ту или иную функцию клеток или органов, многочисленны, охвачены петлями прямой и обратной связи и, следовательно, описываются системами нелинейных уравнений. Такие уравнения не решаются аналитически, но могут быть решены численно при помощи компьютера.
Численные эксперименты на моделях, способные воспроизводить широкий класс явлений в клетках, органах и организме, позволяют оценить правильность предположений, сделанных при построении моделей. В качестве постулатов моделей используются экспериментальные факты, необходимость некоторых допущений и предположений является важным теоретическим компонентом моделирования. Эти допущения и предположения являются гипотезами, которые могут быть подвергнуты экспериментальной проверке. Таким образом, модели становятся источниками гипотез, и притом, экспериментально верифицируемых. Эксперимент, направленный на проверку данной гипотезы, может опровергнуть или подтвердить ее и тем самым способствовать уточнению модели. Такое взаимодействие моделирования и эксперимента происходит непрерывно, приводя к более глубокому и точному пониманию явления: эксперимент уточняет модель, новая модель выдвигает новые гипотезы, эксперимент уточняет новую модель и так далее.
В настоящее время математическая биология, включающая в себя математические теории разнообразных биологических систем и процессов, является, с одной стороны, уже в достаточной степени сложившейся научной дисциплиной, а с другой стороны, одной из наиболее бурно развивающихся научных дисциплин, объединяющих усилия специалистов из различных областей знания – математиков, биологов, физиков, химиков и специалистов по компьютерным наукам. Сформировался ряд дисциплин математической биологии: математическая генетика, иммунология, эпидемиология, экология, ряд разделов математической физиологии, в частности, математическая физиология сердечно-сосудистой системы.
Как всякая научная дисциплина, математическая биология имеет свои предмет, способы, методы и процедуры исследования. В качестве предмета исследований возникают математические (компьютерные) модели биологических процессов, одновременно представляющие собой и объект исследования, и инструмент для исследования собственно биологических систем. В связи с такой двоякой сущностью биоматематических моделей, они подразумевают использование имеющихся и разработку новых способов анализа математических объектов (теорий и методов соответствующих разделов математики) с целью изучения свойств самой модели как математического объекта, а также использование модели для воспроизведения и анализа экспериментальных данных, получаемых в биологических экспериментах. При этом в качестве одного из наиболее важных назначений математических моделей (и математической биологии в целом) является возможность предсказания биологических явлений и сценариев поведения биосистемы в определенных условиях и их теоретического обоснования до (или даже вместо) проведения соответствующих биологических экспериментов.
Основным методом исследования и использования сложных моделей биологических систем является вычислительный компьютерный эксперимент, который требует применения адекватных методов вычислений для соответствующих математических систем, алгоритмов вычислений, технологий разработки и реализации компьютерных программ, хранения и обработки результатов компьютерного моделирования. Эти требования подразумевают разработку теорий, методов, алгоритмов и технологий компьютерного моделирования в рамках различных направлений биоматематики.
Наконец, в связи с основной целью использования биоматематических моделей для познания законов функционирования биологических систем, все стадии разработки и использования математических моделей предполагают обязательную опору на теорию и практику биологической науки.
читается автором для студентов 2-ого года обучения бакалавриата Биологического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Параллельно с лекциями проходят семинары (практические занятия), в ходе которых студенты закрепляют полученные на лекциях знания и знакомятся с программным обеспечением, используемым для анализа математических моделей и проведения вычислительных экспериментов. После прохождения курса студенты сдают экзамен . Курс включает 14 лекций по 2 академических часа.
Лекции будут прочитаны в Большой биологической аудитории (ББА, 2 этаж) Биологического факультета МГУ с 7 сентября по 21 декабря 2018 года еженедельно по пятницам с 13 40 .
Те, кто пропустил по болезни лекционную контрольную или электронный тест, могут их написать 24 декабря 2018 года в 15.35 и 17.10.
Часть 1. Введение. Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.
- Программа: Интеграция данных и знаний. Цели моделирования. Базовые понятия
- Учебник: Введение (из 1-го издания)
- Введение (из 2-го издания)
- Презентация (загрузить PDF)
Часть 2. . Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости.
- Программа:
- Учебник: Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
- Презентация (загрузить )
Непрерывные модели: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической численностью. Модель роста человечества. Модели с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях параметра: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.
- Программа: Модели, описываемые автономным дифференциальным уравнением
- Учебник: Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
- Учебник: Модели роста популяций
- Презентация (загрузить PDF)
21 сентября. Лекция 3 . Модели роста популяций.
Часть 1. Модели роста популяций. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.
Часть 2. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример: химические реакции первого порядка.
- Программа: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений
- Учебник: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений
- Учебник: Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка
- Презентация: Матричные модели популяций (загрузить PDF)
- Презентация: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений (загрузить PDF)
28 сентября. Лекция 4 . Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка
Триггер. Примеры систем с двумя устойчивыми стационарными состояниями. Силовое и параметрическое переключение триггера. Эволюция. Отбор одного из двух и нескольких равноправных видов. Конкуренция двух видов в случае неограниченного и ограниченного роста. Генетический триггер Жакоба и Моно. Бифуркации динамических систем. Типы бифуркаций. Бифуркационные диаграммы и фазопараметрические портреты. Катастрофы.
- Программа: Мультистационарные системы
- Учебник: Мультистационарные системы
- Учебник: Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова. Типы бифуркаций. Катастрофы
- Презентация: Устойчивость и асимптотическая устойчивость (загрузить PDF)
- Презентация: Биологические триггеры (загрузить PDF)
- Материалы по теории катастроф:
- Арнольд В.И. Теория катастроф // Наука и жизнь, 1989, № 10
- Арнольд В.И. Теория катастроф // Динамические системы – 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5, ВИНИТИ, М., 1986, 219–277
- Арнольд В.И. Теория катастроф . М., Наука, 1990 - 128 с.
Понятие автоколебаний. Изображение поведения автоколебательной системы на фазовой плоскости. Предельные циклы. Условия существования предельных циклов. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова - Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Модель Брюсселятор. Примеры автоколебательных моделей процессов в живых системах. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Автоколебания в модели гликолиза. Внутриклеточные колебания концентрации кальция.
- Программа:
- Учебник: Колебания в биологических системах
- Презентация (загрузить PDF)
Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Аттракторы. Странные аттракторы. Динамический хаос. Линейный анализ устойчивости траекторий. Диссипативные системы. Устойчивость хаотических решений. Размерность странных аттракторов.
Стационарные состояния и динамические режимы в сообществе из трех видов. Динамический хаос в моделях взаимодействия видов. Трофические системы с фиксированным количеством вещества. Модель системы четырех биологических видов.
Фракталы и фрактальная размерность. Кривая Коха. Треугольник и салфетка Серпинского. Канторово множество. Канторов стержень, чертова лестница. Примеры фрактальных множеств в живых системах. Формирование крон деревьев. Альвеолы легких. Мембраны митохондрий.
- Программа: Квазистохастические процессы. Динамический хаос
- Учебник:
- Презентация (загрузить PDF)
2 ноября. Лекция 9 . Модели взаимодействия двух видов. Моделирование микробных популяций
Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий. Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова. Модель взаимодействия двух видов насекомых МакАртура. Параметрический и фазовые портреты системы Базыкина.
- Программа: Модели взаимодействия видов
- Программа: Модели в микробиологии
- Учебник: Модели взаимодействия двух видов
- Учебник: Динамический хаос. Модели биологических сообществ
- Презентация (загрузить PDF)
Уравнение реакция-диффузия. Почему возникают периодические структуры и волны. Активные кинетические среды в живых системах. Проблема формообразования. Распространение волн возбуждения. Пространственные структуры и автоволновые процессы в химических и биохимических реакциях.
Уравнение диффузии. Начальные и граничные условия. Решение уравнения диффузии. Решение однородного уравнения диффузии с нулевыми граничными условиями. Метод разделения переменных. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Решение общей краевой задачи. Линейный анализ устойчивости гомогенных стационарных решений одного уравнения типа реакция-диффузия.
- Программа:
- Учебник:
- Учебник:
- Учебник:
- Презентация (загрузить PDF)
16 ноября. Лекция 11 . Распределенные биологические системы. Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных
Устойчивость однородных стационарных решений системы двух уравнений типа реакция-диффузия. Диссипативные структуры. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния. Зависимость вида неустойчивости от волнового числа. Неустойчивость Тьюринга. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния распределенного Брюсселятора. Диссипативные структуры вблизи порога неустойчивости. Локализованные диссипативные структуры. Линейный анализ системы реакция-электродиффузия. Типы пространственно-временных режимов.
Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных. Дифференциация и морфогенез. Модель генетического триггера с диффузией (Чернавский и др.). Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Генетический триггер с учетом диффузии субстратов. Модель гидры Гирера-Майнхардта. Моделирование раскраски шкур животных. Модели агрегации амеб.
- Программа: Живые системы и активные кинетические среды
- Учебник: Распределенные биологические системы. Уравнение реакция-диффузия
- Учебник: Решение уравнения диффузии. Устойчивость гомогенных стационарных состояний
- Учебник: Распространение концентрационной волны в системах с диффузией
- Презентация (загрузить PDF)
23 ноября. Лекция 12 . Распространение импульсов, фронтов и волн. Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии
Распространение импульсов, фронтов и волн. Модель распространения фронта волны Петровского-Колмогорова-Пискунова-Фишера. Взаимодействие процессов размножения и диффузии. Локальные функции размножения. Автомодельная переменная. Распространение амброзиевого листоеда.
Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии. Распространение нервного импульса. Опыты и модель Ходчкина-Хаксли. Редуцированная модель ФитцХью-Нагумо. Возбудимый элемент локальной системы. Подпороговое и надпороговое возбуждение. Бегущие импульсы. Детальные модели кардиоцитов. Аксиоматические модели возбудимой среды. Автоволновые процессы и сердечные аритмии.
- Программа: Живые системы и активные кинетические среды
- Программа: Модели взаимодействия видов
- Программа: Модели в микробиологии
- Учебник: Распределенные биологические системы. Уравнение реакция-диффузия
- Учебник: Решение уравнения диффузии. Устойчивость гомогенных стационарных состояний
- Учебник:
